IEPhO 2019, 9 класс

Ответ

A2: \[K_2=(0.88 \pm 0.20) ~\frac{^{\circ} \mathrm{C}}{г}\];  A3: \[T_{паяльника} \approx 250^{\circ} \mathrm{C}\] \[T_{плавления} \approx 170{ }^{\circ} \mathrm{C}\]

Решение

A1. Нальем в одну кружку горячую воду, а в другую холодную. Массу холодной воды \(m_{1}=34.31~г\) возьмем небольшой для того, чтобы фиксировать наибольшее изменение температуры. Измерим массу припоя \(m=6.14~г\). Привяжем к припою нитку. Будем последовательно погружать припой сначала в горячую воду, потом в холодную. Повторим этот опыт несколько раз. Каждый раз будем фиксировать температуру холодной \(T_х\) и горячей \(T_г\) в процессе, для этого поместим термометры в каждую из чашек и будем помешивать воду в них для установления равномерного распределения температуры. Для любой такой итерации можем записать уравнение теплового баланса:

\[m_{1} C_{воды} \Delta T_х=m C_{припоя}\left(T_г-T_х,\right) \qquad(1)\]где \(C_{воды}\) – удельная теплоемкость воды, \(C_{припоя}\) – удельная теплоемкость припоя. Характерное значение удельной теплоемкости пластика \(C_{пл} \approx 200 \frac{Дж}{кг\cdot {}^{\circ} \mathrm{C}}\), ее масса порядка \(15~г\). Таким образом, ее суммарная теплоемкость составляет порядка \(5 \%\) от теплоемкости воды. Учтем этот факт погрешности измерений. Просуммировав такие уравнения для каждой итерации получим:

\[m_{1} C_{воды} \sum \Delta T_х=m C_{припоя} \sum\left(T_г-T_х\right) \qquad(2)\]Построим график зависимости \(\sum \Delta T_х\) от \(\sum\left(T_г-T_х\right)\). Его угловой коэффициент составляет:

\[K_1=\frac{m C_{припоя}}{m_1 C_{воды}}=(7.13 \pm 0.05) \cdot 10^{-3} \qquad(3)\]Откуда удельная теплоемкость припоя:

\[C_{припоя}=\frac{K_{1} m_{1} C_{воды}}{m}=(167 \pm 10) \frac{Дж}{кг\cdot {}^{\circ} \mathrm{C}} \qquad(4)\]

Ответ:

Ответ:

График зависимости \(\sum \Delta T_х\) от \(\sum\left(T_г-T_х\right)\)

A2. Наберем в чашку вторую порцию холодной воды \(m_2 = 25.77~г\). при температуре окружающей среды \(T_0 = 14.9^{\circ} \mathrm{C}\). Поставим чашку на весы, опустим в нее чувствительный элемент термометра. Расположим над чашкой припой и будем плавить его паяльником. Расплавленные капли припоя после набора критической массы будут отрываться от паяльника и попадать в чашку, повышая температуру воды в ней. Температуру капель \(T_{припоя}\) при отрыве будем считать равной температуре плавления, так как, в связи с большой мощностью теплопотерь, за время формирования капли она достигает этого значения. Массу попавшего в чашку припоя \(m\) будем фиксировать по весам, температуру воды в чашке \(T\) будем фиксировать термометром, осуществляя небольшое помешивание воды. Измерим зависимость температуры воды в чашке от массы попавшего в нее разогретого припоя.

Составим уравнение теплового баланса, пренебрежем при этом теплоемкостью чашки и теплоемкостью уже остывшего в чашке припоя. Также будем считать, что теплоемкость припоя при фазовом переходе не меняется. \[m_{2} C_{воды} \Delta T=m C_{припоя}\left(T_{припоя}-T_{0}\right)+m \lambda \qquad(5)\]где \(\Delta T=T_{припоя}-T_{0}\).

Ответ:

График зависимости \(\Delta T\) от \(m\)

Тогда угловой коэффициент графика изменения температуры воды в чашке от массы попавшего в нее припоя будет составлять:

\[K_2=\frac{C_{припоя}\left (T_{припоя}-T_0\right)+\lambda}{m_{2} C_{воды}}=(0.88 \pm 0.20) ~\frac{^{\circ} \mathrm{C}}{г} \qquad(6)\]

Ответ:

\[K_2=(0.88 \pm 0.20) ~\frac{^{\circ} \mathrm{C}}{г}\]

A3. Для измерения температуры паяльника недостаточно просто приложить к нему чувствительный элемент термометра так как в этом случае не будет обеспечен должный тепловой контакт. Поэтому расплавим на оргалите большую каплю припоя и, держа паяльник в ней, опустим чувствительный элемент термометра в каплю.

Такая оценка температуры паяльника дает значение:

Ответ:

\[T_{паяльника} \approx 250^{\circ} \mathrm{C}\]

Для оценки температуры плавления припоя вынем из капли паяльник и будем наблюдать за охлаждением капли и температурой на термометре. Температура будет уменьшаться и на некоторое время остановится (или существенно замедлится скорость ее изменения) на отметке:

Ответ:

\[T_{плавления} \approx 170{ }^{\circ} \mathrm{C}\]

Этот эффект можно объяснить выделением дополнительного тепла в капле при ее отвердевании. Соответственно, измеренная таким образом температура и будет оценкой температуры затвердевания/плавления припоя.

A4. Для определения теплоты плавления припоя воспользуемся угловым коэффициентом графика, построенным в пункте \(2\). Произведение этого коэффициента на теплоемкость порции воды в чашке даст суммарную теплоту, отдаваемую единицей массы припоя воде. Эта теплота складывается из двух компонент: теплоты плавления-отвердевания и теплоты, связанной с изменением температуры припоя: \[C_{припоя }\left(T_{припоя}-T_{0}\right)+\lambda=K_{2} m_{2}C_{воды}=(95 \pm 10) ~\frac{кДж}{кг} \qquad(7)\] Температура воды в процессе нагрева меняется незначительно по сравнению с разницей температур между температурой припоя и воды. Таким образом, теплота, идущую на остывание припоя можно оценить: \[C_{припоя}\left(T_{припоя}-T_{0}\right)=(26 \pm 6)~ \frac{кДж}{кг} \qquad(8)\] Тогда для удельной теплоты плавления получим:\[\lambda=K_{2} m_{2} C_{воды}-C_{припоя}\left(T_{припоя}-T\right)=(69 \pm 16) ~\frac{кДж}{кг} \qquad(9)\]

Ответ:

\[\lambda=(69 \pm 16) ~\frac{кДж}{кг}\]

Источник: pho.rs/p/4211.

Ответ

A1: \[a=(2.17 \pm 0.08)~ {м}/{с^2}\];  A2: \[\mu=0.19 \pm 0.01\]

Решение

A1. Гайка, изначально двигавшаяся по столу, после отрыва от поверхности стола полетит по параболе (см. рисунок 3).

Рис. 3. Полет гайки после разгона

Зная дальность полета гайки \(L\) и высоту стола \(H=72.0~ см\), можно определить ее скорость при отрыве от стола:

\[v=L \sqrt{\frac{g}{2 H}} \qquad(1)\]C другой стороны, если гайка проезжает по столу расстояние \(l\) с нулевой начальной скоростью и ускорением \(a\), то к концу пути она приобретет скорость:

\[v_{1}=\sqrt{2 a l}. \qquad(2)\]Объединяя \((1)\) и \((2)\), получим связь между дальностью полета гайки \(L\) и начальным расстоянием от нее до края стола \(l\):

\[L=\sqrt{\frac{4 a H l}{g}} \qquad(3)\]Измерим эту зависимость и построим ее линеаризованный график в координатах \(L(\sqrt{l})\).

График зависимости \(L\) от \(\sqrt{l}\)

Угловой коэффициент полученной прямой составит:

\[K_{1}=\sqrt{\frac{4 a H}{g}}=(7.98 \pm 0.15)~см^{0.5} \qquad(4)\]откуда ускорение гаек:\[a=\frac{g K_1^{2}}{4 H}=(2.17 \pm 0.08)~ \frac{м}{с^2}. \qquad(5)\]

Ответ:

\[a=(2.17 \pm 0.08)~ {м}/{с^2}\]

A2. Для нахождения коэффициента трения динамическим методом достаточно определить ускорение шайбы при ее торможении о бумагу. Поставим под столом стул, на который будет падать нижняя гайка, как изображено на рисунке 4.

Рис. 4. Полет гайки после разгона

В момент касания нижней гайкой стула сила натяжения лески обращается в ноль, и движение верхней гайки сменяется с равноускоренного на равнозамедленное. Ускорение \(a\) на участке разгона известно из предыдущего пункта, а на участке торможения ускорение составляет \(\mu g\). Пусть \(x\) и \(y\) – длины участков разгона и торможения соответственно. На границе этих участков скорость гайки выражается двумя способами:

\[v_{2}=\sqrt{2 a x}=\sqrt{2 \mu g y}, \qquad(6)\]откуда:

\[y=\frac{a x}{\mu g} \qquad(7)\]Измерим зависимость \(y(x)\) и построим ее график.

График зависимости \(y\) от \(x\)

Угловой коэффициент полученной прямой составит:

\[K_{2}=\frac{a}{\mu g}=1.14 \pm 0.04 \qquad(8)\]откуда коэффициент трения:

\[\mu=\frac{a}{K_{2} g}=0.19 \pm 0.01 \qquad(9)\]

Ответ:

\[\mu=0.19 \pm 0.01\]

A3. Для определения коэффициента \(k\) запишем систему уравнений движения для грузов (см. рисунок 5).

Рис. 5. Расстановка сил при движении гаек

\[\left\{\begin{array}{l} m a=T-\mu m g, \qquad(10)\\ m a=m g-k T . \end{array}\right.\]Исключая силу натяжения, получим:\[k=\frac{g-a}{a+\mu g}=\frac{\left(4 H-K_{1}^{2}\right) K_{2}}{\left(K_{2}+1\right) K_{1}^{2}}=1.88 \pm 0.27 \qquad(11)\]

Ответ:

\[k=1.88 \pm 0.27\]

Источник: pho.rs/p/4217.

Ответ

A1: \[R_{эл}=2.9~Ом\];  A5: \[A=14.1~ \frac{мВ}{{ }^{\circ} \mathrm{C}}\]

Решение

A1. При подключении омметра к элементу Пельтье через него протекает электрический ток, что приводит к охлаждению одной из поверхностей и нагреву второй. Возникающая термо-ЭДС может изменять показания омметра в широком диапазоне значений. При смене полярности термо-ЭДС меняет свое направление, что приводит к изменению показаний омметра.

Если поместить элемент Пельтье в емкость с водой, то температура на обеих поверхностях будет одинакова, и термо-ЭДС возникать не будет, а, следовательно, показания омметра будут одинаковыми для обеих полярностей. Показания омметра в таком случае будут являться суммой сопротивления проводов и сопротивления элемента Пельтье.\[R=4.2~Ом,~~~R_{пр}=1.3~Ом\]Тогда:\[R_{эл}=R-R_{пр}=2.9~Ом \qquad(4)\]

Ответ:

\[R_{эл}=2.9~Ом\]

A2. Измерим комнатную температуру \(T_{0}=21.0~{ }^{\circ} \mathrm{C}\). Соберем установку, описанную во втором пункте условия, и измерим зависимость температуры холодной поверхности элемента Пельтье от силы тока, текущего через него. Также будем записывать показания напряжения источника \(U\) в момент установления температуры.

Ответ:

A3. Построим график зависимости установившейся температуры холодной поверхности элемента Пельтье от силы тока, текущего через него.

Ответ:

График зависимости \(T\) от \(I\)

A4. Для проверки модели, указанной в условии, построим исследованную зависимость в предполагаемых линеаризованных координатах \(\dfrac{T_{0}-T}{I}(I)\). Видно, что измеренная зависимость хорошо описывается указанной моделью только в области большой разности температур поверхностей элемента Пельтье. Это связано с тем, что температура нижней поверхности немного изменяется в течение эксперимента, что влияет на поток тепла, идущий от нижней поверхности к верхней в течение эксперимента за счет теплопроводности. Это особенно заметно при повторном измерении зависимости установившийся температуры от силы тока, когда сила тока в процессе измерений уменьшается от максимального значения к минимальному.

Ответ:

График зависимости \(\dfrac{T_0-T}{I}\) от \(I\)

A5. Для измерения зависимости термо-ЭДС в элементе Пельтье от разности температур нижней и верхней поверхностей соберем установку, в которой, как и в предыдущем пункте, нижняя часть элемента Пельтье будет лежать на радиаторе, помещенном в воду. На верхнюю же часть элемента Пельтье поставим чашку с горячей водой, обеспечив хороший тепловой контакт между дном чашки и поверхностью элемента при помощи термопасты. Будем считать, что температура нижней части элемента будет неизменна в течение эксперимента и равна температуре воды в сосуде, в котором стоит радиатор \(\left(T_{0}=21.5~^{\circ} \mathrm{C}\right),\) а температура верхней поверхности элемента будет совпадать с температурой воды в чашке. Будем измерять термо-ЭДС по мере остывания воды в чашке, фиксируя температуру \(T_ч\) в ней. Когда скорость остывания станет медленной, будем с помощью шприца добавлять холодную воду в чашку из сосуда, в котором установлен радиатор.

Построим график зависимости термо-ЭДС от разности температур в чашке и сосуде с радиатором.

Ответ:

График зависимости \(\mathcal E_T\) от \(T_ч - T_0\)

График хорошо описывается линейной функцией без смещения. Угловой коэффициент графика составляет:

\[A=14.1~ \frac{мВ}{{ }^{\circ} \mathrm{C}} \qquad(5)\]

Ответ:

\[A=14.1~ \frac{мВ}{{ }^{\circ} \mathrm{C}}\]

A6. Для расчета коэффициента Пельтье найдем силу тока, соответствующего минимальной температуре на графике в пункте A3. В модели, проверенной нами в пункте A4, этот ток отвечает отношению коэффициента Пельтье и внутреннего сопротивления элемента: \[I_{\min }=\frac{\Pi}{R}=2.7~А\qquad(6)\] Окончательно для коэффициента Пельтье получим:\[\Pi=I_{\min } R=7.94~В\qquad(7)\]

Ответ:

\[\Pi=7.94~В\]

Источник: pho.rs/p/4218.

Ответ

A2: \[\rho=7.85 ~\frac{г}{см^3}\]

Решение

A1. Измерим зависимость длины шнура от количества подвешенных грузиков. Рассчитаем силу, растягивающую шнур, как произведение массы грузика, количества подвешенных грузиков и ускорения свободного падения:\[F=n m g.\]

Ответ:

A2. Измерим точно массу 5 грузиков \(m_5=251.3~г\). Подвесим грузики к резинке. Поставим на весы мерный цилиндр и нальем в него \(200-250~мл\) воды. Обнулим показания весов и погрузим грузики в воду так, чтобы, с одной стороны, грузики не касались дна цилиндра и были полностью погружены в воду, а с другой место крепления верхнего крючка грузика к резинке в воду не погружалось. Показания весов будут равны отношению силы Архимеда, действующей на воду со стороны грузиков, к ускорению свободного падения, то есть объему грузиков, умноженному на плотность воды в цилиндре: \(F_{Арх}=\rho_вV_5\). Плотность воды составляет \(1~г/см^2\). Таким образом, показания весов равны объему погруженных в нее грузиков \(V_5=32.0~мл\).

Отсюда плотность материала грузиков:\[\rho=\frac{m_5}{V_5}=7.85~ \frac{г}{см^3} \qquad(1)\]

Ответ:

\[\rho=7.85 ~\frac{г}{см^3}\]

A3. Измерение площади сечения может быть сделано несколькими методами. Самый простой из них – метод рядов. В нем шнур наматывается на любой цилиндрический объект виток к витку. По линейке определяется толщина намотки, откуда можно сделать вывод о диаметре шнура. Такой метод обладает большой систематической ошибкой в сторону завышения результата для диаметра, ведь при намотке шнура на цилиндрический объект в нем возникают упругие напряжения вдоль оси шнура и вдоль радиальной оси цилиндрического объекта, которые приводят к изменению геометрических размеров шнура (см. рисунок 1). Это дает существенную ошибку в измерениях диаметра, особенно заметную в случае измерения при больших силах растяжения. Эффект этот тем больше, чем меньше радиус кривизны цилиндрической поверхности. Особенно наглядно его можно наблюдать, если вместо цилиндрической поверхности наматывать шнур на линейку. В этом случае отчетливо видно, что толщина шнура в местах перегиба существенно больше, чем на прямых участках.

Рис. 1. Измерение сечения шнура методом рядов

Второй, более удачный, способ измерения – метод определения сечения через силу Архимеда. Аналогично предыдущему пункту будем погружать в мерный цилиндр грузики, но уже вместе с растянутым шнуром. Изменение глубины погружения будет изменять объем погруженной в воду части шнура, тем самым изменяя силу Архимеда. Тогда, показания весов будут фиксировать изменение объема части шнура, погруженной в воду. Если снять график зависимости показаний весов от глубины погружения, то его угловой коэффициент и будет являться площадью сечения шнура. Глубину погружения удобно фиксировать по шкале мерного цилиндра. Введем коэффициент пересчета шкалы на мерном цилиндре в сантиметры. Для этого измерим длину шкалы цилиндра \(H_{шк}=16.2~см\), соответствующую \(V_{шк}=200~мл\). Тогда коэффициент пересчета составит: \[\alpha=\frac{H_{шк}}{V_{шк}}=0.081~\frac{см}{мл} \qquad(2)\] Ненагруженный шнур может не иметь большого прямого участка. Поэтому его для измерения длины его погруженной части удобно нанести на шнур сантиметровые отметки. Из сосудов для погружения удобнее выбрать стакан. В нем не задеть стенки концом шнура гораздо легче.

Важно отметить, что общий объем шнура не превышает нескольких миллилитров, что дает основания утверждать, что изменение силы Архимеда при погружении шнура в воду практически не меняет растягивающую его силу.

Измерим соответствующие зависимости показаний весов от длины погруженной в воду части шнура.

Построим графики полученных зависимостей.

График зависимости \(m\) от \(l\)

Составим таблицу зависимости площади от силы, растягивающей шнур. Силу будем рассчитывать как разность силы тяжести грузиков и силы Архимеда, действующей на них:

\[F^{\prime}=n m g \frac{\rho-\rho_{0}}{\rho} \qquad(3)\]

Ответ:

A4. Ответ:

График зависимости относительных геометрических размеров от \(F\)

A5. Для определения зависимости относительного объема от растягивающей силы перемножим полученные в предыдущем упражнении графики.

Источник: pho.rs/p/4214.

Ответ

A6: \[S=0.365~см^2\];  A7: \[A=1.15\]

Решение

A1. Измерим зависимости величин \(h_1\) и \(h_2\) от координаты \(x\).

Ответ:

A2.

A3. Построим графики зависимости \(h_1\) и \(h_2\) от \(x\). Как видно величины высот имеют довольно большой разброс. С учетом этого факта можно описать зависимости как линейные с одинаковым угловым коэффициентом.

Ответ:

График зависимости \(h\) от \(x\)

A4. Измерим зависимость разности уровней в трубке от текущего через помпу тока.

Ответ:

A5. Включим помпу, когда открытый конец трубки находится в ведре. Настроим ток через помпу на значение, совпадающее со значением тока в предыдущем упражнении. Выключим помпу. Поставим на весы стакан, выставим значение весов на нулевую отметку. Поместим в стакан открытый конец трубки. Включим помпу, одновременно включив секундомер. По прошествии некоторого времени \(t\) выключим секундомер и помпу. Измерим массу воды \(m\), набравшуюся за это время в стакан. Рассчитаем объемный расход воды при данном токе:

\[Q=\frac{m}{\rho t} \qquad(1)\]где \(\rho=1~г/см\) – плотность воды. Изменим ток на следующее значение и повторим операцию. Внесём данные в таблицу выше.

A6. Для измерения площади сечения трубки засосем в нее воду из ведра и выльем ее в стакан. Разделив массу воды \(m_1=34.12~г\) плотность воды получим значение объема всей трубки. Длина трубки составляет \(l=93.50~см\). Тогда площадь сечения трубки:

\[S=\frac{m_1}{\rho l}=0.365~см^2 \qquad(2)\]

Ответ:

\[S=0.365~см^2\]

Для расчета средней скорости движения воды внутри трубки воспользуемся ее связью с объемным расходом воды:

\[v=\frac{Q}{S} \qquad(3)\]

A7. Построим требуемый в условии график. Как видно точки хорошо описываются линейной зависимостью без смещения.

Ответ:

График зависимости \(\frac{v^2}{g}\) от \(\Delta h\)

Угловой коэффициент полученной зависимости равен:

Ответ:

\[A=1.15\]

Теоретический расчет для трубки Пито классической конструкции составляет \(2.0\)

Источник: pho.rs/p/4219.

Ответ

A1: \[S=2.90~см^2\];  A4: Как видно график хорошо описывается линейной функцией без смещения

Решение

A1. Объем части шприца ограниченный делениями составляет \(V=20~см^3\). Высота этой части шприца составляет \(h=6.9\). Тогда площадь поперечного сечения внутренний части шприца составляет:\[S=\frac{V}{h}=2.90~см^2 \qquad(2)\]

Ответ:

\[S=2.90~см^2\]

A2. Для того, чтобы избежать изгиба пружины при воздействии на нее сжимающей силы, поместим ее внутрь шприца. В этом случае стенки шприца будут ограничивать изгиб, а давить на пружину будет проще всего через поршень.

A3. Для измерения зависимости силы упругости пружины от ее сжатия соберем установку, изображенную на рисунке .

Рис. 1. Схема установки

Если надавить на шприцы, то внутренний объем каждого из них уменьшится. Шприц с воздухом будет выполнять роль динамометра. По его объему можно вычислить силу, действующую на поршни шприцов со стороны пружины. Обозначим начальный объем шприца-динамометра \(V_0=20~мл\) и его текущий объем \(V\). Тогда сила давления воздуха на поршень шприца составит:

\[p S=\frac{p_0 V_0}{V} S-p_0 S \qquad(3)\]С другой стороны, так как поршни неподвижны можно утверждать, что эта сила уравновешена силой реакции опоры, действующей на поршни со стороны пружины. Последняя, в свою очередь, равна силе упругости, возникающей между витками самой пружины. Поршень в шприце, внутрь которого помещена пружина, при воздействии перемещается. Его координату будем фиксировать по делениям шприца \(V^{\prime}\). Так как площадь внутреннего сечения шприца известна, то не доставляет трудностей рассчитать из этих показаний изменение длины пружины:

\[x=\frac{\Delta V^{\prime}}{S} \qquad(4)\]Измерим зависимость \(V\) от \(V^{\prime}\) и пересчитаем ее в искомую зависимость силы упругости \(F\) от сжатия пружины \(x\).

Ответ:

Построим график зависимости силы упругости от изменения длины пружины:

Ответ:

График зависимости \(F\) от \(x\)

A4. Ответ:

Как видно график хорошо описывается линейной функцией без смещения

Значит зависимость силы от сжатия линейная и описывается коэффициентом жесткости:\[k=26.3~Н/см \qquad(5)\]

Ответ:

\[k=26.3~Н/см\]

Источник: pho.rs/p/4216.