IEPhO 2018, 11 класс

В задаче требуется оценка погрешностей!

A1. Соберите установку, изображенную на рис. 1. Закрепите мерную ленту скотчем. Снимите зависимость показаний динамометра от координаты конца резинового шнура.

Рис. 1. Установка для измерения растяжения резинового шнура

A2. Рассчитайте на основе полученных данных зависимость силы упругости, возникающей в шнуре, от его относительного удлинения. Постройте график этой зависимости. Почему зависимость не является линейной функцией? Определите ее угловой коэффициент \(\alpha\) на участке малых относительных удлинений.

A3. С помощью стеклянной колбы, воды и весов определите объем всего шнура в не растянутом состоянии. На основе полученного значения рассчитайте площадь поперечного сечения шнура. Определите модуль Юнга \(E\) резины, из которой изготовлен шнур, разделив угловой коэффициент графика \(\alpha\), полученный в пункте \(2\) , на площадь поперечного сечения шнура.

Найденный Вами модуль Юнга \(E\) является коэффициентом пропорциональности между силой упругости, приходящейся на единицу площади поперечного сечения, и относительным изменением продольных размеров упругого тела: \[\frac{F}{S}=E \frac{\Delta l}{l_{0}} \qquad(1)\]

Поместите шнур в залитую водой до краев колбу (см. рис. 2). Заткните колбу пробкой, проткнутой иглой от шприца. Наберите в шприц воду таким образом, чтобы нижняя половина шприца была заполнена водой, а верхняя половина - воздухом. Вставьте шприц в штуцер иглы. Собирая установку, стремитесь к тому, чтобы в колбе, игле, штуцере и нижней половине шприца отсутствовали пузырьки воздуха. Снимите зависимость уровня воды \(V_В\), отсчитываемого по шкале шприца, от суммарного объема \(V_С\) воды и воздуха в шприце.

Рис. 2. Установка для измерения модуля всестороннего сжатия резины

Если Вам не удается вытащить пробку из колбы, обратитесь к организаторам.

A5. По полученным данным рассчитайте зависимость модуля относительного изменения объема шнура от дополнительного (по отношению к атмосферному) давления. Общий объем всей воды в установке можно считать неизменным. Постройте график полученной зависимости. Определите угловой коэффициент \(\beta\) графика и вычислите обратную к нему величину \(K\). Она является модулем всестороннего сжатия резины и фигурирует в формуле, описывающей аналог закона Гука для случая сжатия одинаковым давлением по всем направлениям:

\[\Delta P=K \frac{\Delta V}{V_{0}} \qquad(2)\]

A6. Коэффициентом Пуассона \(\mu\) называется взятое со знаком минус отношение относительных изменений поперечных и продольных размеров упругого объекта при деформации растяжения/сжатия (см. рис. 3): \[\mu=-\frac{\Delta d / d_{0}}{\Delta l / l_{0}} \qquad(3)\] Теоретически выведите формулу относительного изменения объема упругого тела при сжатии его силами только в одном направлении (с учетом того, что поперечные размеры тоже меняются).

Каково относительное изменение объема при всестороннем сжатии? Получите теоретическую связь модуля Юнга \(E\), модуля всестороннего сжатия \(K\) и коэффициента Пуассона \(\mu\).

Рис. 3. Изменение продольных и поперечных размеров при растяжении

A7. На основе полученных в предыдущих пунктах результатов определите модуль Пуассона резины.

Оборудование

1. Шприц \(1~мл\)

2. Проткнутая зеленой иглой пробка

3. Резиновый шнур

4. Плоскодонная колба \(100~мл\)

5. Ёмкость с водой

6. Пинцет

7. Электронные весы \(0.01~г\)

8. Мерная лента

9. Скотч

10. Динамометр \(5~Н\)

11. Два канцелярских зажима

12. Поднос

13. Салфетки для поддержания рабочего места в чистоте

▶РешениеСкрыть

Решение

A1. Снимем зависимость показаний динамометра от координаты конца стержня. Также измерим расстояние между двумя зажимами в нерастянутом состоянии шнура \[y=70.0 \pm 0.5~см\]

Ответ:

\(\varepsilon\cdot 10^2\)	0.0	1.0	2.0	3.0	3.9	4.9	5.9	6.9	7.9	8.9	9.7	10.7	11.7	12.7	13.7	14.7
\(F,~см\)	0.0	0.4	0.6	0.8	1.0	1.2	1.4	1.6	1.8	1.9	2.1	2.3	2.4	2.6	2.7	2.9
\(x,~см\)	0.0	0.7	1.4	2.1	2.7	3.4	4.1	4.8	5.5	6.2	6.8	7.5	8.2	8.9	9.6	10.3
\(\varepsilon\cdot 10^2\)	15.6	16.6	17.6	18.6	19.6	20.6	21.6	22.4	23.4	24.4	25.4	26.4	27.4	28.3	29.3
\(F,~см\)	3.1	3.2	3.4	3.6	3.6	3.8	3.9	4.1	4.2	4.3	4.4	4.5	4.6	4.8	4.9
\(x,~см\)	10.9	11.6	12.3	13.0	13.7	14.4	15.1	15.7	16.4	17.1	17.8	18.5	19.2	19.8	20.5

A2. Рассчитаем относительное удлинение шнура. И построим график силы упругости от относительного удлинения шнура.

Ответ:

График зависимости \(F\) от \(\varepsilon\)

При увеличении растяжения резинового шнура, его площадь ее поперечного сечения уменьшается, а длина увеличивается. Таким образом, в соответствии с законом Гука коэффициент жесткости с убывает с увеличением растяжения, что и наблюдается на графике. Определим угловой коэффициент графика в области малых деформаций (до \(10 \%\)).

\[k=(20.5 \pm 0.5)~Н \qquad(4)\]

Ответ:

\[k=(20.5 \pm 0.5)~Н\]

A3. Поместим в колбу шнур (воспользуемся пинцетом для удобства). Зальем в колбу воду до уровня начала горлышка колбы. Аккуратно вытащим шнур из колбы. Измерим массу колбы на весах. Дольем в колбу воду до уровня начала горлышка колбы. Вновь измерим массу колбы. По разности показаний весов определим объем шнура \(V=29.5 \pm 0.1~мл\).

Общая длина шнура составляет \(y_{0}=187.0 \pm 0.5~ см\). Тогда для площади поперечного сечения шнура имеем: \[s=V / y_{0}=0.157 \pm 0.001~см^{2} \qquad(5)\] Таким образом, модуль Юнга резины, из которой сделан шнур, составит:\[E=k / s=(1.31 \pm 0.04)~МПа \qquad(6)\]

Ответ:

\[E=(1.31 \pm 0.04)~МПа\]

A4. Соберем установку, описанную в условии. Измерим зависимость объема воды в шприце от общего объема воды и воздуха в шприце.

Ответ:

\(V_С,~мл\)	\(V_В,~мл\)	\(\Delta V/V\)	\(\Delta P,~10^5~Па\)
100	52	0.00	0.00
90	48	0.14	0.14
78	40	0.41	0.26
64	30	0.75	0.41
50	20	1.08	0.60
38	10	1.42	0.71

A5. Давление в системе легко рассчитать на основе объема воздуха в шприце, предполагая, что во время измерений воздух сжимался изотермически. \[P=P_0 \frac{V_С^{\prime}-V_В^{\prime}}{V_С-V_В} \qquad(7)\]где \(P_0\) – атмосферное давление, \(V_С^{\prime}\) – начальный суммарный объем воздуха и воды в шприце, \(V_В^{\prime}\) – начальный объем воды в шприце. Вода является практически несжимаемой жидкостью, поэтому изменение объема воды в шприце по модулю равно изменению объема резинового шнура. Для расчета модуля относительного изменения объема подели изменение объема шнура на объем шнура в недеформированном состоянии, измеренный в пункте A3. Построим график зависимости относительного изменения объема от давления внутри колбы и найдем его обратный угловой коэффициент на линейном участке. \[\gamma=4.55 \pm 0.17~МПа \qquad(8)\]

Ответ:

График зависимости \(\Delta V/V\) от \(\Delta P\)

A6. Изменение объема при относительной деформации растяжения/сжатия \(\Delta l/ l_0\) составит: \[\Delta V/V_0=(1-2 \mu) \Delta l/l_0 \qquad(9)\] Если деформировать тело по трем направлениям с одинаковой относительной деформацией растяжения/сжатия, то изменение объема составит: \[\Delta V/V_0=3(1-2 \mu) \Delta l/l_0 \qquad(10)\] Именно такой случай реализуется при повышении внешнего давления. Связь деформации по одной из координат с давлением дается законом Гука: \[\Delta l/l_0=\Delta P/E \qquad(11)\] Объединяя формулы \((7)\) и \((8)\) имеем для связи модуля всестороннего сжатия и модуля Юнга:\[\gamma=E / 3(1-2 \mu) \qquad(12)\]

Ответ:

\[\gamma=E / 3(1-2 \mu)\]

A7. Рассчитаем на основе полученных данных модуль Пуассона:

\[\mu=(1-E / 3 \gamma) / 2=0.45 \pm 0.02 \qquad(13)\]

Ответ:

\[\mu=0.45 \pm 0.02\]

Источник: pho.rs/p/4187.

Погрешности в задаче оценивать не требуется!

Рис. 1. Установка для изучения моторчика с редуктором

Мотор с редуктором представляет из себя электродвигатель с присоединенной к нему системой шестерёнок. Типичным примером механического редуктора является пара шестерёнок, из которых ведущая шестерня меньшего размера, а ведомая – большего.

Перед началом работы запишите номер своей установки!

A1. Зажмите моторчик с редуктором (с надетым на него колесом) в лапке штатива (см. рисунок 1). K колесу привязана нить так, чтобы её можно было наматывать на колесо. Следите за тем, чтобы нить не наматывалась на ось. Подключите к моторчику вольтметр. Подвесьте на нитку грузик, намотайте нитку на колесо и отпустите. Направление вращения должно совпадать с направлением стрелки. На дисплее вольтметра появится значение напряжения. Меняя количество грузиков и используя гайки, снимите зависимость среднего значения ЭДС индукции, измеряемой вольтметром, от средней скорости движения грузиков. Постройте график исследованной зависимости. Определите его угловой коэффициент.

A2. Подключите к моторчику амперметр. Снимите зависимость показаний амперметра от силы тяжести, действующей на грузы. Постройте график полученной зависимости.

A3. Какой моделью лучше описывается движение в предыдущем пункте задания: движение с постоянным ускорением или с постоянной скоростью?

A4. Как теоретически должны быть связаны угловые коэффициенты графиков в пунктах A1 и A2 в отсутствие силы трения?

A5. Рассчитайте зависимость момента сил трения, действующих на вал двигателя в пункте A2, от силы тяжести, действующей на грузы. Постройте график этой зависимости.

A6. Подключите к моторчику реостат. Подвесьте на нитку три груза по 50 г. Подключите параллельно реостату вольтметр. Изменяя и записывая сопротивление реостата, снимите зависимость напряжения на реостате от скорости движения трех грузов.

A7. Постройте график зависимости момента сил трения, действующих на вал моторчика, от скорости движения грузов.

A8. На основе полученных данных предложите теоретическую модель, описывающую связь момента сил трения \((M_{тр})\), действующих на вал двигателя, с силой натяжения нити \((T)\) и скоростью вращения вала \((v)\). То есть напишите формулу связи предложенных величин, введя все необходимые константы и коэффициенты и описав их.

Оборудование

1. Моторчик с редуктором

2. Штатив

3. Струбцина

4. Отрезок нити

5. Мультиметр

6. Секундомер

7. Семь грузов \((M=50~г)\)

8. Три гайки \((m=10.34~г)\)

9. Линейка \(50~см\)

10. Реостат

▶РешениеСкрыть

Решение

A1. Измерим общую длину нити, намотанной на вал \(l=78.8 \pm 0.1~мм\). Снимем зависимость ЭДС индукции от времени разматывания нити. Пересчитаем колонку времени разматывания в среднюю скорость движения грузиков.

\(t,~с\)	\(v,~м/с\)	\(\varepsilon,~В\)
5.68	1.14	1.43
2.54	0.31	3.21
3.34	0.24	2.44
2.12	0.37	4.17
3.73	0.21	2.11

Построим график измеренной зависимости и найдем ее угловой коэффициент:

\[A=11.73 \pm 0.15 ~\frac{В\cdot с}{м} \qquad(1)\]

График зависимости \(\varepsilon\) от \(v\)

Ответ:

\[A=11.73 \pm 0.15 ~\frac{В\cdot с}{м}\]

A2. Подключим к моторчику амперметр и снимем зависимость силы тока, текущего через амперметр, от силы тяжести, действующей на грузики, подвешенные на нити.

\(mg,~Н\)	\(I,~мА\)	\(M_{тр},~Н\cdot см\)
1.21	39.0	1.857
1.42	52.6	1.979
1.50	60.2	1.968
1.71	71.6	2.147
1.92	86.5	2.221
2.00	94.4	2.202
2.50	124.9	2.545
3.00	160.1	2.745
3.50	189.9	3.111

Построим график исследованной зависимости.

График зависимости \(I\) от \(m g\)

Как видно, полученный график можно описать линейной функцией, не проходящей через начало координат. Угловой коэффициент графика составляет:\[B=65.9 \pm 0.2~ мА/Н \qquad(2)\]

Ответ:

\[B=65.9 \pm 0.2~ мА/Н\]

A3. Так как ток, измеряемый амперметром, практически не меняется во время движения, то движение в пункте A2 происходит с примерно постоянной скоростью.

A4. Приравнивая в отсутствие трения электрическую и механическую мощности, получаем, что теоретически произведение коэффициентов \(A\) и \(B\) должно равняться \(1\).

A5. Расхождение полученных данных с теоретическим предположением связано с наличием трения в оси двигателя и редукторе. Чтобы рассчитать эффективный момент силы трения, из условия постоянства скорости запишем теоретическую связь моментов силы тяжести \(M_{тяж}\) (силы натяжения нити), силы Ампера \(M_А\) внутри двигателя и силы трения \(M_{тр}\) : \[M_{тяж}=M_А+M_{тр}. \qquad(3)\] Таким образом, эффективный момент сил трения можно рассчитать, как: \[M_{тp}=M_{тяж}-M_А=(m g-A I) D / 2, \qquad(4)\] где \(D=5.10 \pm 0.05~см\) – диаметр колеса.

Построим график зависимости момента сил трения от силы тяжести, действующей на грузы. Как видно, график не проходит через точку пересечения осей и является линейно функцией. То есть момент сил трения линейно возрастает с нагрузкой на ось двигателя и имеет постоянную составляющую.

Ответ:

График зависимости \(M_{тр}\) от \(mg\)

A6. Подключим к моторчику реостат и при разных его сопротивлениях будем запускать движение трех грузиков, подвешенных на нитке к валу моторчика. Измерим набор величин: сопротивление реостата (не забудем вычесть сопротивление щупов мультиметра из показаний омметра), время движения трех грузов и напряжение на реостате. По полученным данным рассчитаем скорость движения грузов и силу тока, текущего через реостат.

Ответ:

\(U,~В\)	\(t,~с\)	\(R,~Ом\)	\(v,~м/с\)	\(I,~мА\)	\(M_{тр},~Н\cdot см\)
2.23	2.96	50.3	0.266	45.76	3.93
0.62	6.79	12.3	0.116	57.41	3.59
0.78	5.71	15.4	0.138	56.33	3.62
0.95	5.23	18.8	0.151	55.09	3.66
1.10	4.35	20.8	0.181	52.67	3.73
1.27	3.83	26.7	0.206	50.52	3.79
1.43	3.72	30.5	0.212	49.31	3.83
1.67	3.48	35.7	0.226	48.74	3.84

A7. Рассчитаем эффективный момент сил трения, действующих на вал двигателя. Построим график полученной зависимости. В связи с тем, что точность измерений, проводимых в предыдущем пункте, невысока, полученные данные могут отличаться. Точки, полученные в серии экспериментов, можно аппроксимировать линейной монотонно возрастающей функцией, что свидетельствует об увеличении эффективного момента сил трения с увеличением скорости движения грузов.

Ответ:

График зависимости \(M_{тр}\) от \(v\)

A8. На основе полученных данных можно построить эмпирическую модель зависимости момента силы трения от параметров установки:\[M_{тр}=M_0+\mu T+\nu(T) v ,\qquad(5)\]где \(M_0\) – константа, описывающая момент сил трения в отсутствие нагрузки на ось двигателя и при очень малых скоростях движения, \(T\) – сила натяжения нити, намотанной на вал, на ее свисающем участке, \(\mu\) – коэффициент пропорциональности между моментом сил трения при малых скоростях и силой натяжения нити, \(\nu(T)\) – коэффициент пропорциональности между моментом сил трения и скоростью, скорее всего зависящий от нагрузки на вал двигателя (силы натяжения нити).

Ответ:

\[M_{тр}=M_0+\mu T+\nu(T) v\]

Источник: pho.rs/p/4194.

В задаче не требуется оценка погрешностей!

Комплект оборудования включает в себя набор из двух пьезоэлектрических элементов, которые могут быть использованы как приёмник и передатчик акустических волн. Приёмник и передатчик следует установить на направляющую. Шкала на направляющей позволяет определить расстояние между устройствами. Сигнал на передатчик подаётся с генератора сигналов. Параметры сигналов, поступающих на передатчик и приёмник, можно анализировать с помощью осциллографа.

Оборудование

1. Приёмник и передатчик акустических волн

2. Направляющая

3. Генератор сигналов

4. Осциллограф

5. Соединительные провода (3 BNC–крокодил)

Часть A. Измерение параметров пьезоэлектрических элементов (1.0 балл)

Пьезоэлектрические элементы, используемые в эксперименте, рассчитаны на работы с гармоническим сигналом фиксированной (рабочей) частоты. Сигналы других частот пьезоэлемент принимает и передает значительно хуже.

Установите приёмник и передатчик на рельс таким образом, чтобы резонаторы располагались напротив друг друга на расстоянии порядка \(10~см\). Подключите приборы согласно рис. 1. Настройте генератор на режим подачи синусоидального сигнала максимальной амплитуды. Получите стабильную картинку на экране осциллографа в триггерном режиме «Авто» по первому каналу (каналу, подключенному к передатчику). Изменяя частоту генератора, наблюдайте за изменением амплитуды сигнала, поступающего с приёмника.

Рис. 1. Схема подключения: 1 – генератор сигналов 2 – осциллограф 3 – передатчик 4 – приёмник 5 – первый канал осциллографа 6 – второй канал осциллографа

A1. Определите с точностью до третьего знака значение частоты \(f_0\) генератора, при которой сигнал на приёмнике максимальный.

Примечание: Учтите, что частота \(f_0\) порядка \(10^4~Гц\).

Часть B. Измерение скорости распространения акустических волн в воздухе (2.0 балла)

Не меняя частоты генератора, найденной в пункте A1, перемещайте приемник относительно передатчика по рельсу. Осциллограмма канала приемника в этом случае будет перемещаться по экрану относительно осциллограммы передатчика.

B1. По величине этого смещения определите длину упругой волны, созданной передатчиком в воздухе. Проведите измерения не менее, чем для пяти расстояний между приёмником и передатчиком. Рассчитайте скорость звука в воздухе по полученным данным.

Изучение рядов Фурье

Любую периодическую функцию можно представить в виде бесконечного ряда, представляющего собой сумму гармонических функций (рис. 2):

\[f(x)=\operatorname{const}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos n x+b_n \sin n x\right),\]\(a_n\), \(b_n\) – численные коэффициенты.

На практике это представление часто используют для анализа электрических сигналов. Анализируемый сигнал – периодическая функция напряжения от времени \(U(t)\) – представляется в виде суммы гармонических сигналов с частотой \(\omega_n=n \omega\):

\[U(t)=U_0+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos \omega_n t+b_n \sin \omega_n t\right),\]\(\omega=2\pi/T\), где \(T\) – характерный период сигнала.

Рис. 2. Представление периодического сигнала в виде суммы гармонических функций

Установим приемник и передатчик на направляющую таким образом, чтобы резонаторы располагались вплотную друг к другу. Подадим на передатчик какой-либо сигнал с частотой \(\omega\). С помощью осциллографа будем считывать напряжение на выводах приёмника (выходной сигнал). В этом случае система, образованная двумя пьезоэлектрическими элементами, будет работать как фильтр, выделяющий из сигнала, подаваемого на передатчик, гармонический сигнал частоты, равной рабочей частоте \(\omega_0\) пьезоэлектрического элемента. Если уменьшить частоту сигнала, подаваемого на передатчик, в \(n\) раз, приёмник будет принимать гармонический сигнал с частотой \(\omega_0=n \omega=\omega_n\). Таким образом, мы можем проанализировать по отдельности слагаемые ряда Фурье, в виде которого можно представить подаваемый на передатчик сигнал.

Стоит учитывать, что система «передатчик–приёмник» имеет свой коэффициент передачи \(k\), связывающий амплитуду гармонического сигнала \(U_\mathrm{in}\) частоты \(\omega_0\), подаваемого на передатчик, и амплитуду сигнала \(U_\mathrm{out}\) на выходе приёмника:\[k=\frac{U_\mathrm{out}}{U_\mathrm{in}}.\] Его следует учитывать, решая задачу об определении параметров \(a_n\), \(b_n\).

Часть C. Представление сигнала прямоугольной формы в виде ряда Фурье (3.5 балла)

Импульсами прямоугольной формы называют импульсы, которые можно проиллюстрировать рисунком 3.

Для таких импульсов представление в виде ряда (формула \((2)\)) имеет следующий вид:\[\bar U(t)=U\frac a\pi\sum_{p=1}^{\infty}\frac{\sin p\omega t}p,\quad p=2k+1,\ k\in\mathbb Z_+,\]где \(a\) – некоторое целое число, которое требуется найти в этой части.

Рис. 3. Сигнал прямоугольной формы

С этого момента и до конца ВСЕЙ задачи положения приёмника и источника должны оставаться неизменными!

Установите приёмник и передатчик на направляющую таким образом, чтобы резонаторы располагались вплотную друг к другу. Настройте генератор таким образом, чтобы он создавал гармонический сигнал. Подключите генератор и осциллограф к передатчику и приёмнику по схеме, изображённой на рис. 1. На генераторе установите максимальное значение амплитуды выходного сигнала.

C1. С помощью осциллографа измерьте амплитуды сигналов \(U_\mathrm{in}\) и \(U_\mathrm{out}\) на приёмнике и передатчике. Вычислите коэффициент \(k\).

Настройте генератор таким образом, чтобы он создавал сигнал прямоугольной формы.

C2. Подавая на передатчик сигналы с характерными частотами \(\omega_0\), \(\omega_0/3\), \(\omega_0/5\), \(\ldots\), \(\omega_0/p\), \(\ldots\), измерьте зависимость амплитуды напряжения \(U\) на выходе приёмника от числа \(p\). Поддерживайте амплитуду сигнала генератора неизменной в течение всего эксперимента.

C3. Используя результаты проведённых измерений, определите число \(a\). Методика расчетов должна включать в себя построение как минимум одного линейного графика.

Часть D. Представление сигнала треугольной формы в виде ряда Фурье (3.5 балла)

Импульсами треугольной формы называют импульсы, которые можно проиллюстрировать рисунком 4.

Для таких импульсов представление в виде ряда (формула \((2)\)) имеет следующий вид:\[\hat U(t)=U\frac b{\pi^2}\sum_{l=1}^{\infty}(-1)^{\frac{l-1}2}\frac{\sin l\omega t}{l^d},\quad l=2k+1,\ k\in\mathbb Z_+,\]где \(b\), \(d\) – некоторые целые числа, которое требуется найти в этом упражнении.

Настройте генератор таким образом, чтобы он создавал сигнал треугольной формы.

Рис. 4. Сигнал треугольной формы.

D1. Подавая на передатчик сигналы с характерными частотами \(\omega_0\), \(\omega_0/3\), \(\omega_0/5\), \(\ldots\), \(\omega_0/l\), \(\ldots\), измерьте зависимость амплитуды напряжения \(U\) на выходе приёмника от числа \(l\). Поддерживайте амплитуду сигнала генератора неизменной в течение всего эксперимента.

D2. Используя результаты проведенных измерений, определите числа \(b\) и \(d\). Методика расчетов должна включать в себя построение как минимум одного линейного графика.

▶РешениеСкрыть

Решение

A1. Максимум амплитуды сигнала для рассматриваемого контрольного приёмника достигается при частоте:

Ответ:

\[f_{0}=25.25 \pm 0.02~кГц\]

Для разных комплектов пьезоэлектрических элементов имеет \(f_{0}\) может лежать в интервале \(25.15-25.65~кГц\).

B1. С помощью осциллографа будем измерять разность фаз между сигналами. По шкале на направляющей однократно определим координату приёмника \(x_{r}\). Плавно отдаляя передатчик от приёмника, будем измерять координаты положения передатчика \(x_{t}\), при которых сигналы находятся в противофазе (в этом случае пересечения осциллограмм двух сигналов, построенных в одинаковых осях, должны лежать точно на горизонтальной оси) (табл. 1). Пусть \(N\) – номер измерения, \(r=x_{r}-x_{t}\) – расстояние между приёмником и передатчиком.

\[x_r = 30.0~см,\quad \sigma_x=0.05~см\]

Таблица 1. Результаты измерений

\(N\)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
\(x_t,~см\)	28.0	26.5	25.2	23.8	22.5	21.1	19.7	18.4	17.1	15.7	14.5
\(r,~см\)	2.0	3.5	4.8	6.2	7.5	8.9	10.3	11.6	12.2	14.3	15.5

Построим график зависимости расстояния \(r\) от номера измерения \(N\) (рис. 5).

Рис. 5. График зависимости \(l(N)\)

Угловой коэффициент графика \(l(N)\) равен длине акустической волны.

Угловой коэффициент графика: \(\lambda=1.35~см\).

Скорость распространения волны: \(v=\lambda \cdot f_{0}=340.9~м/с\).

Ответ:

\[v=340.9~м/с\]

C1. Представление сигнала прямоугольной формы в виде ряда Фурье

Для прямоугольных импульсов преобразование в ряд Фурье имеет следующий вид:

\[\bar{U}(t)=U \frac{a}{\pi} \sum_{p=1}^{\infty}\frac{\sin p \omega t}{p}, \quad p=1,3,5, \ldots\]\(a\) – некоторое целое число, которое требуется найти в этом упражнении. Пусть \(U_{r}\) – удвоенная амплитуда (<>) напряжения на приёмнике, \(U_{t}\) – удвоенная амплитуда напряжения на передатчике. Учитывая коэффициент передачи \(k\) и используя новые обозначения, запишем формулу представления сигнала в виде ряда для измеряемых напряжений:

\[U_{r}=\frac{a k}{\pi p} \cdot U_{t} \qquad(3)\]Пусть

\[h=\frac{U_{t}}{p}\]Величину \(a\) можно найти, определив угловой коэффициент \(\eta\) графика зависимости \(U_{r}(h)\):

\[\eta=\frac{a k}{\pi}\]Проведём измерение коэффициента передачи:\[U_{in}=(21.8 \pm 0.2)~В,\quad U_{out}=(22.8 \pm 0.2)~В\implies\]

Ответ:

\[1.05 \pm 0.02\]

C2. Проведём измерение зависимости величин \(U_{r}\) от \(U_{t}\) (табл. 2). Для каждого \(p\) вычислим соответствующее значение \(h\).

Таблица 2. Результаты измерений

\(p\)	\(f/p,~кГц\)	\(U_t,~В\)	\(U_r,~В\)	\(h,~В\)
1	25.250	21.6	26	21.60
3	8.417	21.6	9.6	7.20
5	5.050	21.6	5.48	4.32
7	3.607	21.6	4.24	3.09
9	2.806	21.6	3.44	2.40
11	2.295	21.6	2.64	1.96
13	1.942	21.6	2.28	1.66
15	1.683	21.6	2.16	1.44
17	1.485	21.6	1.76	1.27

C3. Построим график зависимости \(U_{r}(h)\) (рис. 6).

Из графика \(\eta=1.19\).

Рис. 6. График зависимости \(U_{r}(h)\).

Ответ:

\[a=3.55 \approx 4\]

D1. Для треугольных импульсов преобразование в ряд Фурье имеет следующий вид: \[\hat{U}(t)=U \frac{b}{\pi^{2}} \sum_{l=1}^{\infty}(-1)^{\frac{l-1}{2}}\left(\frac{\sin l \omega t}{l^{d}}\right), \quad l=1,3,5 \ldots\]\(b\), \(d\) – некоторые целые числа, которое требуется найти в этом упражнении.

Пусть \(U_{r}\) – удвоенная амплитуда («peak-to-peak») напряжения на приёмнике, \(U_{t}\) – удвоенная амплитуда напряжения на передатчике. Учитывая коэффициент передачи \(k\) и используя новые обозначения, запишем формулу представления сигнала в виде ряда для измеряемых напряжений: \[U_{r}=k \frac{b}{\pi^{2}} \cdot U_{t} \cdot l^{-d} \qquad(4)\] Поделим обе части уравнения на \(U_{t}\) : \[\frac{U_{r}}{U_{t}}=k \frac{b}{\pi^{2}} \cdot l^{-d}\] Сделаем замену: \[m=\frac{U_{r}}{U_{t}}, \quad \mu=k \frac{b}{\pi^{2}}\] Тогда \[m=\mu \cdot l^{-d}\] Проведём линеаризацию: \[\ln m=\ln \mu-d \ln l \qquad(5)\] Проведём измерение зависимости величин \(U_{r}\) от \(U_{t}\) (табл. 3).

Таблица 3. Результаты измерений и вычислений

\(l\)	\(f/l,~кГц\)	\(U_t,~В\)	\(U_r,~В\)	\(m\)	\(\ln m\)	\(\ln l\)
1	25.25	20.2	16	0.7921	-0.23	0
3	8.417	20.2	1.96	0.0970	-2.33	1.10
5	5.050	20.2	0.7	0.0347	-3.36	1.61
7	3.607	20.2	0.368	0.0182	-4.01	1.95
9	2.806	20.2	0.23	0.0114	-4.48	2.20
11	2.295	20.2	0.12	0.0059	-5.13	2.40
13	1.942	20.2	0.09	0.0045	-5.41	2.56
15	1.683	20.2	0.078	0.0039	-5.56	2.71
17	1.485	20.2	0.045	0.0022	-6.11	2.83

D2. Величины \(d\) и \(\mu\) можно определить из графика зависимости \(\ln m(\ln l)\).

Построим график зависимости \(\ln m(\ln l)\) (рис. 7).

Рис. 7. График зависимости \(\ln m(\ln l)\)

Из графика \(d=2.06 \approx 2\), \(\ln \mu=-0.136\),\[b=e^{\ln \mu} \cdot \frac{\pi^{2}}{k}=8.23 \approx 8.\]

Ответ:

\[b=8.23\approx8\]

Источник: pho.rs/p/3779.

В задаче требуется оценка погрешностей!

Теоретическая справка

Конденсатор – элемент электрической цепи, способный накапливать заряд. Обозначение конденсатора в схемах показано на рисунке 1.

Рис. 1. Обозначение конденсатора на схемах электрических цепей

Наиболее простая модель конденсатора подразумевает две близко находящихся металлических пластины (обкладки). При подключении его к батареи возникнет электрический ток, который заряжает одну обкладку положительным зарядом, а другую – равным по модулю отрицательным. Напряжение на конденсаторе \(U\) связано с накопленным им зарядом \(q\) (модулем заряда на любой из обкладок) простым соотношением: \[U=\frac{q}{C} \qquad(1)\] где \(C\) – емкость конденсатора (его основная характеристика, измеряемая в фарадах \([Ф]=\left[{Кл}/ {В}\right]\))

Используемый в задаче конденсатор требует соблюдения полярности при подключении. При зарядке конденсатора его «плюс»» необходимо подключать к плюсу батарейки, а «минус» – к «минусу». На контактах батарейки есть соответствующие изображения. Короткий контакт конденсатора соответствует его минусу, а длинный – плюсу.

При ошибке в полярности подключения конденсатор будет работать в нештатном режиме, вплоть до выхода из строя. Поэтому будьте внимательны и соблюдайте правило подключения.

В задаче может быть использован раствор поваренной соли. В воде \(\mathrm{NaCl}\) распадается на положительный \(\mathrm{Na}^{+}\) и отрицательный \(\mathrm{Cl}^{-}\) ионы. При протекании электрического тока через раствор на электродах (электрических контактах, погруженных в раствор) происходят химические реакции. На катоде (отрицательном электроде): \[2 \mathrm{Na}^{+}+2 \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}+2 e^{-}=2\mathrm{NaOH}+\mathrm{H}_{2} \uparrow, \qquad(2)\] где \(e^{-}\) – электрон, принесенный на катод электрическим током. На аноде (положительном электроде): \[2\mathrm{Cl}^{-}-2 e^{-}=\mathrm{Cl}_{2} \qquad(3)\] \(\mathrm{NaOH}\) и \(\mathrm{Cl}_{2}\) – вещества, которые сразу после реакции быстро растворяются в воде.

A1. Определите емкость выданного вам конденсатора.

Примечание.

\[N_{A}=6.02 \cdot 10^{23}~моль^{-1}, \quad e=1.60 \cdot 10^{-19}~Кл,\]где \(N_{A}\) – число Авогадро, \(e\) – заряд электрона. Считайте, что атмосферное давление \(P_{0}=10^{5}~Па\), температура в аудитории \(T_{0}=20^{\circ}\mathrm{C}\).

Оборудование

1. Шприц \(1~мл\)

2. Ножницы

3. Конденсатор неизвестной емкости

4. Провод (концы провода можно зачистить ножницами)

5. Соединительные провода с зажимами «крокодил»

6. Соль

7. Вода

8. Мензурка

9. Штатив

10. Салфетки для поддержания рабочего места в чистоте

11. Две батарейки «крона» (напряжение батареек можно узнать у дежурного)

▶РешениеСкрыть

Решение

A1. Для определения емкости конденсатора необходимо знать, какой заряд накоплен на конденсаторе. В этом поможет реакция выделения водорода при электролизе раствора \(\mathrm{NaCl}\) на отрицательном электроде. Соберем установку изображенную на рисунке 2.

Рис. 2. Установка для измерения заряда конденсатора

Зарядим конденсатор от пары батареек, а затем разрядим его через электроды, помещённые в раствор. Количество водорода, выделяемое на аноде, пропорционально заряду протекшему через раствор \(\mathrm{NaCl}\). Температура выделившегося водорода составляет примерно \(25^{\circ} \mathrm{C}\), давление практически равно атмосферному (гидростатический столб слишком мал). Количество молекул водорода, выделившееся на аноде, легко посчитать из отношения объема водорода к объему одного моля идеального газа при этих условиях \(V_0=24.4 \pm 0.5~л\). Мольные соотношения в реакции электролиза дают отношение количества молекул водорода к количеству электронов равное \(0.5\) . Количество электронов можно легко пересчитать в заряд конденсатора, что в с использованием напряжения зарядки конденсатора позволяет рассчитать емкость конденсатора:

\[C=\frac{2 v e N_{A}}{U V_{0}} \qquad(4)\]где \(v\) – объем водорода, выделившийся при однократной разрядке конденсатора, \(e-\) модуль заряда электрона, \(U=18.3~В\) – напряжение батареек, \(N_A\) – число Авогадро. (Таким образом, для вычисления ёмкости \(C\) в эксперименте мы должны определить объём \(v\). Измерим зависимость объема газа внутри шприца \(V\) от количества \(N\) актов разрядки конденсатора.

\(N\)	\(V,~мл\)		\(N\)	\(V,~мл\)		\(N\)	\(V,~мл\)
1	0.14		12	0.40		23	0.69
2	0.16		23	0.43		24	0.72
3	0.19		14	0.46		25	0.74
4	0.21		15	0.48		26	0.78
5	0.24		16	0.52		27	0.80
6	0.26		17	0.54		28	0.82
7	0.29		18	0.56		29	0.86
8	0.31		19	0.60		30	0.88
9	0.34		20	0.61		31	0.92
10	0.36		21	0.64		32	0.93
11	0.38		22	0.67		33	0.96

Построим график измеренной зависимости. Определив угловой коэффициент, рассчитаем емкость конденсатора:

\[v=(2.574 \pm 0.013) \cdot 10^{-2}~мл\]

Ответ:

\[C=11.1 \pm 0.2~ мФ\]

График зависимости \(V\) от \(N\)

Источник: pho.rs/p/4188.

В задаче требуется оценка погрешностей!

Введение

В оптике дифракция — явление, которое проявляет себя как отклонения в поведении светового излучения от законов геометрической оптики. Это возможно благодаря волновым свойствам света. Дифракция неразрывно связана с явлением интерференции. Интерференция – сложение волн, которое приводит к перераспределению энергии излучения в пространстве. В результате можно наблюдать на экранах темные и светлые участки. Это возможно только при условии равенства длин этих волн. Дифракционная решётка (ДР) – оптический элемент, состоящий из совокупности расположенных на плоской поверхности параллельных прозрачных щелей одинаковой ширины \(b\), разделенных непрозрачными участками ширины \(a\). Сумму ширин прозрачного и непрозрачного участков называют периодом решетки \(d\).

Рис. 1. Структура ДР

Именно периодическая структура обуславливает основные функциональные свойства ДР, главное из которых – отклонение падающего на нее луча света на разные углы в зависимости от длины волны излучения.

Рассмотрим принцип действия ДР. В своем рассмотрении мы будем основываться на принципе Гюйгенса-Френеля, смысл которого состоит в следующих положениях:

1. При распространении электромагнитной (световой) волны каждая точка волнового фронта является источником вторичной сферической волны. (Волновой фронт множество точек, в которых электромагнитное поле колеблется в одинаковой фазе).

2. Результат совместного действия всех вторичных источников можно определить как сумму гармонических колебаний вида \(A_{i} \cdot \cos \left(\omega t+\varphi_{i}\right.\) ), (где \(A_{i}\) – амплитуда световой волны источника с номером \(i, \omega\) – частота колебаний, \(t\) – время, \(\varphi_{i}\) – некоторая начальная фаза колебаний), или, другими словами, как интерференцию в данной точке пространства волн от всех элементарных источников с поверхности волнового фронта.

Рис. 2. Распространение излучения от вторичных источников

Для понимания интерференции определим в точке \(O\) амплитуду электромагнитного поля, создаваемого двумя монохроматическими волнами (т.е. волнами одной длины) от двух точечных источников \(A\) и \(B\) (такие источники называют когерентными).

Рис. 3. Интерференция

Пусть каждый источник создает поле, напряжённость которого меняется со временем по гармоническому закону с одинаковой начальной фазой (источники синфазны). В точке \(O\) эти источники создают поля, меняющиеся по законам \(A_{1} \cos (\omega t)\) и \(A_{2} \cos (\omega t+\Delta \phi)\) соответственно. Результат их интерференции будет зависеть прежде всего от того, с какой разностью фаз \(\Delta \phi\) приходят эти две волны. Если расстояния \(R_{1}\) и \(R_{2}\) равны, или их разность равна целому числу длин волн, то волны от источников придут в \(O\) в одной фазе. Амплитуда суммарного колебания \(A=A_{1}+A_{2}\). Если же разность расстояний \(R_{1}\) и \(R_{2}\) окажется равна нечетному числу длин полуволн, разность фаз составит \(\pi\). В этом случае амплитуда суммарного колебания будет равна \(A_{1}+\left(-A_{2}\right)\). В случае равенства по модулю величин \(A_{1}\) и \(A_{2}\) результирующая амплитуда поля в точке \(O\) окажется нулевой.

Пусть на ДР падает световая волна с плоским фронтом (волновой фронт образует плоскость). Длина волны равна \(\lambda\). Для простоты мы рассмотрим ДР, у которой всего 2 щели.

Рис. 4. Взаимодействие света с ДР

Если плоскость ДР параллельна фронту волны, излучение дойдёт до щелей решётки с одинаковой фазой. Щели решётки окажутся синфазными источниками вторичных волн, которые распространяются во всех направлениях и будут участвовать в интерференции.

Рассмотрим волны, отклоняющиеся от исходного направления на угол \(\varphi\) (угол дифракции). Тонкая линза соберет соответствующие лучи в одной точке. Фазы колебаний от разных щелей будут различны, поскольку разность хода лучей, пришедших от соседних щелей, как нетрудно заметить из простой геометрии, составит величину \(d \sin \varphi\). В том случае, если \(d \sin \varphi\) окажется кратным \(\lambda\), то в этом направлении мы получим максимум поля светового излучения. Если же \(d \sin \varphi\) окажется равным нечетному числу \(\lambda / 2\), то в этом направлении результирующая амплитуда поля достигнет своего минимума.

Направление лучей, соответствующее максимуму, определяется формулой: \[d \sin \varphi=n \lambda\] \(n\) – целое число (так называемый «порядок дифракции»). Наиболее ярким является максимум нулевого порядка (соответствующий нулевому углу дифракции).

Таким образом, если на пути монохроматического светового пучка после ДР установить экран, мы увидим на нём не одно световое пятно (как того следовало ожидать в соответствии с геометрической оптикой), а несколько пятен. Форма и размеры световых пятен на экране будут обусловлены формой и протяжённостью светового источника, формирующего световой пучок. У больших по размеру источников пятна могут даже перекрываться, и картина «смазывается». Протяжённость источника можно искусственно изменять, устанавливая на пути излучения диафрагму, которая будет определять ширину пучка, падающего на ДР.

Источники оптического излучения, которые чаще всего встречаются в быту, излучают световые волны с разными длинами волн. Набор длин волн, которые испускаются источником, называют его спектром. Например, на рис. 5 приведен спектр лампы накаливания.

Рис. 5. Спектр лампы накаливания, видимый глазом

Спектральная плотность излучения – функция, описывающая распределение мощности излучения в зависимости от длины волны. Как физическая величина спектральная плотность излучения определяет мощность, приходящуюся на единичный интервал длин волн. На рис. 6 изображён график зависимости спектральной плотности излучения лампы накаливания от длины волны.

Рис. 6. График зависимости спектральной плотности излучения лампы накаливания от длины волны

Лазер – источник с очень узким спектром, то есть его можно считать монохроматическим. Волновой фронт лазерного пучка можно считать плоским. Этот факт делает лазер уникальным оптическим прибором. Любая хорошая линза фокусирует этот пучок практически в точку, и поэтому лазерное излучение опасно для глаз даже при небольшой мощности лазера.

Экспериментальная часть A. Изучение дифракционной решётки

Рис. 7. Экспериментальная установка

В этом упражнении требуется с максимальной точностью измерить период имеющейся в вашем распоряжении дифракционной решётки. Для проведения измерений требуется собрать экспериментальную установку, схематично изображённую на рис. 7.

Луч лазера падает на дифракционную решётку по нормали. На экране будут видны световые пятна, соответствующие различным порядкам дифракции.

Старайтесь не прикасаться чем-либо к рабочей поверхности дифракционной решетки. Разрешается брать ее в руки за пластиковый корпус.

Запрещается направлять лазерное излучение в глаза себе или другим людям! Это опасно!

Прежде всего изготовьте экран. Для этого с помощью двух скрепок прикрепите лист миллиметровой бумаги к листу картона. Используя канцелярские зажимы, сделайте ножки, позволяющие экрану стоять на поверхности стола в вертикальном положении.

В лапку штатива установите лазер.

Используя два других канцелярских зажима, на поверхность стола в вертикальном положении установите дифракционную решётку.

Расположите элементы установки в соответствии с рис. 7. Так как в нашей установке расстояние от решетки до экрана \(L \gg d\), то дифракционная картина будет наблюдаться и без линзы.

A1. Определите значения \(\sin \varphi\), соответствующие \(1\)-му и \((-1)\)-му порядкам дифракции \((n= \pm 1)\) при длине волны \(\lambda\).

A2. Вычислите величину \(d\), оцените погрешность.

Указание: Длина волны светового излучения лазера \(\lambda=650~нм\).

Оборудование

1. Лазерная указка

2. Штатив с лапкой

3. Дифракционная решётка

4. Линейка

5. Лист картона

6. Четыре канцелярских зажима

7. Лист миллиметровой бумаги

8. Две скрепки

B. Спектр газоразрядной лампы

Газоразрядная лампа – источник света, обладающий линейчатым спектром. В отличие от лампы накаливания, спектр которой сплошной, спектр газоразрядной лампы включает в себя отдельные длины волн. Такие спектры характерны для излучения газов. Например, на рис. 8 для примера представлен спектр излучения газообразного гелия.

Рис. 8. Спектр гелия

B1. В установке из предыдущего упражнения вместо лазера используйте газоразрядную лампу. Включите лампу. Изучите световую картину на экране. Ответьте на вопрос: почему на экране не удаётся получить чёткую дифракционную картину в виде отдельных пятен?

ВНИМАНИЕ! В лампе содержатся пары ртути. Будьте осторожнее, не разбейте еe!

B2. Придумайте и изготовьте устройство, позволяющее устранить эффекты, мешающие наблюдению отдельных максимумов. Используйте картон, скрепки и канцелярские зажимы. Опишите это устройство в своём отчёте.

B3. Меры, которые приходится применять, чтобы устранить вышеописанный эффект, приводят к тому, что интенсивность светового излучения, падающего на экран, крайне мала. Поэтому изучать дифракционную картину, создаваемую на экране, с достаточным для выполнения данного упражнения разрешением оказывается невозможно. Модифицируйте экспериментальную установку так, чтобы она позволяла увидеть дифракционную картину и измерить длины волн, входящих в спектр лампы. Опишите установку в своём отчёте.

B4. Рассмотрите полученную дифракционную картину. Визуально на ней можно различить по цветам отдельные группы полос (в каждой группе присутствуют по 1-2 ярко выраженных чётких полосы).

Зарисуйте видимый спектр лампы. На рисунке введите обозначения для как минимум 4 -х полос разных цветов ( \(\lambda_{1}, \lambda_{2}\) и т.д.).

B5. Определите длины волн обозначенных полос. Оцените погрешности.

Оборудование

1. Газоразрядная лампа с гнездом для включения в сеть питания

2. Два листа картона

3. Четыре канцелярских зажима

4. Две скрепки

5. Дифракционная решётка

6. Линейка

7. Лист миллиметровой бумаги

8. Ножницы

C. Спектр светодиода

C1. Соберите установку, позволяющую увидеть спектр излучения светодиода. Светодиод очень яркий, поэтому рекомендуется использовать диафрагму для уменьшения интенсивности его излучения. Телескопическую насадку светодиодного фонарика следует максимально вдвинуть в корпус фонарика.

C2. Что можно сказать о видимом спектре излучения светодиода? Качественно изобразите график зависимости спектральной плотности излучения от длины волны.

C3. Проведя необходимые измерения, определите длины волн, интенсивность излучения светодиода на которых несет характер локального максимума или минимума спектра (в том числе на краях видимой области). Оцените погрешности измерений.

Оборудование

1. Светодиодный фонарик

2. Штатив с лапкой

3. Два листа картона

4. Четыре канцелярских зажима

5. Две скрепки

6. Дифракционная решётка

7. Линейка

8. Лист миллиметровой бумаги

▶РешениеСкрыть

Решение

A1. Соберём установку, позволяющую определить \(\sin \varphi\), соответствующий \(1\)-му порядку дифракции \((n= \pm 1)\) при длине волны \(\lambda\). Схема экспериментальной установки изображена на рисунке 9.

Рис. 9. Экспериментальная установка

\[\sin \varphi=\frac{y}{\sqrt{y^{2}+l^{2}}},\quad d=\frac{\lambda}{\sin \varphi}\] Контрольные измерения дали следующие результаты: \(l=327 \pm 1~мм\), \(y_1=276 \pm 1~мм\), \(y_{-1}=280 \pm 1~мм\). Результаты вычислений:

Ответ:

\[\sin \varphi_1=0.645 \pm 0.008~мм,\quad \sin \varphi_{-1}=0.650 \pm 0.008~мм\]

A2. Ответ:

\[d=1.00 \pm 0.01~мкм\]

B1. Форма и размеры световых пятен на экране будут обусловлены формой и протяжённостью светового источника, формирующего световой пучок.

B2. Протяжённость источника можно регулировать, устанавливая на пути излучения диафрагму, которая будет определять ширину пучка, падающего на ДР. Из листа картона изготавливается диафрагма. Для этого в листе картона прорезается тонкая щель (шириной не более \(1.5~мм\)). С помощью канцелярских зажимов лист картона устанавливается на поверхность стола вертикально. При этом щель должна быть расположена вертикально.

B3. Для получения спектра газоразрядной лампы требуется собрать установку, изображённую на рисунке 10.

Рис. 10. Экспериментальная установка

Видимые линии спектра будут соответствовать \(1\)-му порядку дифракции. Для измерения длины волны соответствующей полосы спектра измеряется координата полосы \(x\) (рис. 11, начало координат – середина щели диафрагмы), а также расстояние \(s\) (все расстояния измеряются с помощью линейки).

Ответ:

Рис. 11. Измеряемые расстояния

B4. «Табличный» спектр ртути с указанием длин волн основных линий схематично изображён на рисунке 12.

Ответ:

Рис. 12. Линии спектра ртути

B5. Длину волны можно рассчитать по формуле: \[\lambda=d \frac{x}{\sqrt{s^{2}+x^{2}}}\] Результаты контрольных измерений и вычислений приведены в таблице 1. \[s=250\pm 1~мм,\quad \sigma_x=2~мм\]

Ответ:

Таблица 1. Результаты измерений

Участок	\(x,~мм\)	\(\sin \varphi\)	\(\lambda,~нм\)	\(\sigma_{\lambda},~нм\)
красный	226	0.671	670	11
оранжевый	200	0.625	625	11
оранжевый	190	0.605	605	11
жёлтый	176	0.576	576	11
зелёный	163	0.546	546	11
голубой	142	0.494	439	11
синий	122	0.439	444	11
фиолетовый	112	0.409	409	11

C1. Для изучения спектра светодиода используется установка из предыдущего упражнения (ртутная лампа заменяется на светодиод).

C2. «Табличный» график спектральной плотности излучения белого светодиода с обозначением измеряемых в эксперименте длин волн изображён на рисунке 13.

Ответ:

Рис. 13. График зависимости спектральной плотности белого светодиода от длины волны

C3. Результаты контрольных измерений и вычислений приведены в таблице 2. \[s=278\pm 1~мм,\quad \sigma_x=2~мм\]

Ответ:

Таблица 2. Результаты измерений

	\(x,~мм\)	\(\sin \varphi\)	\(\lambda,~нм\)	\(\sigma_{\lambda},~нм\)
\(\lambda_1\)	118	0.391	430	20
\(\lambda_2\)	133	0.432	460	15
\(\lambda_3\)	144	0.460	490	20
\(\lambda_4\)	170	0.522	560	30
\(\lambda_5\)	246	0.663	680	40

Источник: pho.rs/p/4195.

В этой задаче требуется оценка погрешностей!

Если на растянутую пружину действовать периодической силой в направлении перпендикулярном ее растяжению, то в ней возникнут колебания. На определенных частотах амплитуда колебаний пружины будет большой. Такие частоты называются резонансными. В зависимости от резонансной частоты может установиться разный профиль распределения амплитуд вдоль пружины. На самой малой резонансной частоте колебаний установится профиль колебаний, изображенный на рисунке 1. В дальнейшем под периодом колебаний пружины будет подразумеваться величина обратная наименьшей резонансной частоте колебаний. Для получения таких колебаний растяните пружину, с небольшой амплитудой двигайте один конец пружины периодически в направлении перпендикулярном растяжению, подбирая частоту колебаний так, чтобы установилась максимальная амплитуда колебаний, с профилем амплитуды, показанном на рисунке 1.

Рис. 1. Колебания пружины на наименьшей резонансной частоте

Теоретически период колебаний пружины на первой резонансной частоте зависит от параметров пружины и ее растяжения по закону:

\[T \sim l^{a} N^{b} m^{c} \qquad(1)\]где \(l\) – длина пружины, \(N\) – число витков в пружине, \(m\) – масса одного витка пружины, \(a, b, c\) – целые или дробные степени.

A1. Закрепите один конец пружины на столе или стуле. Растяните 30 витков пружины в вертикальном положении. Снимите зависимость периода колебаний пружины от длины пружины, при неизменном количестве витков в ней. То есть для изменения длины пружины, измените ее силу натяжения. Сделайте вывод об измеренной зависимости. Определите степень \(a\).

A2. Снимите зависимость периода колебаний пружины от количества витков в ней. Предложите координаты графика измеренной зависимости, в которых экспериментальные точки будут ложиться на прямую. Определите степень \(b\). Постройте линеаризированный график, полученной зависимости, определите его угловой коэффициент.

A3. Определите степень \(c\) в зависимости \((1)\). Опишите использованный вами метод.

Оборудование

1. Весы

2. Пружинка «слинки»

3. Силиконовая трубочка с разрезом

4. Секундомер

5. Канцелярский зажим

6. Линейка

7. Мерная лента

8. Стакан \(0.5~л\)

▶РешениеСкрыть

Решение

A1. Измерим 50 периодов колебаний для трех разных длин пружины. Заметим, что период не зависит от длины пружины. Делаем вывод, что степень \(a=0\).

Малое удлинение	Среднее удлинение	Большое удлинение
\(27.16~с\)	\(26.57~с\)	\(26.94~с\)

Ответ:

\[a=0\]

A2. Измерим зависимость периода колебаний от количества витков в пружине.

Ответ:

\(N\)		\(50\cdot T,~с\)		\(T,~с\)
20		7.4		0.37
25		11.3		0.45
30		15.9		0.53
35		22.1		0.63
40		28.8		0.72

Ответ:

Построим график зависимости \(T(N)\). График хорошо аппроксимируется прямой. Следовательно, \(b=1\). Определим угловой коэффициент графика.\[A_{1}=(1.76 \pm 0.06) \cdot 10^{-2}~с \qquad(2)\]

Ответ:

График зависимости \(T\) от \(N\)

Ответ:

\[A_{1}=(1.76 \pm 0.06) \cdot 10^{-2}~с\]

A3. Измерим массу силиконовой трубки: \[m_{0}=(93.79 \pm 0.03)~г \qquad(3)\] Количество витков в пружине \(N=40\). Масса всей пружины \(M=(41.96 \pm 0.03)~г\). Таким образом, масса одного витка пружины: \[m=(1.023 \pm 0.001)~г \qquad(4)\] Наденем силиконовую трубку на пружину. Ее длины хватает на 10 витков пружины. Масса десяти витков пружины \(10m=(10.23 \pm 0.01)~г\). Вместе с силиконом масса этих \(10 m+m_{0}=(104.2 \pm 0.04)~г\). Таким образом, масса одного витка пружины увеличилась в \(1+{m_{0}}/{10 m}=10.18 \pm 0.01\).

Измерим время 50 периодов колебаний 10 витков пружины с надетой силиконовой трубкой \(50 T^{\prime}=26.2 \pm 0.3\) с. И определим время 50 колебаний 10 витков пружины по графику зависимости периода колебаний от количества витков в пружине (непосредственное измерение затруднительно, так как период колебания слишком мал) \(50 T^{\prime}=9.4 \pm 0.3\). Отношение периодов колебаний тогда составит \({T^{\prime}}/{T}=2.79 \pm 0.15\). Наиболее близкая целая степень, в которую необходимо возвести отношение периодов, чтобы получить отношение масс витков пружины с трубочкой и без равна \(2\).

Таким образом, степень \(c=0.5\).

Ответ:

\[c=0.5\]

Источник: pho.rs/p/4189.

Источник: Олимпиада по экспериментальной физике (IEPhO) 2018, 11 класс — условия. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.