IEPhO 2019, 11 класс

Ответ

A1: \[P_г=2.2~атм\];  A3: \[\mu_г=60~ \frac{г}{моль}\];  A4: \[\frac{\rho_ж}{\rho_г} \approx 100\]

Решение

A1. Для оценки давления внутри зажигалки соберем газовый манометр. Закроем один конец выданной трубки при помощи зажима, а на другом конце поместим капельку воды. Для этого достаточно пережать трубку пальцем, погрузить ее под воду и освободить. Измерим расстояние от капельки до закрытого зажимом конца трубки \(l_0=11.0~см\). Подключим конец с капелькой к зажигалке. Это приведет к смещению капельки. В новом положении длина столба воздуха между закрытым концом трубки и капелькой станет равной \(l=5.0~см\). Считая, что процесс смещения капельки изотермический, из закона Бойля-Мариотта получим:\[P_г=P_0 \frac{l_0}{l}=2.2~атм. \qquad(2)\]

Ответ:

\[P_г=2.2~атм\]

A2. Повторим эксперимент, заменив зажигалку на надутый шарик. Заметим, что капелька практически не смещается.

Поэтому далее будем считать, что давление в шарике равно атмосферному.

A3. Для измерения молярной массы вещества внутри зажигалки надуем этим веществом шарик, подсоединив зажигалку к нему при помощи трубки с зажимом. После этого взвесим зажигалку и получим массу вещества в газообразном состоянии внутри воздушного шарика \(m_г=m_з^{(0)}-m_з\), где \(m_з^{(0)}\) – начальная масса зажигалки с газом.

Теперь взвесим шарик (с трубкой, зажимом, впускной системой и иголкой), поместив его в стакан с гайками. Изменение показаний весов при его взвешивании по сравнению с не надутым шариком будет обусловлено не только изменением массы вещества внутри шарика, но и силой Архимеда: \[\Delta m_ш=m_г-\rho_в V, \qquad(3)\] где \(\rho_в\) – плотность окружающего воздуха, \(V\) – объем воздушного шарика. Для окружающего шарик воздуха можно записать закон Менделеева-Клапейрона: \[P_{0}=\frac{\rho_в}{\mu_в} RT \qquad(4)\] где \(\mu_в\) — молярная масса воздуха, \(T\) – температура окружающего воздуха. Для вещества внутри шарика также можно записать закон Менделеева-Клапейрона. Считая давление в шарике равным атмосферному, а температуру равной температуре окружающего воздуха, получим: \[P_0 V=\frac{m_г}{\mu_г} RT \qquad(5)\] где \(\mu_г\) – молярная масса вещества. Из \((4)\) и \((5)\) получим следующее выражение: \[\rho_в V=\frac{m_г \mu_в}{\mu_г} \qquad(6)\] Подставим его в формулу \((3)\): \[\frac{m_г \mu_в}{\mu_г}=m_г-\Delta m_ш \qquad(7)\] Повторим описанные измерения для разных масс газа в шарике, получим зависимость \(\Delta m_ш\) от \(m_г\) и построим ее график в координатах \(m_г-\Delta m_ш\) от \(m_г\). Согласно \((7)\), эта зависимость описывается линейной функцией с угловым коэффициентом, равным отношению молярных масс воздуха и вещества в зажигалке.

График зависимости \(m_г-\Delta m_ш\) от \(m_г\)

Из графика хорошо видно, что две верхние точки графика лежат явно выше прямой, проходящей через остальные точки. Это можно объяснить тем, что при больших объемах шарика толщина его стенок становится малой и газ заметно диффундирует через стенки. Из-за этого понижается масса шарика, что и приводит к увеличению вертикальной координаты графика. Однако при больших толщинах шарика диффузия не оказывает значительного эффекта, и экспериментальные точки хорошо описываются исходной теоретической моделью. Угловой коэффициент прямой, описывающей первые точки графика, равен:

\[A_{1}=\frac{\mu_в}{\mu_г}=0.48 \qquad(8)\]откуда молярная масса вещества:\[\mu_г=\frac{\mu_в}{A_1}=60~ \frac{г}{моль} \qquad(9)\]

Ответ:

\[\mu_г=60~ \frac{г}{моль}\]

A4. Плотность газовой фазы вещества внутри зажигалки несложно оценить из закона Менделеева-Клапейрона (температура в день измерений составляла \(T=22.0^{\circ} \mathrm{C}\)):\[\rho_г=\frac{P_г\mu_г}{RT}=5.4 \cdot 10^{-3} ~\frac{г}{см^3} \qquad(10)\]Для определения плотности жидкой фазы в процессе выполнения измерений для второго упражнения также будем отмечать уровень жидкости \(h\) внутри зажигалки. Построим график зависимости массы вытекшего вещества \(m_г\) от уровня \(h\):

График зависимости \(m_г\) от \(h\)

Модуль углового коэффициента полученной прямой равен произведению плотности жидкой фазы вещества и площади сечения внутренней части зажигалки:

\[A_2=\rho_ж S=0.85~ \frac{г}{см}. \qquad(11)\]Диаметр внутреннего сечения зажигалки оценим линейкой по виду с ее торцов \(x= 1.4~см\). Таким образом, плотность жидкой фазы вещества составляет:

\[\rho_{ж}=\frac{4 A_2}{\pi x^2}=0.55~ \frac{г}{см^3}. \qquad(12)\]Окончательно для отношения плотностей получаем:\[\frac{\rho_ж}{\rho_г} \approx 100 \qquad(13)\]

Ответ:

\[\frac{\rho_ж}{\rho_г} \approx 100\]

A5. Для определения коэффициента диффузии снимем зависимость массы газа в шарике \(m_г\) от времени после его надувания. Толщина стенок шарика будет изменяться со временем. Оценим ее как отношение объема шарика к площади его поверхности \(S\): \[d=\frac{M}{S\rho_р} \qquad(14)\] Здесь \(M=3.50~г\) – заданная в условии масса шарика, \(\rho_р\) – плотность резины (которую мы приняли равной плотности воды). Форму шарика будем считать приблизительно шарообразной, тогда для площади поверхности имеем: \[S=4 \pi r^2 \qquad(15)\] где \(r\) – характерный радиус шарика. Объем же шарика задается его радиусом: \[V=\frac{4 \pi r^3}{3}. \qquad(16)\] Умножив обе части формулы \((1)\) на массу одной молекулы вещества и площадь поверхности шарика, получим: \[\frac{\mathrm d m_г}{\mathrm dt}=-D \frac{\rho_г}{d}S \qquad(17)\] где \(\rho_г\) – плотность газа при атмосферном давлении (будем считать давление в надутом шарике в процессе диффузии примерно постоянным и равным атмосферному). С учетом выражения для толщины стенок шарика \((14)\) получим: \[\frac{\mathrm d m_г}{\mathrm dt}=-D \frac{\rho_г \rho_р}{M} S^2 \qquad(18)\] Выразим площадь поверхности шарика через его объем: \[\frac{\mathrm d m_г}{\mathrm dt}=-D \frac{\rho_г \rho_р}{M} 16 \pi^2\left(\frac{3 V}{4 \pi}\right)^{{4}/{3}} \qquad(19)\] Объем газа свяжем с его массой через плотность \(V={m}/{\rho_{\text {г }}}\), тогда выражение \((19)\) примет вид: \[\frac{\mathrm d m_г}{\mathrm dt}=-D \frac{\rho_р}{M \rho_г^{{1}/{3}}} 16 \pi^2\left(\frac{3 m_г}{4 \pi}\right)^{{4}/{3}} \qquad(20)\] Разделим переменные и проинтегрируем: \[\frac{1}{m_г^{1 / 3}}-\frac{1}{m_{0}^{1 / 3}}=D \frac{\rho_р}{M \rho_г^{{1}/{3}}} 4 \pi\left(\frac{3}{4 \pi}\right)^{{1}/{3}} t \qquad(21)\] где \(m_0\) – начальная масса газа в шарике.

Преобразуем формулу \((7)\) для связи массы газа в шарике и показаний весов при его взвешивании: \[m_г=\Delta m_ш \frac{\mu_г}{\mu_г-\mu_в} \qquad(22)\] а также запишем выражение для плотности газа внутри шарика, считая что в шарике находится только неизвестный газ: \[\rho_г=\frac{P_0 \mu_г}{RT} \qquad(23)\] Подставим полученные выражения в формулу \((21)\): \[\frac{1}{\Delta m_ш^{1/3}}-\frac{1}{\Delta m_{ш0}^{1/3}}=D \frac{\rho_р(RT)^{{1}/{3}}}{M\left(P_{0}\left(\mu_г-\mu_в\right)\right)^{{1}/{3}}} 4 \pi\left(\frac{3}{4 \pi}\right)^{{1}/{3}} t \qquad(24)\] Таким образом, в описанной модели график \(\dfrac{1}{\Delta m_ш^{1/3}}(t)\) должен быть линеен. Измерим зависимость показаний весов от времени и построим ее график:

График зависимости \(\Delta m_ш^{-{1}/{3}}\) от \(t\)

Определим угловой коэффициент графика:

\[A_3=D\frac{\rho_р\left(RT\right)^{{1}/{3}}}{M\left(P_{0}\left(\mu_г-\mu_в\right)\right)^{{1}/{3}}}4\pi\left(\frac{3}{4\pi}\right)^{{1}/{3}}=8.6\cdot 10^{-3}~\frac{1}{г^{{1}/{3}}\cdot мин}=1.43\cdot 10^{-4}~\frac{1}{г^{{1}/{3}}\cdot с}, \qquad(25)\]из которого выразим коэффициент диффузии:\[D=\frac{M A_3}{4 \pi \rho_р}\left(\frac{4 \pi P_0\left(\mu_г-\mu_в\right)}{3 R T}\right)^{{1}/{3}}=7 \cdot 10^{-10} ~\frac{м^2}{с}\qquad(26)\]

Ответ:

\[D=7 \cdot 10^{-10} ~{м^2}/{с}\]

Источник: pho.rs/p/4241.

Ответ

A2: \[\gamma=(90 \pm 5)~мВ /мТл\];  A4: \[h_{A}=(35 \pm 2)~мм\];  A5: \[h_{B}=(34.3 \pm 1.7)~мм\].

Решение

A1.

A2. Чтобы рассчитать значение чувствительности датчика \(\gamma\), можно снять зависимость показаний датчика \(V\) от индукции магнитного поля \(B\) в центре катушки. Значение индукции \(B\) определяется геометрическими параметрами катушки (\(L=(34 \pm 1)~мм\), \(R=(10 \pm 1)~мм\), \(N=85\), которые измеряем/считаем непосредственно), а также силой тока \(I\) в витках катушки (\(B \sim I\)). Соберем схему, приведенную на рисунке 3. Помещаем датчик магнитного поля в геометрический центр катушки. Будем менять напряжение \(U\) на источнике в пределах \([0.0 ; 0.4]~В\) (чтобы не сжечь катушку). Снимем зависимость показаний датчика \(V\) от силы тока \(I\) (ток измеряем по показаниям источника). Погрешности прямых измерений \(V\) и \(I\) малы.

Рис. 3. Электрическая схема для измерения чувствительности датчика Холла

Рис. 4. График зависимости показаний датчика Холла \(V\) от силы тока в катушке \(I\)

Погрешность оценим следующим образом

\[\varepsilon_{\gamma}=\varepsilon_{k}+\varepsilon_{\sqrt{L^{2}+4 R^{2}}}=\varepsilon_{k}+\sqrt{\frac{\varepsilon_{L}^{2}}{\left(1+4 R^{2} / L^{2}\right)^{2}}+\frac{\varepsilon_{R}^{2}}{\left(1+L^{2} / 4 R^{2}\right)^{2}}} \approx 5.8 \%\]Итоговый ответ:

Ответ:

\[\gamma=(90 \pm 5)~мВ /мТл\]

A3. Основная концептуальная идея определения направления магнитного диполя состоит в том, чтобы изобразить направления линий индукции магнитного поля снаружи цилиндра. Получив схему линий индукции поля похожую на то, что изображено на рисунке 5, положение и направление магнитного диполя однозначно определяются. Общий экспериментальный подход будет заключаться в том, чтобы при различных положениях/поворотах цилиндра определить направление поля в выбранной точке. Чтобы определить направление поля, можно находить такое положение датчика Холла, когда он будет показывать ноль, тогда поле будет направлено вдоль датчика.

Рис. 5. Линии индукции поля для магнитного диполя

Однако при первых же измерениях становится ясно, что можно воспользоваться особенностями и симметричностью линий поля в различных проекциях/сечениях. Например, ящик «В» можно поставить на основание цилиндра, и измерять поле в произвольной точке вблизи цилиндра, вращая цилиндр вокруг своей оси. Поле не будет меняться (см. рисунок 6). Это можно наблюдать для любого положения датчика по высоте вдоль образующей цилиндра. Таким образом заключаем, что магнитный момент в ящике «В» направлен вдоль оси цилиндра.

Рис. 6. Схематичное изображение метода определения направления магнитного момента

Зарисуем ответ (см. рисунок 7).

Ответ:

Рис. 7. Направление магнитного момента в ящике <<В>>

Для ящика «А» можно повторить эксперимент аналогичный ящику «В», разместив датчик так, чтобы он измерял радиальную компоненту индукции поля. Показания датчика в зависимости от угла поворота будут иметь вид, показанный на рисунке 8. Видно, что поле обнуляется дважды за период. Это соответствует тому, что магнитный момент в этот момент перпендикулярен радиус-вектору, направленному от оси цилиндра на датчик. Подобное поведение наблюдается для любого положения датчика по высоте вдоль образующей цилиндра, меняется лишь амплитуда этого изменения. Таким образом заключаем, что магнитный момент в ящике «А» направлен перпендикулярно оси цилиндра. Так как. амплитудные значения зависимости \(V(\varphi)\) одинаковы, заключаем, что магнитный момент находится на оси цилиндра.

Рис. 8. Изменение показаний датчика \(V\) при вращении цилиндра <<А>>

Отыскав на боковой поверхности цилиндра наибольшее значение \(V\), а следовательно, и \(B\), зарисуем ответ (см. рисунок 9).

Ответ:

Рис. 9. Направление магнитного момента в ящике <<А>>

A4. Для ящика «А», выполняя задание A3, при нахождении максимального значения \(B\) на поверхности цилиндра фактически было найдено и положение магнитного момента:

Ответ:

\[h_{A}=(35 \pm 2)~мм\]

A5. Положение магнитного момента в ящике «В» найдем следующим образом. Положим цилиндр горизонтально. Снимем зависимость показаний датчика \(V\) от расстояния между датчиком и основанием цилиндра вдоль его оси (см. рисунок 10). Погрешность измерения координаты \(\Delta x=1~мм\), погрешностью показаний датчика \(V\) пренебрежем.

Рис. 10. Схематичное изображение метода для определения положения магнитного момента в ящике <<В>>, а также для определения магнитных моментов в обоих ящиках

Для поля вдоль направления магнитного момента имеем:\[B=\frac{2 \mu_{0} \mu}{4 \pi r^{3}} \implies \frac{V}{\gamma}=\frac{\mu_{0} \mu}{2 \pi\left(h_{B}+x\right)^{3}} \implies V^{-1 / 3}=\left(\frac{2 \pi}{\mu_{0} \mu \gamma}\right)^{1 / 3}\left(h_{B}+x\right)\]

Рис. 11. Линеаризированный график зависимости показаний датчика Холла \(V\) от расстояния до торца цилиндра \(x\)

Таким образом, график в координатах \(V^{-1 / 3}(x)\) будет линейным (см. рисунок 11).

При этом угловой коэффициент будет \(k=\left(\dfrac{2 \pi}{\mu_{0} \mu \gamma}\right)^{1 / 3}=(71 \pm 2) \cdot 10^{-3}~В^{-1/3}/мм\), а свободный член \(b=k \cdot h_{B}=(2.45 \pm 0.05)~В^{-1/3}\). Их погрешности посчитаны МНК. Зная \(k\), найдем магнитный момент \(\mu_{B}=\dfrac{2 \pi}{\mu_{0} \gamma k^{3}}=0.153~А \cdot м^2\). Погрешность оценим следующим образом \(\varepsilon_{\mu B}=3 \varepsilon_{k}+\varepsilon_{\gamma} \approx 15 \%\). Зная \(k\) и \(b,\) найдем \(h_{B}=b / k=34.3~мм\). Погрешность оценим следующим образом \(\varepsilon_{h B}=\varepsilon_{b}+\varepsilon_{k} \approx 5 \%\). Проведя аналогичные измерения для ящика «А», определим и его магнитный момент \(\mu_A\). Отметим, что для повышения точности можно было снять зависимость вдоль оси цилиндра/направления магнитного момента с другой стороны цилиндра и полученные результаты усреднить.

Ответ:

\[h_{B}=(34.3 \pm 1.7)~мм\].

A6. Итоговые ответы:

Ответ:

\[\mu_{B}=(0.15 \pm 0.02)~А \cdot м^2,\quad \mu_{A}=(0.21 \pm 0.03)~А \cdot м^2\].

Источник: pho.rs/p/4236.

Ответ

A1: \[v=\sqrt{T / \rho(L)}\];  A2: \[\omega=\frac{\pi v}{L} n=\omega_{0} n,\quad n\in\mathbb N\];  B1: \[n=1\];  B2: \[k=(7.3 \pm 0.2)~Н/м\]

Решение

A1. Малость отклонения по сравнению с длиной резинки позволяет считать угол между участком резинки и \(O x\) малым. Если, к тому же, она натянута достаточно сильно, чтобы пренебречь изменением натяжения из-за увеличения длины, а также силой тяжести, второй закон Ньютона в проекции на \(O y\) для маленького участка резинки с координатами \((x, y(t))\) и длиной \(d x\) имеет следующий вид:

\[\mathrm d m \cdot\ddot{y}=T(\sin (\alpha(x+\mathrm d x))-\sin (\alpha(x))) \approx T\left(y'(x+\mathrm d x)-y'(x)\right) \approx T y''\cdot \mathrm d x \qquad(3)\]откуда получаем волновое уравнение:

\[\ddot{y}=\frac{T}{\rho(L)} y'' \qquad(4)\]Здесь \(\rho=\mathrm d m /\mathrm d x\) – линейная плотность резинки. Из этого уравнения заключаем

Ответ:

\[v=\sqrt{T / \rho(L)}\]

A2. Подстановка \((2)\) в \((1)\) приводит к следующему уравнению:

\[A{''}+\frac{\omega^{2}}{v^{2}} A=0. \qquad(5)\]Это уравнение колебаний (с тем отличием, что вместо времени здесь координата), решения которого можно записать в виде:

\[A(x)=A_{0} \sin \left(\frac{\omega}{v} x+\psi\right). \qquad(6)\]Для того, чтобы это решение описывало резинку, закрепленную на концах, нам нужно потребовать \(y(x=0, t)=y(x=L, t)=0\):

\[\left\{\begin{array}{l} \sin (\psi)=0, \qquad(7)\\ \sin \left(\dfrac{\omega}{v} L+\psi\right)=0, \end{array}\right.\]откуда следует условие:

Ответ:

\[\omega=\frac{\pi v}{L} n=\omega_{0} n,\quad n\in\mathbb N\]

A3. Решение, соответствующее номеру \(n\), имеет форму синусоиды с \(n-1\) нулем на отрезке \((0 ; L)\) (см. первые четыре решения на рисунках 3.1–3.4).

Ответ:

Рис. 3.1. \(n=1\)

Ответ:

Рис. 3.2. \(n=2\)

Ответ:

Рис. 3.3. \(n=3\)

Ответ:

Рис. 3.4. \(n=4\)

B1. Возбуждаемое описанным в условии способом колебание наиболее близко к синусоиде с

Ответ:

\[n=1\]

которая и будет вносить основной вклад в сумму нормальных колебаний, описывающих движение резинки. Отклонение начального профиля резинки от синусоиды описывается слагаемыми с \(n>1\).

B2. Закрепим участок резинки, имеющий длину \(L_{0}=(18.9 \pm 0.1)~см\), указанным в условии способом, растянув до некоторой длины \(L\). Используя стробоскоп, измерим зависимость частоты колебаний \(\nu\) от длины \(L\), которую мы можем менять, изменяя положение лапок на оси штатива.

Далее, пользуясь тем, что возбуждаемые колебания – нормальные с \(n=1\), получим формулу: \[\frac{\pi}{L} \sqrt{\frac{T}{\rho(L)}}=\omega=2 \pi \nu \qquad(8)\] Поскольку при изменении положения лапок неизменной остается не плотность резинки, а полная масса ее отрезка, приведем эту формулу к виду: \[T=\rho_{0} L_{0}(2 \nu)^{2} L \qquad(9)\] Обсудим несколько подробнее процедуру измерения частоты колебаний стробоскопом. Идея состоит в том, чтобы подобрать такую частоту, при которой можно наблюдать в свете стробоскопа стационарное изображение. Однако, если мы наблюдаем стационарную картинку на частоте \(\nu{'}\), то ее же мы будем видеть на частотах стробоскопа \(\nu{'} / n\), где \(n\) – натуральное число. Яркость стационарного изображения в свете стробоскопа, конечно, будет падать с ростом \(n\), однако это тяжело зафиксировать визуально. Поэтому, чтобы точно определить нужную частоту, будем действовать следующим образом. Найдем частоту \(\nu{'}\), при которой мы будем видеть два изображения колеблющейся резинки, расстояние между которыми уменьшается по мере затухания колебаний (см. рисунок 4а). Если при уменьшении частоты в два раза мы наблюдаем не две резинки, а уже одну (медленно движущуюся из крайнего положения в положение равновесия (см. рисунок 4б), то частота колебаний резинки равна \(\nu{'} / 2\). Ясно, что при достаточно маленьком шаге измерений такую проверку достаточно проделать для одной длины, поскольку изменение частоты для двух разных длин будет много меньше самого значения частоты.

Рис. 4. Изображение в свете стробоскопа: а) частота колебаний в два раза меньше частоты стробоскопа; б) частоты совпадают

По нескольким причинам удобнее проводить измерения не самой частоты \(\nu{'}\), а ее удвоенного значения. Во-первых, это позволяет измерять маленькие частоты колебаний (на частотах ниже \(30-40~Гц\) время реакции глаза на изменяющуюся освещенность оказывается сравнимым с временем между вспышками стробоскопа, и видны уже отдельные вспышки, а не «усредненная» стационарная картинка; при измерениях на удвоенной частоте можно дойти до вдвое меньших частот колебаний резинки). Во-вторых, при измерениях на удвоенной частоте существенно лучше удается ограничить диапазон частот, в котором изображение является стационарным (меняющимся только на масштабах характерного времени затухания колебаний), то есть погрешность определения частоты падает. Для оценки погрешности будем изменять частоту с маленьким шагом около \(2 \nu{'}\) и определим диапазон частот, в котором в свете стробоскопа наблюдаются два изображения резинки, медленно приближающиеся друг к другу. Границами диапазона будут частоты, на которых после совмещения изображения резинки снова расходятся.

Проведем измерения и расчеты, позволяющие найти зависимость \(T\left(L / L_{0}\right)\). Погрешность измерения длин примем за \(\delta L=1~мм\). Для всех частот оценим погрешность измерения сверху как \(\delta \nu=10~мин^{-1}\).

Погрешность определения силы натяжения оценена как \(\delta F=(2 \delta(2 \nu) /(\nu)+\delta L / L) F\). Построим график зависимости \(T\left(L / L_{0}\right)\):

График зависимости \(T\left(L / L_{0}\right)\)

Видно, что имеется довольно широкая область линейности функции \(T\left(L / L_{0}\right)\), где резинку можно описывать жесткостью

Ответ:

\[k=(7.3 \pm 0.2)~Н/м\]

B3. Теперь зафиксируем положение концов резинки и в третью муфту вставим трубку, вокруг которой обмотаем резинку в один оборот, как показано на рисунке 5. Будем оттягивать трубку вниз так, чтобы резинка скользила по ней. Зафиксируем трубку в некотором положении. По формуле Эйлера отношение сил натяжения резинки сверху и снизу дается формулой (знак + в показателе экспоненты соответствует движению трубки вниз перед тем как мы ее закрепили): \[\frac{T_{1}}{T_{2}}=e^{2 \pi \mu} \qquad(10)\] Здесь \(\mu\) – искомый коэффициент трения.

Рис. 5. Схема установки для измерения коэффициента трения

Теперь, не меняя положений концов резинки и трубки, измерим частоты колебаний \(\nu_{1}\) и \(\nu_{2}\) верхней и нижней частей резинки способом, аналогичным описанному выше для измерения зависимости \(T(L)\). Измерим длины \(a_{1}\) и \(a_{2}\) этих участков резинки и сделаем пометки в точках соприкосновения резинки с трубкой. После измерения частоты трубку нужно аккуратно извлечь и по сделанным пометкам измерить длины \(a_{1}^{0}\) и \(a_{2}^{0}\) верхнего и нижнего участков резинки. Тогда, исходя из выражения для нормальной частоты колебания с \(n=1\), можно записать: \[\frac{\nu_{1}}{\nu_{2}}=\sqrt{\frac{T_{1} \rho_{2}}{T_{2} \rho_{1}}} \frac{a_{2}}{a_{1}}=\sqrt{\frac{T_{1} a_{2}^{0} a_{1}}{T_{2} a_{1}^{0} a_{2}}} \frac{a_{2}}{a_{1}}=\sqrt{\frac{T_{1} a_{2}^{0} a_{2}}{T_{2} a_{1}^{0} a_{1}}} \qquad(11)\] Здесь мы воспользовались тем, что в отсутствие трубки линейная плотность резинки одинакова по всей длине.

Записанные выражения позволяют провести линеаризацию: \[y=\left(\nu_{1} / \nu_{2}\right)^{2}=e^{\pi \mu} \frac{a_{2}^{0} a_{2}}{a_{1}^{0} a_{1}}=e^{\pi \mu} x \qquad(12)\] По измеренным значениям \(T_{1(2)}, a_{1(2)}\) и \(a_{1(2)}^{0}\) для разных положений трубки определим \(\mu\).

Результаты измерений:

Расчет величин \(y\) и \(x\) дает:

График зависимости \(y(x)\):

Рис. 6. График зависимости \(y(x)\)

Измерения проводились для разных положений трубки и при разных натяжениях. Угловой коэффициент прямой, описывающей эту зависимость, \(k=2.70\) дает

Ответ:

\[\mu=\ln (k) / \pi=0.32\]

Источник: pho.rs/p/4237.

Ответ

A1: \[k=E bh/l\];  A2: \[\frac{\Delta V}{V} =\frac{\Delta l}{l}(1-2 \mu)\];  B1: \[a=(11.71 \pm 0.04)~мм^2\] \[A=(27.1 \pm 4.0)~мм^2\];  B2: \[E=(3.7 \pm 0.2) \cdot 10^6~Па\];  B3: \[\mu=0.438 \pm 0.002\];  C1: \[k_3=(12.9 \pm 0.9) \cdot 10^{-7}~Па^{-1}\]

Решение

A1. Используя приведенные определения, получим

Ответ:

\[k=E bh/l\]

A2. Выражение для малого относительного изменения объема можно преобразовать следующим образом:\[\frac{\Delta V}{V} \approx \Delta \ln (V)=\Delta \ln (b)+\Delta \ln (h)+\Delta \ln (l) \approx \frac{\Delta b}{b}+\frac{\Delta h}{h}+\frac{\Delta l}{l}=\frac{\Delta l}{l}(1-2 \mu) \qquad(3)\]

Ответ:

\[\frac{\Delta V}{V} =\frac{\Delta l}{l}(1-2 \mu)\]

B1. Для определения внутреннего сечения трубки наберем воду в часть трубки длиной \(l_1=(100.8 \pm 0.1)~см\). При помощи весов определим массу набранной в трубку воды \(m_1=(11.80 \pm 0.03)~г\). Зная плотность воды \(\rho=1.0~г/см^3\), получаем для внутреннего сечения трубки:\[a=\frac{m_1}{\rho l_1}=(11.71 \pm 0.04)~мм^2. \qquad(4)\]

Ответ:

\[a=(11.71 \pm 0.04)~мм^2\]

Для определения площади сечения стенок трубки опустим ее часть длиной \(l_2=(15.0 \pm 0.1)~см\) в мерный цилиндр, поставленный на весы, придерживая трубку так, чтобы она не касалась дна и стенок мерного цилиндра. На воду в цилиндре будет действовать сила (равная, по третьему закону Ньютона, силе Архимеда, действующей на трубку), которая приведет к изменению показаний весов на величину \(m_2=(4.06 \pm 0.03)~г\). Отсюда для сечения стенок трубки получим:\[A=\frac{m_2}{\rho l_2}=(27.1 \pm 4.0)~мм^2 \qquad(5)\]

Ответ:

\[A=(27.1 \pm 4.0)~мм^2\]

B2. Снимем зависимость длины трубки \(\varepsilon_{l}=\Delta l / l\) от растягивающей ее силы \(F\):

Построим график полученной зависимости:

Ответ:

График зависимости \(\varepsilon_l\) от \(F\)

На начальном этапе график соответствует прямой линии. В этих пределах можно считать, что длина трубки и сечение ее стенок неизменно. Дальнейшее отклонение графика от прямой линии свидетельствует об уменьшении сечения стенок трубки, что приводит к уменьшению коэффициента жесткости. Определим угловой коэффициент линии, аппроксимирующей график на начальном этапе \(k_1=(1.00 \pm 0.04)\cdot 10^{-2}~Н^{-1}\). С учетом площади сечения стенок трубки получим для модуля Юнга:\[E=\left(A k_1\right)^{-1}=(3.7 \pm 0.2) \cdot 10^6~Па. \qquad(6)\]

Ответ:

\[E=(3.7 \pm 0.2) \cdot 10^6~Па\]

B3. Заполним трубку водой практически полностью. Один конец трубки заткнем поршнем от шприца с крючком, а в другой конец вставим корпус второго шприца (левый и правый концы трубки соответственно на рисунке 3). Сообщающийся с атмосферой конец трубки зафиксируем струбциной на столе, а другой будем тянуть рукой.

Рис. 3. Установка для измерения коэффициента Пуассона материала трубки

Объем воды внутри трубки неизменен. Обозначим этот объем \(v\). Тогда объем всей трубки можно рассчитать как: \[V=v \frac{y}{y-x} \qquad(7)\]а его относительное изменение так: \[\frac{\Delta V}{V_{0}}=\frac{y}{y_{0}} \frac{y_{0}-x_{0}}{y-x}-1 \qquad(8)\]По аналогии с пунктом B2 можно получить: \[\frac{\Delta V}{V_{0}}=\frac{\Delta y}{y_{0}}-\frac{\Delta a}{a_{0}}=\frac{\Delta y}{y_{0}}(1-2 \mu) \qquad(9)\]Снимем зависимость координаты жидкости в трубке \(x\) от длины трубки \(y\). Рассчитаем относительное удлинение трубки и относительное изменение объема ее внутренней части для каждой ее длины.

Построим график зависимости \(\varepsilon_V\left(\varepsilon_y\right)\) :

Ответ:

График зависимости \(\varepsilon_V\) от \(\varepsilon_y\)

Угловой коэффициент прямой, описывающей зависимость, составляет \(k_2=0.123 \pm0.004\).

Откуда коэффициент Пуассона:\[\mu=\frac{1-k_2}{2}=0.438 \pm 0.002 \qquad(10)\]

Ответ:

\[\mu=0.438 \pm 0.002\]

C1. Наберем в трубку воду. Заткнем один из концов трубки поршнем шприца. В другой конец трубки вставим шприц, заполненный водой и воздухом в соотношении примерно \(1:1\) (см. рисунок 4).

Рис. 4. Внутреннее сечение и сечение стенок трубки

Будем нажимать на шприц и следить за суммарным объемом воды и воздуха в шприце \(v_1\) и объемом воды в шприце \(v_2\). Разница этих двух объемов составит объем воздуха, по изменению которого из закона Бойля–Мариотта можно рассчитать дополнительное давление в системе:

\[\frac{\Delta P}{P_0}\frac{v_1^{(0)}-v_2^{(0)}}{v_0-v_2}-1 \qquad(11)\]Изменение объема \(v_2\) показывает увеличение объема воды внутри трубки. Длина заполненной водой части трубки составляет \(l_3=(96.0 \pm 0.1)~см\), тогда ее изначальный объем:

\[V_0=a l_3=(11.24 \pm 0.05)~мл \qquad(12)\]Измерим зависимость \(v_2\) от \(v_1\). Рассчитаем \(\Delta P\) и относительное изменение \(\Delta V / V_0=\) \(-\Delta v_2/V_0\) объема воды в трубке:

Построим график зависимости относительного изменения объема трубки от дополнительного давления в ней. Определим угловой коэффициент графика:\[k_3=(12.9 \pm 0.9) \cdot 10^{-7}~Па^{-1} \qquad(13)\]

Ответ:

График зависимости \(\frac{\Delta V}{V_0}\) от \(\Delta P\)

Ответ:

\[k_3=(12.9 \pm 0.9) \cdot 10^{-7}~Па^{-1}\]

C2. Заметим, что длина трубки при такой деформации остается практически неизменной. Значит, изменение ее внутреннего объема обусловлено лишь изменением ее внутреннего сечения.

C3. Для объяснения полученного эффекта воспользуемся моделью тонкостенной трубки, внутри которой создано дополнительное давление \(\Delta P\) по отношению к внешнему. Толщину стенок трубки обозначим за \(d\), ее радиус за \(R\). Выделим в трубке сегмент длиной \(l\), угловым размером \(2 \alpha\) (см. рисунок 5). Красными стрелками на рисунке обозначим направление сил упругости. Синим обозначим направление сил, созданных за счет внутреннего давления.

Рис. 5. Внутреннее сечение и сечение стенок трубки

Запишем условие его равновесия в радиальном направлении: \[E\left(\frac{\Delta R}{R}\right) 2 \alpha l d=\Delta P l 2 \alpha R \qquad(14)\] где \(\Delta R/R\) – относительная деформация трубки в радиальном направлении, обусловленная лишь давлением газа внутри трубки на ее стенки.

Аналогичное соотношение запишем для части трубки, находящейся вблизи ее торца, закрытого поршнем, прикрепленным к стенкам трубки, в направлении оси трубки: \[E\left(\frac{\Delta l}{l}\right) 2 \pi R d=\Delta P \pi R^2 \qquad(15)\] где \(\Delta l/l\) – относительная деформация трубки в осевом направлении, обусловленная лишь давлением газа внутри трубки на ее торцы.

Из последних двух соотношений можем получить, что деформация в радиальном направлении в два раза превышает деформацию в осевом. \[\frac{\Delta R}{R}=2 \frac{\Delta l}{l}=\frac{\Delta P R}{E}, \qquad(16)\] В свою очередь, кроме деформации, обусловленной давлением, существует деформация, обусловленная соотношением Пуассона. Общая деформация в осевом направлении тогда составляет: \[\left(\frac{\Delta l}{l}\right)_{\Sigma}=\frac{\Delta l}{l}-\mu \frac{\Delta R}{R}=\frac{\Delta R}{R}\left(\frac{1}{2}-\mu\right). \qquad(17)\]В итоге наблюдаемая деформация в осевом направлении будет равна нулю в случае, если коэффициент Пуассона равен:

Ответ:

\[\mu=1 / 2\]

Источник: pho.rs/p/4244.

Ответ

A1: \[\alpha=16.7~\dfrac{Вт}{м^2\cdot{ }^{\circ} \mathrm C}\];  B1: \[\frac{\alpha}{\lambda}=0.38~м^{-1}\];  B2: \[\lambda=44~\dfrac{Вт}{м\cdot{}^\circ\mathrm C}\];  C1: \[q(x)-q(x+\mathrm d x)-\alpha P \,\mathrm d x\cdot\left(T(x)-T_{0}\right)=0\];  C2: \[\lambda S T^{\prime \prime}(x)=\alpha P\,\mathrm d x\cdot\left(T(x)-T_{0}\right)\];  C3: \[C_{3}=0\]

Решение

A1. Опустим на некоторое время линейку в мерный цилиндр, заполненный кипятком. Нагревшуюся линейку подвесим за нить к штативу. Чувствительный элемент термометра прикрепим к линейке аналогом пластилина, промазав место контакта термопастой. Снимем зависимость температуры линейки от времени.

Остывание описывается следующей зависимостью:

\[T(t)=T_{0}+\left(T_{\max }-T_{0}\right) e^{-\beta t}, \quad \beta=\frac{2 \alpha L W}{cm} \qquad(7)\]Строим график зависимости \(\ln \left(T-T_{0}\right)\) от \(t\). По коэффициенту наклона находим \(\beta\), а затем и

Ответ:

\[\alpha=16.7~\dfrac{Вт}{м^2\cdot{ }^{\circ} \mathrm C}\]

B1. Греем линейку с одного конца резисторами, снимаем зависимость установившейся температуры от координаты.

Строим график \(\ln \left(T-T_{0}\right)\) от \(x\).

Коэффициент наклона \[b^{2}=\frac{2 \alpha(W+H)}{\lambda W H} \approx \frac{2 \alpha}{\lambda H} \qquad(8)\] Получаем следующее отношение коэффициентов\[\left(\frac{\alpha}{\lambda}\right)_{B}=\frac{b^{2} H}{2}=0.38~м^{-1} \qquad(9)\]

Ответ:

\[\frac{\alpha}{\lambda}=0.38~м^{-1}\]

B2. Коэффициент теплопроводности

\[\lambda=\dfrac{\alpha}{{\alpha}/{\lambda}}=44~\dfrac{Вт}{м\cdot{}^\circ\mathrm C} \qquad(10)\]

Ответ:

\[\lambda=44~\dfrac{Вт}{м\cdot{}^\circ\mathrm C}\]

C1. \[q(x)-q(x+\mathrm d x)-\alpha P \,\mathrm d x\cdot\left(T(x)-T_{0}\right)=0 \qquad(11)\]

Ответ:

\[q(x)-q(x+\mathrm d x)-\alpha P \,\mathrm d x\cdot\left(T(x)-T_{0}\right)=0\]

C2. \[\lambda S T^{\prime \prime}(x)=\alpha P\,\mathrm d x\cdot\left(T(x)-T_{0}\right) \qquad(12)\]

Ответ:

\[\lambda S T^{\prime \prime}(x)=\alpha P\,\mathrm d x\cdot\left(T(x)-T_{0}\right)\]

C3. На бесконечности температура не бесконечная, а стремится к нулю:

\[C_{3}=0 \qquad(13)\]

Ответ:

\[C_{3}=0\]

Подставим решение в общем виде в уравнение, полученное равенство должно быть верным при любом \(x\). Найдем коэффициенты:

\[C_{1}=T_{0}, \quad C_{2}=T_{H}-T_{0}, \quad k^{2}=b^{2}=\frac{\alpha P}{\lambda S} \qquad(14)\]

Ответ:

\[C_{1}=T_{0}, \quad C_{2}=T_{H}-T_{0}, \quad k^{2}=b^{2}=\frac{\alpha P}{\lambda S}\]

Источник: pho.rs/p/4238.

Ответ

A2: Одна октава с точки зрения частот – это увеличение частоты в два раза.;  A4: \[\alpha=-2\]

Решение

A1. Измерим частоты основного тона металлофона

Ответ:

A2. Заметим, что частоты нот, отличающихся на октаву, относятся как \(1:2\). Таким образом, музыкальный интервал говорит об отношении частот.

Ответ:

Одна октава с точки зрения частот – это увеличение частоты в два раза.

A3. Рассмотрим отношение частот двух последовательных нот. Заметим, например, что нота до больше ноты си в \(\approx 1.06\) раза. Такое же соотношение между нотой фа и нотой ми. Между остальными нотами соотношение \(\approx 1.12\) раза.

С другой стороны между двумя нотами двух ближайших октав находится шесть тонов поэтому

Ответ:

• Интервал в один тон – это изменение частоты в \(2^{\frac{1}{6}}\) раз

• Интервал в один полутон – изменение частоты в \(2^{\frac{1}{12}}\) раз

A4. Измерим длины всех планок. Построим в логарифмическом масштабе частоту основного тона колебаний планки от ее длины. Найдем степень \(\alpha \approx-2\).

Ответ:

Ответ:

График зависимости \(\ln f\) от \(\ln l\)

Ответ:

\[\alpha=-2\]

A5. Снимем зависимость частоты первого и второго обертонов от длины планки. Отметим, что стоит быть аккуратным при снятии данных, так как на низких нотах и на высоких нотах порядок по возрастанию этих обертонов разный. Для степеней получаем: \(\alpha_1\approx-1\) и \(\alpha_2\approx-2\).

Ответ:

Ответ:

График зависимости \(\ln f_i\) от \(\ln l\)

Ответ:

\[\alpha_1=-1,\quad \alpha_2=-2\]

Источник: pho.rs/p/4239.