IEPhO 2018, 9 класс

Ответ

A1: \[\frac{1}{F}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\];  A2: \[F=13.78 \pm 0.06~см\];  A4: \[\gamma=0.240 \pm 0.006\]

Решение

A1.

Рис. 1. Построение изображения в линзе

Из подобия треугольников \(ABO\), \(A_1 B_1 O\), \(O O_1 F\) и \(A_1 B_1 F\) (см. рисунок 1) несложно получить, что:

\[\frac{1}{F}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \qquad(1)\]где \(F=OF\) – фокусное расстояние линзы, \(a=AO\) – расстояние между линзой и источником, \(b=BO\) – расстояние между линзой и изображением.

Ответ:

\[\frac{1}{F}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\]

A2. Снимем зависимость расстояния между концом прозрачной части светодиода и линзой от расстояния между линзой и четким изображением светодиода. Изображение светодиода будем искать с помощью белой бумаги, используя ее как экран.

Усредним, полученные для фокуса линзы значения:\[F=13.78 \pm 0.06~см\qquad(2)\]

Ответ:

\[F=13.78 \pm 0.06~см\]

A3. Соберем установку, изображенную на рисунке 2. Снимем зависимость расстояния между линзой и изображением светодиода от высоты уровня жидкости в мензурке.

Рис. 2. Установка для определения коэффициента преломления неизвестной жидкости

Ответ:

A4. С помощью формулы тонкой линзы рассчитаем расстояние между линзой и мнимым изображением светодиода в толще воды, которое является источником для формирования изображения в линзе.

\[a=\frac{b F}{b-F} \qquad(3)\]И построим график зависимости \(a(h)\).

Ответ:

График зависимости \(a\) от \(h\)

Определим модуль углового коэффициента графика:

\[\gamma=0.240 \pm 0.006 \qquad(4)\]

Ответ:

\[\gamma=0.240 \pm 0.006\]

A5. Модуль углового коэффициента графика связан с показателем преломления выражением, которое несложно вывести из законов геометрической оптики. Нарисуем ход лучей от точечного источника, находящегося под поверхностью жидкости (рисунок 3). Будем рассматривать только лучи, имеющие малый угол отклонения от перпендикуляра к поверхности жидкости. Для таких лучей углы падения и преломления малы, поэтому можно пользоваться приближением равенства угла падения или преломления в радианах синусу и тангенсу соответствующего угла.

Рис. 3. Ход лучей выходящих из точечного источника, находящегося под поверхностью жидкости

Запишем исходную систему уравнений связи для геометрических величин, указанных на рисунке. \[\operatorname{tg} \alpha_{1}=\frac{l}{h}, \quad \operatorname{tg} \alpha_{2}=\frac{l}{x} \qquad(5)\] \[\sin \alpha_{1} \cdot n=\sin \alpha_{2}\] В силу малости углов: \[\sin \alpha \approx \operatorname{tg} \alpha\] \[n l / h=l / x \qquad(6)\] \[x=h / n\] Тогда: \[a=L-H+x=L-\left(h-\frac{h}{n}\right)=L-\frac{n-1}{n} h \qquad(7)\] Откуда для углового коэффициента графика получаем: \[\gamma=\frac{n-1}{n} \qquad(8)\] И окончательно для углового коэффициента:\[n=\frac{1}{1-\gamma}=1.32 \pm 0.01 \qquad(9)\]

Ответ:

\[n=1.32 \pm 0.01\]

Источник: pho.rs/p/4184.

Решение

A1. Измерения комнатной температуры дают \(T_{0}=20.2^{\circ} \mathrm{C}\).

Снимем зависимость \(T(t)\) :

Ответ:

Запишем баланс мощностей для остывании парафина при постоянной теплоемкости \(c\) и коэффициенте потерь \(\alpha\): \[cm \frac{\Delta T}{\Delta t}=-\alpha\left(T-T_{0}\right). \qquad(5)\] Это уравнение легко привести к виду \((2)\): \[\frac{\Delta\left(T-T_{0}\right)}{\Delta t}=-\frac{\alpha}{m c}\left(T-T_{0}\right), \qquad(6)\] что позволяет указать координаты, в которых график будет линеен: \[\ln \left(\frac{T-T_{0}}{\tilde{T}}\right)=t=-\frac{\alpha}{m c} \qquad(7)\] где \(\tilde{T}\) – начальная разность температур парафина и воздуха. Из проведенных измерений получаем \(\tilde{T}=40.2^{\circ} \mathrm{C}\).

В процессе остывания, при температуре \(T^{\prime} \approx 43^{\circ} \mathrm{C}\) парафин начинает мутнеть.

Построим график этой зависимости:

Ответ:

Зависимость \(\ln \left(\frac{T-T_{0}}{\tilde{T}}\right)\) от \(t\)

A2. Явно видно три линейных участка, на которых температура падает: Отметим, что температура, при которой происходит помутнение парафина соответствует точке, в которой происходит скачок теплоемкости.

Ответ:

A3. Ответ:

A4. В процессе кристаллизации температура парафина находится в диапазоне \([36.9; 38.6]^{\circ} \mathrm{C},\) продолжительность этого процесса \(t_{крист}=320~с\). Закон сохранения энергии дает:

\[q=\alpha\left(T_{крист}-T_{0}\right) t_{крист} \qquad(8)\]Примем для расчета потерь \(T_{крист}=37.7^{\circ} \mathrm{C}\).\[\frac{q}{\alpha}=\left(T_{крист}-T_{0}\right) t_{крист}=5600~с \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}\qquad(9)\]

Ответ:

\[\frac{q}{\alpha}=5600~с \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}\]

Источник: pho.rs/p/4167.

Ответ

A1: \[\Delta d=(0.098 \pm 0.010)~см\]

Решение

A1. Определим массу трубки. Для этого переместим груз в один из концов трубки и уравновесим ее на карандаше (см. рисунок 2).

Рис. 2. Схема установки

Найдем расстояние \(l_{0}=(46.4 \pm 0.01)~см\) от точки равновесия до того конца трубки, где находится и груз. Запишем уравнение равновесия для трубочки: \[M g\left(\frac{L}{2}-l_{0}\right)=m g\left(l_{0}-h-\frac{H}{2}\right),\qquad(3)\] где \(L=(100.2 \pm 0.1)~мм\) – длина всей трубки, \(M\) – масса трубки. Из него легко найти массу трубки: \[M=m \frac{l_{0}-h-\frac{H}{2}}{\frac{L}{2}-l_{0}}=(93 \pm 3)~г. \qquad(4)\] Определим внешний диаметр трубки. Пусть трубка совершила \(N=5\) оборотов и прошла расстояние \(y=(19.0 \pm 0.1)~см\). Тогда для внешнего диаметра трубки можно записать: \[D=\frac{y}{N \pi}=(1.210 \pm 0.006)~см\qquad(5)\] Масса трубки и плотность ее материала позволяют вычислить объем алюминия. Объем алюминия есть разность внешнего объема и внутреннего объема трубки. \[\frac{\pi}{4}\left(D^{2}-d^{2}\right) L=\frac{m}{\rho} \qquad(6)\] где \(d\) – внутренний диаметр трубки, который теперь можно определить как: \[d=\sqrt{D^{2}-\frac{4 m}{L \pi \rho}}=(1.014 \pm 0.013)~см \qquad(7)\] Таким, образом толщина стенок трубки:\[\Delta d=\frac{D-d}{2}=(0.098 \pm 0.010)~см \qquad(8)\]

Ответ:

\[\Delta d=(0.098 \pm 0.010)~см\]

A2. Для определения зависимости координаты \(x\) груза от времени при вертикальном падении будем переворачивать трубку из горизонтального положения в вертикальное в момент начала отсчета времени по секундомеру, а в момент окончания счета времени переворачивать обратно. При этом координата центра тяжести трубки будет изменяться. Снимем зависимость расстояния \(l\) от центра тяжести трубки до того конца трубки, откуда начинал движение груз, от времени падения груза. Запишем условие равновесия аналогичное уравнению \((1)\).

\[M g\left(\frac{L}{2}-l\right)=m g\left(l-x-h-\frac{H}{2}\right). \qquad(9)\]Откуда можно легко рассчитать координату \(x\) груза

\[x=l-\frac{M\left(\frac{L}{2}-l\right)}{m}-h-\frac{H}{2} \qquad(10)\]

Ответ:

A3. Построим график зависимости координаты от времени.

Ответ:

График зависимости \(x\) от \(t\)

Как видно из графика, координата линейно зависит от времени, что означает корректность модели движения с постоянной скоростью. Из углового коэффициента графика найдем скорость движения груза:\[v=(11.9 \pm 0.3)~ \frac{см}{с} \qquad(11)\]

Ответ:

\[v=(11.9 \pm 0.3) ~{см}/{с}\]

Источник: pho.rs/p/4168.

Ответ

A1: \[\Delta N=\frac{N}{4 \pi R^{2}} \Delta S\]

Решение

A1. Окружим точечный источник сферой радиуса \(R\), с центром, совпадающим по положению, с точечным источником. Через поверхность сферы в единицу времени будет проходить энергия \(N\). Тогда мощность \(\Delta N\), приходящуюся на единицу площади поверхности сферы \(\Delta S\), можно рассчитать как:

\[\Delta N=\frac{N}{4 \pi R^{2}} \Delta S \qquad(1)\]

Ответ:

\[\Delta N=\frac{N}{4 \pi R^{2}} \Delta S\]

Таким образом, если установить экран на довольно большом расстоянии \(r\) от источника, интенсивность падающего излучения будет обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника до экрана. Если экран установить близко от источника, то на разные его части будет приходиться разная величина мощности, приходящаяся на единицу поверхности. Но формула \(1\) останется верной для величины интенсивности излучения в центре экрана (в месте пересечения плоскости экрана и перпендикуляра, опущенного от экрана к точечному источнику).

A2. Соберем установку для сравнения мощностей светодиодов (см. рис. 1). На экране будут видны две тени болтика, формируемые светодиодами. В том случае, если интенсивности излучения светодиодов на экране будет совпадать, тени будут иметь одинаковую степень «тёмности» (на самом деле это полутени, ведь они освещаются одним светодиодом, но не освещаются другим).

То есть

\[P=P_{0} \implies \frac{N}{l^{2}}=\frac{N_{0}}{l_{0}^{2}} \qquad(2)\]\[\frac{N}{N_{0}}=\left(\frac{l}{l_{0}}\right)^{2} \qquad(3)\]Таким образом по отношению квадратов расстояний от экрана до светодиодов можно определить отношение их световых мощностей, или, по-другому, найти значение мощности исследуемого светодиода в единицах эталонного (важно, что расстояние измеряется именно до экрана, а не до болтика).

Ответ:

Рис. 1. Установка для сравнения мощностей излучения светодиодов

A3. Зафиксируем эталонный светодиод на расстоянии \(l_{0}=(50 \pm 0.5)~см\) от экрана. Исследуемый светодиод будем двигать вдоль линейки. В каждом положении светодиода с помощью потенциометра будем подбирать диапазон токов исследуемого светодиода, в котором тени на экране будут казаться одинаковыми.

Ответ:

Построим график исследованной зависимости.

Ответ:

График зависимости \(N / N_{0}\) от \(I\)

A4. Установим исследуемый светодиод на некотором расстоянии \(l_1\) от экрана и выставим на эталонном светодиоде такой ток, чтобы интенсивности обоих светодиодов стали равны. Теперь передвинем исследуемый светодиод на расстояние \(l_2={l_{1}}/{\sqrt{2}}\). Тогда видимая на экране интенсивность исследуемого светодиода возрастет вдвое. Будем постепенно увеличивать количество пленок перед светодиодом, пока видимые интенсивности не сравняются.

Пусть \(\gamma\) – доля интенсивности, которую пропускает один файл. Тогда \[\gamma^{n}=0.5 \qquad(4)\] \[\gamma=\sqrt[n]{0.5} \qquad(5)\] Для \(n=7 \gamma=0.906\), а для \(n=6 \gamma=0.891\).

Отсюда следует, что каждая пленка отражает: \[\alpha=10 \pm 1 \% \qquad(6)\]

Ответ:

\[\alpha=10 \pm 1 \%\]

Источник: pho.rs/p/4185.

Решение

A1. Соберем установку, изображенную на рисунке 1. Для закрепления магнитных шариков на внешней поверхности трубки поместим в трубку цилиндрический магнит.

Рис. 1. Установка для измерения плотности шариков

Глубина погружения трубки зависит от количества шариков \(N\), прикрепленных к трубке. Для системы трубка + шарики можно записать равенство сил, действующих вверх и вниз: \[F_{Ат}+N F_{Аш}=M g+N m g, \qquad(3)\] где \(F_{Ат}\) – сила Архимеда, действующая на трубку, \(F_{Аш}\) – сила Архимеда, действующая на один шарик, \(Mg\) – сила тяжести, действующая на трубку, \(mg\) – сила тяжести, действующая на один шарик. Запишем уравнение \((1)\) более подробно: \[\rho_{0} \frac{\pi D^{2}}{4} h g+N \rho_{0} \frac{\pi d^{3}}{6} g=M g+N \rho \frac{\pi d^{3}}{6} \qquad(4)\] где \(D\) – диаметр трубочки, \(d\) – диаметр магнитного шарика, \(\rho_{0}\) – плотность воды, \(\rho\) – плотность материала шариков, \(h\) – глубина погружения трубочки. Преобразуем полученное уравнение: \[h-\frac{4 M}{\rho_{0} \pi D^{2}}=N\left(\frac{\rho}{\rho_{0}}-1\right) \frac{2 d^{3}}{3 D^{2}} \qquad(5)\] Видно, что зависимость \(h(N)\) линейная с угловым коэффициентом, зависящим от плотности материала магнитных шариков, диаметра шариков и диаметра трубочки.

Снимем зависимость глубины погружения трубочки от количества шариков:

Построим график зависимости \(h(N)\). И рассчитаем его угловой коэффициент:

\[A=\left(\frac{\rho}{\rho_{0}}-1\right) \frac{2 d^{3}}{3 D^{2}}=1.86 \pm 0.06~см^{-1} \qquad(6)\]

График зависимости \(h\) от \(N\)

Для определения диаметра трубочки воспользуемся методом прокатывания. Трубочка пройдет пол линейке \(l_{1}=86 \pm 1~мм\), совершив \(n_{1}=5\) оборотов. Таким образом диаметр трубочки составит:

\[D=\frac{l_{1}}{n_{1} \pi}=5.48 \pm 0.07~ мм\qquad(7)\]Для определения диаметра шариков уложим в ряд \(n_{2}=10\) шариков и измерим длину получившейся цепочки \(l_{2}=50 \pm 1~мм.\)

\[d=\frac{l_{2}}{n_{2}}=5.0 \pm 0.1~мм \qquad(8)\]Окончательно рассчитаем плотность материала шариков:\[\rho=\rho_{0}\left(\frac{3 A D^{2}}{2 d^{3}}+1\right)=7.7 \pm 0.9 ~\frac{г}{см^3}\qquad(9)\]

Ответ:

\[\rho=7.7 \pm 0.9 ~{г}/{см^3}\]

Источник: pho.rs/p/4171.

Ответ

A1: \[U_{GS}=0~В,\quad I_{нас1}=13.7~мА\];  A2: \[U_{GS}=3~В,\quad I_{нас2}=45.2~мА\];  A3: \[U_{GS}=-3~В,\quad I_{нас3}=0~мА\];  A5: \[U_0\approx -0.6~В\]

Решение

A1. Для измерения вольт-амперной характеристики транзистора между стоком и истоком при нулевом напряжении между истоком и затвором соберем схему, изображенную на рисунке 2.

Рис. 2. Установка для измерения вольт-амперной характеристики между стоком и истоком и нулевом напряжении между затвором и истоком

Ответ:

Ответ:

\[U_{GS}=0~В,\quad I_{нас1}=13.7~мА\]

A2. Для измерения вольт-амперной характеристики транзистора между стоком и истоком при нулевом напряжении \(3~В\) между стоком и затвором немного модифицируем схему, добавив еще один батарейный отсек (рисунок 3).

Рис. 3. Установка для измерения вольт-амперной характеристики между стоком и истоком при \(U_{GS}=3~В\)

Ответ:

Ответ:

\[U_{GS}=3~В,\quad I_{нас2}=45.2~мА\]

A3. Для измерения вольт-амперной характеристики транзистора между стоком и истоком при нулевом напряжении \(-3~В\) между стоком и затвором немного модифицируем схему, поменяем полярность добавленного батарейного отсека (рисунок 4).

Рис. 4. Установка для измерения вольт-амперной характеристики между стоком и истоком при \(U_{GS}=-3~B\)

Ответ:

Ответ:

\[U_{GS}=-3~В,\quad I_{нас3}=0~мА\]

A4. Нанесем измеренные вольт-амперные характеристики на график.

Ответ:

График зависимости \(I\) от \(U\)

A5. Для измерения зависимости тока насыщения от напряжения затвор-исток соберем схему, изображенную на рисунке 5.

Рис. 5. Схема для измерения зависимости тока сток-исток от напряжения затвор-исток

Измерения занесем в таблицу и построим график исследованной зависимости. Так как измерить напряжение между затвором и истоком, при котором ток через транзистор пропадает, напрямую невозможно, экстраполируем полученный график до пересечения осью напряжений. Откуда найдем напряжение, при котором ток через транзистор не течет.

Ответ:

\[U_0\approx -0.6~В\]

Ответ:

График зависимости \(I_{нас}\) от \(U_{GS}\)

Источник: pho.rs/p/4186.