IEPhO 2021, 8 класс

Ответ

1: \[\alpha=1.86 \pm 0.12~мкл/ (с\cdot см)\];  2: \(\Delta h=-h_{0}=-2.3 \pm 0.4~см\)

Решение

1. Собсрем установку, описанную в условии. Под стакан, в который будут падать капли, поместим весы. Это обеспечит более точное определение массы воды, вытекшей из шприца, но сравнению с измерениями при использовании шкалы шприца (погрешность измерения массы с помощью весов \(\approx 0.03~г\), погрешность измерения объёма по шкале шприца \(\approx 0.5~мл\)). Будем наполнять шприц до отметок в \(V=60,50,40, \ldots~мл\) и измерять время \(t\), за которое показания весов увеличатся на \(m=1.00~г\). Расход воды можно рассчитать по формуле:

\[Q=\frac{m}{\rho t}, \qquad(3)\]где \(\rho=1.0~г/см^3\) – плотность воды. Высота от конца иголки до нулевого деления на ширице составит \(h_{0}=5.20 \pm 0.05~см\). Полная высота шкалы шприца составляет \(l=9.10 \pm 0.05~см\). Тогда высоту столба жидкости в каждом эксперименте легко рассчитать как:

\[h=h_{0}+\frac{V-0.5~мл}{60~мл} \cdot l \qquad(4)\]Необходимость смещения значения объема на \(0.5~мл\) связана с тем, что дно шприца имеет форму конуса, на котором умещается \(0.5~мл\) воды ниже нулевой отметки шкалы (определяется экспериментально). Для каждой величины \(V\) измерим время \(t\) три раза, в вычислениях используем среднее арифметическое. Занесем данные в таблицу и построим график зависимости \(Q(h)\).

Проведем аналогичный эксперимент для варианта установки, в котором игла погружена в воду. Для каждой величины \(V\) измерим время \(t'\) три раза, в вычислениях используем среднее арифметическое. Данные также внесем в таблицу, график зависимости объемного расхода \(Q_{1}\) от времени для удобства нанесем на одни те же оси с предыдущим графиком.

График зависимости \(Q\) от \(h\)

По графику можно утверждать, что полученные зависимости описываются линейными функциями с одинаковыми угловыми коэффициентами \(\alpha\), но с разными смещениями:

Ответ:

\[\alpha=1.86 \pm 0.12~мкл/ (с\cdot см)\]

2. Так, график зависимости измеренной без погружения конца иглы в воду пересекает горизонтальную ось в значении \(h_{0}=2.3 \pm 0.4~см\). Тем самым эффективная длина водяного столба меньше реального значения. То есть

Ответ:

\(\Delta h=-h_{0}=-2.3 \pm 0.4~см\)

3. Ответ:

График зависимости, измеренный при погружении иглы в воду, пересекает горизонтальную ось в меньшем значении: \(h_{1}=1.2 \pm 0.4~см\), однако, все же отличном от нуля. То есть и для второго эксперимента необходимо вводить понятие эффективной длины водяного столба, чтобы применять описанную в теоретической справке модель к данной задаче.

Источник: pho.rs/p/4362.

Решение

A1. Для измерения угла установки весов \(\alpha\) при помощи пластилина прикрепим транспортир к краю стола, чтобы поверхность стола совпала с отметками \(0^{\circ}\) и \(180^{\circ}\).

Измерим величину показания весов в зависимости от угла их установки. Занесем данные в таблицу и построим график исследованной зависимости.

Ответ:

Ответ:

График зависимости \(m\) от \(\alpha\)

A2. При горизонтальном положении (\(\alpha=0^{\circ}\)) балка деформирована под действием собственной силы тяжести и силы тяжести платформы. В этом положении на весах была нажата кнопка «TARE». Показания весов линейно связаны с деформацией балки, отсчитанной от горизонтального положения (положения нажатия кнопки «TARE»). Можно предположить, что на деформацию балки влияет проекция силы тяжести балки и силы тяжести платформы на направление перпендикулярное балке. Тогда выражение для показаний весов можно записать как:

\[m=m^*\cos\alpha-m^*\qquad(1)\]где \(m^*\) – постоянная величина, характеризующая деформацию балки под действием веса платформы и веса самой балки. Стоит отметить, что величина \(m^*\) несколько меньше суммарной массы балки и массы платформы. Связано это с тем, что балка деформируется под собственным весом меньше, чем если бы на ее конец, положили бы груз, равный массе балки. Тогда, для величины \(m^*\) можно дать теоретическое выражение:

\[m^*=m_ п+km_б\qquad(2)\]где \(k < 1\) – коэффициент равный отношению деформации балки под собственным весом к деформации балки под действием груза той же массы, положенного на конец балки. Естественно, что величина \(m^∗\) не зависит от массы остальной части весов.

Рис. 3. Проекция силы тяжести платформы на направление перпендикулярное балке

Для проверки предположения влияния лишь проекции сил тяжести на деформацию построим график зависимости показаний весов от косинуса угла их установки.

График зависимости \(m\) от \(\cos \alpha\)

Видно, что полученный график хорошо описывается предположенной ранее линейной функцией с угловым коэффициентом \(m^*=16.4~г\) (и таким же смещением), что подтверждает теоретическую зависимость.

A3. Для измерения массы весов нажмем на весах кнопку «TARE» в перевернутом положении. Весы при этом должны быть в строго горизонтальном положении, и не должны касаться стола измерительной платформой. После тарирования весы будут показывать значения, основываясь на дополнительной деформации балки, отсчитанной от описанного положения. Если после этого весы положить платформой на стол, то балка при этом будет дополнительно деформироваться под действием силы реакции опоры, действующей со стороны поверхности стола на платформу весов (см. рис. 4). Сила реакции опоры численно равна массе весов.

Рис. 4. Измерение массы весов

Таким образом, весы измерив дополнительную деформацию балки, покажут полную массу самих весов. Измерения, проведенные таким образом дают значение массы весов:

\[M_в=97.27~г \qquad(3)\]

Ответ:

\[M_в=97.27~г\]

Источник: pho.rs/p/4361.

Ответ

A1: \[\Delta P=(64 \pm 6)~кПа\]

Решение

A1. Накачаем в бутылку \(300~мл\) воздуха с помощью шприца объемом \(60~мл\). Для этого после каждой закаченной порции воздуха будем пережимать трубку вблизи носика шприца. Тогда практически весь воздух из шприца будет оказываться в бутылке. В случае, если пережимать трубку вдалеке от носика шприца, часть воздуха будет оставаться в ближайшей к носику части трубки. После того, как воздух накачан в бутылку, подсоединим к ней шприц объемом \(1~мл\) и откроем зажим. Воздух внутри шприца и в бутылке будет находиться при одинаковом давлении. Будем нажимать на весы поршнем шприца так, чтобы он двигался вверх относительно корпуса шприца с очень малой скоростью (рис. 1).

Рис. 1. Измерение давления внутри бутылки

При движении поршня на него будет действовать две силы. Первая из них – сила трения о стенки корпуса шприца. Она будет направлена вниз, так как поршень двигается вверх относительно корпуса шприца. Вторая – разность сил давления воздуха с двух сторон от поршня. Она также будет направлена вертикально вниз, так как давление внутри бутылки больше атмосферного. Показания весов по мере движения поршня по корпусу будут меняться, так как сила трения непостоянна в разных точках корпуса шприца. Измерим показания весов \(m_{1}=(180 \pm 5)~г\) при прохождении поршнем некоторой отметки на корпусе шприца. Отсоединим шприц от бутылки, предварительно перекрыв трубку, и проведем аналогичные измерения. В этом случае на поршень будет действовать только сила трения. Записывать показания весов \(m_{2}=(70 \pm 5)~г\) будем при прохождении поршнем прежней метки. Весы показывают значение силы, действующей на платформу в перпендикулярном направлении, деленное на ускорение свободного падения \(g\). Таким образом, для связи измеренных величин с дополнительным давлением \(\Delta P\) в бутылке имеем:

\[\Delta P S=\left(m_{1}-m_{2}\right) g \qquad(1)\]где \(S\) – внутренняя площадь сечения шприца. Для ее определения измерим длину шкалы \(h=(5.80 \pm 0.05)~см\) шприца, соответствующую внутреннему объему в \(V=(1.000 \pm 0.005)~мл\). Отсюда, площадь шприца составляет:

\[S=\frac{V}{h}=(0.172 \pm 0.002)~см^{2} \qquad(2)\]Тогда для дополнительного давления в бутылке получаем:

\[\Delta P=\frac{\left(m_{1}-m_{2}\right) g}{S}=(64 \pm 6)~кПа \qquad(3)\]

Ответ:

\[\Delta P=(64 \pm 6)~кПа\]

Видно, что наибольший вклад в погрешность вносит разница показаний весов \(\left(m_{1}-m_{2}\right)\).

A2. Для измерения плотности воздуха при атмосферном давлении будем помещать воздух из шприца в бутылку. Тогда масса воздуха в бутылке будет увеличиваться, а сила Архимеда будет оставаться прежней из-за постоянства объема бутылки. Таким образом изменение массы бутылки будет связано лишь с массой помещенного в нее дополнительно воздуха. Измерим зависимость изменения массы бутылки от объема закаченного в нее воздуха при атмосферном давлении.

График зависимости \(m\) от \(V\)

Видно, что измеренная зависимость хорошо описывается прямой пропорциональностью. Ее угловой коэффициент является плотностью воздуха при атмосферном давлении.

Ответ:

\[\rho=(1.33 \pm 0.02)~кг/м^{3}\]

Источник: pho.rs/p/4363.

Ответ

A1: \[m_п=20.24~г\]

Решение

A1. Определим массу пластилина \(m_п\). Для этого наклеим на трубку полоску скотча для удобства нанесения отметок (массой скотча мы пренебрегаем). Найдём центр масс трубки Для этого уравновесим трубу на краю стола (рис. 1) и отметим положение центра масс. После этого прикрепим к концу трубки два кусочка пластилина и вновь уравновесим трубку. Расстояние между центром масс трубки и центром масс всей системы (трубки и пластилина) \(x_{1}=21.7~см\), расстояние между центром масс системы и пластилином \(x_{2}=18.3~см\). Масса трубки в контрольном эксперименте: \(m_т=34.14~г\).

Рис. 1. Определение центра масс трубки, измерение массы пластилина

Масса пластилина составляет:

\[m_п=m_т \frac{x_{1}}{2 x_{2}}=20.24~г\qquad(2)\]

Ответ:

\[m_п=20.24~г\]

A2. Далее переходим к изучению вворачивания крючка в дерево. Вставим крючок в отверстие в бруске. Повернем его в бруске на первые два оборота, как описано в условии Проденем трубку с прикреплённым пластилином через крючок. Переместим трубку так, чтобы крючок оказался на некотором малом расстоянии от центра масс системы трубки и пластилина (рис. 2).

Рис. 2. Экспериментальная установка

Будем увеличивать расстояние \(l\) между центром масс системы и крючком (осью вращения системы) до тех пор, пока крючок не начнет вращаться. Поставим отметку на трубке в точке, где трубка проходит через крючок. Далее довернём крючок, завершив оборот, и повторим эксперимент. Таким образом измерим зависимость \(l\) от \(n\). Повторим серию измерений несколько раз для других (неиспользованных) отверстий.

Момент силы, требующийся для закручивания, рассчитаем по формуле:\[M=\left(2 m_п+m_т\right) g l \qquad(3)\]Занесем данные в таблицы и построим графики исследованных зависимостей. Для оценки разброса получаемых результатов контрольные измерения проводились на нескольких разных установках и в дальнейшем были сведены в единые таблицы (\(m\) – суммарная масса двух кусочков пластилина и трубки).

Ответ:

A3. Ответ:

График зависимости \(M\) от \(n\)

Как можно видеть по графику, зависимость не может быть аппроксимирована прямой. Таким образом мы приходим к выводу о том, что описанная в условиях задачи модель не применима в рассмотренном нами случае. Из особенностей, наблюдаемых по графику, можно заметить изгиб графика. При увеличении угла поворота крючка добавочный момент, требующийся для поворота крючка, уменьшается.

Для поворота крючка на некоторый угол необходимо преодолевать силы сопротивления, возникающие в древесине из-за ее деформации, а также силы трения резьбы крючка o древесину. Сила трения, возникающая между витками крючка и древесиной, в первом приближении прямо пропорциональна количеству витков, находящихся в древесине. Силы же возникающие, из-за деформации древесины меняются по другому закону. Основную роль в деформации древесины играет острие крючка. Так вначале процесса вкручивания в отверстии находится сравнительно малая длина резьбы крючка, и, так как крючок имеет некоторую конечную длину, возникает механический момент, вызывающий перекос крючка в отверстии (рис. 3). Острие крючка упирается в древесину и немного проминает её. При дальнейшем вкручивании увеличивается число витков резьбы, оказавшихся в отверстии. За счёт этого восстанавливается соосность крючка и отверстия. Силы, возникающие из за деформации древесины, уменьшаются. В результате скорость нарастания величины момента при приращении числа оборотов крючка уменьшается.

Рис. 3. Перекос крючка при вкручивании

Источник: pho.rs/p/4364.

Ответ

A2: \[h=\frac{g}{2 v_{0}^{2}} \cdot l^{2}\];  \[k=(100 \pm 1)~см\]

Решение

A1. Соберем установку, показанную на рис. 3. Направление начальной скорости парика снаряда после отрыва от промежуточного шара зависит от ориентации в пространстве направляющего профиля. Для того чтобы проверить его горизонтальность положим на него шарик. В случае, когда профиль горизонтален, шарик должен оставаться неподвижным. В противном случае, он начнёт катиться в сторону того конца профиля, который оказался ниже. Высоту установки пушки будем измерять с помощью линейки, расстояние по горизонтали от пушки до точки падения шара будем измерять с помощью мерной ленты. Для этого закрепим ленту с помощью скотча на столе.

Запустим шар-снаряд. Для удобного определения области падения пара, будем методом последовательных приближений клеить скотч в то место, где падает пар, либо располагать возле этого места торец линейки. «Кучность» места попадания шара при фиксированной высоте пушки достаточно высокая. Приблизительный размер области приземления имеет диаметр сопоставимый с шириной скотча (приблизительно \(2~см\)). Измерим зависимость дальности полета шара-снаряда от высоты его запуска. Построим график исследованной зависимости.

Ответ:

Ответ:

График зависимости \(l\) от \(h\)

A2. В исследуемом случае начальная скорость шара-снаряда направлена горизонтально. Поместив начало координат в его начальное положение, запишем уравнения \((1)\) и \((2)\):

\[x =v_{0} t \qquad(3)\\ y=-\frac{g t^{2}}{2}\]В момент приземления \(t_п\) координата по горизонтальной оси становится равной \(x=l\), а по вертикальной оси \(y=-h\). Тогда исключая из уравнений время полета пара, получим связь между дальностью полета и начальной высотой шара-снаряда:

\[h=\frac{g}{2 v_{0}^{2}} \cdot l^{2} \qquad(4)\]

Ответ:

\[h=\frac{g}{2 v_{0}^{2}} \cdot l^{2}\]

Таким образом, исследованная ранее зависимость должна быть линейной в координатах \(h\left(l^{2}\right)\). Построим соответствующий график.

Ответ:

График зависимости \(l^2\) от \(h\)

Видно, что измеренные точки хорошо описываются прямой пропорциональностью Найдем угловой коэффициент искомого графика:

\[k=\frac{g}{2 v_{0}^{2}}=(100 \pm 1)~см\qquad(5)\]

Ответ:

\[k=(100 \pm 1)~см\]

A4. Откуда для начальной скорости снаряда получаем:

\[v_{0}=\sqrt{\frac{g}{2 k}}=(2.21 \pm 0.02)~м/с \qquad(6)\]

Ответ:

\[v_{0}=(2.21 \pm 0.02)~м/с\]

Источник: pho.rs/p/4366.

Ответ

A1: \[\alpha=1.44\];  A2: \[h=1.03~мм,\qquad d=4.7~мм\];  A3: \[D_1=0.73~мм\]

Решение

A1. Наклеим на боковую стенку пробирки полоску малярного скотча вдоль ее образующей. перенесем шкалу шприца на скотч. Заливая воду шприцем в пробирку, определим сколько миллилитров воды укладывается между делениями шкалы. Так, между \(l_{1}=88~дел\) (\(дел\) – деления шкалы) укладывается \(V_{1}=3.00~мл\) воды. Оставим в пробирке часть воды и будем помещать в пробирку шприц с полностью погруженным в него поршнем. Заметим положения уровня воды в пробирке тогда, когда в нее погружен только кончик шприца, и когда шприц будет погружен в нее до отметки на его шкале, отмечающей 100 дел. Разность между уровнями воды по шкале на пробирке \(l_{2}=97-36=61~дел\) дает возможность определить объем внешней цилиндрической части шприца, расположенной между нулевым и сотым делениями:

\[V_{2}=l_{2} \frac{V_{1}}{l_{1}}=2.08~мл \qquad(2)\]Отношение внешнего и внутреннего диаметров цилиндрической части шприца найдем из соотношения объемов, высотой в \(l_{0}=100~дел\), с искомыми диаметрами:\[\alpha=\frac{D}{d}=\sqrt{\frac{V_{2}}{V_{0}}}=1.44 \qquad(3)\]где \(V_0=1~мл\) – объем внутренней части шприца.

Ответ:

\[\alpha=1.44\]

A2. Найдем внешний диаметр шприца в величине делений шкалы шприца. Для этого прокатим шприц по бумаге, предварительно помещенной на стол, с помощью пробирки, на которую перенесена шкала шприца. Совершив \(N=10\) оборотов, шприц смещается относительно пробирки на величину \(l_{3}=370~дел\). Тогда его внешний диаметр составит:\[D=\frac{l_{3}}{\pi N}=11.8~дел \qquad(4)\]Величину внутреннего диаметра шприца найдем с помощью вычисленного ранее отношения диаметров: \[d=\frac{D}{\alpha}=8.2~дел \qquad(5)\] Для нахождения расстояния в миллиметрах, соответствующего делению шприца, запишем внутренний объем шприца между нулевым и сотым делениями в кубических делениях шкалы шприца \[V_{0}=l_{0} \frac{\pi d^{2}}{4}=5278~дел^{3} \qquad(6)\] Так как данная величина известна в метрических единицах измерения, найдем соответствие между шкалой делений шприца и обычной метрической шкалой измерений: \[V_0 = 5278~дел^3=1000~мм^3\\ \qquad(7) 17.4~дел=10~мм\\ дел=0.57~мм\] Таким образом, внутренний диаметр шприца в миллиметрах составит:\[d=\frac{D}{\alpha}=8.2~дел\cdot 0.57~мм/дел =4.7~мм.\qquad(8)\] Толщину стенок определим с помощью вычисленного ранее отношения внешнего и внутреннего диаметров цилиндрической части шприца:\[\alpha=\frac{D}{d}=\frac{d+2h}{d}\\ \qquad(9) h=\left(\alpha-1\right)\frac{d}{2}=1.03~мм\]

Ответ:

\[h=1.03~мм,\qquad d=4.7~мм\]

A3. Определим внешний диаметр иглы, прокатив ее пробиркой со шкалой по бумаге, предварительно расположенной на столе. Игла, совершив \(N_1=25\) оборотов сместилась пробирки на \(l_4=100~дел\). Таким образом, ее внешний диаметр составит:\[D_1=\frac{l_4}{\pi N_1}=1.36~дел=0.73~мм \qquad(10)\]

Ответ:

\[D_1=0.73~мм\]

Нальем термоклей в жидком состоянии в силиконовый лоточек. Поместим в него иглу (ту, что с креплением под шприц). Подождем несколько минут пока клей застынет. Достанем иглу и клей из силиконового лоточка. Вынем из клея иглу. Обрежем получившуюся клеевую форму так, чтобы она образовывала открытую с двух сторон трубку. Диаметр этой трубки с хорошей точностью совпадает с внешним диаметром иглы. Подсоединим к этой трубке с одной стороны иглу без канюли, а с другой иглу со шприцем. Поместим свободный конец конструкции в воду и будем аккуратно затягивать воду с помощью шприца в иглу. Когда вода полностью заполнит иглу в трубке можно будет заметить появление границы воздух-вода. Вынем иглу из воды в тот момент, когда граница воздух-вода находится на крае иглы. Затянем всю воду из иглы в трубку. Длина столба воды в трубке из термоклея составит \(l_5=24~дел\), длина иглы без канюли \(l_6=55~дел\). Так как объем воды внутри иглы совпадает с объемом воды внутри трубки из термоклея, то отношение их длин будет равно обратному отношению их внутренних сечений. Поэтому для внутреннего диаметра иглы имеем:\[d_1=D_1\sqrt\frac{l_5}{l_6}=0.48~мм\qquad(11)\]Окончательно для толщины стенки иглы:

\[h_{1}=\frac{D_{1}-d_{1}}{2}=0.12~мм\qquad(12)\]

Ответ:

\[d_1=0.48~мм,\qquad h_{1}=0.12~мм\]

Источник: pho.rs/p/4368.