IEPhO 2021, 10 класс

Ответ

A1: \[n_{эфф}=1.476 \pm 0.006\];  A2: \[\Delta n \approx 0.011\]

Решение

A1. Наклеим с помощью скотча на одну из граней призмы небольшой кусочек бумаги с нарисованной линией так, чтобы она оказалась параллельно длинному ребру призмы и посередине грани. Соберем установку, изображенную на рисунке 1. Призму положим на поверхность стола одной из длинных граней так, чтобы грань с нарисованной линией была дальней от наблюдателя (в дальнейшем задняя грань). Для последующего измерения углов наклона световых лучей, выходящих из ближней к наблюдателю грани призмы (далее передней грани), будем использовать мерную ленту и линейку: первую расположим вдоль поверхности стола, а вторую – перпендикулярно ей.

Рис. 1. Общий вид установки

Свет от источника, расположенного за дальней гранью призмы, понадает на заднюю грань призмы и рассеивается бумагой под всеми возможными углами. При попадании этого света в призму, направления преломленных лучей будут лежать внутри конуса с половинным углом раствора, равным углу полного внутреннего отражения для границы сред воздух – стекло (см. схему лучей на рисунке 2):

\[\sin \alpha_{кр}=\frac{1}{n_{эфф}}.\]

Рис. 2. Схема световых лучей внутри призмы

После этого часть лучей будет попадать на переднюю грань призмы и преломляться. Эти лучи формируют изображение линии, нарисованной на задней грани призмы. Луч, преломленный на задней грани призмы под углом полного внутреннего отражения \(\alpha_{кр}\), определяет крайнее направление луча, при котором изображение горизонтальной линии пропадает. Для определения этого направления (угол \(\gamma\)) будем измерять показание \(H\) и \(h\) линейкой, совмещая риски линейки и изображение нарисованной линии. Расстояние \(L\) между точками на которых определяем \(H\) и \(h\) определим с помощью мерной ленты. Тогда для угла \(\gamma\) можно записать: \[\operatorname{tg}\gamma=\frac{H-h}{L}\] однако непосредственный расчет угла \(\gamma\) далее производиться не будет, за ненадобностью промежуточных вычислений. Синус угла \(\varphi\) определяется через измеренные следующим образом: \[\sin \varphi=\sin \left(30^{\circ}-\gamma\right)=\frac{\cos \gamma-\sqrt{3} \sin \gamma}{2}=\frac{L-\sqrt{3}(H-h)}{2 \sqrt{L^{2}+(H-h)^{2}}}\] Угол полного внутреннего отражения \(\alpha_{кр}\) связан с углом \(\varphi\) законом Снеллиуса, записанным для преломления на передней грани призмы: \[\sin \varphi=n_{эфф} \sin \psi=n_{эфф} \sin \left(60^{\circ}-\alpha_{кр}\right)=n_{эфф}\left(\sin 60^{\circ} \cos \alpha_{кр}-\cos 60^{\circ} \sin \alpha_{кр}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{n_{эфф}^{2}-1}-\frac{1}{2}\] Где было использовано, что \[n_{эфф}\sin \alpha_{кр}=1\] После математических преобразований получим выражение для показателя преломления: \[n_{эфф}=\sqrt{1+\frac{1}{3}(1+2 \sin \varphi)^{2}}\] Проведенные измерения дают следующие значения для разных граней призмы:

Ответ:

\[n_{эфф}=1.476 \pm 0.006\]

A2. Модификация установки для измерений во втором пункте является достаточно простой (см. рисунок 3). Установим у задней грани призмы светодиод, который будет освещать нарисованную линию и область рядом с ней. Призму и светодиод накроем коробкой, сделав в ней предварительно окно для наблюдения изображения линии на передней грани призмы. В этом случае на заднюю грань призмы будет попадать свет только от светодиода.

Рис. 3. Модификация установки для измерения дисперсии призмы

Проведем измерения аналогичные первому пункту, не меняя положения призмы и линии на задней грани при замене светодиода. Проделаем измерения для всех трех граней и усредним разность.

После усреднения получаем:

Ответ:

\[\Delta n \approx 0.011\]

В области прозрачности стеклянная призма обладает нормальной дисперсией (большим длинам волн соответствует меньший показатель преломления), что согласуется с результатами эксперимента: для синего света показатель преломления больше, чем для красного.

Источник: pho.rs/p/1926.

Ответ

A4: \[\frac{\mathrm d V}{\mathrm d t}=-\frac{\pi \rho_{воды} g V H r^{4}}{8 \eta_{воздух} l V_{0}}\];  A5: \[r=(0.195 \pm 0.002)~мм\];  A6: \[\eta_{газ}=(1.03 \pm 0.04) \cdot 10^{-5}~Па \cdot с\];  A7: \[\operatorname{Re} \approx 35\] \[l_{пер}\approx 1.4~мм\]

Решение

A1. Соберем установку и измерим зависимость объема воздуха в шприце от времени. Для этого будем измерять время перемещения уровня между рисками с помощью секундомера. Для каждого последующего измерения будем вынимать шприц из стакана и наполнять его воздухом.

A2. Ответ:

A3. Построим график исследованной зависимости и проведем через экспериментальные точки сглаживающую кривую.

Ответ:

График зависимости \(V\) от \(t\)

A4. Получим теоретическую формулу, описывающую измеренную зависимость. По мере заполнения цилиндра перепад давления на длине капилляра изменяется и в момент времени \(t\), показанный на рисунке установки, равен, очевидно, \(P_{1}-P_{2}=\rho_{воды} g h\), где \(\rho_{воды}\) – плотность воды. Тогда, в соответствии с формулой Пуазейля, для мгновенного расхода воздуха в момент времени \(t\) можно записать:

\[Q=-\frac{\mathrm d V}{\mathrm d t}=\frac{\pi \rho_{воды} g h r^{4}}{8 \eta_{воздух} l} \qquad(3)\]Высоту столба воздуха выразим через объем воздуха:

\[h=H \frac{V}{V_{0}} \qquad(4)\]где \(V_{0}=20~мл\), а высота \(H=6.8 \pm 0.5~см\) – длина соответствующая расстоянию между нулевым делением и делением, соответствующим \(20~мл\) на шприце. Тогда окончательно\[\frac{\mathrm d V}{\mathrm d t}=-\frac{\pi \rho_{воды} g V H r^{4}}{8 \eta_{воздух} l V_{0}} \qquad(5)\]

Ответ:

\[\frac{\mathrm d V}{\mathrm d t}=-\frac{\pi \rho_{воды} g V H r^{4}}{8 \eta_{воздух} l V_{0}}\]

Таким образом, угловой коэффициент касательной к графику зависимости объема от времени в некоторой точке линейно зависит от координаты объема в этой точке.

A5. Проведем несколько касательных к графику и определим их угловой коэффициент, а также значения объема в точках касания.

График зависимости \(V\) от \(t\)

Занесём данные в таблицу и построим график зависимости модуля углового коэффициента касательных \(k\) от значения объема в точке касания.

График зависимости \(k\) от \(V\)

Видно, что исследованная экспериментальная зависимость хорошо описывается прямой пропорциональностью с угловым коэффициентом:

\[K=\frac{\pi \rho_{воды} g H r^{4}}{8 \eta_{воздух} l V_{0}}=(0.0295 \pm 0.0004)~с^{-1} \qquad(6)\]Тогда для внутреннего радиуса иглы, с учетом ее длины \(l=36\) мм получаем:\[r=\left(\frac{8 K \eta_{воздух} l V_{0}}{\pi \rho_{воды} g H}\right)^{1 / 4}=(0.195 \pm 0.002)~мм \qquad(7)\]Важно, что начало металлической части иглы находится внутри синего штуцера и может быть определено на просвет.

Ответ:

\[r=(0.195 \pm 0.002)~мм\]

A6. Наденем на иглу шприца, погруженного в воду трубочку, соединенную с газовым баллоном. Нажмем на открывающций баллон кран и увидим, что газ постепенно заполняет шшииц. Для определения отношения вязкостей газов измерим время движения уровня воды при истечении газов из шприца между рисками 20 мл и 5 мл. Каждое измерение проведем несколько раз и усредним.

Тогда, исходя из формулы Пуазейля, расход газа обратно пропорционален его вязкости, а значит отношение вязкости неизвестного газа к вязкости воздуха равно отношению измеренных времен. Откуда вязкость неизвестного газа:

\[\eta_{газ}=\eta_{воздух} \cdot \frac{T_{газ}}{T_{воздух}}=(1.03 \pm 0.04) \cdot 10^{-5}~Па \cdot с \qquad(8)\]

Ответ:

\[\eta_{газ}=(1.03 \pm 0.04) \cdot 10^{-5}~Па \cdot с\]

A7. Рассчитаем характерную скорость течения газа в первом эксперименте:

\[v=\frac{Q_{ср}}{\pi r^{2}} \approx 2.5~м/с \qquad(9)\]Тогда для числа Рейнольдса получаем:\[\operatorname{Re}=\frac{\rho v r}{\eta} \approx 35 \qquad(10)\]

Ответ:

\[\operatorname{Re} \approx 35\]

Полученное значение много меньше критического (равного \(1000\)), поэтому в данной работе течение газа можно считать ламинарным.

Оцениваем характерное расстояние установления ламинарного течения:\[l_{пер}=0.2 r \cdot \operatorname{Re} \approx 1.4~мм\qquad(11)\]

Ответ:

\[l_{пер}\approx 1.4~мм\]

Получаем, что \(l_{пер} / l_{иглы} \ll 1\), поэтому можно пренебречь длиной «переходных» отрезков системы.

Источник: pho.rs/p/1927.

Ответ

A2: \[R_{1}=0.0207 \pm 0.0007, \quad R_{2}=0.0352 \pm 0.0005\] \[n_{1}=1.335 \pm 0.007, \quad n_{2}=1.462 \pm 0.004\];  A3: \[T_{вн}=0.96\];  A4: \[n_{3}=1.549 \pm 0.017\]

Решение

A1. Попробуем направлять луч лазера в разные области датчика и следить за показаниями. Измерения показывают, что при попадании луча в центр датчика, люксметр выдаёт максимальные показания. Следовательно, для проведения измерений следует стремиться, чтобы излучение попадало в центр датчика.

При проведении измерений на датчик всегда попадает естественный свет, которым освещено рабочее место. Для того, чтобы минимизировать воздействие внешнего освещения на датчик, используя чёрную изоленту, следует изготовить диафрагму: заклеить изолентой датчик по краям, оставив не заклеенной область в центре размерами примерно \(2 \times 2~см\).

A2. Соберём экспериментальную установку (рис. 3).

Рис. 3. Экспериментальная установка для определения показателей преломления воды и глицерина

В одной лапке штатива закрепим лазер, а в другой – люксметр. На основание штатива установим чашку Петри. На дно обеих половин чашки положим по кусочку картона. Наполним одну из них водой, а другую глицерином. Луч лазера направим на образец (воду или глицерин) таким образом, чтобы угол падения луча на поверхность жидкости был близок к нулю, но отражённый луч не попадал в корпус лазера. Об этом будет свидетельствовать световое пятно на потолке над установкой. Перемещая в пространстве датчик люксметра, поймаем отражённый от поверхности жидкости луч лазера. Снимем показания люксметра \(I_{отр}\). Далее немного отведём в сторону датчик люксметра так, чтобы луч не попадал на датчик и зафиксируем новые показания люксметра – фоновое значение \(F\), которое имеет место благодаря естественному освещению в аудитории. Следом подставим датчик непосредственно под луч лазера и определим поток излучения лазера \(I_0\). Снова немного отведём датчик в сторону и измерим фоновое значение \(F_0\) (так как при измерении значений \(I_{отр}\) и \(I_0\) датчик был ориентирован в пространстве по-разному, фоновые значения будут отличаться). Повторим измерения несколько раз. Результаты контрольных измерений приведены в таблице 2.

Коэффициент отражения рассчитаем по формуле:

\[R=\frac{I_{отр} -F}{I_{0}-F_{0}}\]Средние значения коэффициентов отражения:

Ответ:

\[R_{1}=0.0207 \pm 0.0007, \quad R_{2}=0.0352 \pm 0.0005\]

Вычислим показатели преломления. Для этого воспользуемся формулой Френеля (показатель преломления воздуха равен \(1\)):

\[n=\frac{1+\sqrt{R}}{1-\sqrt{R}}\]Показатели преломления воды \(n_{1}\) и глицерина \(n_{2}\) на основе проведенных измерений составят:

Ответ:

\[n_{1}=1.335 \pm 0.007, \quad n_{2}=1.462 \pm 0.004\]

A3. Так как поверхность пластинок имеет небольшую шероховатость, в стопке между пластинками всегда присутствуют прослойки воздуха. Отражение света происходит на каждой из границ. Для того, чтобы при прохождении света через стопку не происходило отражения света, требуется сделать так, чтобы показатель преломления вещества в промежутках между слоями совпадал с показателем преломления самих пластинок. На эту роль хорошо подходит глицерин, поскольку его показатель преломления более близок к характерным значениям показателей преломления пластиков, из которых может быть сделана линейка, чем показатель преломления воды или воздуха.

Тогда, если пренебречь отражением и поглощением света глицерином, заполняющим промежутки между пластинками (см. рис. 4), после прохождения света через \(k\) пластинок световой поток прошедшего света составит: \[I_{пр}=\left(1-R_{3}\right)^{2} T_{вн}^{k} I_{0}\] где \(R_{3}\) – коэффициент отражения от границы воздух-пластинка при нормальном падении лазерного луча.

Рис. 4. Прохождение света через стопку из полупрозрачных пластинок

Линеаризуем зависимость проходящего светового потока от числа слоев: \[\ln \frac{I_{пр}}{I_{0}}=k \ln T_{вн}+2 \ln \left(1-R_{3}\right)\] Определив значение углового коэффициента \(\ln T_{вн}\) графика этой зависимости, мы сможем вычислить коэффициент \(T_{вн}\).

Для проведения эксперимента соберём экспериментальную установку, изображённую на рис. 5. С помощью изоленты на основании штатива закрепим датчик люксметра. В стопке из пластинок каждый из слоёв отделён от предыдущего очень тонким слоем глицерина. Глицерин удобно наносить с помощью шприца.

Рис. 5. Экспериментальная установка для определения коэффициента внутреннего пропускания

Проведём измерения зависимости потока излучения, прошедшего через стопку пластинок, от числа слоёв. Вначале измерим фоновое значение \(F_{0}\) света в отсутствие пластинок и поток излучения от лазерной указки \(I_{0}\). Далее поместим пластинки на датчик люксметра и измерим поток излучения, прошедшего через стопку \(I_{пр}\) и фон \(F\). Следует отметить, что со временем лазер меняет свою яркость. Кроме того, изменяется фоновая освещённость. Учитывая это, для каждого числа слоёв \(k\) требуется провести измерения всех четырёх вышеуказанных величин. Причём интервал времени между измерениями величин \(I_{пр}\) и \(I_{0}\) желательно свести до минимума (измерять непосредственно друг за другом, последовательность не важна).

Для каждого \(k\) вычислим значение \(y=\ln \dfrac{I_{пр}-F}{I_{0}-F_{0}}\).

Далее построим график зависимости \(y(k)\).

График зависимости \(y\) от \(k\) для иглы

Угловой коэффициент наклона графика \(\alpha=\ln T_{вн}=-0.041 \pm 0.001\) используем для вычисления коэффициента внутреннего пропускания:

\[T_{вн}=e^{\alpha}=0.96\]

Ответ:

\[T_{вн}=0.96\]

A4. Перейдем к определению показателя преломления материала пластинок \(n_{3}\). С помощью изоленты закрепим на столе лист миллиметровки (рис. 6). Заклеим выходное окно лазерной указки малярным скотчем и сделаем иглой небольшое отверстие посередине луча. Таким образом, пятно от лазерной указки получится маленьким. Закрепим лазерную указку в канцелярском зажиме (чтобы можно было поддерживать лазер во включенном состоянии), а сам зажим - в лапке штатива. Штатив установим на лист миллиметровки таким образом, чтобы при повороте лазерной указки в вертикальной плоскости (изменении угла наклона лазерного луча) пятно перемещалось вдоль линий сетки на миллиметровке.

Сложим из пластинок стопку, «склеив» их между собой прослойкой из глицерина. Поскольку показатели преломления глицерина и пластиков, из которых могут быть изготовлены пластинки близки друг к другу по значению, то преломления на границах пластинка-глицерин практически не происходит, и лазерный луч проходит через стопку, лишь преломляясь на границе воздуха и пластинки. Также стоит отметить, что в стопке пластинок, склеенных глицерином, практически отсутствует рассеяние света на шероховатостях поверхностей пластинок. Из-за чего лазерный пучок доходит до миллиметровой бумаги узким, и становится возможным измерение смещения центра пятна на миллиметровке при прохождении пучка через стопку пластинок.

Рис. 6. Экспериментальная установка для определения показателя преломления материала пластинок.

Направим лазерную указку под произвольным углом, так чтобы пятно лазерного луча оказалось на миллиметровке. Отметим это положение как \(A\) (см. рис. 6). С помощью транспортира определим угол падения лазерного луча \(\alpha\). Теперь расположим на пути лазерного луча стопку из пластинок, высоту \(h\) которой измерим линейкой на транспортире. Проходя через границу воздух-пластинка, лазерный луч преломляется, и положение пятна смещается в новое положение \(B\). Определим длину, на которую сместилось пятно:\[\Delta l=A B.\] Из определения тангенсов углов \(\alpha\) и \(\beta\) несложно получить их связь: \[\operatorname{tg} \beta=\operatorname{tg} \alpha-\frac{\Delta l}{h}\] Из закона преломления следует выражение для показателя преломления материала пластинок: \[n=\frac{\sin \alpha}{\sin \beta}\]

Среднее значение показателя преломления материала пластинок составляет:

Ответ:

\[n_{3}=1.549 \pm 0.017\]

Замечание 1

Оценим, насколько изменится ответ в Задании 3 (коэффициент внутреннего пропускания), если принять во внимание отражения на границах пластинок и глицерина. При этом будем учитывать только однократные отражения. Тогда при прохождении света через стопку из \(k\) пластинок лазерный луч дополнительно ослабится в \(\left(1-R_{23}\right)^{2 k-1}\) раз, поскольку в стопке из \(k\) пластинок расположено \(2 k-1\) границ раздела пластинка–глицерин. Здесь \(R_{23}=\left(\dfrac{n_{2}-n_{3}}{n_{2}+n_{3}}\right)^{2} \approx 0.0008\) – коэффициент отражения на границе пластинка–глицерин.

Тогда выражение для интенсивности прошедшего через стопку излучения запишется в виде:

\[I_{np}=\left(1-R_{3}\right)^{2} T_{вн}^{k}\left(1-R_{23}\right)^{2 k-1} I_{0}\]

После приведения к линейному виду:

\[\ln \frac{I_{пр}}{I_{0}}=k \ln \left(\left(1-R_{23}\right)^{2} T_{вн}\right)+\ln \frac{\left(1-R_{3}\right)^{2}}{1-R_{23}}\]

Поскольку величина \(R_{23}\) малая, то \(\left(1-R_{23}\right)^{2} T_{вн} \approx\left(1-2 R_{23}\right) T_{вн}\). Таким образом, учет отражения от границ раздела пластинки и глицерина изменяет значение коэффициента внутреннего пропускания лишь на \(2 R_{23} \cdot 100 \%=0.16 \%\).

Заметим, что если вместо глицерина взять воду, то эта поправка составит \(2 R_{13} \cdot 100 \%=\) \(2\left(\dfrac{n_{1}-n_{3}}{n_{1}+n_{3}}\right)^{2} \cdot 100 \% \approx 1.16 \%\). Аналогично для воздуха: \(2\left(\dfrac{n_{3}-1}{n_{3}+1}\right)^{2} \cdot 100 \% \approx 9.3 \%\). Однако в этих случаях на измеренном значении проходящего светового потока сильнее будет сказываться рассеяние на шероховатостях пластинки.

Замечание 2

Значения световых потоков, измеренные участниками, могут отличаться от значений, представленных в таблицах с контрольными измерениями.

Источник: pho.rs/p/1930.

Ответ

A3: \[R=51.0~Ом\];  A5: \[\frac{R_{2}}{R_{1}}=9\];  A6: \[R_{G}=120~Ом\]

Решение

A1. Устройство двухпредельного амперметра должно быть таковым, что при подключении его в цепь только часть тока течет через измерительную головку, а остальная часть тока течет через резистор, подключенный к измерительной головке параллельно. При смене предела измерений должно меняться соотношение между частями тока, текущего через измерительную головку, и текущего через резистор. Последнее достигается за счет изменения сопротивления резистора. Однако такое буквальное восприятие требований к работе двухпредельного амперметра не может привести к его простой не коммутируемой схеме. Если предположить, что в на одном из пределов миллиамперметра один из резисторов может быть подключен к измерительной головке последовательно, то можно прийти к очень простой логичной схеме соединения элементов внутри миллиамперметра, изображенной на рисунке 1.

Ответ:

Рис. 1. Схема миллиамперметра. На схеме G – измерительная головка

A2. Для подтверждения правильного расположения измерительной головки подключим к выходам \(-\) и \(\mathrm{60\, mA}\) батарейку с ограничивающим резистором (см. рисунок 2). Стрелка миллиамперметра отклонится от нулевого положения. Замкнем контакты \(-\) и \(\mathrm{6\, mA}\) проводом и заметим, что стрелка прибора переместится в нулевое положение. Значит в этом случае измерительная головка оказалась замкнутой и ток через неё течь перестал.

Измерим при таком соединении напряжение на ограничивающем резисторе \(U_{R}=1201~мВ\) и напряжение на миллиамперметре \(U_{a}=31.9~мВ\). Отсоединим ограничивающий резистор от схемы и измерим его сопротивление \(R=51.0~Ом\) омметром. В случае замкнутой измерительной головки сопротивление миллиамперметра определяется параллельным соединением резисторов \(R_{1}\) и \(R_{2}\). Тогда можно записать уравнение, определяющее связь измеренных величин: \[\frac{R_{1} R_{2}}{R_{1}+R_{2}}=R \cdot \frac{U_{a}}{U_{R}} \qquad(1)\]

Ответ:

Рис. 2. Схема подключения амперметра для определения \(\dfrac{R_{1} R_{2}}{R_{1}+R_{2}}\)

A3. Ответ:

\[R=51.0~Ом\]

Стоит отметить, что измерить сопротивление миллиамперметра можно и с помощью мультиметра в режиме омметра. Однако, так как измеряемое сопротивление мало, то для большей точности лучше воспользоваться схемой с дополнительным известным сопротивлением.

A4. Чтобы составить второе уравнение для поиска сопротивлений \(R_{1}\) и \(R_{2}\), подключим миллиамперметр к батарейке с ограничивающим резистором выводами \(-\) и \(\mathrm{6\, mA}\) (см. рисунок 3). Далее с помощью мультиметра определим напряжения на резисторах \(U_{1}=26.7~мВ\) и \(U_{2}=239~мВ\). Отношение напряжений будет определяться отношением сопротивлений.

\[\frac{R_{2}}{R_{1}}=\frac{U_{2}}{U_{1}}=8.95 \qquad(2)\]

Рис. 3. Схема подключения амперметра для определения \(\dfrac{R_{2}}{R_{1}}\)

Решив систему уравнений, найдем значения сопротивлений \(R_{1}=1.50~ Ом\) и \(R_{2}=13.4~ Ом\).

\[R_{1}=1.50~ Ом,\qquad R_{2}=13.4~ Ом\]

A5. Получим теоретические выражения для связи сопротивлений \(R_{1}\) и \(R_{2}\). При использовании миллиамперметра на пределе \(\mathrm{60\, mA}\) через измерительную головку течет ток \(I_{\max }\), когда через весь прибор протекает ток \(\mathrm{60\, mA}\). Тогда падение напряжения на всем приборе должно быть равным падению напряжения на ветке схемы, содержащей измерительную головку. Тогда в соответствии с законом Ома:

\[I_{\max } \cdot\left(R_{G}+R_{2}\right)=60~мА\cdot \frac{\left(R_{G}+R_{2}\right) \cdot R_{1}}{R_{G}+R_{1}+R_{2}} \qquad(3)\]Аналогичное выражение можно записать в случае использования миллиамперметра на пределе измерений \(\mathrm{6\, mA}\):

\[I_{\max } \cdot R_{G}=6~мА\cdot \frac{\left(R_{1}+R_{2}\right) \cdot R_{G}}{R_{G}+R_{1}+R_{2}} \qquad(4)\]Тогда, поделив выражение \((3)\) на выражение \((4)\) получаем:

\[\frac{R_{1}+R_{2}}{R_{1}}=\frac{60~мА}{6~мА}=10 \qquad(5)\]Откуда для теоретического отношения сопротивлений получаем:

\[\frac{R_{2}}{R_{1}}=9 \qquad(6)\]

Ответ:

\[\frac{R_{2}}{R_{1}}=9\]

Видно, что теоретически рассчитанное значение хорошо сходится с полученным экспериментально.

A6. Для определения сопротивления измерительной головки подключим миллиамперметр к батарейке с ограничивающим резистором контактами \(-\) и \(\mathrm{60\, mA}\) (см. рисунок 4). Измерим напряжения на измерительной головке \(U_{3}=32.1~мВ\) и на втором резисторе \(U_{4}=3.6~мВ\). Отношение напряжения на этих элементах будут равны отношению их сопротивлений. Откуда сопротивление измерительной головки:\[R_{G}=R_{2} \cdot \frac{U_{3}}{U_{4}}=120~Ом\qquad(7)\]

Ответ:

\[R_{G}=120~Ом\]

Рис. 4. Схема подключения амперметра для определения сопротивления измерительной головки

Расчет номинального тока измерительной головки \(I_{\max }\) проведем теоретически па основе формулы \((4)\):

\[I_{\max }=6~мА \cdot \frac{R_{1}+R_{2}}{R_{1}+R_{2}+R_{G}}=0.66~мА \qquad(8)\]

Ответ:

\[I_{\max }=0.66~мА\]

Источник: pho.rs/p/1931.

Ответ

A1: \[L_{\min}=3~м\];  A2: \[k=3.6~ \sqrt м/с\]

Решение

A1. Для измерения зависимости времени «вытекания» цепи от ее длины, установим штатив на стол, закрепим чашку Петри в лапке на высоте \(h=100~см\) от пола. Для увеличения точности измерим время вытекания для каждой длины цепочки три раза и усредним. При вытекании цепочки, она может задевать край чашки Петри, что занижает полученные значения времен вытекания и увеличивает разброс получаемых значений. Наиболее удобный способ избежать этого эффекта – немного наклонить чашку. Результаты измерений занесем в таблицу:

Ответ:

Ответ:

График зависимости \(\tau_{ср} \left(L\right)\)

График хорошо описывается линейной функцией с угловым коэффициентом \(k=0.27~с/ м\). Исходя из линейности графика, можно сделать вывод о том, что длина цепочки, равная \(L_{\min}=3~м\), достаточна для установления постоянной скорости движения звеньев во время падения. В соответствии с условием будем считать последнее утверждение верным для вытекания цепочки с любой из высот.

Ответ:

\[L_{\min}=3~м\]

A2. Чтобы найти установившуюся скорость, будем для каждой высоты \(h\) измерять не только время падения \(T\) цепи максимальной возможной длины \(L_{\max}=12~м\), но и время падения \(t\) цепочки длиной \(3~м\). Измерение каждого из времен падения также будем проводить три раза. Будем вычислять установившуюся скорость движения звеньев цепи как:

\[v=\frac{L_{\max }-L_{\min }}{T-t} \qquad(3)\]Отметим, что для повышения точности следует увеличить диапазон выбора высот запуска. Так, например, можно поставить штатив на стул, который в свою очередь разместить на столе для получения больших высот размещения чашки. В результате получим следующие данные:

Ответ:

Построим график зависимости найденной нами скорости от корня высоты установки чашки Петри над поверхностью пола \(v(\sqrt{h})\).

Ответ:

График зависимости \(v(\sqrt{h})\)

Коэффициент наклона графика, проведенного из начала координат составляет \(k=3.6~ \sqrt м/с\) и лежит между значениями коэффициентов, отвечающим первой и второй моделям.

Ответ:

\[k=3.6~ \sqrt м/с\]

A3. Все точки, измеренные студентами, представлены на графике ниже. Не задевая края чашки, цепочка может вытекать, начиная с высот \(\approx 30-40~см\).

График зависимости \(v(\sqrt{h})\)

Ответ:

Таким образом ни одна из моделей, предложенных в условии, не выполняется

Источник: pho.rs/p/4367.

Ответ

A2: \[f_п=3499~об/мин,\qquad f_с=3023~об/мин\];  A3: \[Q=\sqrt{\frac{g S \Delta m}{\rho}}\]

Решение

A1. Для измерения частоты вращения вентилятора перед его запуском нарисуем на его лопасти небольшой штрих кусочком мела. Будем освещать вращающийся вентилятор стробоскопом. При некоторых частотах вспышек центральная плоская часть вращающегося вентилятора кажется остановившейся или двигающейся очень медленно. Среди этих частот можно найти частоты, когда на застывшей части есть только одна белая точка, отвечающая положению нарисованного штриха. Среди всех таких частот следует найти максимальную. Эта частота вспышек стробоскопа и будет отвечать частоте вращения вентилятора. Подбирая такие частоты стробоскопа, измерим зависимость частоты вращения вентилятора от напряжения питания на нем.

Ответ:

График зависимости \(f\) от \(U\)

Видно, что экспериментальные точки не могут быть описаны линейной функцией, тогда \(n \neq 1\). Преднодожим, что \(n=2\) и построим график зависимости \(f^{2}(U)\). Как можно видеть, большинство точек графика ложатся на прямуго. Значит предположение было верно. Значение \(U_{0}=2.6 {~В}\) определим по пересечению прямой с осью \(U\).

Ответ:

График зависимости \(f^2\) от \(U\)

A2. Подадим на вентилятор максимально возможное напряжение. Измерим частоту вращения вентилятора для случая, когда его корпус нависает над полом и лежит на столе. В результате контрольных измерений:

Ответ:

\[f_п=3499~об/мин,\qquad f_с=3023~об/мин\]

Частота вращения вентилятора при помещении его корпуса на стол уменьшилась за счет возросшей силы трения лопастей вентилятора о воздух.

A3. Соберем установку, изображенную на рисунке 5. Для измерения его производительности будем измерять дополнительную силу, с которой вентилятор давит на подставку во время его вращения. Эта сила возникает из-за того, что вентилятор разгоняет воздух до некоторой скорости \(v\). Значение этой скорости легко связать с производительностью:

\[Q=v S \qquad(2)\]где \(S\) – площадь сечения потока.

Рис. 5. Установка для измерения производительности вентилятора

Площадь струи будем считать равной площади вентилятора за вычетом площади центральной плоской части. Диаметр лопастей вентилятора составляет \(D=7.4~см\), а диаметр плоской части вентилятора \(d=3~см\). Тогда для площади струи имеем:

\[S=\pi \frac{D^{2}-d^{2}}{4}=3.6 \cdot 10^{-3}~м^{2} \qquad(3)\]Изменение импульса воздуха за единицу времени, то есть сила с которой лопасти вентилятора действуют на воздух \(F\), составляет:

\[F=\frac{\Delta p}{\Delta t}=\frac{\rho S v \Delta t \cdot v}{\Delta t}=S \rho v^{2}=\rho \frac{Q^{2}}{S} \qquad(4)\]Дополнительная сила будет измеряться с помощью весов, которые показывают отношение дополнительной силы к ускорению свободного падения \(g\). Таким образом, для связи показаний весов и производительности имеем:

\[\Delta m=\rho \frac{Q^{2}}{g S} \qquad(5)\]Окончательно производительность равна:\[Q=\sqrt{\frac{g S \Delta m}{\rho}} \qquad(6)\]

Ответ:

\[Q=\sqrt{\frac{g S \Delta m}{\rho}}\]

A4. Измерим зависимость дополнительной массы на весах от напряжения подаваемого на вентилятор. Пересчитаем показания весов в производительность. По графику измеренной ранее зависимости частоты вращения вентилятора от его питающего напряжения найдем для каждого значения производительности частоту вращения вентилятора. Построим график зависимости производительности от частоты вращения вентилятора.

Ответ:

График зависимости \(Q\) от \(f\)

Видно что экспериментальные точки хорошо описываются прямой пропорциональностью с угловым коэффициентом:

Ответ:

\[K=2.4 \cdot 10^{-4}~м^{3}\]

Источник: pho.rs/p/1933.