зад 1 Нелинейная пружина
В задаче требуется оценка погрешностей!
Давление \(P\) внутри замкнутого объема газа зависит от объема газа \(V\). Зависимость можно описать функцией:
\[\frac{P}{P_{0}}=\left(\frac{V}{V_{0}}\right)^{n} \qquad(1)\]где \(P_{0}\) и \(V_{0}\) – давление и объем газа в некоторый момент времени.
A1. Рассчитайте как можно точнее площадь внутреннего сечения шприца.
A2. Рассчитайте полный объем шприца (с учетом части вне делений, ближе к месту вставки поршня).
A3. Включите весы. Поставьте на них шприц. Нажимайте на шприц таким образом, чтобы поршень двигался относительно шприца как можно медленнее. По показаниям весов оцените силу трения, действующую на поршень шприца при таком движении. Оцените погрешность.
A4. Полностью выньте поршень из шприца. Заткните носик шприца вторым поршнем. Вставьте первый поршень в шприц. Установите его аналогично пункту A3. Нажимая на шприц, измерьте зависимость показаний весов от внутреннего объема газа (см. рисунок 1).
Рис. 1. Измерение давления внутри шприца
A5. При помощи данных, полученных в пункте A4, рассчитайте величины \({P}/{P_{0}}\) и \({V}/{V_{0}}\), где \(P_{0}\) – атмосферное давление воздуха, равное \(100~кПа\), \(V_{0}\) – полный объем шприца, а величины \(P\), \(V\) – текущие значения давления и объема, соответственно. Хорошо подумайте, куда направлена сила трения, действующая на поршень, во время измерений в пункте A4.
A6. Используя результаты пункта A5, определите степень \(n\) в уравнении A1.
A7. Постройте график зависимости, полученной в пункте A5, в таких координатах, чтобы график зависимости получился линейным. Найдите её угловой коэффициент.
Оборудование
Шприц (\(1~мл\))
Весы
Поршень от шприца (\(1~мл\))
Линейка
▶ОтветСкрыть
A1: \[S=0.169~см^2\]; A2: \[V_{0}=1.32~мл\]; A3: \[F_{тр}=1.1 \pm 0.1~Н\]; A5: \[\frac{P}{P_{0}}=\frac{P_{0} S+m g \pm F_{тр}}{P_{0} S}\]; A6: \[n=-1\]; A7: \[A=0.98 \pm 0.01\]
▶РешениеСкрыть
A1. Отмеченная делениями часть шприца соответствует объему \(V=1~мл\). Длина заполненной части шприца при этом \(l=5.9~см\). Таким образом, площадь внутреннего сечения шприца составит:\[S=\frac{V}{l}=0.169~см^2 \qquad(2)\]
Ответ:
\[S=0.169~см^2\]
A2. Длина внутренней части вне объемной шкалы шприца составляет \(l_{1}=1.9~см\). С помощью пропорции найдем общий объем внутренней части шприца:\[V_{0}=V\left(1+\frac{l_{1}}{l}\right)=1.32~мл \qquad(3)\]
Ответ:
\[V_{0}=1.32~мл\]
A3. Оценим силу трения, действующую на поршень шприца, при его движении внутри шприца способом, указанным в условии. Получим, что значения весов меняются в пределе \(100 - 120~г\), таким образом сила трения составит:\[F_{тр}=1.1 \pm 0.1~Н \qquad(4)\]
Ответ:
\[F_{тр}=1.1 \pm 0.1~Н\]
A4. Снимем показания весов от внутреннего объема шприца.
Ответ:
| \(V,~мл\) | \(m,~г\) | \({V}/{V_0}\) | \({P}/{P_0}\) | \({V_0}/{V}\) |
| 1.00 | 149 | 0.76 | 1.21 | 1.32 |
| 0.90 | 175 | 0.68 | 1.36 | 1.47 |
| 0.80 | 214 | 0.61 | 1.59 | 1.65 |
| 0.70 | 259 | 0.53 | 1.85 | 1.89 |
| 0.60 | 314 | 0.45 | 2.17 | 2.20 |
| 0.50 | 388 | 0.38 | 2.60 | 2.64 |
| 0.40 | 500 | 0.30 | 3.25 | 3.30 |
| 0.30 | 660 | 0.23 | 4.18 | 4.40 |
| 0.20 | 1050 | 0.15 | 6.44 | 6.60 |
A5. Для расчета дополнительного по отношению к атмосферному давления внутри шприца необходимо рассчитать отношение силы, действующей на поршень со стороны воздуха внутри шприца, на его площадь. Различные методы измерения показаний весов соответствуют разным направлениям силы трения, действующей на поршень. В том случае, если показания весов снимаются при непосредственном движении части вниз, сила трения, действующая на поршень, будет направленна вниз. При движении резервуарной части в противоположную сторону, сила трения, действующая на поршень, поменяет свое направление. Если же положение поршня фиксируется на время измерений, то сила трения скольжения сменяется силой трения покоя. В этом случае сила трения может принимать значения от нулевого до максимального, измеренного в пункте A3, а также может менять направление. В свою очередь, сила действующая со стороны весов на поршень может быть рассчитана из показаний весов умножением их на ускорение свободного падения. Начальное давление внутри поршня равно атмосферному давлению \(P_{0}=10^{5}~Па\). Таким образом, отношение давления внутри шприца к начальному давлению воздуха в нем можно рассчитать как:\[\frac{P}{P_{0}}=\frac{P_{0} S+m g \pm F_{тр}}{P_{0} S} \qquad(5)\]
Ответ:
\[\frac{P}{P_{0}}=\frac{P_{0} S+m g \pm F_{тр}}{P_{0} S}\]
Знак перед силой трения выбирается в соответствии с выбранным способом измерений. Авторский способ измерения точек соответствует движению резервуарной части вниз. Расчет отношения объема воздуха в шприце к начальному объему проводится тривиально на основе результатов пункта A2.
A6. Легко заметить, что при уменьшении объема в шприце в два раза давление в шприце возрастает также примерно вдвое. Таким образом находим степень:
Ответ:
\[n=-1\]
A7. Построим график зависимости \(\dfrac{P}{P_{0}}\left(\dfrac{V_{0}}{V}\right)\) и найдем угловой коэффициент.\[A=0.98 \pm 0.01 \qquad(6)\]
Ответ:
\[A=0.98 \pm 0.01\]
Ответ:
График зависимости \({P}/{P_{0}}\) от \({V_{0}}/{V}\)
Источник: pho.rs/p/4166.
зад 2 Парафин
Погрешности в задаче оценивать не требуется!
Математическое введение
В физике часто приходится иметь дело с процессами, в которых скорость изменения некоторой величины не является постоянной, а зависит от ее текущего значения. То есть для величины \(a\), зависящей от времени \(t\) имеем: \[\frac{\Delta a}{\Delta t}=f(a) \qquad(1)\] Нас интересует наиболее простой случай, когда функция \(f(a)\) – линейная. То есть: \[\frac{\Delta a}{\Delta t}=\frac{a}{\tau} \qquad(2)\] где \(\tau\) – постоянный коэффициент размерности времени.
Из решения уравнения \((2)\) можно выразить время: \[t=\tau \ln \left(\frac{a}{a_{0}}\right) \qquad(3)\] \(y=\ln (x)\) – логарифмическая функция. Ее значения в разных точках вы можете получить, воспользовавшись калькулятором. \(a_{0}\) – некоторая постоянная той же размерности что и \(a\), физический смысл которой – значение \(a\) в момент времени \(t=0\). (Чтобы в этом убедиться, проверьте, что \(\ln (1)=0\)).
При остывании различных тел в воздухе можно считать, что мощность тепловых потерь пропорциональна текущей разности температур нагретого тела и воздуха: \[N=-\alpha\left(T-T_{0}\right) \qquad(4)\] где \(T_{0}\) – комнатная температура, \(\alpha\) – некоторый коэффициент.
A1. Снимите зависимость \(T(t)\) температуры от времени при остывании выданного вам расплавленного парафина. Опишите в работе видимые изменения, происходящие с парафином по мере его остывания. Укажите температуру(-ы), при которых они происходят.
A2. Определите, в каком диапазоне температур можно считать отношение \(C / \alpha\) постоянным, где \(C\) – теплоемкость парафина (полная, а не удельная).
A3. Вычислите \(C / \alpha\) на каждом из таких участков.
A4. На полученном графике есть участок, на котором температура парафина почти не падает (за счет плохой теплопроводности она даже растет). Он соответствует затвердеванию парафина. Определите температуру кристаллизации и отношение \(q / \alpha\), где \(q\) – теплота кристаллизации парафина, считая что в процессе кристаллизации \(\alpha\) не меняется.
Примечания
«Рабочим» является только кончик термометра, достаточно погрузить его в парафин для проведения измерений.
Термометр после нескольких минут бездействия выключается. Чтобы этого не произошло можно переключать единицы измерения.(Не забывайте следить за тем, в каких именно единицах проводите измерения!)
Не изменяйте положение термометра в процессе измерений.
Кончик термометра должен быть полностью погружен в парафин и не должен касаться стенок сосуда.
Измерения довольно продолжительные, планируйте свое время
Расплавленный парафин требуйте у жюри. Время ожидания составляет не менее \(3\) минут.
Выданный Вам расплавленный парафин очень горячий, будьте осторожны!
Оборудование
Расплавленный парафин в металлическом сосуде (по требованию)
Термометр
Секундомер
▶РешениеСкрыть
A1. Измерения комнатной температуры дают \(T_{0}=20.2^{\circ} \mathrm{C}\).
Снимем зависимость \(T(t)\) :
Ответ:
| \(t,~с\) | \(T,^{\circ}\mathrm{C}\) | \(\ln \left(\dfrac{T-T_{0}}{\tilde{T}}\right)\) | \(t,~с\) | \(T,^{\circ}\mathrm{C}\) | \(\ln \left(\dfrac{T-T_{0}}{\tilde{T}}\right)\) | \(t,~с\) | \(T,^{\circ}\mathrm{C}\) | \(\ln \left(\dfrac{T-T_{0}}{\tilde{T}}\right)\) | ||
| 0.0 | 80.1 | 0.00 | 720.0 | 41.8 | -1.02 | \(1.44 \cdot 10^3\) | 38.1 | -1.21 | ||
| 30.0 | 75.8 | -0.07 | 750.0 | 41.1 | -1.04 | \(1.47 \cdot 10^3\) | 38.3 | -1.20 | ||
| 60.0 | 72.1 | -0.14 | 780.0 | 41.0 | -1.06 | \(1.5 \cdot 10^3\) | 38.5 | -1.19 | ||
| 90.0 | 69.9 | -0.19 | 810.0 | 40.6 | -1.08 | \(1.53\cdot 10^3\) | 38.6 | -1.18 | ||
| 120.0 | 68.3 | -0.22 | 840.0 | 40.3 | -1.09 | \(1.56\cdot 10^3\) | 38.6 | -1.18 | ||
| 150.0 | 65.8 | -0.27 | 870.0 | 39.9 | -1.11 | \(1.59\cdot10^3\) | 38.6 | -1.18 | ||
| 180.0 | 63.1 | -0.33 | 900.0 | 39.6 | -1.13 | \(1.62\cdot10^3\) | 38.5 | -1.19 | ||
| 210.0 | 60.5 | -0.40 | 930.0 | 39.2 | -1.15 | \(1.65\cdot10^3\) | 38.3 | -1.20 | ||
| 240.0 | 58.5 | -0.45 | 960.0 | 38.9 | -1.16 | \(1.68\cdot10^3\) | 38.2 | -1.21 | ||
| 270.0 | 56.3 | -0.51 | 990.0 | 38.6 | -1.18 | \(1.71\cdot10^3\) | 37.9 | -1.22 | ||
| 300.0 | 54.6 | -0.55 | 1020.0 | 38.3 | -1.20 | \(1.74\cdot10^3\) | 37.8 | -1.22 | ||
| 330.0 | 52.6 | -0.61 | 1050.0 | 38.1 | -1.21 | \(1.77\cdot10^3\) | 37.5 | -1.24 | ||
| 360.0 | 51.4 | -0.65 | 1080.0 | 37.8 | -1.22 | \(1.8\cdot10^3\) | 37.2 | -1.26 | ||
| 390.0 | 50.2 | -0.69 | 1110.0 | 37.6 | -1.24 | \(1.83\cdot10^3\) | 36.9 | -1.28 | ||
| 420.0 | 49.1 | -0.73 | 1140.0 | 37.3 | -1.25 | \(1.86\cdot10^3\) | 36.7 | -1.29 | ||
| 450.0 | 47.8 | -0.77 | 1170.0 | 37.2 | -1.26 | \(1.89\cdot10^3\) | 36.5 | -1.30 | ||
| 480.0 | 46.8 | -0.81 | 1200.0 | 37.0 | -1.27 | \(1.92\cdot10^3\) | 36.1 | -1.33 | ||
| 510.0 | 45.9 | -0.85 | 1230.0 | 36.9 | -1.28 | \(1.95\cdot10^3\) | 35.9 | -1.34 | ||
| 540.0 | 44.8 | -0.89 | 1260.0 | 36.9 | -1.28 | \(1.98\cdot10^3\) | 35.6 | -1.36 | ||
| 570.0 | 43.9 | -0.93 | 1290.0 | 36.9 | -1.28 | \(2.01\cdot10^3\) | 35.3 | -1.38 | ||
| 600.0 | 43.2 | -0.96 | 1320.0 | 37.0 | -1.28 | \(2.04\cdot10^3\) | 35.1 | -1.39 | ||
| 630.0 | 42.8 | -0.97 | 1350.0 | 37.3 | -1.25 | \(2.07\cdot10^3\) | 34.8 | -1.41 | ||
| 660.0 | 42.5 | -0.99 | 1380.0 | 37.5 | -1.24 | \(2.1\cdot10^3\) | 34.6 | -1.43 | ||
| 690.0 | 40.1 | -1.01 | 1410.0 | 37.8 | -1.22 | \(2.13\cdot10^3\) | 34.3 | -1.45 |
Запишем баланс мощностей для остывании парафина при постоянной теплоемкости \(c\) и коэффициенте потерь \(\alpha\): \[cm \frac{\Delta T}{\Delta t}=-\alpha\left(T-T_{0}\right). \qquad(5)\] Это уравнение легко привести к виду \((2)\): \[\frac{\Delta\left(T-T_{0}\right)}{\Delta t}=-\frac{\alpha}{m c}\left(T-T_{0}\right), \qquad(6)\] что позволяет указать координаты, в которых график будет линеен: \[\ln \left(\frac{T-T_{0}}{\tilde{T}}\right)=t=-\frac{\alpha}{m c} \qquad(7)\] где \(\tilde{T}\) – начальная разность температур парафина и воздуха. Из проведенных измерений получаем \(\tilde{T}=40.2^{\circ} \mathrm{C}\).
В процессе остывания, при температуре \(T^{\prime} \approx 43^{\circ} \mathrm{C}\) парафин начинает мутнеть.
Построим график этой зависимости:
Ответ:
Зависимость \(\ln \left(\frac{T-T_{0}}{\tilde{T}}\right)\) от \(t\)
A2. Явно видно три линейных участка, на которых температура падает: Отметим, что температура, при которой происходит помутнение парафина соответствует точке, в которой происходит скачок теплоемкости.
Ответ:
| \(№\) | Диапазон времен | Угловой коэффициент, \(1/c\) | \(C / \alpha,~с\) |
| 1 | \([0; 560]\) | \(1.43 \cdot 10^{-3}\) | 700 |
| 2 | \([560; 1200]\) | \(5.69 \cdot 10^{-4}\) | 1760 |
| 3 | \([1700; 2080]\) | \(5.55 \cdot 10^{-4}\) | 1800 |
A3. Ответ:
| \(№\) | \(C / \alpha,~с\) |
| 1 | 700 |
| 2 | 1760 |
| 3 | 1800 |
A4. В процессе кристаллизации температура парафина находится в диапазоне \([36.9; 38.6]^{\circ} \mathrm{C},\) продолжительность этого процесса \(t_{крист}=320~с\). Закон сохранения энергии дает:
\[q=\alpha\left(T_{крист}-T_{0}\right) t_{крист} \qquad(8)\]Примем для расчета потерь \(T_{крист}=37.7^{\circ} \mathrm{C}\).\[\frac{q}{\alpha}=\left(T_{крист}-T_{0}\right) t_{крист}=5600~с \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}\qquad(9)\]
Ответ:
\[\frac{q}{\alpha}=5600~с \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}\]
Источник: pho.rs/p/4167.
зад 3 Закон движения
В задаче требуется оценка погрешностей!
Внутри алюминиевой трубки (плотность алюминия \(\rho=2.70 ~{г}/{см^3}\)) находится груз известной массы \(m=765~г\), длиной \(H=16.0~мм\). Груз может перемещаться внутри трубки. Трубка заткнута с двух сторон одинаковыми пробками, массой которых можно пренебречь по сравнению с массой трубки. Толщина пробок составляет \(h=7.0~мм\) (см. рисунок 1)
Рис. 1. Схема установки
Вскрывать трубку запрещено!
A1. Найдите толщину стенок трубки.
A2. Поместите груз в один из концов трубки и резким движением переведите трубку в вертикальное состояние так, чтобы груз оказался у верхнего конца трубки. Груз начнет падать внутри трубки. Для разных времен \(t\) падения груза определите соответствующие им координаты тела \(x\) (см. рис. 1). Измерьте зависимость \(x(t)\).
Движение груза внутри трубки может быть описано двумя моделями:
Движение с постоянной скоростью:\[x=v t \qquad(1)\] где \(x\) – координата центра груза, \(v\) – его скорость, \(t\) – время.
Движение с постоянным ускорением: \[x=\frac{a t^{2}}{2} \qquad(2)\] где \(a\) – ускорение груза.
A3. Постройте график измеренной в пункте A2 зависимости в таких координатах, чтобы он был линейным. Определите, какой модели подчиняется движение груза. В рамках найденной модели определите параметр движения: скорость или ускорение соответственно.
Оборудование
Трубка с грузом
Линейка \((50~см)\)
Карандаш круглый
Секундомер
▶ОтветСкрыть
A1: \[\Delta d=(0.098 \pm 0.010)~см\]
▶РешениеСкрыть
A1. Определим массу трубки. Для этого переместим груз в один из концов трубки и уравновесим ее на карандаше (см. рисунок 2).
Рис. 2. Схема установки
Найдем расстояние \(l_{0}=(46.4 \pm 0.01)~см\) от точки равновесия до того конца трубки, где находится и груз. Запишем уравнение равновесия для трубочки: \[M g\left(\frac{L}{2}-l_{0}\right)=m g\left(l_{0}-h-\frac{H}{2}\right),\qquad(3)\] где \(L=(100.2 \pm 0.1)~мм\) – длина всей трубки, \(M\) – масса трубки. Из него легко найти массу трубки: \[M=m \frac{l_{0}-h-\frac{H}{2}}{\frac{L}{2}-l_{0}}=(93 \pm 3)~г. \qquad(4)\] Определим внешний диаметр трубки. Пусть трубка совершила \(N=5\) оборотов и прошла расстояние \(y=(19.0 \pm 0.1)~см\). Тогда для внешнего диаметра трубки можно записать: \[D=\frac{y}{N \pi}=(1.210 \pm 0.006)~см\qquad(5)\] Масса трубки и плотность ее материала позволяют вычислить объем алюминия. Объем алюминия есть разность внешнего объема и внутреннего объема трубки. \[\frac{\pi}{4}\left(D^{2}-d^{2}\right) L=\frac{m}{\rho} \qquad(6)\] где \(d\) – внутренний диаметр трубки, который теперь можно определить как: \[d=\sqrt{D^{2}-\frac{4 m}{L \pi \rho}}=(1.014 \pm 0.013)~см \qquad(7)\] Таким, образом толщина стенок трубки:\[\Delta d=\frac{D-d}{2}=(0.098 \pm 0.010)~см \qquad(8)\]
Ответ:
\[\Delta d=(0.098 \pm 0.010)~см\]
A2. Для определения зависимости координаты \(x\) груза от времени при вертикальном падении будем переворачивать трубку из горизонтального положения в вертикальное в момент начала отсчета времени по секундомеру, а в момент окончания счета времени переворачивать обратно. При этом координата центра тяжести трубки будет изменяться. Снимем зависимость расстояния \(l\) от центра тяжести трубки до того конца трубки, откуда начинал движение груз, от времени падения груза. Запишем условие равновесия аналогичное уравнению \((1)\).
\[M g\left(\frac{L}{2}-l\right)=m g\left(l-x-h-\frac{H}{2}\right). \qquad(9)\]Откуда можно легко рассчитать координату \(x\) груза
\[x=l-\frac{M\left(\frac{L}{2}-l\right)}{m}-h-\frac{H}{2} \qquad(10)\]
Ответ:
| \(x,~см\) | 23.7 | 42.0 | 46.0 | 49.9 | 57.8 | 72.2 | 89.3 | 89.3 | 93.2 | 93.7 |
| \(l,~см\) | 48.2 | 49.6 | 49.9 | 50.2 | 50.8 | 51.9 | 53.2 | 53.2 | 53.5 | 53.8 |
| \(t,~с\) | 2.3 | 3.4 | 4.0 | 4.4 | 5.3 | 6.2 | 7.3 | 7.9 | 8.1 | 8.3 |
A3. Построим график зависимости координаты от времени.
Ответ:
График зависимости \(x\) от \(t\)
Как видно из графика, координата линейно зависит от времени, что означает корректность модели движения с постоянной скоростью. Из углового коэффициента графика найдем скорость движения груза:\[v=(11.9 \pm 0.3)~ \frac{см}{с} \qquad(11)\]
Ответ:
\[v=(11.9 \pm 0.3) ~{см}/{с}\]
Источник: pho.rs/p/4168.
зад 4 В мире плотностей
Запрещается наливать воду или раствор соли в одну из мензурок!
Погрешности в задаче оценивать нужно!
A1. Измерьте насыпную плотность пшена \(\rho_{нп}\). Для этого пересыпьте некоторую массу пшена в «сухую» мензурку и измерьте его объем. Далее поделите массу пшена на занимаемый объем.
A2. Таким же методом измерьте насыпную плотность соли \(\rho_{нс}\).
A3. Часто в физических задачах предполагают, что при смешивании двух веществ полученный объем равен сумме объемов исходных компонентов. Смешайте и хорошо перемешайте одинаковые по объему количества пшена и соли. Запишите исходный объем компонентов и полученный. Совпадают ли исходный и полученный объемы? Измерьте насыпную плотность смеси \(\rho_{нСм}\). При выполнении данного пункта насыпайте не более \(20~мл\).
A4. Используя «мокрую» мензурку, определите среднюю плотность зерен пшена \(\rho_{п}\). Для этого в \(30~мл\) воды добавьте зерна пшена. Зафиксируйте изменение массы на весах и изменение объема по уровню воды в мензурке.
A5. Также измерьте среднюю плотность кристаллов соли. Обратите внимание, что соль растворима в воде. Для того чтобы исключить ошибку, необходимо проводить серию измерений. Налейте в мензурку \(30~мл\) воды, поставьте мензурку на весы и запишите показания весов. Затем добавьте небольшую порцию соли в мензурку и хорошо взболтайте, заткнув горлышко мензурки ладонью. Поставьте мензурку на весы, запишите показания весов и суммарный объем содержимого мензурки. Повторите операцию несколько раз и постройте график зависимости показания весов от объема смеси в мензурке. По графику определите плотность кристаллов соли \(\rho_{с}\).
A6. Добавьте в полученную смесь воду. Хорошо взболтайте мензурку. Измерьте как можно точнее плотность насыщенного водного раствора соли \(\rho_{р}\). Слейте насыщенный раствор в чашку (он понадобится в дальнейшем).
A7. В отдельном стаканчике находится смесь соли и пшена с неизвестным массовым соотношением. Засыпьте смесь в «мокрую» мензурку, предварительно промыв мензурку водой. Измерьте массу смеси. Залейте смесь раствором поваренной соли. Хорошо взболтайте, добейтесь того, чтобы раствор заполнил все пустоты между крупинками пшена и кристалликами соли внутри мензурки. Запишите суммарный объем раствора и смеси, а также массу добавленного раствора. На основе полученных результатов, рассчитайте объем, занимаемый крупинками пшена и кристалликами соли в смеси. Разделите массу смеси на рассчитанный объем, обозначьте полученную величину \(\rho_{См}\).
A8. На основе результатов пунктов A4, A5, A7 рассчитайте массовую долю пшена \(\alpha_{п}\) и соли \(\alpha_{с}\) в исследуемой смеси.
Оборудование
Весы
«Сухая» мензурка (для проведения измерений без использования воды)
«Мокрая» (для проведения измерений с использованием воды)
Стаканчик с пшеном
Стаканчик с солью
Стаканчик с солью и пшеном в неизвестной пропорции
Чашка
Вода (в промывалке)
Ведро (все пересыпания и переливания совершайте над ведром)
Промывалка
Салфетки (по требованию)
Примечания
При переливании или пересыпании вещества из стаканчика сожмите его с двух сторон так, чтобы открытая часть стакана стала меньше.
При взбалтывании прикрывайте рукой горлышко мензурки.
Сухая мензурка предназначена только для экспериментов без воды. Следите за этим при выполнении работы.
Смесь с неизвестным соотношением соли и пшена у вас одна. Будьте внимательны перед её использованием в работе!
▶ОтветСкрыть
A1: \[\rho_{нп}=0.81\pm0.03~{г}/{см^3}\]; A2: \[\rho_{нс}=1.33 \pm 0.02 ~{г}/{см^3}\]; A3: \[\rho_{См}=1.315 \pm 0.02~ {г}/{см^3}\]; A4: \[\rho_п=1.21 \pm 0.05 ~{г}/{см^3}\]; A5: \[\rho_с=2.111 \pm 0.016~ {г}/{см^3}\]; A6: \[\rho_р=1.14 \pm 0.03~ {г}/{см^3}\]; A7: \[\rho_{См}=1.79 \pm 0.11~ {г}/{см^3}\]
▶РешениеСкрыть
A1. Проведем измерения для получения насыпной плотности пшена, не забывая про массу мензурки:
\[m_{нп}=50.44 \pm 0.03~г\]\[V_{нп}=62 \pm 1~мл \qquad(1)\]\[\rho_{нп}=\frac{m_{нп}}{V_{нп}}=0.81\pm0.03~\frac{г}{см^3}\]
Ответ:
\[\rho_{нп}=0.81\pm0.03~{г}/{см^3}\]
A2. Проведем измерения для получения насыпной плотности соли:
\[m_{нс}=99.95 \pm 0.03~г\]\[V_{нс}=75 \pm 1~мл \qquad(2)\]\[\rho_{нс}=\frac{m_{нс}}{V_{нс}}=1.33 \pm 0.02 ~\frac{г}{см^3}\]
Ответ:
\[\rho_{нс}=1.33 \pm 0.02 ~{г}/{см^3}\]
A3. Проведем измерения для получения плотности смеси при \(V_{с}=V_{п}=20~мл\) пшена и соли, предварительно хорошо размешав:
\[m_{См}=49.97 \pm 0.03~г\]\[V_{См}=38 \pm 1~мл \qquad(3)\]\[\rho_{См}=\frac{m_{См}}{V_{См}}=1.315 \pm 0.02~ \frac{г}{см^3}\]
Ответ:
\[\rho_{См}=1.315 \pm 0.02~ {г}/{см^3}\]
A4. Проведем измерения для получения плотности зерен пшена:
\[m_п=23.00 \pm 0.03~г\]\[V_п=19 \pm 1~мл \qquad(4)\]\[\rho_п=\frac{m_п}{V_п}=1.21 \pm 0.05~ \frac{г}{см^3}\]
Ответ:
\[\rho_п=1.21 \pm 0.05 ~{г}/{см^3}\]
A5. Проведем измерения плотности кристаллов соли. Для этого снимем зависимость массы смеси раствора соли и ее кристаллов (и мензурки) от объема смеси. И найдем угловой коэффициент этого графика на линейной части.
| \(m,~г\) | 76.1 | 80.0 | 83.0 | 89.2 | 95.3 | 108.6 | 110.1 | 119.5 | 122.2 | 130.7 |
| \(V_с,~мл\) | 30.0 | 30.0 | 31.0 | 33.0 | 36.0 | 42.0 | 45.0 | 47.0 | 50.0 | 53.0 |
Ответ:
График зависимости \(m_с\) от \(V_с\)
\[\rho_с=2.111 \pm 0.016~ \frac{г}{см^3}\qquad(5)\]
Ответ:
\[\rho_с=2.111 \pm 0.016~ {г}/{см^3}\]
A6. Для измерения плотности насыщенного раствора соли измерим массу мензурки с солью и раствором, а также суммарный объем соли и раствора. Сольем большую часть раствора в чашку. Вновь измерим массу мензурки с содержимым и уровень раствора в мензурке. По разнице измерений массы и объема найдем плотность раствора:\[\rho_р=\frac{161.59-113.63}{80-38}=1.14 \pm 0.03 ~\frac{г}{см^3}\qquad(6)\]
Ответ:
\[\rho_р=1.14 \pm 0.03~ {г}/{см^3}\]
A7. Измерим массу смеси:
\[m_{См}=51.1 \pm 0.03~ г \qquad(7)\]
Добавим в смесь насыщенный раствор соли. Взболтаем мензурку. Измерим суммарный объем смеси и ее массу:
\[m_{Сумм}=98.46 \pm 0.03~г \qquad(8)\]\[V_{Сумм}=70 \pm 1~мл\]Рассчитаем объем, занимаемый кристалликами соли и крупинками пшена в смеси:
\[V_{См}=V_{Сумм}-\frac{m_{Сумм}-m_{См}}{\rho_р}=28.5 \pm 3~мл \qquad(9)\]И рассчитаем отношение массы смеси к объему, занимаемому ее компонентами (то есть среднюю плотность смеси):\[\rho_{См}=\frac{m_{См}}{V_{См}}=1.79 \pm 0.11 ~\frac{г}{см^3} \qquad(10)\]
Ответ:
\[\rho_{См}=1.79 \pm 0.11~ {г}/{см^3}\]
A8. По сути плотность, рассчитанная в пункте \(7\), есть средняя плотность зерен пшена и кристалликов соли в классическом понимании. То есть в эта плотность рассчитана в модели аддитивности объема, то есть объем смеси есть сумма объемов компонентов. Не сложно записать, как связаны плотность полученной смеси, плотность зерен пшена, плотность кристалликов соли и массовая доля зерен пшена в смеси:
\[\rho_{См}=\frac{1}{\frac{\alpha_{п}}{\rho_{п}}+\frac{1-\alpha_{п}}{\rho_{с}}} \qquad(11)\]Откуда считаем массовую долю зерен пшена\[\alpha_{п}=\frac{\rho_{п}\left(\rho_{с}-\rho_{См}\right)}{\rho_{См}\left(\rho_{с}-\rho_{п}\right)}=0.24 \pm 0.13 \qquad(12)\]Большая погрешность результата связана с малой точностью метода измерения.
Ответ:
\[\alpha_{п}=0.24 \pm 0.13\]
Источник: pho.rs/p/4169.
зад 5 Спиннер
В задаче не требуется оценка погрешностей!
Теоретическая справка
Физика часто имеет дело с повторяющимися во времени процессами. Минимальное время полного повторения процесса называется его периодом \(T\). Величину обратную периоду называют частота: \(\nu={1}/{T}\). Измеряется частота в герцах \(\left[Гц\right]=\left[с^{-1}\right]\). В работе будет изучаться вращение спиннера, период вращения – время полного оборота спиннера вокруг своей оси.
Если период механического процесса мал (а частота велика), то невооруженным глазом уловить повторения представляется тяжелой или даже невозможной задачей. Для подсчета частоты процесса можно воспользоваться стробоскопическим эффектом, возникающим, когда процесс освещается периодическими вспышками света. При определенных условиях связи частоты вспышек и частоты процесса в потоке света процесс «застывает» в одном или нескольких положениях.
A1. Соберите установку, изображенную на рисунке 1. Накройте установку пакетом так, чтобы внешний свет (не от светодиода) как можно меньше попадал на спиннер. Установите на спиннер все шесть лепестков, если они были откручены. Проверьте, что лепестки не болтаются. Как можно сильнее раскрутите спиннер, не поднимая его с поверхности стола или основания штатива. На белом кольце спиннера есть отметка. В определенные моменты времени эта отметка будет видна в одном или нескольких местах, образуя картины темных точек. Зафиксируйте те из них, которые Вы можете стабильно наблюдать из раза в раз при запуске спиннера (раскручивая его с максимальным усилием). Зарисуйте последовательность полученных вами картин.
Рис. 1. Освещение спиннера мигающим светодиодом
A2. Измерьте время между моментом появления самой стабильной картины (желательно с большой частотой вращения) и всеми остальными стабильными картинами. Каждое измерение проведите несколько раз, результаты усредните.
A3. Образование стабильных картин соответствует определенным соотношениям между частотой мигания светодиода и частотой вращения спиннера. Установите, при каких частотах вращения спиннера Вы видите каждую из картин, описанных Вами в пункте A1. Частота мигания светодиода \(\nu_0=25~Гц\).
A4. Используя результаты второго и третьего пунктов, постройте график зависимости частоты вращения спиннера от времени. Можно ли описать найденную зависимость линейной функцией?
A5. Открутите два противоположных лепестка спиннера, оставив наклейку–кольцо с отметкой приклеенной к остальным лепесткам. Измерьте время изменения частоты (время затухания) спиннера от \({\nu_{0}}/{2}\) до \({\nu_{0}}/{3}\). Установите три симметричных лепестка на спиннер. Опять измерьте время для тех же пределов изменения частоты вращения спинера. Такую же операцию проведите для двух симметрично расположенных лепестков спиннера. Составьте таблицу соответствия времени затухания от количества симметрично расположенных лепестков. Сделайте вывод о том, как изменяется время затухания с уменьшением числа лепестков.
Оборудование
Спиннер
Наклейка–кольцо с темной отметкой
Мигающий светодиод (частота мигания \(\nu_{0}=25~Гц\))
Секундомер
Пакет
▶РешениеСкрыть
A1. Наблюдаемая последовательность картин изображена на рисунке 2.
Ответ:
Рис. 2. Последовательность картин, образованных отметкой на белой наклейке спиннера, при освещении его мигающим светодиодом
A2. Полученные нами картины с течением времени картины сначала вращаются в сторону вращения спиннера, потом застывают, а после вращаются в обратную сторону. Будем считать, что время появления стационарных картин соответствует моментам остановки вращения картин. Измерим время между второй картиной и всеми остальными.
Ответ:
| \(№\) картины | \(t_1,~с\) | \(t_2,~с\) | \(t_3,~с\) | \(t,~с\) | \(t_0,~с\) | \(\nu,~Гц\) |
| 1 | -16.59 | -16.91 | -17.13 | -16.88 | 0.00 | 16.67 |
| 2 | 0.00 | 0.00 | 0.00 | 0.00 | 16.88 | 12.50 |
| 3 | 14.69 | 15.78 | 16.93 | 15.80 | 32.68 | 10.00 |
| 4 | 26.52 | 27.81 | 27.18 | 27.17 | 44.05 | 8.33 |
| 5 | 48.97 | 49.91 | 49.25 | 49.38 | 66.25 | 6.25 |
| 6 | 67.07 | 67.69 | 68.72 | 67.83 | 84.70 | 5.00 |
| 7 | 79.25 | 80.32 | 80.28 | 79.95 | 96.83 | 4.17 |
A3. Несложно догадаться, что полученные картины соответствуют появлению темной отметки в моменты освещения спиннера светодиодом. Наиболее легко можно установить связь между частотами мигания светодиода и вращения спиннера для картин \(2\), \(4\), \(5\), \(6\), \(7\). За период мигания светодиода спиннера поворачивается на часть полного оборота. Для картины \(2\) – на половину оборота, для картины \(4\) – на треть оборота, для \(5\) – на четветь, для \(6\) – на одну пятую, для \(7\) – на одну шестую. Отсюда легко получить, что например для \(2\)–ой картины частота вращения спинера в два раза меньше, частоты мигания светодиода.
Для картин \(1\), \(3\) ситуация чуть более сложная, так как полностью картина формируется за два оборота спиннера. Тогда не сложно понять, что за время одного периода мигания светодиода для картины номер \(1\) спиннер повернется на две трети оборота, а для картины \(3\) на две пятых оборота.
A4. Построим график зависимости частоты вращения спиннера от времени. Очевидно, что полученный график нельзя описать линейной функцией (на самом деле точки хорошо описываются экспоненциальной зависимостью, то есть график \(\ln \nu\left(t_{0}\right)\) линейный).
Ответ:
График зависимости \(\nu\) от \(t_{0}\)
A5. Снимем зависимость времени между появлением картин \(2\) и \(4\) для разного количества лепестков спиннера. Из таблицы сделаем вывод, что с уменьшением количества лепестков спиннера время затухания уменьшается.
Ответ:
| Количество лепестков | \(t_1,~с\) | \(t_2,~с\) | \(t_3,~с\) | \(t,~с\) |
| 6 | 26.52 | 27.81 | 27.18 | 27.17 |
| 4 | 24.46 | 24.87 | 25.22 | 24.85 |
| 3 | 22.00 | 22.25 | 22.37 | 22.21 |
| 2 | 19.85 | 19.12 | 16.68 | 18.55 |
Источник: pho.rs/p/4170.
зад 6 Плотность материала магнитных шариков
В этой задаче требуется оценка погрешностей!
A1. Определите плотность материала, из которого изготовлены магнитные шарики.
Оборудование
Мерный цилиндр с водой (\(0.5~л\))
Линейка пластиковая (\(50~см\))
Трубочка пластиковая с одним закрытым концом
Цилиндрический магнит
Десять магнитных шариков
Примечание
Объемы шара и цилиндра вычисляются по следующим формулам\[V_ш=\frac{\pi D^{3}}{6} \qquad(1)\]где \(D\) – диаметр шара.\[V_ц=\frac{\pi D^{2} H}{4} \qquad(2)\]\(D\) – диаметр цилиндра, \(H\) – его высота.
Плотность воды \(\rho_0=1000 \frac{кг}{м^3}\)
За каждый утерянный магнит Вы будете оштрафованы снятием 0.5 балла!
▶РешениеСкрыть
A1. Соберем установку, изображенную на рисунке 1. Для закрепления магнитных шариков на внешней поверхности трубки поместим в трубку цилиндрический магнит.
Рис. 1. Установка для измерения плотности шариков
Глубина погружения трубки зависит от количества шариков \(N\), прикрепленных к трубке. Для системы трубка + шарики можно записать равенство сил, действующих вверх и вниз: \[F_{Ат}+N F_{Аш}=M g+N m g, \qquad(3)\] где \(F_{Ат}\) – сила Архимеда, действующая на трубку, \(F_{Аш}\) – сила Архимеда, действующая на один шарик, \(Mg\) – сила тяжести, действующая на трубку, \(mg\) – сила тяжести, действующая на один шарик. Запишем уравнение \((1)\) более подробно: \[\rho_{0} \frac{\pi D^{2}}{4} h g+N \rho_{0} \frac{\pi d^{3}}{6} g=M g+N \rho \frac{\pi d^{3}}{6} \qquad(4)\] где \(D\) – диаметр трубочки, \(d\) – диаметр магнитного шарика, \(\rho_{0}\) – плотность воды, \(\rho\) – плотность материала шариков, \(h\) – глубина погружения трубочки. Преобразуем полученное уравнение: \[h-\frac{4 M}{\rho_{0} \pi D^{2}}=N\left(\frac{\rho}{\rho_{0}}-1\right) \frac{2 d^{3}}{3 D^{2}} \qquad(5)\] Видно, что зависимость \(h(N)\) линейная с угловым коэффициентом, зависящим от плотности материала магнитных шариков, диаметра шариков и диаметра трубочки.
Снимем зависимость глубины погружения трубочки от количества шариков:
| \(h,~см\) | 21.4 | 23.0 | 24.6 | 27.0 | 28.2 | 30.4 | 32.6 |
| \(N\) | 3.0 | 4.0 | 5.0 | 6.0 | 7.0 | 8.0 | 9.0 |
Построим график зависимости \(h(N)\). И рассчитаем его угловой коэффициент:
\[A=\left(\frac{\rho}{\rho_{0}}-1\right) \frac{2 d^{3}}{3 D^{2}}=1.86 \pm 0.06~см^{-1} \qquad(6)\]
График зависимости \(h\) от \(N\)
Для определения диаметра трубочки воспользуемся методом прокатывания. Трубочка пройдет пол линейке \(l_{1}=86 \pm 1~мм\), совершив \(n_{1}=5\) оборотов. Таким образом диаметр трубочки составит:
\[D=\frac{l_{1}}{n_{1} \pi}=5.48 \pm 0.07~ мм\qquad(7)\]Для определения диаметра шариков уложим в ряд \(n_{2}=10\) шариков и измерим длину получившейся цепочки \(l_{2}=50 \pm 1~мм.\)
\[d=\frac{l_{2}}{n_{2}}=5.0 \pm 0.1~мм \qquad(8)\]Окончательно рассчитаем плотность материала шариков:\[\rho=\rho_{0}\left(\frac{3 A D^{2}}{2 d^{3}}+1\right)=7.7 \pm 0.9 ~\frac{г}{см^3}\qquad(9)\]
Ответ:
\[\rho=7.7 \pm 0.9 ~{г}/{см^3}\]
Источник: pho.rs/p/4171.
Источник: Олимпиада по экспериментальной физике (IEPhO) 2018, 8 класс — условия. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.