IEPhO 2019, 8 класс

Ответ

A2: \[K_2=(0.88 \pm 0.20) ~\frac{^{\circ} \mathrm{C}}{г}\];  A3: \[T_{паяльника} \approx 250^{\circ} \mathrm{C}\] \[T_{плавления} \approx 170{ }^{\circ} \mathrm{C}\]

Решение

A1. Нальем в одну кружку горячую воду, а в другую холодную. Массу холодной воды \(m_{1}=34.31~г\) возьмем небольшой для того, чтобы фиксировать наибольшее изменение температуры. Измерим массу припоя \(m=6.14~г\). Привяжем к припою нитку. Будем последовательно погружать припой сначала в горячую воду, потом в холодную. Повторим этот опыт несколько раз. Каждый раз будем фиксировать температуру холодной \(T_х\) и горячей \(T_г\) в процессе, для этого поместим термометры в каждую из чашек и будем помешивать воду в них для установления равномерного распределения температуры. Для любой такой итерации можем записать уравнение теплового баланса:

\[m_{1} C_{воды} \Delta T_х=m C_{припоя}\left(T_г-T_х,\right) \qquad(1)\]где \(C_{воды}\) – удельная теплоемкость воды, \(C_{припоя}\) – удельная теплоемкость припоя. Характерное значение удельной теплоемкости пластика \(C_{пл} \approx 200 \frac{Дж}{кг\cdot {}^{\circ} \mathrm{C}}\), ее масса порядка \(15~г\). Таким образом, ее суммарная теплоемкость составляет порядка \(5 \%\) от теплоемкости воды. Учтем этот факт погрешности измерений. Просуммировав такие уравнения для каждой итерации получим:

\[m_{1} C_{воды} \sum \Delta T_х=m C_{припоя} \sum\left(T_г-T_х\right) \qquad(2)\]Построим график зависимости \(\sum \Delta T_х\) от \(\sum\left(T_г-T_х\right)\). Его угловой коэффициент составляет:

\[K_1=\frac{m C_{припоя}}{m_1 C_{воды}}=(7.13 \pm 0.05) \cdot 10^{-3} \qquad(3)\]Откуда удельная теплоемкость припоя:

\[C_{припоя}=\frac{K_{1} m_{1} C_{воды}}{m}=(167 \pm 10) \frac{Дж}{кг\cdot {}^{\circ} \mathrm{C}} \qquad(4)\]

Ответ:

Ответ:

График зависимости \(\sum \Delta T_х\) от \(\sum\left(T_г-T_х\right)\)

A2. Наберем в чашку вторую порцию холодной воды \(m_2 = 25.77~г\). при температуре окружающей среды \(T_0 = 14.9^{\circ} \mathrm{C}\). Поставим чашку на весы, опустим в нее чувствительный элемент термометра. Расположим над чашкой припой и будем плавить его паяльником. Расплавленные капли припоя после набора критической массы будут отрываться от паяльника и попадать в чашку, повышая температуру воды в ней. Температуру капель \(T_{припоя}\) при отрыве будем считать равной температуре плавления, так как, в связи с большой мощностью теплопотерь, за время формирования капли она достигает этого значения. Массу попавшего в чашку припоя \(m\) будем фиксировать по весам, температуру воды в чашке \(T\) будем фиксировать термометром, осуществляя небольшое помешивание воды. Измерим зависимость температуры воды в чашке от массы попавшего в нее разогретого припоя.

Составим уравнение теплового баланса, пренебрежем при этом теплоемкостью чашки и теплоемкостью уже остывшего в чашке припоя. Также будем считать, что теплоемкость припоя при фазовом переходе не меняется. \[m_{2} C_{воды} \Delta T=m C_{припоя}\left(T_{припоя}-T_{0}\right)+m \lambda \qquad(5)\]где \(\Delta T=T_{припоя}-T_{0}\).

Ответ:

График зависимости \(\Delta T\) от \(m\)

Тогда угловой коэффициент графика изменения температуры воды в чашке от массы попавшего в нее припоя будет составлять:

\[K_2=\frac{C_{припоя}\left (T_{припоя}-T_0\right)+\lambda}{m_{2} C_{воды}}=(0.88 \pm 0.20) ~\frac{^{\circ} \mathrm{C}}{г} \qquad(6)\]

Ответ:

\[K_2=(0.88 \pm 0.20) ~\frac{^{\circ} \mathrm{C}}{г}\]

A3. Для измерения температуры паяльника недостаточно просто приложить к нему чувствительный элемент термометра так как в этом случае не будет обеспечен должный тепловой контакт. Поэтому расплавим на оргалите большую каплю припоя и, держа паяльник в ней, опустим чувствительный элемент термометра в каплю.

Такая оценка температуры паяльника дает значение:

Ответ:

\[T_{паяльника} \approx 250^{\circ} \mathrm{C}\]

Для оценки температуры плавления припоя вынем из капли паяльник и будем наблюдать за охлаждением капли и температурой на термометре. Температура будет уменьшаться и на некоторое время остановится (или существенно замедлится скорость ее изменения) на отметке:

Ответ:

\[T_{плавления} \approx 170{ }^{\circ} \mathrm{C}\]

Этот эффект можно объяснить выделением дополнительного тепла в капле при ее отвердевании. Соответственно, измеренная таким образом температура и будет оценкой температуры затвердевания/плавления припоя.

A4. Для определения теплоты плавления припоя воспользуемся угловым коэффициентом графика, построенным в пункте \(2\). Произведение этого коэффициента на теплоемкость порции воды в чашке даст суммарную теплоту, отдаваемую единицей массы припоя воде. Эта теплота складывается из двух компонент: теплоты плавления-отвердевания и теплоты, связанной с изменением температуры припоя: \[C_{припоя }\left(T_{припоя}-T_{0}\right)+\lambda=K_{2} m_{2}C_{воды}=(95 \pm 10) ~\frac{кДж}{кг} \qquad(7)\] Температура воды в процессе нагрева меняется незначительно по сравнению с разницей температур между температурой припоя и воды. Таким образом, теплота, идущую на остывание припоя можно оценить: \[C_{припоя}\left(T_{припоя}-T_{0}\right)=(26 \pm 6)~ \frac{кДж}{кг} \qquad(8)\] Тогда для удельной теплоты плавления получим:\[\lambda=K_{2} m_{2} C_{воды}-C_{припоя}\left(T_{припоя}-T\right)=(69 \pm 16) ~\frac{кДж}{кг} \qquad(9)\]

Ответ:

\[\lambda=(69 \pm 16) ~\frac{кДж}{кг}\]

Источник: pho.rs/p/4211.

Ответ

A1: \[v_{1}=\frac{k^{2} g}{4} \frac{1}{\nu} \qquad(3)\]\[v_{2}=2 \Delta x \nu \qquad(4)\]

Решение

A1. Воспользуемся формулами \((1)\) и \((2)\) и определением частоты из условия:

Ответ:

\[v_{1}=\frac{k^{2} g}{4} \frac{1}{\nu} \qquad(3)\]\[v_{2}=2 \Delta x \nu \qquad(4)\]

A2. Для вычисления средней скорости отметим на стержне две точки на расстоянии \(250~мм\) друг от друга. Верхняя отмеченная точка должна отступать от точки запуска дятла на пару сантиметров, так как постоянная средняя скорость устанавливается не сразу после запуска. При движении дятла удобно измерять время от момента достижения шайбой верхней отметки до момента достижения нижней. Для большей точности измерим время при каждой массе довеска трижды.

При вычислении частоты удобно следовать следующему алгоритму: сначала в режиме «грубой» настройки необходимо получить не очень быстро смещающееся между вспышками изображение. Для определения смещения удобно смотреть на контрастные области дятла, колеблющиеся с большой амплитудой (к примеру, кончик клюва). Затем в режиме «тонкой» настройки в процессе движения дятла необходимо поймать частоту, при которой картинка практически неподвижна.

Ответ:

Таблица 1. Результаты измерений и вычислений

A3. На основании полученных данных можно утверждать, что первая модель однозначно не выполняется, так как при росте частоты монотонно растет скорость, что противоречит первой модели. Для подтверждения или опровержения второй модели построим график зависимости \(v(\nu)\): если он получится линейным и будет проходить близко к началу координат, то можно будет рассуждать о корректности модели.

Ответ:

Рис. 7. График зависимости \(v\) от \(\nu\)

Из полученного графика можно сделать вывод, что вторая модель однозначно не подтверждается, ведь зависимость, хоть и относительно хорошо аппроксимируется прямой, но не проходит через начало координат. Таким образом,

Ответ:

\[обе~ модели ~нельзя ~назвать~ верными\]

Источник: pho.rs/p/4212.

Решение

A1. В данной задаче роль сосуда Мариотта выполняет 4-литровая бутылка с пробкой, через которую проходят две трубки. Установим бутылку на парту, а в штативе, поставленном на пол, закрепим нагреватель. Выходную трубку нагревателя направим в ведро, установленное на пол возле нагревателя. Для запуска течения воды будем использовать шприц, высасывая воздух из выходной трубки сосуда Мариотта. Для регулировки скорости потока жидкости будем менять высоту расположения проточного нагревателя.

A2. В данной задаче мы пренебрегаем теплообменом воды с окружающим нагреватель воздухом. В то же время признаётся тот факт, что тепло, вырабатываемое нагревателем, не в полной мере расходуется на нагрев воды. Общее уравнение теплового баланса для процессов в проточном водонагревателе: \[N=c \rho W\left(T_{2}-T_{1}\right) \qquad(2)\] где \(N\) – искомая мощность нагревательного элемента, \(c\) – удельная теплоёмкость воды, \(\rho\) – плотность воды, \(W\) – объемный расход воды, \(T_{1}\) – температура воды на входе, \(T_{2}\) – температура воды на выходе.

Заправим сосуд Мариотта водой. Запустим процесс течения воды через нагреватель. Для того, чтобы вычислить величину объемного расхода воды, будем измерять объём протекшей воды \(v\) и время ее истечения \(t\). Для измерения объёма будем использовать мерный цилиндр, для измерения времени – секундомер. Измеряя с помощью термометра температуру вытекающей из нагревателя воды, дождёмся установления стационарной температуры. После этого зафиксируем температуры воды на выходе \(T_{2}\) и на входе \(T_{1}\). Периодически меняя высоту установки нагревателя относительно сосуда Мариотта, измерим зависимость разности температур воды на выходе (температура \(T_{2}\)) и на входе (температура \(T_{1}\)) из нагревателя от потока \(W\) воды. Результаты измерений приведены в таблице ниже.

Ответ:

Выражение \((2)\) указывает на линейность зависимости \(W\) от \(1 /\left(T_{2}-T_{1}\right)\). Построим график зависимости \(W\) от \(1 /\left(T_{2}-T_{1}\right)\) (см. рисунок 4).

Ответ:

Рис. 4. График зависимости \(W\) от \(1 /\left(T_{2}-T_{1}\right)\)

A3. Вычислим искомое значение мощности \(N\):

\[N=k c \rho=18~Вт\qquad(3)\]

Ответ:

\[N=18~Вт\]

Источник: pho.rs/p/4213.

Ответ

A2: \[\rho=7.85 ~\frac{г}{см^3}\]

Решение

A1. Измерим зависимость длины шнура от количества подвешенных грузиков. Рассчитаем силу, растягивающую шнур, как произведение массы грузика, количества подвешенных грузиков и ускорения свободного падения:\[F=n m g.\]

Ответ:

A2. Измерим точно массу 5 грузиков \(m_5=251.3~г\). Подвесим грузики к резинке. Поставим на весы мерный цилиндр и нальем в него \(200-250~мл\) воды. Обнулим показания весов и погрузим грузики в воду так, чтобы, с одной стороны, грузики не касались дна цилиндра и были полностью погружены в воду, а с другой место крепления верхнего крючка грузика к резинке в воду не погружалось. Показания весов будут равны отношению силы Архимеда, действующей на воду со стороны грузиков, к ускорению свободного падения, то есть объему грузиков, умноженному на плотность воды в цилиндре: \(F_{Арх}=\rho_вV_5\). Плотность воды составляет \(1~г/см^2\). Таким образом, показания весов равны объему погруженных в нее грузиков \(V_5=32.0~мл\).

Отсюда плотность материала грузиков:\[\rho=\frac{m_5}{V_5}=7.85~ \frac{г}{см^3} \qquad(1)\]

Ответ:

\[\rho=7.85 ~\frac{г}{см^3}\]

A3. Измерение площади сечения может быть сделано несколькими методами. Самый простой из них – метод рядов. В нем шнур наматывается на любой цилиндрический объект виток к витку. По линейке определяется толщина намотки, откуда можно сделать вывод о диаметре шнура. Такой метод обладает большой систематической ошибкой в сторону завышения результата для диаметра, ведь при намотке шнура на цилиндрический объект в нем возникают упругие напряжения вдоль оси шнура и вдоль радиальной оси цилиндрического объекта, которые приводят к изменению геометрических размеров шнура (см. рисунок 1). Это дает существенную ошибку в измерениях диаметра, особенно заметную в случае измерения при больших силах растяжения. Эффект этот тем больше, чем меньше радиус кривизны цилиндрической поверхности. Особенно наглядно его можно наблюдать, если вместо цилиндрической поверхности наматывать шнур на линейку. В этом случае отчетливо видно, что толщина шнура в местах перегиба существенно больше, чем на прямых участках.

Рис. 1. Измерение сечения шнура методом рядов

Второй, более удачный, способ измерения – метод определения сечения через силу Архимеда. Аналогично предыдущему пункту будем погружать в мерный цилиндр грузики, но уже вместе с растянутым шнуром. Изменение глубины погружения будет изменять объем погруженной в воду части шнура, тем самым изменяя силу Архимеда. Тогда, показания весов будут фиксировать изменение объема части шнура, погруженной в воду. Если снять график зависимости показаний весов от глубины погружения, то его угловой коэффициент и будет являться площадью сечения шнура. Глубину погружения удобно фиксировать по шкале мерного цилиндра. Введем коэффициент пересчета шкалы на мерном цилиндре в сантиметры. Для этого измерим длину шкалы цилиндра \(H_{шк}=16.2~см\), соответствующую \(V_{шк}=200~мл\). Тогда коэффициент пересчета составит: \[\alpha=\frac{H_{шк}}{V_{шк}}=0.081~\frac{см}{мл} \qquad(2)\] Ненагруженный шнур может не иметь большого прямого участка. Поэтому его для измерения длины его погруженной части удобно нанести на шнур сантиметровые отметки. Из сосудов для погружения удобнее выбрать стакан. В нем не задеть стенки концом шнура гораздо легче.

Важно отметить, что общий объем шнура не превышает нескольких миллилитров, что дает основания утверждать, что изменение силы Архимеда при погружении шнура в воду практически не меняет растягивающую его силу.

Измерим соответствующие зависимости показаний весов от длины погруженной в воду части шнура.

Построим графики полученных зависимостей.

График зависимости \(m\) от \(l\)

Составим таблицу зависимости площади от силы, растягивающей шнур. Силу будем рассчитывать как разность силы тяжести грузиков и силы Архимеда, действующей на них:

\[F^{\prime}=n m g \frac{\rho-\rho_{0}}{\rho} \qquad(3)\]

Ответ:

A4. Ответ:

График зависимости относительных геометрических размеров от \(F\)

A5. Для определения зависимости относительного объема от растягивающей силы перемножим полученные в предыдущем упражнении графики.

Источник: pho.rs/p/4214.

Ответ

A1: \[m_м=4.50~г,\quad m_г=0.67~г\];  A3: \[k=1.09~кг/с\];  A4: \[\gamma=1.6\pm0.2\]

Решение

A1. Чтобы измерить массу магнита на электронных часах – необходимо положить немагнитное тело между магнитом и весами, чтобы развести их на некоторое расстояние. Например, поставить вертикально пластиковую трубу – измерить её массу (или нажать на кнопку TARE при наличии) – положить сверху магнит (так, чтобы тот не упал внутрь) и посмотреть на изменение показаний весов, что и будет массой магнита. Запишем полученные для масс данные:\[m_м=4.50~г,\quad m_г=0.67~г \qquad(2)\]

Ответ:

\[m_м=4.50~г,\quad m_г=0.67~г\]

A2. Измерим зависимость координаты груза от времени его движения. Для каждой измеренной координаты время усредняем 3 раза.

По усреднённым данным строим график зависимости координаты конца груза от времени. Заметим, что график хорошо описывается линейной функцией, что говорит о том, что движение магнита в трубе происходит с постоянной скоростью, то есть равномерно.

A3. Будем последовательно увеличивать массу груза на конце лески и измерять время движения магнита в трубе. Общую массу системы будем вычислять на основе данных первого пункта. Скорость системы рассчитаем на основе данных о длине трубки \(l=20.0~см\).

Построим график зависимости скорости магнита от \(m_\mathrm{all}\) – общей массы магнита, скрепки и гаек.

График зависимости \(v\) от \(m_{all}\)

На магнит и его грузы действуют две силы: суммарная сила тяжести всех компонентов системы \(m_{all} g\) и сила магнитного сопротивления \(F\). Так как движение магнита в трубе равномерно, указанные силы компенсируют друг друга: \[F=m g \qquad(3)\] Линейность полученного в этом упражнении графика говорит о том, что скорость движения магнита пропорциональна силе тяжести \(m_\mathrm{all} g\). Объединяя вышесказанное, можем утверждать, что сила сопротивления движению магнита будет пропорциональна скорости. \[k v=m g \qquad(4)\] Коэффициент \(k\) определим из углового коэффициента графика \(A_1=0.9~см/(г \cdot г\)):\[k=\frac{g}{A_1}=1.09~кг/с \qquad(5)\]

Ответ:

\[k=1.09~кг/с\]

A4. Закрепим с помощью штатива горизонтальную пластиковую трубу и перекинем через неё леску с грузом. При малой массе груза \(m_г\) магнит будет перевешивать груз и движение лески начнется в сторону магнита. При определённых массах груза система будет находится в равновесии, а при больших – движение лески будет происходить в сторону груза. Силу натяжения нити над магнитом обозначим \(T_1\), а над грузом \(T_2\) (см. рисунок). Как мы можем видеть из формулы в примечании - силы натяжения должны отличаться в фиксированное число раз \(\gamma>1\). Тогда при движении магнита вниз \(T_1=\gamma T_2\), а при движении вверх: \(T_2=\gamma T_1\). Запишем 2 закон Ньютона для обоих случаев.

\[\begin{align*} & \left\{\begin{array}{l} \left(m_м+m_с\right) g-k v=T_1\\ T_2=N m_r g\\ T_2=\gamma T_1 \end{array}\quad\left(если  m_м>N m_г\right) \implies k v=-\gamma N m_г g+m_мg\right. \qquad(6)\\ \\ & \left\{\begin{array}{l} m_м g+k v=T_1\\ T_2=N m_r g \\ T_1=\gamma T_2 \end{array} \quad\left(если  N m_г>m_м\right) \implies k v=\frac{N m_г g}{\gamma}-m_м g\right. \qquad(7)\\ & \end{align*}\]

Рис. 6. Рисунок с силами без \(F_m\)

Получаем данные и строим график зависимости силы сопротивления от \(m_г g\)

График зависимости \(k v\) от \(N m_г g\)

Коэффициент наклона левой прямой, который по формуле \((3)\) соответствует \(-\gamma \approx-1.8\)

Для правой прямой коэффициент наклона равен \(\frac{1}{\gamma}=0.7 \Rightarrow \gamma=1.43\)

Таким образом:

Ответ:

\[\gamma=1.6\pm0.2\]

Дополнение: Используя формулу Эйлера, можем вычислить коэффициент трения лески о трубу:\[\gamma=e^{\pi \mu} \implies\mu=\frac{\ln \gamma}{\pi} \qquad(8)\]Получаем в каждом из случаев: \(\mu=0.19\) или \(\mu=0.11\).

Таким образом, коэффициент трения лески о трубу в диапазоне от 0.11 до 0.19.

Методическое указание: Отрезки лески имеют длину \(30\) и \(110~см\).

Источник: pho.rs/p/4215.

Ответ

A1: \[S=2.90~см^2\];  A4: Как видно график хорошо описывается линейной функцией без смещения

Решение

A1. Объем части шприца ограниченный делениями составляет \(V=20~см^3\). Высота этой части шприца составляет \(h=6.9\). Тогда площадь поперечного сечения внутренний части шприца составляет:\[S=\frac{V}{h}=2.90~см^2 \qquad(2)\]

Ответ:

\[S=2.90~см^2\]

A2. Для того, чтобы избежать изгиба пружины при воздействии на нее сжимающей силы, поместим ее внутрь шприца. В этом случае стенки шприца будут ограничивать изгиб, а давить на пружину будет проще всего через поршень.

A3. Для измерения зависимости силы упругости пружины от ее сжатия соберем установку, изображенную на рисунке .

Рис. 1. Схема установки

Если надавить на шприцы, то внутренний объем каждого из них уменьшится. Шприц с воздухом будет выполнять роль динамометра. По его объему можно вычислить силу, действующую на поршни шприцов со стороны пружины. Обозначим начальный объем шприца-динамометра \(V_0=20~мл\) и его текущий объем \(V\). Тогда сила давления воздуха на поршень шприца составит:

\[p S=\frac{p_0 V_0}{V} S-p_0 S \qquad(3)\]С другой стороны, так как поршни неподвижны можно утверждать, что эта сила уравновешена силой реакции опоры, действующей на поршни со стороны пружины. Последняя, в свою очередь, равна силе упругости, возникающей между витками самой пружины. Поршень в шприце, внутрь которого помещена пружина, при воздействии перемещается. Его координату будем фиксировать по делениям шприца \(V^{\prime}\). Так как площадь внутреннего сечения шприца известна, то не доставляет трудностей рассчитать из этих показаний изменение длины пружины:

\[x=\frac{\Delta V^{\prime}}{S} \qquad(4)\]Измерим зависимость \(V\) от \(V^{\prime}\) и пересчитаем ее в искомую зависимость силы упругости \(F\) от сжатия пружины \(x\).

Ответ:

Построим график зависимости силы упругости от изменения длины пружины:

Ответ:

График зависимости \(F\) от \(x\)

A4. Ответ:

Как видно график хорошо описывается линейной функцией без смещения

Значит зависимость силы от сжатия линейная и описывается коэффициентом жесткости:\[k=26.3~Н/см \qquad(5)\]

Ответ:

\[k=26.3~Н/см\]

Источник: pho.rs/p/4216.