IEPhO 2021, 11 класс

Ответ

A1: \[n_{эфф}=1.476 \pm 0.006\];  A2: \[\Delta n \approx 0.011\]

Решение

A1. Наклеим с помощью скотча на одну из граней призмы небольшой кусочек бумаги с нарисованной линией так, чтобы она оказалась параллельно длинному ребру призмы и посередине грани. Соберем установку, изображенную на рисунке 1. Призму положим на поверхность стола одной из длинных граней так, чтобы грань с нарисованной линией была дальней от наблюдателя (в дальнейшем задняя грань). Для последующего измерения углов наклона световых лучей, выходящих из ближней к наблюдателю грани призмы (далее передней грани), будем использовать мерную ленту и линейку: первую расположим вдоль поверхности стола, а вторую – перпендикулярно ей.

Рис. 1. Общий вид установки

Свет от источника, расположенного за дальней гранью призмы, понадает на заднюю грань призмы и рассеивается бумагой под всеми возможными углами. При попадании этого света в призму, направления преломленных лучей будут лежать внутри конуса с половинным углом раствора, равным углу полного внутреннего отражения для границы сред воздух – стекло (см. схему лучей на рисунке 2):

\[\sin \alpha_{кр}=\frac{1}{n_{эфф}}.\]

Рис. 2. Схема световых лучей внутри призмы

После этого часть лучей будет попадать на переднюю грань призмы и преломляться. Эти лучи формируют изображение линии, нарисованной на задней грани призмы. Луч, преломленный на задней грани призмы под углом полного внутреннего отражения \(\alpha_{кр}\), определяет крайнее направление луча, при котором изображение горизонтальной линии пропадает. Для определения этого направления (угол \(\gamma\)) будем измерять показание \(H\) и \(h\) линейкой, совмещая риски линейки и изображение нарисованной линии. Расстояние \(L\) между точками на которых определяем \(H\) и \(h\) определим с помощью мерной ленты. Тогда для угла \(\gamma\) можно записать: \[\operatorname{tg}\gamma=\frac{H-h}{L}\] однако непосредственный расчет угла \(\gamma\) далее производиться не будет, за ненадобностью промежуточных вычислений. Синус угла \(\varphi\) определяется через измеренные следующим образом: \[\sin \varphi=\sin \left(30^{\circ}-\gamma\right)=\frac{\cos \gamma-\sqrt{3} \sin \gamma}{2}=\frac{L-\sqrt{3}(H-h)}{2 \sqrt{L^{2}+(H-h)^{2}}}\] Угол полного внутреннего отражения \(\alpha_{кр}\) связан с углом \(\varphi\) законом Снеллиуса, записанным для преломления на передней грани призмы: \[\sin \varphi=n_{эфф} \sin \psi=n_{эфф} \sin \left(60^{\circ}-\alpha_{кр}\right)=n_{эфф}\left(\sin 60^{\circ} \cos \alpha_{кр}-\cos 60^{\circ} \sin \alpha_{кр}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{n_{эфф}^{2}-1}-\frac{1}{2}\] Где было использовано, что \[n_{эфф}\sin \alpha_{кр}=1\] После математических преобразований получим выражение для показателя преломления: \[n_{эфф}=\sqrt{1+\frac{1}{3}(1+2 \sin \varphi)^{2}}\] Проведенные измерения дают следующие значения для разных граней призмы:

Ответ:

\[n_{эфф}=1.476 \pm 0.006\]

A2. Модификация установки для измерений во втором пункте является достаточно простой (см. рисунок 3). Установим у задней грани призмы светодиод, который будет освещать нарисованную линию и область рядом с ней. Призму и светодиод накроем коробкой, сделав в ней предварительно окно для наблюдения изображения линии на передней грани призмы. В этом случае на заднюю грань призмы будет попадать свет только от светодиода.

Рис. 3. Модификация установки для измерения дисперсии призмы

Проведем измерения аналогичные первому пункту, не меняя положения призмы и линии на задней грани при замене светодиода. Проделаем измерения для всех трех граней и усредним разность.

После усреднения получаем:

Ответ:

\[\Delta n \approx 0.011\]

В области прозрачности стеклянная призма обладает нормальной дисперсией (большим длинам волн соответствует меньший показатель преломления), что согласуется с результатами эксперимента: для синего света показатель преломления больше, чем для красного.

Источник: pho.rs/p/1926.

Ответ

A3: \[\ln V=\ln V_{0}-\frac{\pi \rho_{воды} g r^{4} H}{8 \eta l V_{0}} t\];  A4: \[k_{1}=(29.0 \pm 0.8) \cdot 10^{-3}~с^{-1}\];  A5: \[\eta_{воздух}=(1.83 \pm 0.05) \cdot 10^{-5}~Па \cdot с\];  A6: \[r_{иглы }=(0.197 \pm 0.07)~мм\];  A7: \[\operatorname{Re}\approx 35\]

Решение

A1.

A2. Перед началом измерений продуем иголку шприцем с поршнем, чтобы убедиться, что внутри неё нет воды.

Соберем установку и измерим зависимость положения уровня воды в шприце от времени. Для этого будем измерять время перемещения уровня между рисками с помощью секундомера. Для каждого последующего измерения будем вынимать шприц из стакана и наполнять его воздухом. Повторим серии измерений для каждого объема \(V\) несколько раз и усредним значение времени \(t\):

Ответ:

A3. Выведем теоретическую формулу, описывающую измеренную зависимость. По мере заполнения цилиндра уровень воды в стакане практически не меняется, поэтому перепад давления на длине капилляра в момент, когда высота столба воздуха равна \(h\) (см. рис. 1), равен, очевидно, \(\Delta P=\rho_{воды} g h\), где \(\rho_{воды}\) – плотность воды. Тогда, в соответствии с формулой Пуазейля, для мгновенного расхода воздуха в момент времени \(t\) можно записать: \[Q=-\frac{S_{0} d h}{d t}=\frac{\pi \rho_{воды} g h r^{4}}{8 \eta l} \qquad(3)\] где \(S_{0}\) – площадь поперечного сечения шприца. После интегрирования в пределах от начального значения \(h_{0}=h(0)\) уровня воды в цилиндре до значения \(h\) в момент времени \(t\), получим закон изменения уровня воды в цилиндре с течением времени: \[\ln \frac{h_{0}}{h}=\ln \frac{V_{0}}{V}=\frac{\pi \rho_{воды} g r^{4}}{8 \eta l S_{0}} t \qquad(4)\] где \(V_{0}=20~мл\) – объем, соответствующий началу отсчета. Площадь сечения рассчитаем как отношение объема этой части шприца к ее высоте \(H=6.8~см\): \[S_{0}=\frac{V_{0}}{H} \qquad(5)\] Тогда окончательный вид искомой зависимости:\[\ln V=\ln V_{0}-\frac{\pi \rho_{воды} g r^{4} H}{8 \eta l V_{0}} t \qquad(6)\]

Ответ:

\[\ln V=\ln V_{0}-\frac{\pi \rho_{воды} g r^{4} H}{8 \eta l V_{0}} t\]

A4. Построим график измеренной зависимости в координатах \(\ln V\) от \(t\).

График зависимости \(\ln V\) от \(t\) для иглы

Заметим, что экспериментальные точки замечательно ложатся на прямую линию с модулем углового коэффициента:\[k_{1}=\frac{\pi \rho_{воды} g r_{иглы}^{4} H}{8 \eta_{воздух} l_{иглы} V_{0}}=(29.0 \pm 0.8) \cdot 10^{-3}~с^{-1} \qquad(7)\]

Ответ:

\[k_{1}=(29.0 \pm 0.8) \cdot 10^{-3}~с^{-1}\]

A5. Для определения вязкости воздуха проведем дополнительные измерения истечения газа из шприца, надев на иглу длинную трубку. Найдем угловой коэффициент зависимости логарифма объема воздуха в шприце от времени \(k_{2}=(17.0 \pm 0.6) \cdot 10^{-3}~с^{-1}\).

График зависимости \(\ln V\) от \(t\) для шприца с иглой и трубкой

Заметим, что закон Пуазейля схож с законом Ома. При течении вязкой жидкости по капилляру давление линейно падает с координатой, так же как и потенциал при протекании тока через проводник. В то время как разность давлений можно назвать напряжением, аналогом объемного расхода жидкости или газа будет являться сила тока. Так, введём гидродинамическое сопротивление капилляра.

По аналогии с электрическими цепями при последовательном соединении капилляров их гидродинамические сопротивления складываются. Величина гидродинамического сопротивления обратно пропорциональна угловым коэффициентам построенных графиков. Таким образом, величина углового коэффициента графика зависимости логарифма уровня воды в шприце от времени, соответствующая протеканию газа лишь через трубку, может быть рассчитана из коэффициентов аналогичных графиков измеренных ранее: \[\frac{1}{k}=\frac{1}{k_{2}}-\frac{1}{k_{1}} \qquad(8)\] где\[k=\frac{\pi \rho_{воды} g r_{трубки}^{4} H}{8 \eta_{воздух} l_{трубки} V_{0}} \qquad(9)\]Заметим, что эту величину измерить напрямую не удается, так как отсутствует возможность прямого (без использования иглы) и достаточно плотного соединения трубки с носиком шприца.

Измерим длину части трубки, но которой течет газ из шприца \(l_{трубки}=98.6 \pm 0.5~см\). Эта длина меньше длины трубки на величину длины иглы, на которую надета трубка.

Измерим также внутренний радиус трубки. Для этого подсоединим к ней шприц объемом \(1~мл\), наполненный заранее водой. Соединение между шприцем и трубкой обеспечим с помощью иглы. Закачаем в трубку небольшое количество воды, сделаем отметку на трубке и запомним деление, на котором остановился поршень шприца. Закачаем в трубку большую часть воды из шприца, и вновь измерим уровень воды в шприце, оставив отметку на трубке. Измерим расстояние между отметками \(L=92.3 \pm 0.1~см\) и объем воды, помещающийся в трубку между ними \(V_{1}=0.70 \pm 0.01~мл\). Тогда для радиуса трубки имеем:\[r_{трубки}=\sqrt{\frac{V_{1}}{\pi L}}=(0.491 \pm 0.004)~мм \qquad(10)\]Рассчитаем на основе полученных данных вязкость воздуха:

\[\eta_{воздух}=\frac{\pi \rho_{воды} g r_{трубки}^{4} H}{8 l_{трубки} V_{0}}\left(\frac{1}{k_{2}}-\frac{1}{k_{1}}\right)=(1.83 \pm 0.05) \cdot 10^{-5}~Па \cdot с\qquad(11)\]

Ответ:

\[\eta_{воздух}=(1.83 \pm 0.05) \cdot 10^{-5}~Па \cdot с\]

A6. Определим радиус иглы. Для этого достаточно найти отношение угловых коэффициентов исследованных графиков:

\[\frac{k_{1}}{k}=\frac{k_{1}-k_{2}}{k_{2}}=\frac{r_{иглы}^{4}}{r_{трубки}^{4}} \frac{l_{трубки}}{l_{иглы}} \qquad(12)\]Измерим длину иглы \(l_{иглы}=3.6~см\). Обратим внимание, что начало иглы видно внутри ее пластиковой части, если смотреть на нее на просвет. Тогда для радиуса иглы получаем:\[r_{иглы }=r_{трубки}\left(\frac{k_{1}-k_{2}}{k_{2}}\frac{l_{иглы}}{l_{трубки}}\right)^{1 / 4}=(0.197 \pm 0.07)~мм. \qquad(13)\]

Ответ:

\[r_{иглы }=(0.197 \pm 0.07)~мм\]

A7. Рассчитаем характерную скорость течения газа в первом эксперименте, как

\[v=\frac{Q_{ср}}{\pi r^{2}} \approx 2.5~м/с \qquad(14)\]Оценим значение плотности воздуха, используя уравнение состояния газа

\[p=\frac{\rho}{M} R \cdot T \qquad(15)\]где \(M\) – молярная масса, для воздуха равная \(M=29~г/моль\). Тогда значение плотности воздуха \(\rho=1.3~кг/м^{3}\). А число Рейнольдса можно оценить как:

\[\operatorname{Re}=\frac{\rho v r}{\eta}\approx 35\]

Ответ:

\[\operatorname{Re}\approx 35\]

Полученное значение \(Re\) много меньше критического, поэтому в данной работе течение газа можно считать ламинарным. Оцениваем характерное расстояние установления ламинарного течения:\[l_{пер}=0.2 r \cdot \operatorname{Re} \approx 1.4~мм \qquad(17)\]

Получаем, что \(l_{пер} / l_{иглы} \ll 1\), поэтому можно пренебречь длиной «переходных» отрезков системы.

Источник: pho.rs/p/4352.

Ответ

A2: \[R_{1}=0.0207 \pm 0.0007, \quad R_{2}=0.0352 \pm 0.0005\] \[n_{1}=1.335 \pm 0.007, \quad n_{2}=1.462 \pm 0.004\];  A3: \[T_{вн}=0.96\];  A4: \[n_{3}=1.549 \pm 0.017\]

Решение

A1. Попробуем направлять луч лазера в разные области датчика и следить за показаниями. Измерения показывают, что при попадании луча в центр датчика, люксметр выдаёт максимальные показания. Следовательно, для проведения измерений следует стремиться, чтобы излучение попадало в центр датчика.

При проведении измерений на датчик всегда попадает естественный свет, которым освещено рабочее место. Для того, чтобы минимизировать воздействие внешнего освещения на датчик, используя чёрную изоленту, следует изготовить диафрагму: заклеить изолентой датчик по краям, оставив не заклеенной область в центре размерами примерно \(2 \times 2~см\).

A2. Соберём экспериментальную установку (рис. 3).

Рис. 3. Экспериментальная установка для определения показателей преломления воды и глицерина

В одной лапке штатива закрепим лазер, а в другой – люксметр. На основание штатива установим чашку Петри. На дно обеих половин чашки положим по кусочку картона. Наполним одну из них водой, а другую глицерином. Луч лазера направим на образец (воду или глицерин) таким образом, чтобы угол падения луча на поверхность жидкости был близок к нулю, но отражённый луч не попадал в корпус лазера. Об этом будет свидетельствовать световое пятно на потолке над установкой. Перемещая в пространстве датчик люксметра, поймаем отражённый от поверхности жидкости луч лазера. Снимем показания люксметра \(I_{отр}\). Далее немного отведём в сторону датчик люксметра так, чтобы луч не попадал на датчик и зафиксируем новые показания люксметра – фоновое значение \(F\), которое имеет место благодаря естественному освещению в аудитории. Следом подставим датчик непосредственно под луч лазера и определим поток излучения лазера \(I_0\). Снова немного отведём датчик в сторону и измерим фоновое значение \(F_0\) (так как при измерении значений \(I_{отр}\) и \(I_0\) датчик был ориентирован в пространстве по-разному, фоновые значения будут отличаться). Повторим измерения несколько раз. Результаты контрольных измерений приведены в таблице 2.

Коэффициент отражения рассчитаем по формуле:

\[R=\frac{I_{отр} -F}{I_{0}-F_{0}}\]Средние значения коэффициентов отражения:

Ответ:

\[R_{1}=0.0207 \pm 0.0007, \quad R_{2}=0.0352 \pm 0.0005\]

Вычислим показатели преломления. Для этого воспользуемся формулой Френеля (показатель преломления воздуха равен \(1\)):

\[n=\frac{1+\sqrt{R}}{1-\sqrt{R}}\]Показатели преломления воды \(n_{1}\) и глицерина \(n_{2}\) на основе проведенных измерений составят:

Ответ:

\[n_{1}=1.335 \pm 0.007, \quad n_{2}=1.462 \pm 0.004\]

A3. Так как поверхность пластинок имеет небольшую шероховатость, в стопке между пластинками всегда присутствуют прослойки воздуха. Отражение света происходит на каждой из границ. Для того, чтобы при прохождении света через стопку не происходило отражения света, требуется сделать так, чтобы показатель преломления вещества в промежутках между слоями совпадал с показателем преломления самих пластинок. На эту роль хорошо подходит глицерин, поскольку его показатель преломления более близок к характерным значениям показателей преломления пластиков, из которых может быть сделана линейка, чем показатель преломления воды или воздуха.

Тогда, если пренебречь отражением и поглощением света глицерином, заполняющим промежутки между пластинками (см. рис. 4), после прохождения света через \(k\) пластинок световой поток прошедшего света составит: \[I_{пр}=\left(1-R_{3}\right)^{2} T_{вн}^{k} I_{0}\] где \(R_{3}\) – коэффициент отражения от границы воздух-пластинка при нормальном падении лазерного луча.

Рис. 4. Прохождение света через стопку из полупрозрачных пластинок

Линеаризуем зависимость проходящего светового потока от числа слоев: \[\ln \frac{I_{пр}}{I_{0}}=k \ln T_{вн}+2 \ln \left(1-R_{3}\right)\] Определив значение углового коэффициента \(\ln T_{вн}\) графика этой зависимости, мы сможем вычислить коэффициент \(T_{вн}\).

Для проведения эксперимента соберём экспериментальную установку, изображённую на рис. 5. С помощью изоленты на основании штатива закрепим датчик люксметра. В стопке из пластинок каждый из слоёв отделён от предыдущего очень тонким слоем глицерина. Глицерин удобно наносить с помощью шприца.

Рис. 5. Экспериментальная установка для определения коэффициента внутреннего пропускания

Проведём измерения зависимости потока излучения, прошедшего через стопку пластинок, от числа слоёв. Вначале измерим фоновое значение \(F_{0}\) света в отсутствие пластинок и поток излучения от лазерной указки \(I_{0}\). Далее поместим пластинки на датчик люксметра и измерим поток излучения, прошедшего через стопку \(I_{пр}\) и фон \(F\). Следует отметить, что со временем лазер меняет свою яркость. Кроме того, изменяется фоновая освещённость. Учитывая это, для каждого числа слоёв \(k\) требуется провести измерения всех четырёх вышеуказанных величин. Причём интервал времени между измерениями величин \(I_{пр}\) и \(I_{0}\) желательно свести до минимума (измерять непосредственно друг за другом, последовательность не важна).

Для каждого \(k\) вычислим значение \(y=\ln \dfrac{I_{пр}-F}{I_{0}-F_{0}}\).

Далее построим график зависимости \(y(k)\).

График зависимости \(y\) от \(k\) для иглы

Угловой коэффициент наклона графика \(\alpha=\ln T_{вн}=-0.041 \pm 0.001\) используем для вычисления коэффициента внутреннего пропускания:

\[T_{вн}=e^{\alpha}=0.96\]

Ответ:

\[T_{вн}=0.96\]

A4. Перейдем к определению показателя преломления материала пластинок \(n_{3}\). С помощью изоленты закрепим на столе лист миллиметровки (рис. 6). Заклеим выходное окно лазерной указки малярным скотчем и сделаем иглой небольшое отверстие посередине луча. Таким образом, пятно от лазерной указки получится маленьким. Закрепим лазерную указку в канцелярском зажиме (чтобы можно было поддерживать лазер во включенном состоянии), а сам зажим - в лапке штатива. Штатив установим на лист миллиметровки таким образом, чтобы при повороте лазерной указки в вертикальной плоскости (изменении угла наклона лазерного луча) пятно перемещалось вдоль линий сетки на миллиметровке.

Сложим из пластинок стопку, «склеив» их между собой прослойкой из глицерина. Поскольку показатели преломления глицерина и пластиков, из которых могут быть изготовлены пластинки близки друг к другу по значению, то преломления на границах пластинка-глицерин практически не происходит, и лазерный луч проходит через стопку, лишь преломляясь на границе воздуха и пластинки. Также стоит отметить, что в стопке пластинок, склеенных глицерином, практически отсутствует рассеяние света на шероховатостях поверхностей пластинок. Из-за чего лазерный пучок доходит до миллиметровой бумаги узким, и становится возможным измерение смещения центра пятна на миллиметровке при прохождении пучка через стопку пластинок.

Рис. 6. Экспериментальная установка для определения показателя преломления материала пластинок.

Направим лазерную указку под произвольным углом, так чтобы пятно лазерного луча оказалось на миллиметровке. Отметим это положение как \(A\) (см. рис. 6). С помощью транспортира определим угол падения лазерного луча \(\alpha\). Теперь расположим на пути лазерного луча стопку из пластинок, высоту \(h\) которой измерим линейкой на транспортире. Проходя через границу воздух-пластинка, лазерный луч преломляется, и положение пятна смещается в новое положение \(B\). Определим длину, на которую сместилось пятно:\[\Delta l=A B.\] Из определения тангенсов углов \(\alpha\) и \(\beta\) несложно получить их связь: \[\operatorname{tg} \beta=\operatorname{tg} \alpha-\frac{\Delta l}{h}\] Из закона преломления следует выражение для показателя преломления материала пластинок: \[n=\frac{\sin \alpha}{\sin \beta}\]

Среднее значение показателя преломления материала пластинок составляет:

Ответ:

\[n_{3}=1.549 \pm 0.017\]

Замечание 1

Оценим, насколько изменится ответ в Задании 3 (коэффициент внутреннего пропускания), если принять во внимание отражения на границах пластинок и глицерина. При этом будем учитывать только однократные отражения. Тогда при прохождении света через стопку из \(k\) пластинок лазерный луч дополнительно ослабится в \(\left(1-R_{23}\right)^{2 k-1}\) раз, поскольку в стопке из \(k\) пластинок расположено \(2 k-1\) границ раздела пластинка–глицерин. Здесь \(R_{23}=\left(\dfrac{n_{2}-n_{3}}{n_{2}+n_{3}}\right)^{2} \approx 0.0008\) – коэффициент отражения на границе пластинка–глицерин.

Тогда выражение для интенсивности прошедшего через стопку излучения запишется в виде:

\[I_{np}=\left(1-R_{3}\right)^{2} T_{вн}^{k}\left(1-R_{23}\right)^{2 k-1} I_{0}\]

После приведения к линейному виду:

\[\ln \frac{I_{пр}}{I_{0}}=k \ln \left(\left(1-R_{23}\right)^{2} T_{вн}\right)+\ln \frac{\left(1-R_{3}\right)^{2}}{1-R_{23}}\]

Поскольку величина \(R_{23}\) малая, то \(\left(1-R_{23}\right)^{2} T_{вн} \approx\left(1-2 R_{23}\right) T_{вн}\). Таким образом, учет отражения от границ раздела пластинки и глицерина изменяет значение коэффициента внутреннего пропускания лишь на \(2 R_{23} \cdot 100 \%=0.16 \%\).

Заметим, что если вместо глицерина взять воду, то эта поправка составит \(2 R_{13} \cdot 100 \%=\) \(2\left(\dfrac{n_{1}-n_{3}}{n_{1}+n_{3}}\right)^{2} \cdot 100 \% \approx 1.16 \%\). Аналогично для воздуха: \(2\left(\dfrac{n_{3}-1}{n_{3}+1}\right)^{2} \cdot 100 \% \approx 9.3 \%\). Однако в этих случаях на измеренном значении проходящего светового потока сильнее будет сказываться рассеяние на шероховатостях пластинки.

Замечание 2

Значения световых потоков, измеренные участниками, могут отличаться от значений, представленных в таблицах с контрольными измерениями.

Источник: pho.rs/p/1930.

Ответ

A1: \[I_0=2\pi f q_0\];  A2: При малых частотах \(Z_C={1}/{2\pi f C} \gg Z_R=R\), поэтому \(Z\approx Z_R=R\) и не зависит от частоты. При больших частотах \(Z_C\ll Z_R\), поэтому \(Z\approx Z_C={1}/{2\pi fC}\).;  B1: \[C =145~пФ\]

Решение

A1. \[U(t)=\frac{q(t)}{C}=\frac{q_0}{C}\cos\left(2\pi ft\right),\]поэтому амплитуда напряжения \(U_0={q_0}/{C}\).

\[I(t)=\dot{q}(t)=-q_02\pi f\sin\left(2\pi ft\right),\]поэтому амплитуда тока:

Ответ:

\[I_0=2\pi f q_0\]

A2. Ответ:

При малых частотах \(Z_C={1}/{2\pi f C} \gg Z_R=R\), поэтому \(Z\approx Z_R=R\) и не зависит от частоты.

При больших частотах \(Z_C\ll Z_R\), поэтому \(Z\approx Z_C={1}/{2\pi fC}\).

B1. Соберем схему, показанную на рисунке 3. Один щуп осциллографа подключим напрямую к генератору для измерения напряжения на нем, другой щуп – последовательно с выданным резистором. При больших частотах второй канал осциллографа эквивалентен конденсатору емкостью \(C\). Предположим, что уже при \(f\sim 1~МГц\) выполняется \(Z \approx Z_C\). Пусть напряжение на конденсаторе меняется по закону: \[U_2=\frac{q_0}{C}\cos\left(2\pi ft\right)=\frac{I_0}{2\pi fC}\cos\left(2\pi ft\right)\qquad(1).\] Тогда для амплитуды напряжения на втором канале осциллографа имеем: \[I_{20}=I_0\cdot\frac{1}{2\pi fC}\qquad(2),\] Ток в цепи же в цепи конденсатора и \(C\) и резистора \(r\) меняется по закону: \[I(t)=\dot{q}(t)=-q_02\pi f\sin\left(2\pi ft\right)=-I_0\sin\left(2\pi ft\right)\qquad(3).\] Тогда напряжение на резисторе \(r\): \[U_r(t)=I(t)r=-I_0\sin\left(2\pi ft\right)\qquad(4).\] Напряжение на первом канале осциллографа складывается из напряжений на конденсаторе \(C\) и сопротивлении \(r\). \[U_1(t)=U_r+U_2=I(t)r=-I_0r\sin\left(2\pi ft\right)+\frac{I_0}{2\pi fC}\cos\left(2\pi ft\right)\qquad(5).\] Введем дополнительный угол: \[\phi=\operatorname{arctan}\frac{1}{2\pi fCr}.\qquad(6)\] Тогда для напряжения на первом канале осциллографа получаем: \[U_1(t)=I_0\sqrt{r^2+\left(\frac{1}{2\pi fC}\right)}\cos\left(2\pi ft+\phi\right).\qquad(7)\] И для амплитуды этого напряжения: \[U_10=I_0\sqrt{r^2+\left(\frac{1}{2\pi fC}\right)^2}.\qquad(8)\] Окончательно отношение амплитуд на первом и втором каналах осциллографа: \[\frac{U_{10}}{U_{20}}=\sqrt{1+\left(2\pi fCr\right)^2},\qquad(9)\] где \(f\) – частота сигнала генератора.

Рис. 3. Схема измерения емкости осциллографа

Измерим зависимость напряжений на двух каналах осциллографа от частоты сигнала. Построим график зависимости квадрата отношения амплитуд этих напряжений

\(\left(\dfrac{U_1}{U_2}\right)^2\) от квадрата частоты сигнала \(f^2\).

График зависимости \(\left(\frac{U_10}{U_20}\right)^2\) от \(f^2\)

Видно, что экспериментальные точки отлично описываются линейной функцией, т.е. предположение \(Z_C \ll Z_R\) на этих частотах выполняется. Угловой коэффициент графика данной зависимости составляет \[k =\left(2\pi Cr\right)^2 = 1.01 \cdot 10^{-12}~ с^2.\qquad(10)\] Откуда емкость осциллографа \[C =\frac{\sqrt{k}}{2\pi r}=145~пФ. \qquad(11)\]

Ответ:

\[C =145~пФ\]

B2. Для определения сопротивления осциллографа соберем схему, изображенную на рисунке 4.

Рис. 4. Схема измерения сопротивления осциллографа

При отключении осциллографа от батареи емкость осциллографа будет разряжаться через его внутреннее сопротивление. С помощью однократного срабатывания синхронизации запишем осциллограмму разрядки емкости. Используя курсоры и смещение осциллограммы, измерим зависимость напряжения на осциллографе от времени.

График зависимости \(\ln U\) от \(t\)

Напряжения на конденсаторе должно убывать по экспоненциальному закону:\[\ln U =\ln U_0-{t}/{RC}\qquad(12)\]где \(U_0\) – начальное напряжение на осциллографе. Построим график зависимости \(\ln U\) от \(t\). По угловому коэффициенту графика \(k_1 = 7.0\cdot103~с^{−1}\) найдем сопротивление осциллографа\[R =\frac{1}{k_1C}=1.03~МОм.\qquad(13)\]

Ответ:

\[R =1.03~МОм\]

Источник: pho.rs/p/4059.

Ответ

C1: \[c_{2}=355~м/с\];  E1: \[\Delta t=\frac{xv}{c^2}\];  H1: \[n=2,\qquad U_{0}=2.6~В\]

Решение

A1. Измерим АЧX системы приемник + передатчик. Для этого будем подавать на передатчик синусоидальный сигнал максимальной амплитуды \(U_{0}=8~В\) с разными частотами в диапазоне \(20-50~кГц\) с шагом в \(1~кГц\) и измерять напряжение на приемнике. При двух частотах вблизи \(\approx 25~кГц\) и \(\approx 40~кГц\) наблюдается сильное увеличение напряжения на приемнике. Области вблизи этих частот измерим с малым шагом по частоте для нахождения точных значений резонансов. Построим график отношения напряжения на приемнике к напряжению на передатчике от частоты работы системы.

Ответ:

Ответ:

Амплитудно-частотная характеристика датчика

Видно, что помимо основного резонанса, для конкретной системы приемник + передатчик находящегося на \(25.6~кГц\), есть близкий к нему максимум на \(24.0~кГц\), а также побочный резонанс на \(\approx 42.3~кГц\). Вероятно, близкие максимумы соответствуют несколько отличающимся собственным частотам колебаний передатчика и приемника.

B1. Если подать на передатчик прямоугольный сигнал с частотой \(100~Гц\), то на приемнике с некоторой задержкой будут возникать колебания, которые через некоторое время затухают. Можно заметить, что время задержки появления колебаний на приемнике зависит расстояния между приемником и передатчиком, а остальные параметры полученной осциллограммы, такие как частота колебаний приемника и время его затухания, от расстояния между приемником и передатчиком не зависят. Выберем некоторую характерную точку осциллограммы приёмника (например, второй пик раскачивающихся колебаний приемника) и измерим время между нарастанием сигнала на передатчике и характерной точкой на осциллограмме приемника \(t_{\text {delay}}\) в зависимости от расстояния между передатчиком и приемником \(x\). Как видно из графика зависимости \(x\left(t_{\text {delay}}\right)\), она может быть описана линейной функцией. Логично предположить, что данная задержка обусловлена двумя факторами собственной задержкой колебаний приемника и передатчика \((\approx 0.2~мс)\), а также задержкой в передаче звукового сигнала по воздуху, которая характеризуется скоростью звука в воздухе.

C1.

График для определения скорости звука в воздухе

Определим угловой коэффициент измеренного графика, он составляет:\[c_{1}=336~м/с\qquad(1)\]Отметим, что приведенные рассуждения и расчет скорости звука не требовались в работе, они приведены лишь в качестве подтверждения гипотезы о природе задержки колебаний.

Измерим также частоту возникающих на приемнике колебаний. Она составляет \(\approx 25~кГц.\) После возбуждения пришедшим импульсом приемник начинает колебаться на собственной частоте, близкой к резонансной частоте системы. Неполное совпадение частот можно объяснить тем, что АЧX системы приемник + передатчик является произведением их АЧХ по отдельности. Так как собственные частоты приёмника и передатчика немного не совпадают, то и резонансная частота системы немного не совпадает с собственной частотой колебаний приемника. \ Для более точного определения скорости звука в воздухе подадим на передатчик синусоидальный сигнал на резонансной частоте. На приемнике будем наблюдать осциллограмму в виде синуса. При смещении приемника его осциллограмма будет смещаться относительно осциллограммы передатчика. Смещение осциллограммы на период будет отвечать смещению приемника на одну длину волны. Так как длина волны мала, то для ее подсчета воспользуемся методом рядов. То есть сместим приемник на некоторое расстояние и посчитаем, сколько длин волн уложится в этом расстоянии по количеству периодов смещения осциллограммы приемника относительно осциллограммы передатчика. Далее умножим полученную длину волны на частоту колебаний передатчика и получим значение скорости звука в среде. При измерениях, проведенных на разных частотах, при прочих равных будут отличаться количества длин волн, укладывающихся на некотором расстоянии. Точность определения этого количества будет достаточно высокой и сравнимо большей, чем точность вычисления расстояния смещения. Поэтому по сути дела выбор резонансной частоты практически не влияет на точность определение скорости звука в таком эксперименте. В контрольных измерениях осциллограмма сдвинулась на \(N\) периодов при смещении приемника на \(x\) см для резонансной частоты \(f_{1}=25.6~кГц.\) Таким образом, скорость звука в воздухе можно найти из графика \(x(N)\) : \[x(N)=\frac{c_{2}}{f_{1}} \cdot N+x_{0} \qquad(2)\]где \(x_{0}\) – некоторая константа, определяемая начальным взаимным расположением приемника и передатчика.

График зависимости смещения \(x\) от кол-ва периодов \(N\)

Получив коэффициент наклона графика \(\alpha_{2}=1.39~см\), получим, что скорость звука:

\[c_{2}=355~м/с \qquad(3)\]

Ответ:

\[c_{2}=355~м/с\]

D1. Собрав установку и выбрав более явную резонансную частоту \(25.6~кГц\), убеждаемся, что время смещения осциллограммы на приемнике зависит от скорости движения воздуха между приемником и передатчиком.

E1. Можно считать, что звуковое возмущение движется относительно воздуха со скоростью звука, а сам воздух дополнительно перемещается относительно системы приемник + передатчик со скоростью ветра. Таким образом, звук будет двигаться с суммарной скоростью звука и струи воздуха в трубе. Изменение времени смещения \(\Delta t\) осциллограммы приемника можно описать так:\[\Delta t=\dfrac{x}{c}-\frac{x}{c+v} \qquad(4)\]Так как скорость потока воздуха много меньше скорости звука, то можно воспользоваться формулами приближенного исчисления:

\[\Delta t=\frac{xv}{c^2}\qquad(5)\]Откуда для скорости воздушного потока получаем:

\[v=\frac{\Delta t c^{2}}{x} \qquad(6)\]Видно, что время смещения не зависит от частоты сигнала.

Ответ:

\[\Delta t=\frac{xv}{c^2}\]

F1. Поставим один из вертикальных курсоров на точку, в которой горизонтальная ось пересекается с осциллограммой приемника при выключенном вентиляторе. Другой курсор будем смещать в новую точку пересечения по мере увеличения \(U\) и соответствующего сдвига осциллограммы. Рассчитаем по измеренной разности времен скорость струи воздуха в трубе.

Данные измерены для трубы \(x=82.1~см\).

Ответ:

График зависимости \(\Delta t\) от \(U\)

G1. Для определения частоты вращения вентилятора положим включенный лазер в свободный от вентилятора конец трубы, направим луч на лопасти вентилятора, а фотоприемник повесим на магнитном держателе на боковую стенку источника питания вентилятора так, чтобы он периодически освещался прошедшим между лопастей вентилятора лучом. Электрический сигнал на фотоприемнике будет прерывистым с периодом \(T={1}/{7 f}\) (поскольку вентилятор имеет \(7\) лопастей). Если пользоваться встроенным в осциллограф частотомером, то измерять \(T\) курсорами нет необходимости, и достаточно поделить измеренную осциллографом частоту \(f_\mathrm{photo}\) на \(7\).

H1. Измерим частоту вращения вентилятора в зависимости от напряжения питания вентилятора.

Построим график \(f(U)\). Видно, что на графике нет большого линейного участка. Предположим тогда, что \(n=2\) и построим график \(f^{2}(U)\). Видно, что полученный график может быть описан линейно функцией в диапазоне с \(\sim 5~В\) до \(12~В\). Следовательно, \(n=2\), то есть \(f \sim \sqrt{U-U_{0}}\), где из графиков \(U_{0}=2.6~В\) и совпадает с напряжением, при котором вентилятор начинает вращаться.

Приведем также теоретическое обоснование такой зависимости. Момент электромагнитных сил, вращающих двигатель вентилятора, пропорционален току, а соответственно и превышению напряжения над неким «напряжением открытия» питающей вентилятор цепи: \(M \sim I \sim\left(U-U_{0}\right)\). С другой стороны, этот момент уравновешен моментом сил сопротивления воздуха, при больших скоростях пропорциональным квадрату характерной скорости вращения лопастей \(v^{2}\), а значит и квадрату частоты: \(M \sim v^{2} \sim f^{2}\). Получаем требуемую зависимость: \(f \sim\left(U-U_{0}\right)^{1 / 2}\).

Отклонения начального участка линеаризованного графика от прямой связаны, скорее всего, с тем, что при малых скоростях лопастей сила сопротивления их движению имеет не квадратичный характер.

График зависимости \(f\) от \(U\)

График зависимости \(f^2\) от \(U\)

Ответ:

\[n=2,\qquad U_{0}=2.6~В\]

I1. Объединим данные таблиц \(v(U)\) и \(f(U)\) для построения графика зависимости скорости струи воздуха от напряжения на вентиляторе.

Ответ:

Ответ:

График зависимости \(v\) от \(f\)

Заметим, что полученная зависимость может быть описана линейной зависимостью с угловым коэффициентом:

\[K \approx 40~мм \qquad(7)\]

J1. Отрежем от трубы небольшую часть, уменьшив тем самым ее длину, и измерим время смещения осциллограммы приемника при включении вентилятора. А также измерим частоту вращения вентилятора при \(12~ В\). Повторим процедуру для еще меньших длин трубы. Из полученных данных видно, что частота вращения вентилятора не зависит от длины трубы. То есть можно утверждать, что трение воздуха о стенки трубы не влияет на скорость вращения вентилятора. Если же построить график зависимости времени смещения осциллограммы приемника от длины трубы, то можно обнаружить, что зависимость может быть также описана прямой пропорциональностью. Последнее возможно в том случае, если скорость воздуха в трубах разной длины остается одинаковой. Таким образом скорость струи воздуха не зависит от трения о стенки трубы в данном случае и определяется лишь скоростью движения лопастей вентилятора.

Ответ:

Ответ:

График зависимости \(\Delta t\) от \(x\)

График зависимости \(f\) от \(x\)

Источник: pho.rs/p/4353.