IEPhO 2017, 9 класс

Ответ

A1: \[m_0=(7.86 \pm 0.03)~г\];  С1: \[F_т=m g=\frac{p V \mu}{R T} g\];  C2: \[F_{А}=\frac{p_{0} V \mu}{R T} g\];  C3: \[P=m_{0} g+\left(m-m^{\prime}\right) g ,\quad m_{вес}=m_{0}+\frac{\Delta p V \mu}{R T}\];  D2: \[k=(13.1 \pm 0.3) \cdot 10^{-3} ~{г}/{Дж}\]

Решение

A1. Ответ:

\[m_0=(7.86 \pm 0.03)~г\]

B1. Измерим объем шарика.

Возьмем частично заполненное водой прозрачное ведро с закрепленной линейкой. Положение уровня воды на линейке запомним. Полностью погрузим шарик в воду, придерживая его рукой. Удобно держать шарик так, чтобы место крепления трубки к нему оставалось над поверхностью воды – тогда попадающая в этот стык вода не будет впоследствии искажать показания весов. Не погружаемый при этом под воду объем незначителен и существенной погрешности не вносит. Запомним новый уровень воды. Затем вынем шарик из воды и с помощью мерного стакана дольем воду в ведро из второго ведра так, чтобы уровень воды совпал уровнем воды в ведре при погруженном шарике (см. рис.1).

Рис. 1. Измерение объёма шарика

B2. Измерим избыточное давление внутри шарика с помощью манометра.

Поставим на весы пустой сухой стакан \(0.5~л\). Второй стакан («мокрый») можно использовать для переливаний воды между ведрами. Обнулим показания весов. Поместим в стакан \(0.5~л\) шарик с клапаном, протерев его салфетками для очистки от капель воды. Запишем показания весов. Результаты измерений приведены в таблице ниже.

Ответ:

Конкретные значения могут быть различными для разных шариков. В частности, некоторые шарики не надуваются до объема \(7.5~л\). Однако получаемая молярная масса воздуха, естественно, сходится для всех шариков.

С1. Силу тяжести, действующую на воздух внутри шарика, можно найти, используя уравнение Менделеева–Клапейрона:

\[F_т=m g=\frac{p V \mu}{R T} g \qquad(1)\]

Ответ:

\[F_т=m g=\frac{p V \mu}{R T} g\]

C2. Сила Архимеда может быть определена как сила, действующая на объем воздуха, совпадающий по величине с объемом надутого шарика, но взятый при условиях окружающей среды. Эта сила, в свою очередь, равна силе тяжести, действующей на этот объем воздуха, так как он находится в равновесии среди окружающего его воздуха. Тогда значение силы Архимеда составит:\[F_{А}=m^{\prime} g=\frac{p_{0} V \mu}{R T} g \qquad(2)\]где \(m^{\prime}\) – масса воздуха, занимающая объем шарика, но находящаяся при атмосферном давлении (т.е. масса вытесненного шариком воздуха).

Ответ:

\[F_{А}=\frac{p_{0} V \mu}{R T} g\]

C3. Тогда вес шарика на весах может быть найден как сумма силы тяжести оболочки с клапаном, сила тяжести воздуха внутри шарика и взятой с обратным знаком силы Архимеда. А показания весов связаны с весом шарика через ускорение свободного падения:\[P=m_{0} g+\left(m-m^{\prime}\right) g \qquad(3)\]\[m_{вес}=P / g=m_{0}+\frac{\Delta p V \mu}{R T} \qquad(4)\]

Ответ:

\[P=m_{0} g+\left(m-m^{\prime}\right) g ,\quad m_{вес}=m_{0}+\frac{\Delta p V \mu}{R T}\]

D1. Приведем посчитанную зависимость \(m_{вес}(\Delta p \cdot V)\). Так как при нулевом объеме масса, измеряемая на весах, равна, то график должен выходить из точки \(\left(0 ; m_{0}\right)\).

Построим график зависимости \(m_{вес}\) от \(\Delta p \cdot V\).

Ответ:

График зависимости \(m_{вес}\) от \(\Delta p \cdot V\)

D2. Из графика определим угловой коэффициент аппроксимирующей прямой:

Ответ:

\[k=(13.1 \pm 0.3) \cdot 10^{-3} ~{г}/{Дж}\]

D3. После чего рассчитаем в соответствии с \((4)\):\[\mu=k R T=(32.4 \pm 1.0)~ \frac{г}{моль}\]

Ответ:

\[\mu=(32.4 \pm 1.0)~ {г}/{моль}\]

Источник: pho.rs/p/4114.

Ответ

A1: \[\mu=0.36 \pm 0.02\];  B3: \[V=(0.80 \pm 0.02)~см/с\];  C3: \[\mu=0.21 \pm 0.02\]

Решение

A1. Скрепим два магнитных шарика вместе. Поместим их в пустую акриловую трубку. Будем постепенно наклонять трубку, слегка постукивая по ней. В определенный момент шарики начнут уверенно (не останавливаясь после постукивания) скатываться по поверхности трубки (рис. 1).

Рис. 1. Установка для измерения коэффициента трения шариков о внутреннюю поверхность трубки

Измерим по длине трубки и уровню поднятия одного из ее концов тангенс наклона угла трубки, соответствующий коэффициенту трения шариков о поверхность трубки:

Отсюда для \(h\) получаем: \(h=(12.0 \pm 0.4)~см\). Измерим длину пустой трубки \(L=(33.0 \pm 0.1)~см\). Коэффициент трения рассчитывается как тангенс угла наклона трубки: \[\mu=\frac{h}{\sqrt{l^{2}-h^{2}}}=(0.36 \pm 0.02)\]

Ответ:

\[\mu=0.36 \pm 0.02\]

B1. Снимем зависимость координаты от времени при вертикальном скольжении шарика вдоль одной из стенок трубки и построим её график. Для этого с помощью мерной ленты и маркера нанесем на трубку шкалу с шагом \(5~см\). Запускать шарик будем так, как написано в условии - вдоль стенки трубки. Результаты измерений и график представлены ниже.

Ответ:

Ответ:

Зависимость \(x\) от \(t\) для вертикального падения

B2. Как видно из графика, практически с самого начала движения (в рамках масштаба по горизонтальной оси) шарик движется с постоянной скоростью. Таким образом, в дальнейшем будем считать движение шарика равномерным на всем пути при любых положениях наклона трубки.

B3. Рассчитаем среднее время, требующееся шарику на преодоление \(50 ~см\) пути, при разных, близких к вертикальному, положениях трубки, после чего рассчитаем среднюю скорость движения шарика в вертикальной трубке. Получаем \(t=(62 \pm 2)~с\), откуда

Ответ:

\[V=(0.80 \pm 0.02)~см/с\]

C1. Снимем зависимость времени, необходимого для перемещения шарика в трубке на \(50~см\), от угла ее наклона. Рассчитаем по этим данным зависимость установившейся скорости шарика от угла наклона трубки. Угол будем определять из данных о длине трубки с глицерином \(l_{0}=(102.5 \pm 0.1)~см\) и вертикальной координате ее конца, поднятого над столом.

Ответ:

C2. Запишем уравнения движения для шарика внутри трубки, введя оси как показано на рис. 2.

\[\left\{\begin{array}{l} \mathrm{Ox:} 0=m g \sin \alpha-F_{a} \sin \alpha-\mu N-k_{\|} V \qquad(1)\\ \mathrm{Oy:} 0=N-m g \cos \alpha+F_{a} \cos \alpha \end{array}\right.\]

Рис. 2

Преобразуем их в зависимость:

\[\operatorname{tg} \alpha=\frac{k_{\|}}{m g-F_{a}} \frac{V}{\cos \alpha}+\mu \qquad(2)\]Полученная зависимость в координатах \(\operatorname{tg} \alpha\) от \(\dfrac{V}{\cos \alpha}\) является линейной. Построим график этой зависимости.

Ответ:

Зависимость \(\operatorname{tg} \alpha\) от \(\dfrac{V}{\cos \alpha}\) для наклонного падения

C3. Из графика получаем:

Ответ:

\[\mu=0.21 \pm 0.02\]

Как видно, значение коэффициента трения, полученное в этом упражнении, сильно отличается от коэффициента трения, полученного в части A.

Объяснить это можно тем, что силы межмолекулярного взаимодействия, отвечающие за силу трения, сильно зависят от окружения. В силу того, что шарик имеет очень малую площадь соприкосновения с внутренней поверхностью трубки, смена окружения сильно влияет на коэффициент трения. Так, для цилиндра, скользящего в трубке, отличие в коэффициентах трения уже будет меньше.

Источник: pho.rs/p/4115.

Ответ

B2: \[P_{0}=165~ мВт\] \[R_{0} \simeq 6.5~Ом\];  B3: \[\eta=U_Н / U_{0}\]

Решение

A1. Собранная схема представлена на рис. 1.

Рис. 1.

B1. Установим напряжение источник \(U_{0}=2.0~В\), указанное в условии. Снимем зависимость \(U_Н\) от силы тока \(I_Н\) при изменении сопротивления нагрузки \(R_Н\). Для каждой пары значений напряжения и силы тока рассчитаем мощность, выделяющуюся на нагрузке \(P_Н=U_Н I_Н\), и сопротивление нагрузки \(R_Н=U_Н / I_Н\). Результаты измерений представлены ниже.

Ответ:

B2. Построим график зависимости \(P_Н\left(R_Н\right)\):

Ответ:

График зависимости \(P_Н\left(R_Н\right)\)

По графику определяем максимальную мощность:

Ответ:

\[P_{0}=165~ мВт\]

Сопротивление, при котором \(P=P_{0}\):

Ответ:

\[R_{0} \simeq 6.5~Ом\]

B3. КПД линии электропередачи определяется отношением напряжений на двух её концах:

Ответ:

\[\eta=U_Н / U_{0}\]

C1. Той же мощности можно добиться при двух значениях сопротивления нагрузки!

Снимем зависимость сопротивления нагрузки \(R_Н\), при котором мощность на ней равна \(P_{0}\), от напряжения \(U_{0}\).

C2. Построим график исследуемой зависимости.

Ответ:

График зависимости \(P_Н\left(U_0\right)\)

C3. Рассчитаем \(\eta_Н\) по формуле, приведённой в пункте B3. Построим график полученной зависимости.

Ответ:

График зависимости \(\eta_Н\left(U_0\right)\)

Источник: pho.rs/p/4116.

Ответ

A1: \[m_{бр}=(76 \pm 1)~г\];  A2: \[m=(0.45 \pm 0.03)~г\];  B2: \[\mu=0.14 \pm 0.03\];  B3: \[F_{пр}=(70 \pm 20)~мН\];  C1: \[F_{пр}^{\prime}=(0.38 \pm 0.01)~Н\]

Решение

A1. Для измерения массы бруска воспользуемся динамометром. Важно не забыть о том, что динамометр имеет настройку нулевого положения.

Ответ:

\[m_{бр}=(76 \pm 1)~г\]

A2. Для измерения массы магнитного шарика воспользуемся методом рядов, то есть соединим все имеющиеся шарики в цепочку, взвесим ее и разделим полученное значение на количество шариков в цепочке.

\[40 m=(18 \pm 1)~г\]

Ответ:

\[m=(0.45 \pm 0.03)~г\]

A3. Используемые в решении шарики являются оранжевыми. Отличие оранжевых шариков от серебристых только в их массе и цвете.

B1. Снимем искомую зависимость и построим её график. Результаты измерений представлены ниже.

Ответ:

График полученной зависимости представлен ниже.

Ответ:

График зависимости \(\langle F\rangle\) от \(N\)

Угловой коэффициент исследуемой зависимости:\[f=(10.4 \pm 0.1) \cdot 10^{-3}~Н/шт\]

B2. Для того, чтобы измерить коэффициент трения, соберем кольцо из некоторого количества магнитов, положим кольцо на магнитный винил и измерим силу трения (см. рис. 1).

Рис. 1. Установка для измерения коэффициента трения

Положим на кольцо брусок и заново измерим силу трения. Изменение силы трения будет соответствовать произведению коэффициента трения и силы тяжести бруска.

Далее несложно определить коэффициент трения:

\[\Delta F=F_{1}-F_{2}=0.28-0.18=(0.10 \pm 0.02)~Н\]\[\mu=\frac{\Delta F}{m_{бр} g}=(0.14 \pm 0.03)\]

Ответ:

\[\mu=0.14 \pm 0.03\]

B3. Рассчитаем силу притяжения магнита к магнитному винилу, не забыв учесть тот факт, что сила реакции опоры между магнитом и винилом по модулю составляет сумму силы притяжения магнита и силы тяжести, действующей на него:

\[F_{пр}=\frac{f}{\mu}-m g=(70 \pm 20)~мН\]Большая погрешность измерения коэффициента трения приводит лишь к оценочному результату силы притяжения магнита.

Ответ:

\[F_{пр}=(70 \pm 20)~мН\]

C1. Определим силу притяжения магнита вторым способом, указанным в условии:

Ответ:

\[F_{пр}^{\prime}=(0.38 \pm 0.01)~Н\]

C2. Полученные значения сил притяжения различны. Объяснить подобный результат можно тем, что в случае измерения силы притяжения первым способом ориентация магнитного шарика была такова, что осевая линия, проходящая через его полюса, лежала вдоль плоскости винила, а во втором случае перпендикулярно ему.

Источник: pho.rs/p/4117.

Ответ

B2: \[k=(14.3 \pm 0.5)~ Н/см\];  B3: \[k_Т=11.8~Н/см\];  B4: \[G=(6.1 \pm 1.2) \cdot 10^{10}~Па\]

Решение

B1. Сначала убеждаемся в том, что жёсткость исследуемой пружины существенно превосходит жёсткость пружины динамометра. Даже при максимальной силе \(F_{\max }=5~Н\), на которую рассчитан динамометр, деформация исследуемой пружины не превышает долей миллиметра. Это означает, что имеющееся оборудование (динамометр и линейка) не позволяет непосредственно определить коэффициент жёсткости пружины по зависимости \(F(\Delta l)\).

Для проведения измерений соберём установку, которая позволяет значительно увеличить создаваемое динамометром \(F\) усилие, а также измерять небольшие деформации пружины \(\Delta l\). Фотография экспериментальной установки показана на рис. 1.

Рис. 1. Фотография установки

Нихромовая проволока, закреплённая на струбцинах, натянута несильно, но достаточно для того, чтобы создать небольшую деформацию пружины. Расстояние между струбцинами определяется длиной стола и равно \(l=2 l_{0}=116.5~см\). С помощью привязанного нитью к середине проволоки динамометра прикладываем силу \(F\) в перпендикулярном к проволоке направлении. Будем снимать зависимость \(F(x)\), где \(x\) – отмечаемое по закрепленной на столе линейке положение динамометра. Отклонение \(\Delta x\) динамометра от положения, в котором он не оттягивает проволоку, является прогибом середины проволоки под действием силы \(F\) (см. рис. 2).

Рис. 2. Прогиб середины проволоки

Выведем теоретическую зависимость \(F(x)\). При малых \(\Delta x\ll l_0\) удлинение пружины равно: \[\Delta l=2\left(\sqrt{l_{0}^{2}+(\Delta x)^{2}}-l_{0}\right) \simeq 2 \frac{(\Delta x)^{2}}{2 l_{0}}=\frac{(\Delta x)^{2}}{l_{0}} \qquad(1)\]При выводе формулы растяжением нихромовой проволоки по сравнению с деформацией пружины можно пренебречь. Схема установки представлена на рис. 3.

Из условия равновесия следует, что: \[F=2 T\sin \alpha\]\[T=\frac{F}{2 \sin\alpha} \qquad(2)\]Воспользуемся тем, что \(\alpha\ll 1\), откуда следует, что: \[\sin \alpha \simeq \operatorname{tg} \alpha \simeq \frac{\Delta x}{l_{0}}\]Подставляя полученное выражение в \((2)\), получаем: \[T=\frac{F l_{0}}{2 \Delta x} \qquad(3)\]

Рис. 3. Схема установки

Таким образом, измерив зависимость \(F(x)\), мы можем рассчитать зависимость \(T(\Delta l)\). Результаты измерений \(F(x)\) и пересчет в \(T(\Delta l)\) представлены ниже.

Ответ:

Чтобы оценить, как влияет сила трения динамометра о линейку на результаты эксперимента, проведены измерения для возрастающих натяжений и для убывающих. В этих случаях сила трения направлена в противоположные стороны, и, хоть ее влияние и несущественно, за положение динамометра при заданных его показаниях будем принимать среднее между двумя его положениями.

B2. Построим график зависимости \(T(\Delta l)\).

Ответ:

График зависимости \(T(\Delta l)\)

Заметим, что экспериментальные точки хорошо ложатся на прямую линию. Это означает, что пружина подчиняется закону Гука. Коэффициент жёсткости, рассчитанный из наклона:

Ответ:

\[k=(14.3 \pm 0.5)~ Н/см\]

B3. Оценку жёсткости пружины сделаем так. У нас имеется пружина динамометра, параметры которой легко определяются: коэффициент жесткости \(k_{0}=0.55~Н/см\), число витков \(N_{0}=32\), длина \(L_{0}=27~мм\), средний диаметр витков \(D_{0}=13~ мм\). Запишем формулу, связывающую жесткость пружину со свойствами материала, из которого она сделана и её геометрическими параметрами:

\[k=\frac{G}{N} \frac{d^{4}}{8 D^{3}} \qquad(4)\]В условии указано, что пружина в динамометре является стальной, а значит модуль сдвига \(G\) у материала исследуемой пружины и пружины в динамометре один и тот же. Таким образом можно рассчитать отношение коэффициентов жесткости двух пружин, зная их геометрические параметры. Параметры исследуемой пружины: число витков \(N=30\), длина \(L=30~мм\), средний диаметр витков \(D=6~мм\). Подставляя эти значения, получаем численное значение отношения коэффициентов жесткости двух пружин:

\[\frac{k_Т}{k_{0}}=\left(\frac{L}{L_{0}}\right)^{4}\left(\frac{D_{0}}{D}\right)^{3}\left(\frac{N_{0}}{N}\right)^{5}=21.4 \qquad(5)\]Откуда коэффициент жесткости исследуемой пружины:\[k_Т=11.8~Н/см \qquad(6)\]Погрешность нашей оценки довольно велика и составляет, по-видимому, не менее \(20 \%\) (это связано с большими степенями, с которыми в оценочную формулу входят измеряемые величины). Поэтому можно считать, что экспериментальное \(k=14.3~Н/см\) см и теоретическое \(k_Т=11.8~Н/см\) значения в пределах погрешности согласуются.

Ответ:

\[k_Т=11.8~Н/см\]

B4. Оценку модуля сдвига \(G\) для стали сделаем, используя данные для пружины динамометра:

\[G=\frac{8 k_{0} D_{0}^{3} N_{0}^{5}}{L_{0}^{4}}=6.1 \cdot 10^{10} ~Па \qquad(7)\]Погрешность за счет больших степеней так же составляет порядка \(20 \%\). Окончательно:

\[G=(6.1 \pm 1.2) \cdot 10^{10}~Па \qquad(8)\]

Ответ:

\[G=(6.1 \pm 1.2) \cdot 10^{10}~Па\]

Табличное значение для стали:

\[G_{табл}=(7.9 \ldots 8.9) \cdot 10^{10}~Па \qquad(9)\]

Источник: pho.rs/p/4118.

Ответ

A2: \[n=\frac{1}{E_{0}}\left(F_{0}+\frac{f\left(h_{0}+h\right)}{2}\right)\left(h-h_{0}\right)\];  B3: \[\frac{F_{0}}{f h} \simeq 0.35\]

Решение

A1. Схематичный график показан на рисунке.

Ответ:

A2. Энергия, необходимая для забивания гвоздя численно равна площади под графиком, поэтому:

\[E_{0} n=\frac{\left(F_{0}+f h_{0}\right)+\left(F_{0}+f h\right)}{2}\left(h-h_{0}\right)= \left(F_{0}+\frac{f\left(h_{0}+h\right)}{2}\right)\left(h-h_{0}\right) \qquad(1)\]От сюда следует необходимая зависимость:\[n=\frac{1}{E_{0}}\left(F_{0}+\frac{f\left(h_{0}+h\right)}{2}\right)\left(h-h_{0}\right) \qquad(2)\]

Ответ:

\[n=\frac{1}{E_{0}}\left(F_{0}+\frac{f\left(h_{0}+h\right)}{2}\right)\left(h-h_{0}\right)\]

B1. Зависимость числа ударов от глубины погружения для гвоздя меньшего диаметра приведена в таблице и на графике

В соответствии с формулой \((2)\) данная зависимость квадратичная.

Ответ:

График зависимости количества ударов от глубины погружения \(h\)

B2. Для линеаризации зависимости можно проделать следующие преобразовании, которые следуют из формулы \((2)\):

\[\frac{n}{\left(h-h_{0}\right)}=\frac{1}{E_{0}}\left(F_{0}+\frac{f\left(h_{0}+h\right)}{2}\right) \qquad(3)\]Построим график зависимости \(\dfrac{n}{\left(h-h_{0}\right)}\) от \(\left(h_{0}+h\right)\):

Ответ:

График зависимости \(\dfrac{n}{\left(h-h_{0}\right)}\) от \(\left(h_{0}+h\right)\)

Полученная зависимость близка к линейной \(y=k x+b\).

B3. Из вида зависимости \((3)\) следует, что отношение силы, действующей на острие, к силе трения, действующей на \(1~см\) боковой поверхности, определяется формулой:\[\frac{F_{0}}{f h}=\frac{b}{2 k}=\frac{6.98}{2 \cdot 10.1} \simeq 0.35 \qquad(4)\]

Ответ:

\[\frac{F_{0}}{f h} \simeq 0.35\]

Для более толстого гвоздя измерения и обработка проводятся аналогично.

Для большого гвоздя:

График зависимости количества ударов от глубины погружения \(h\)

Линеаризация:

График зависимости \(\dfrac{n}{\left(h-h_{0}\right)}\) от \(\left(h_{0}+h\right)\)

Отношение сил оказалось:\[\frac{F_{0}}{f h}=\frac{b}{2 k}=\frac{13.0}{2 \cdot 10.7} \simeq 0.35 \qquad(5)\]

Ответ:

\[\frac{F_{0}}{f h}\simeq 0.35\]

Источник: pho.rs/p/4094.