IEPhO 2019, 10 класс

Ответ

A1: \[P_г=2.2~атм\];  A3: \[\mu_г=60~ \frac{г}{моль}\]

Решение

A1. Для оценки давления внутри зажигалки соберем газовый манометр. Закроем один конец выданной трубки при помощи зажима, а на другом конце поместим капельку воды. Для этого достаточно пережать трубку пальцем, погрузить ее под воду и освободить. Измерим расстояние от капельки до закрытого зажимом конца трубки \(l_0=11.0~см\). Подключим конец с капелькой к зажигалке. Это приведет к смещению капельки. В новом положении длина столба воздуха между закрытым концом трубки и капелькой станет равной \(l=5.0~см\). Считая, что процесс смещения капельки изотермический, из закона Бойля-Мариотта получим:\[P_г=P_0 \frac{l_0}{l}=2.2~атм. \qquad(1)\]

Ответ:

\[P_г=2.2~атм\]

A2. Повторим эксперимент, заменив зажигалку на надутый шарик. Заметим, что капелька практически не смещается.

Поэтому далее будем считать, что давление в шарике равно атмосферному.

A3. Для измерения молярной массы вещества внутри зажигалки надуем этим веществом шарик, подсоединив зажигалку к нему при помощи трубки с зажимом. После этого взвесим зажигалку и получим массу вещества в газообразном состоянии внутри воздушного шарика \(m_г=m_з^{(0)}-m_з\), где \(m_з^{(0)}\) – начальная масса зажигалки с газом.

Теперь взвесим шарик (с трубкой, зажимом, впускной системой и иголкой), поместив его в стакан с гайками. Изменение показаний весов при его взвешивании по сравнению с не надутым шариком будет обусловлено не только изменением массы вещества внутри шарика, но и силой Архимеда: \[\Delta m_ш=m_г-\rho_в V, \qquad(2)\] где \(\rho_в\) – плотность окружающего воздуха, \(V\) – объем воздушного шарика. Для окружающего шарик воздуха можно записать закон Менделеева-Клапейрона: \[P_{0}=\frac{\rho_в}{\mu_в} RT \qquad(3)\] где \(\mu_в\) — молярная масса воздуха, \(T\) – температура окружающего воздуха. Для вещества внутри шарика также можно записать закон Менделеева-Клапейрона. Считая давление в шарике равным атмосферному, а температуру равной температуре окружающего воздуха, получим: \[P_0 V=\frac{m_г}{\mu_г} RT \qquad(4)\] где \(\mu_г\) – молярная масса вещества. Из (3) и (4) получим следующее выражение: \[\rho_в V=\frac{m_г \mu_в}{\mu_г} \qquad(5)\] Подставим его в формулу \((2)\): \[\frac{m_г \mu_в}{\mu_г}=m_г-\Delta m_ш \qquad(6)\] Повторим описанные измерения для разных масс газа в шарике, получим зависимость \(\Delta m_ш\) от \(m_г\) и построим ее график в координатах \(m_г-\Delta m_ш\) от \(m_г\). Согласно \((6)\), эта зависимость описывается линейной функцией с угловым коэффициентом, равным отношению молярных масс воздуха и вещества в зажигалке.

График зависимости \(m_г-\Delta m_ш\) от \(m_г\)

Из графика хорошо видно, что две верхние точки графика лежат явно выше прямой, проходящей через остальные точки. Это можно объяснить тем, что при больших объемах шарика толщина его стенок становится малой и газ заметно диффундирует через стенки. Из-за этого понижается масса шарика, что и приводит к увеличению вертикальной координаты графика. Однако при больших толщинах шарика диффузия не оказывает значительного эффекта, и экспериментальные точки хорошо описываются исходной теоретической моделью. Угловой коэффициент прямой, описывающей первые точки графика, равен:

\[A_{1}=\frac{\mu_в}{\mu_г}=0.48 \qquad(7)\]откуда молярная масса вещества:\[\mu_г=\frac{\mu_в}{A_1}=60~ \frac{г}{моль} \qquad(8)\]

Ответ:

\[\mu_г=60~ \frac{г}{моль}\]

A4. Плотность газовой фазы вещества внутри зажигалки несложно оценить из закона Менделеева-Клапейрона (температура в день измерений составляла \(T=22.0^{\circ} \mathrm{C}\)):

\[\rho_г=\frac{P_г\mu_г}{RT}=5.4 \cdot 10^{-3}~ \frac{г}{см^3} \qquad(9)\]Для определения плотности жидкой фазы в процессе выполнения измерений для второго упражнения также будем отмечать уровень жидкости \(h\) внутри зажигалки. Построим график зависимости массы вытекшего вещества \(m_г\) от уровня \(h\):

График зависимости \(m_г\) от \(h\)

Модуль углового коэффициента полученной прямой равен произведению плотности жидкой фазы вещества и площади сечения внутренней части зажигалки: \[A_2=\rho_ж S=0.85 ~\frac{г}{см}. \qquad(10)\] Диаметр внутреннего сечения зажигалки оценим линейкой по виду с ее торцов \(x= 1.4~см\). Таким образом, плотность жидкой фазы вещества составляет: \[\rho_{ж}=\frac{4 A_2}{\pi x^2}=0.55~ \frac{г}{см^3}. \qquad(11)\] Окончательно для отношения плотностей получаем: \[\frac{\rho_ж}{\rho_г} \approx 100 \qquad(12)\]

Ответ:

\[\frac{\rho_ж}{\rho_г} \approx 100\]

Источник: pho.rs/p/4233.

Ответ

A2: \[\gamma=(90 \pm 5)~мВ /мТл\];  A4: \[h_{A}=(35 \pm 2)~мм\];  A5: \[h_{B}=(34.3 \pm 1.7)~мм\].

Решение

A1.

A2. Чтобы рассчитать значение чувствительности датчика \(\gamma\), можно снять зависимость показаний датчика \(V\) от индукции магнитного поля \(B\) в центре катушки. Значение индукции \(B\) определяется геометрическими параметрами катушки (\(L=(34 \pm 1)~мм\), \(R=(10 \pm 1)~мм\), \(N=85\), которые измеряем/считаем непосредственно), а также силой тока \(I\) в витках катушки (\(B \sim I\)). Соберем схему, приведенную на рисунке 3. Помещаем датчик магнитного поля в геометрический центр катушки. Будем менять напряжение \(U\) на источнике в пределах \([0.0 ; 0.4]~В\) (чтобы не сжечь катушку). Снимем зависимость показаний датчика \(V\) от силы тока \(I\) (ток измеряем по показаниям источника). Погрешности прямых измерений \(V\) и \(I\) малы.

Рис. 3. Электрическая схема для измерения чувствительности датчика Холла

Рис. 4. График зависимости показаний датчика Холла \(V\) от силы тока в катушке \(I\)

Погрешность оценим следующим образом

\[\varepsilon_{\gamma}=\varepsilon_{k}+\varepsilon_{\sqrt{L^{2}+4 R^{2}}}=\varepsilon_{k}+\sqrt{\frac{\varepsilon_{L}^{2}}{\left(1+4 R^{2} / L^{2}\right)^{2}}+\frac{\varepsilon_{R}^{2}}{\left(1+L^{2} / 4 R^{2}\right)^{2}}} \approx 5.8 \%\]Итоговый ответ:

Ответ:

\[\gamma=(90 \pm 5)~мВ /мТл\]

A3. Основная концептуальная идея определения направления магнитного диполя состоит в том, чтобы изобразить направления линий индукции магнитного поля снаружи цилиндра. Получив схему линий индукции поля похожую на то, что изображено на рисунке 5, положение и направление магнитного диполя однозначно определяются. Общий экспериментальный подход будет заключаться в том, чтобы при различных положениях/поворотах цилиндра определить направление поля в выбранной точке. Чтобы определить направление поля, можно находить такое положение датчика Холла, когда он будет показывать ноль, тогда поле будет направлено вдоль датчика.

Рис. 5. Линии индукции поля для магнитного диполя

Однако при первых же измерениях становится ясно, что можно воспользоваться особенностями и симметричностью линий поля в различных проекциях/сечениях. Например, ящик «В» можно поставить на основание цилиндра, и измерять поле в произвольной точке вблизи цилиндра, вращая цилиндр вокруг своей оси. Поле не будет меняться (см. рисунок 6). Это можно наблюдать для любого положения датчика по высоте вдоль образующей цилиндра. Таким образом заключаем, что магнитный момент в ящике «В» направлен вдоль оси цилиндра.

Рис. 6. Схематичное изображение метода определения направления магнитного момента

Зарисуем ответ (см. рисунок 7).

Ответ:

Рис. 7. Направление магнитного момента в ящике <<В>>

Для ящика «А» можно повторить эксперимент аналогичный ящику «В», разместив датчик так, чтобы он измерял радиальную компоненту индукции поля. Показания датчика в зависимости от угла поворота будут иметь вид, показанный на рисунке 8. Видно, что поле обнуляется дважды за период. Это соответствует тому, что магнитный момент в этот момент перпендикулярен радиус-вектору, направленному от оси цилиндра на датчик. Подобное поведение наблюдается для любого положения датчика по высоте вдоль образующей цилиндра, меняется лишь амплитуда этого изменения. Таким образом заключаем, что магнитный момент в ящике «А» направлен перпендикулярно оси цилиндра. Так как. амплитудные значения зависимости \(V(\varphi)\) одинаковы, заключаем, что магнитный момент находится на оси цилиндра.

Рис. 8. Изменение показаний датчика \(V\) при вращении цилиндра <<А>>

Отыскав на боковой поверхности цилиндра наибольшее значение \(V\), а следовательно, и \(B\), зарисуем ответ (см. рисунок 9).

Ответ:

Рис. 9. Направление магнитного момента в ящике <<А>>

A4. Для ящика «А», выполняя задание A3, при нахождении максимального значения \(B\) на поверхности цилиндра фактически было найдено и положение магнитного момента:

Ответ:

\[h_{A}=(35 \pm 2)~мм\]

A5. Положение магнитного момента в ящике «В» найдем следующим образом. Положим цилиндр горизонтально. Снимем зависимость показаний датчика \(V\) от расстояния между датчиком и основанием цилиндра вдоль его оси (см. рисунок 10). Погрешность измерения координаты \(\Delta x=1~мм\), погрешностью показаний датчика \(V\) пренебрежем.

Рис. 10. Схематичное изображение метода для определения положения магнитного момента в ящике <<В>>, а также для определения магнитных моментов в обоих ящиках

Для поля вдоль направления магнитного момента имеем:\[B=\frac{2 \mu_{0} \mu}{4 \pi r^{3}} \implies \frac{V}{\gamma}=\frac{\mu_{0} \mu}{2 \pi\left(h_{B}+x\right)^{3}} \implies V^{-1 / 3}=\left(\frac{2 \pi}{\mu_{0} \mu \gamma}\right)^{1 / 3}\left(h_{B}+x\right)\]

Рис. 11. Линеаризированный график зависимости показаний датчика Холла \(V\) от расстояния до торца цилиндра \(x\)

Таким образом, график в координатах \(V^{-1 / 3}(x)\) будет линейным (см. рисунок 11).

При этом угловой коэффициент будет \(k=\left(\dfrac{2 \pi}{\mu_{0} \mu \gamma}\right)^{1 / 3}=(71 \pm 2) \cdot 10^{-3}~В^{-1/3}/мм\), а свободный член \(b=k \cdot h_{B}=(2.45 \pm 0.05)~В^{-1/3}\). Их погрешности посчитаны МНК. Зная \(k\), найдем магнитный момент \(\mu_{B}=\dfrac{2 \pi}{\mu_{0} \gamma k^{3}}=0.153~А \cdot м^2\). Погрешность оценим следующим образом \(\varepsilon_{\mu B}=3 \varepsilon_{k}+\varepsilon_{\gamma} \approx 15 \%\). Зная \(k\) и \(b,\) найдем \(h_{B}=b / k=34.3~мм\). Погрешность оценим следующим образом \(\varepsilon_{h B}=\varepsilon_{b}+\varepsilon_{k} \approx 5 \%\). Проведя аналогичные измерения для ящика «А», определим и его магнитный момент \(\mu_A\). Отметим, что для повышения точности можно было снять зависимость вдоль оси цилиндра/направления магнитного момента с другой стороны цилиндра и полученные результаты усреднить.

Ответ:

\[h_{B}=(34.3 \pm 1.7)~мм\].

A6. Итоговые ответы:

Ответ:

\[\mu_{B}=(0.15 \pm 0.02)~А \cdot м^2,\quad \mu_{A}=(0.21 \pm 0.03)~А \cdot м^2\].

Источник: pho.rs/p/4236.

Ответ

A1: \[R_{эл}=2.9~Ом\];  A6: \[R=2.94~ Ом\]

Решение

A1. При подключении омметра к элементу Пельтье через него протекает электрический ток, что приводит к охлаждению одной из поверхностей и нагреву второй. Возникающая термо-ЭДС может изменять показания омметра в широком диапазоне значений. При смене полярности термо-ЭДС меняет свое направление, что приводит к изменению показаний омметра.

Если поместить элемент Пельтье в емкость с водой, то температура на обеих поверхностях будет одинакова, и термо-ЭДС возникать не будет, а, следовательно, показания омметра будут одинаковыми для обеих полярностей. Показания омметра в таком случае будут являться суммой сопротивления проводов и сопротивления элемента Пельтье.

\[R=4.2~Ом,~~~R_{пр}=1.3~Ом\]Тогда \[R_{эл}=R-R_{пр}=2.9~Ом \qquad(4)\]

Ответ:

\[R_{эл}=2.9~Ом\]

A2. Измерим комнатную температуру \(T_{0}=21.0~{ }^{\circ} \mathrm{C}\). Соберем установку, описанную во втором пункте условия, и измерим зависимость температуры холодной поверхности элемента Пельтье от силы тока, текущего через него. Также будем записывать показания напряжения источника \(U\) в момент установления температуры.

Ответ:

A3. Построим график зависимости установившейся температуры холодной поверхности элемента Пельтье от силы тока, текущего через него.

Ответ:

График зависимости \(T\) от \(I\)

A4. Для проверки модели, указанной в условии, построим исследованную зависимость в предполагаемых линеаризованных координатах \(\dfrac{T_{0}-T}{I}(I)\). Видно, что измеренная зависимость хорошо описывается указанной моделью только в области большой разности температур поверхностей элемента Пельтье. Это связано с тем, что температура нижней поверхности немного изменяется в течение эксперимента, что влияет на поток тепла, идущий от нижней поверхности к верхней в течение эксперимента за счет теплопроводности. Это особенно заметно при повторном измерении зависимости установившийся температуры от силы тока, когда сила тока в процессе измерений уменьшается от максимального значения к минимальному.

Ответ:

График зависимости \(\dfrac{T_0-T}{I}\) от \(I\)

A5. Для измерения зависимости термо-ЭДС в элементе Пельтье от разности температур нижней и верхней поверхностей соберем установку, в которой, как и в предыдущем пункте, нижняя часть элемента Пельтье будет лежать на радиаторе, помещенном в воду. На верхнюю же часть элемента Пельтье поставим чашку с горячей водой, обеспечив хороший тепловой контакт между дном чашки и поверхностью элемента при помощи термопасты. Будем считать, что температура нижней части элемента будет неизменна в течение эксперимента и равна температуре воды в сосуде, в котором стоит радиатор \(\left(T_{0}=21.5~^{\circ} \mathrm{C}\right),\) а температура верхней поверхности элемента будет совпадать с температурой воды в чашке. Будем измерять термо-ЭДС по мере остывания воды в чашке, фиксируя температуру \(T_ч\) в ней. Когда скорость остывания станет медленной, будем с помощью шприца добавлять холодную воду в чашку из сосуда, в котором установлен радиатор.

Построим график зависимости термо-ЭДС от разности температур в чашке и сосуде с радиатором.

Ответ:

График зависимости \(\mathcal E_T\) от \(T_ч - T_0\)

A6. Элемент Пельтье можно представить в виде последовательно соединенных резистора и термо-ЭДС. В этом случае падение напряжения на элементе Пельтье можно представить как: \[U=I R \pm \mathcal E_T \qquad(6)\] Знак перед термо-ЭДС зависит от разности температур пластин. Очевидно, что в случае самостоятельного разогрева пластин термо-ЭДС стремится уменьшить ток, текущий через элемент Пельтье. Тогда для падения напряжения на внутреннем сопротивлении можно записать: \[I R=U-\mathcal E_T \qquad(7)\] Рассчитаем падение напряжения на внутреннем сопротивлении элемента Пельтье в зависимости от силы тока, текущего через него из результатов пунктов A2 и A5.

Построим график зависимости падения напряжения на внутреннем сопротивлении элемента Пельтье от силы тока, текущего через него. График хорошо описывается линейной функцией, его угловой коэффициент равен внутреннему сопротивлению элемента Пельтье. Линейность графика говорит также о том, что сопротивление элемента Пельтье практически не зависит от приложенного напряжения, а также температур поверхностей.

\[R=2.94~ Ом\qquad(8)\]

Ответ:

\[R=2.94~ Ом\]

Ответ:

График зависимости \(U-\mathcal E_T\) от \(I\)

A7. Для расчета коэффициента Пельтье найдем силу тока, соответствующего минимальной температуре на графике в пункте A3. В модели, проверенной нами в пункте A4, этот ток отвечает отношению коэффициента Пельтье и внутреннего сопротивления элемента: \[I_{\min }=\frac{\Pi}{R}=2.7~А\qquad(6)\]Окончательно для коэффициента Пельтье получим:\[\Pi=I_{\min } R=7.94~В\qquad(7)\]

Ответ:

\[\Pi=7.94~В\]

Источник: pho.rs/p/4242.

Ответ

1.1: \(k=E bh/l\);  1.2: \[\frac{\Delta V}{V} \approx \Delta \ln (V)=\Delta \ln (b)+\Delta \ln (h)+\Delta \ln (l) \approx \frac{\Delta b}{b}+\frac{\Delta h}{h}+\frac{\Delta l}{l}=\frac{\Delta l}{l}(1-2 \mu) \qquad(3)\];  2.1: \[a=\frac{m_1}{\rho l_1}=(11.71 \pm 0.04)~мм^2. \qquad(4)\] \[A=\frac{m_2}{\rho l_2}=(27.1 \pm 4.0)~мм^2 \qquad(5)\];  2.2: \[E=\left(A k_1\right)^{-1}=(3.7 \pm 0.2) \cdot 10^6~Па. \qquad(6)\]

Решение

1.1. Используя приведенные определения, получим

Ответ:

\(k=E bh/l\)

1.2. Выражение для малого относительного изменения объема можно преобразовать следующим образом:

Ответ:

\[\frac{\Delta V}{V} \approx \Delta \ln (V)=\Delta \ln (b)+\Delta \ln (h)+\Delta \ln (l) \approx \frac{\Delta b}{b}+\frac{\Delta h}{h}+\frac{\Delta l}{l}=\frac{\Delta l}{l}(1-2 \mu) \qquad(3)\]

2.1. Для определения внутреннего сечения трубки наберем воду в часть трубки длиной \(l_1=(100.8 \pm 0.1)~см\). При помощи весов определим массу набранной в трубку воды \(m_1=(11.80 \pm 0.03)~г\). Зная плотность воды \(\rho=1.0~г/см^3\), получаем для внутреннего сечения трубки:

Ответ:

\[a=\frac{m_1}{\rho l_1}=(11.71 \pm 0.04)~мм^2. \qquad(4)\]

Для определения площади сечения стенок трубки опустим ее часть длиной \(l_2=(15.0 \pm 0.1)~см\) в мерный цилиндр, поставленный на весы, придерживая трубку так, чтобы она не касалась дна и стенок мерного цилиндра. На воду в цилиндре будет действовать сила (равная, по третьему закону Ньютона, силе Архимеда, действующей на трубку), которая приведет к изменению показаний весов на величину \(m_2=(4.06 \pm 0.03)~г\). Отсюда для сечения стенок трубки получим:

Ответ:

\[A=\frac{m_2}{\rho l_2}=(27.1 \pm 4.0)~мм^2 \qquad(5)\]

2.2. Снимем зависимость длины трубки \(\varepsilon_{l}=\Delta l / l\) от растягивающей ее силы \(F\):

Построим график полученной зависимости:

Ответ:

График зависимости \(\varepsilon_l\) от \(F\)

На начальном этапе график соответствует прямой линии. В этих пределах можно считать, что длина трубки и сечение ее стенок неизменно. Дальнейшее отклонение графика от прямой линии свидетельствует об уменьшении сечения стенок трубки, что приводит к уменьшению коэффициента жесткости. Определим угловой коэффициент линии, аппроксимирующей график на начальном этапе \(k_1=(1.00 \pm 0.04)\cdot 10^{-2}~Н^{-1}\). С учетом площади сечения стенок трубки получим для модуля Юнга:

Ответ:

\[E=\left(A k_1\right)^{-1}=(3.7 \pm 0.2) \cdot 10^6~Па. \qquad(6)\]

2.3. Заполним трубку водой практически полностью. Один конец трубки заткнем поршнем от шприца с крючком, а в другой конец вставим корпус второго шприца (левый и правый концы трубки соответственно на рисунке 3). Сообщающийся с атмосферой конец трубки зафиксируем струбциной на столе, а другой будем тянуть рукой.

Рис. 3. Установка для измерения коэффициента Пуассона материала трубки

Объем воды внутри трубки трубки неизменен. Обозначим этот объем \(v\). Тогда объем всей трубки можно рассчитать как:

\[V=v \frac{y}{y-x} \qquad(7)\]а его относительное изменение так:

\[\frac{\Delta V}{V_{0}}=\frac{y}{y_{0}} \frac{y_{0}-x_{0}}{y-x}-1 \qquad(8)\]По аналогии с пунктом \(2\) можно получить:

\[\frac{\Delta V}{V_{0}}=\frac{\Delta y}{y_{0}}-\frac{\Delta a}{a_{0}}=\frac{\Delta y}{y_{0}}(1-2 \mu) \qquad(9)\]Снимем зависимость координаты жидкости в трубке \(x\) от длины трубки \(y\). Рассчитаем относительное удлинение трубки и относительное изменение объема ее внутренней части для каждой ее длины.

Построим график зависимости \(\varepsilon_V\left(\varepsilon_y\right)\) :

График зависимости \(\varepsilon_V\) от \(\varepsilon_y\)

Угловой коэффициент прямой, описывающей зависимость, составляет

\(k_2=0.123 \pm0.004\).

Откуда коэффициент Пуассона:

Ответ:

\[\mu=\frac{1-k_2}{2}=0.438 \pm 0.002 \qquad(10)\]

Источник: pho.rs/p/4234.

Ответ

A6: \[S=0.365~см^2\];  A7: \[A=1.15\]

Решение

A1. Измерим зависимости величин \(h_1\) и \(h_2\) от координаты \(x\).

Ответ:

A2.

A3. Построим графики зависимости \(h_1\) и \(h_2\) от \(x\). Как видно величины высот имеют довольно большой разброс. С учетом этого факта можно описать зависимости как линейные с одинаковым угловым коэффициентом.

Ответ:

График зависимости \(h\) от \(x\)

A4. Измерим зависимость разности уровней в трубке от текущего через помпу тока.

Ответ:

A5. Включим помпу, когда открытый конец трубки находится в ведре. Настроим ток через помпу на значение, совпадающее со значением тока в предыдущем упражнении. Выключим помпу. Поставим на весы стакан, выставим значение весов на нулевую отметку. Поместим в стакан открытый конец трубки. Включим помпу, одновременно включив секундомер. По прошествии некоторого времени \(t\) выключим секундомер и помпу. Измерим массу воды \(m\), набравшуюся за это время в стакан. Рассчитаем объемный расход воды при данном токе:

\[Q=\frac{m}{\rho t} \qquad(1)\]где \(\rho=1~г/см\) – плотность воды. Изменим ток на следующее значение и повторим операцию. Внесём данные в таблицу выше.

A6. Для измерения площади сечения трубки засосем в нее воду из ведра и выльем ее в стакан. Разделив массу воды \(m_1=34.12~г\) плотность воды получим значение объема всей трубки. Длина трубки составляет \(l=93.50~см\). Тогда площадь сечения трубки:

\[S=\frac{m_1}{\rho l}=0.365~см^2 \qquad(2)\]

Ответ:

\[S=0.365~см^2\]

Для расчета средней скорости движения воды внутри трубки воспользуемся ее связью с объемным расходом воды:

\[v=\frac{Q}{S} \qquad(3)\]

A7. Построим требуемый в условии график. Как видно точки хорошо описываются линейной зависимостью без смещения.

Ответ:

График зависимости \(\frac{v^2}{g}\) от \(\Delta h\)

Угловой коэффициент полученной зависимости равен:

Ответ:

\[A=1.15\]

Теоретический расчет для трубки Пито классической конструкции составляет \(2.0\)

Источник: pho.rs/p/4219.

Ответ

A1: \[R_{опт}=(6.60 \pm 0.07)~см\];  B1: \[f(R, r)=\alpha(R-r)\];  B3: \[\alpha=(1.438 \pm 0.055), \quad R_{осц}=(7.21 \pm 0.31)~мм\]

Решение

A1. Соберем установку, показанную на рисунке 1. Для этого закрепим линзу с помощью пластилина в вертикальном положении так, чтобы горизонтальная координата самой «глубокой» точки на вогнутой поверхности линзы совпадала с координатой \(0~см\) линейки, лежащей на столе. Чтобы расположить линейку максимально точно, можно осветить линзу светодиодом с ее боковой поверхности и на просвет оценить положение самой «глубокой» точки вогнутой поверхности. Линейку на столе закрепим пластилином на ее концах. Вдоль линейки будем двигать светодиод так, чтобы центр светодиода был примерно на той же высоте, что и центр линзы (для этого светодиод можно закрепить с помощью пластилина на крышке от источника питания, как на подставке). Снимем зависимость расстояния \(b\) от центра вогнутой поверхности до изображения светодиода на экране от расстояния \(a\) между светодиодом и центром вогнутой поверхности линзы:

Из формулы 1 видно, что радиус кривизны можно получить, определив координату точки пересечения графика \({1}/{b}\left({1}/{a}\right)\) с осями. Построим предложенный график:

Из графика определим радиус кривизны вогнутой поверхности линзы:\[R_{опт}=(6.60 \pm 0.07)~см \qquad(4)\]

Ответ:

\[R_{опт}=(6.60 \pm 0.07)~см\]

B1. Из метода размерностей следует, что \([f(R, r)]=[м]\). Из рассмотрения критического случая \(r\to R\) следует, что \(f(R, R)=0\), так как, если радиус шара \(r \to R\), период осцилляций стремится к нулю. Из рассмотрения критического случая \(R\to \infty\) следует, что \(f(R \to \infty, r)=\infty\), так как, если вогнутая поверхность стремится к горизонтальной, колебания становятся бесконечно длинными. Таким образом можно предположить функцию:\[f(R, r)=\alpha(R-r) \qquad(5)\]

Ответ:

\[f(R, r)=\alpha(R-r)\]

B2. Расположим линзу горизонтально, вогнутой стороной вверх, прочно закрепив ее на парте пластилином. По вогнутой поверхности будем без начальной скорости запускать шарики разных радиусов и определять период \(T\) их колебаний методом рядов и усреднением. Для этого измерим время \(\tau_i N\) колебаний. Перед каждым запуском будем протирать линзу и шарик салфеткой:

Ответ:

B3. После преобразований исследуемая зависимость примет вид:

\[\frac{g T^2}{4 \pi^2}=\alpha(R-r) \qquad(6)\]Построим график \(\dfrac{g T^2}{4 \pi^2}(r)\) и определим \(\alpha\) из углового коэффициента прямой, а \(R_{осц}\) из координаты пересечения прямой и оси абсцисс:

Построим тот же график с указанием точки пересечения с осью абсцисс:

Из графика определим \(\alpha\) и \(R_{осц}\):

\[\alpha=(1.438 \pm 0.055), \quad R_{осц}=(7.21 \pm 0.31)~мм \qquad(7)\]

Ответ:

\[\alpha=(1.438 \pm 0.055), \quad R_{осц}=(7.21 \pm 0.31)~мм\]

B4. Интервалы допустимых с учетом погрешностей значений \(R_{опт}\) и \(R_{осц}\) не совпадают. Это обусловлено сферической аберрацией и неточечностью источника света в оптическом эксперименте, а также возможным проскальзыванием шарика при больших амплитудах колебаний в механическом эксперименте.

B5. Оценим \(\alpha_{теор}=1.4\), учитывая полученное экспериментальное значение. Отметим, что это верное теоретическое значение, так как оно соответствует коэффициенту в формуле момента инерции однородного шара относительно касательной к нему оси вращения.

Источник: pho.rs/p/4235.