IEPhO 2021, 9 класс

Ответ

A1: \[R=(212 \pm 16)~мм\];  A2: \[F=204 \pm 3~мм\];  A3: \[n=0.05 \pm 0.04\];  A5: \[\Delta F=4.7 \pm 0.3~мм\]

Решение

A1. Положим линзу на стол и нажмем пальцем на ее край. Линза повернется так, чтобы плоскость стола стала касательной к поверхности линзы у ее края (см. рис. 3).

Рис. 3. Измерение радиуса кривизны поверхности линзы

Измерим высоту поднятия противоположного края линзы над поверхностью стола \(h=(8.5 \pm 0.5)~мм\), а также диаметр линзы \((D=60.0 \pm 0.5~мм\). Запишем связь между величиной радиуса кривизны поверхности линзы \(R\), углом \(\alpha\), характеризующим угловой размер поверхности, и измеренными величинами:

\[D=2 \sin \frac{\alpha}{2} R \approx \alpha R\]\[h=R(1-\cos \alpha) \approx R \frac{\alpha^{2}}{2} \qquad(3)\]Тогда, исключая угловой размер поверхности линзы, получим для радиуса ее кривизны:\[R=\frac{D^{2}}{2 h}=(212 \pm 16)~мм\qquad(4)\]

Ответ:

\[R=(212 \pm 16)~мм\]

A2. Соберем установку, в которой источником света будет являться светодиод, излучение которого будет фокусироваться линзой на экране (см. рис. 4). С помощью подставки и пластилина отцентрируем систему для получения наилучших результатов. Будем считать наиболее резким изображением четкое изображение кристалла светодиода.

Рис. 4. Определение фокусного расстояния линзы

Измерим зависимость расстояния между изображением и линзой от расстояния между источником и линзой. Рассчитаем в каждом случае фокусное расстояние линзы.

Усредним значение:

\[F=204~мм\]Случайную погрешность оценим как среднее квадратичное отклонение \(\Delta F_{сл}=1~мм\). Кроме всего прочего положение источника может быть определено с точностью не выше \(2~мм\). Положение линзы также определяется с некоторой погрешностью. Полную приборную погрешность оценим приблизительно в \(\Delta F_{пр}=2~мм\). Суммарная погрешность определения фокусного расстояния в данном эксперименте не ниже \(3~мм\). Итого для фокусного расстояния имеем:

Ответ:

\[F=204 \pm 3~мм\]

A3. По полученным данным рассчитаем показатель преломления линзы:\[n=1+ \frac{R}{2F}=0.05 \pm 0.04 \qquad(5)\]

Ответ:

\[n=0.05 \pm 0.04\]

A4. Поскольку показатель преломления линзы зависит от длины волны света, то для светодиодов разного цвета фокусное расстояние линзы будет различно. Несмотря на высокую точность измерения фокусного расстояния, для оценки разницы фокусных расстояний подобная установка не подходит. Причина состоит в том, что светодиод нельзя считать точечным источником при таких характерных расстояниях. Однако, если перед светодиодом расположить тонкий объект, то каждую точку его границы можно считать точечным источником вторичного излучения. Положение такого объекта можно определить с более высокой точностью, чем положение светящегося источника в светодиоде. Также, в случае использования препятствия из фольги, положение вторичного источника (края фольги) становится независимым от положения светодиода, и не изменяется при смене светодиода. Измерим таким образом фокусные расстояния для синего и красного светодиодов. Рассчитаем в каждом эксперименте разницу этих расстояний.

A5.

Усредним значение фокусного расстояния для синего светодиода: \[F{'}=204~мм\]Видно, что полученное значение с высокой степенью точности совпадает с измеренным ранее. Оценим случайную погрешность измерений фокусного расстояния в этом случае. \[\Delta F_{сл}^{'}=0.4~мм\]Видно, что в данном методе измерений, разброс результатов для фокусного расстояния существенно меньше, чем в методе, подразумевающем поиск изображения самого светодиода.

Рассчитаем для каждого положения линзы разность фокусных расстояний и усредним результаты измерений.

Ответ:

\[\Delta F=4.7 \pm 0.3~мм\]

A6. Свяжем разность показателей преломления и разность фокусных расстояний

\[\Delta n=(n-1) \frac{\Delta F}{F}=0.012 \pm 0.001 \qquad(6)\]

Ответ:

\[\Delta n=0.012 \pm 0.001\]

Источник: pho.rs/p/4369.

Решение

A1. Для измерения угла установки весов \(\alpha\) при помощи пластилина прикрепим транспортир к краю стола, чтобы поверхность стола совпала с отметками \(0^{\circ}\) и \(180^{\circ}\).

Измерим величину показания весов в зависимости от угла их установки. Занесем данные в таблицу и построим график исследованной зависимости.

Ответ:

Ответ:

График зависимости \(m\) от \(\alpha\)

A2. При горизонтальном положении (\(\alpha=0^{\circ}\)) балка деформирована под действием собственной силы тяжести и силы тяжести платформы. В этом положении на весах была нажата кнопка «TARE». Показания весов линейно связаны с деформацией балки, отсчитанной от горизонтального положения (положения нажатия кнопки «TARE»). Можно предположить, что на деформацию балки влияет проекция силы тяжести балки и силы тяжести платформы на направление перпендикулярное балке. Тогда выражение для показаний весов можно записать как:

\[m=m^*\cos\alpha-m^*\qquad(1)\]где \(m^*\) – постоянная величина, характеризующая деформацию балки под действием веса платформы и веса самой балки. Стоит отметить, что величина \(m^*\) несколько меньше суммарной массы балки и массы платформы. Связано это с тем, что балка деформируется под собственным весом меньше, чем если бы на ее конец, положили бы груз, равный массе балки. Тогда, для величины \(m^*\) можно дать теоретическое выражение:

\[m^*=m_ п+km_б\qquad(2)\]где \(k < 1\) – коэффициент равный отношению деформации балки под собственным весом к деформации балки под действием груза той же массы, положенного на конец балки. Естественно, что величина \(m^∗\) не зависит от массы остальной части весов.

Рис. 3. Проекция силы тяжести платформы на направление перпендикулярное балке

Для проверки предположения влияния лишь проекции сил тяжести на деформацию построим график зависимости показаний весов от косинуса угла их установки.

График зависимости \(m\) от \(\cos \alpha\)

Видно, что полученный график хорошо описывается предположенной ранее линейной функцией с угловым коэффициентом \(m^*=16.4~г\) (и таким же смещением), что подтверждает теоретическую зависимость.

A3. Для измерения массы весов нажмем на весах кнопку «TARE» в перевернутом положении. Весы при этом должны быть в строго горизонтальном положении, и не должны касаться стола измерительной платформой. После тарирования весы будут показывать значения, основываясь на дополнительной деформации балки, отсчитанной от описанного положения. Если после этого весы положить платформой на стол, то балка при этом будет дополнительно деформироваться под действием силы реакции опоры, действующей со стороны поверхности стола на платформу весов (см. рис. 4). Сила реакции опоры численно равна массе весов.

Рис. 4. Измерение массы весов

Таким образом, весы измерив дополнительную деформацию балки, покажут полную массу самих весов. Измерения, проведенные таким образом дают значение массы весов:

\[M_в=97.27~г \qquad(3)\]

Ответ:

\[M_в=97.27~г\]

Источник: pho.rs/p/4361.

Ответ

A1: \[\Delta P=(64 \pm 6)~кПа\]

Решение

A1. Накачаем в бутылку \(300~мл\) воздуха с помощью шприца объемом \(60~мл\). Для этого после каждой закаченной порции воздуха будем пережимать трубку вблизи носика шприца. Тогда практически весь воздух из шприца будет оказываться в бутылке. В случае, если пережимать трубку вдалеке от носика шприца, часть воздуха будет оставаться в ближайшей к носику части трубки. После того, как воздух накачан в бутылку, подсоединим к ней шприц объемом \(1~мл\) и откроем зажим. Воздух внутри шприца и в бутылке будет находиться при одинаковом давлении. Будем нажимать на весы поршнем шприца так, чтобы он двигался вверх относительно корпуса шприца с очень малой скоростью (рис. 1).

Рис. 1. Измерение давления внутри бутылки

При движении поршня на него будет действовать две силы. Первая из них – сила трения о стенки корпуса шприца. Она будет направлена вниз, так как поршень двигается вверх относительно корпуса шприца. Вторая – разность сил давления воздуха с двух сторон от поршня. Она также будет направлена вертикально вниз, так как давление внутри бутылки больше атмосферного. Показания весов по мере движения поршня по корпусу будут меняться, так как сила трения непостоянна в разных точках корпуса шприца. Измерим показания весов \(m_{1}=(180 \pm 5)~г\) при прохождении поршнем некоторой отметки на корпусе шприца. Отсоединим шприц от бутылки, предварительно перекрыв трубку, и проведем аналогичные измерения. В этом случае на поршень будет действовать только сила трения. Записывать показания весов \(m_{2}=(70 \pm 5)~г\) будем при прохождении поршнем прежней метки. Весы показывают значение силы, действующей на платформу в перпендикулярном направлении, деленное на ускорение свободного падения \(g\). Таким образом, для связи измеренных величин с дополнительным давлением \(\Delta P\) в бутылке имеем:

\[\Delta P S=\left(m_{1}-m_{2}\right) g \qquad(1)\]где \(S\) – внутренняя площадь сечения шприца. Для ее определения измерим длину шкалы \(h=(5.80 \pm 0.05)~см\) шприца, соответствующую внутреннему объему в \(V=(1.000 \pm 0.005)~мл\). Отсюда, площадь шприца составляет:

\[S=\frac{V}{h}=(0.172 \pm 0.002)~см^{2} \qquad(2)\]Тогда для дополнительного давления в бутылке получаем:

\[\Delta P=\frac{\left(m_{1}-m_{2}\right) g}{S}=(64 \pm 6)~кПа \qquad(3)\]

Ответ:

\[\Delta P=(64 \pm 6)~кПа\]

Видно, что наибольший вклад в погрешность вносит разница показаний весов \(\left(m_{1}-m_{2}\right)\).

A2. Для измерения плотности воздуха при атмосферном давлении будем помещать воздух из шприца в бутылку. Тогда масса воздуха в бутылке будет увеличиваться, а сила Архимеда будет оставаться прежней из-за постоянства объема бутылки. Таким образом изменение массы бутылки будет связано лишь с массой помещенного в нее дополнительно воздуха. Измерим зависимость изменения массы бутылки от объема закаченного в нее воздуха при атмосферном давлении.

График зависимости \(m\) от \(V\)

Видно, что измеренная зависимость хорошо описывается прямой пропорциональностью. Ее угловой коэффициент является плотностью воздуха при атмосферном давлении.

Ответ:

\[\rho=(1.33 \pm 0.02)~кг/м^{3}\]

Источник: pho.rs/p/4363.

Ответ

A3: \[R_{1}=1.50~Ом,\qquad R_{2}=13.4~Ом\];  A4: \[\frac{R_{2}}{R_{1}}=9\];  A5: \[R_{G}=120~Ом\]

Решение

A1. Устройство двухпредельного амперметра должно быть таковым, что при подключении его в цепь только часть тока течет через измерительную головку, а остальная часть тока течет через резистор, подключенный к измерительной головке параллельно. При смене предела измерений должно меняться соотношение между частями тока, текущего через измерительную головку, и текущего через резистор. Последнее достигается за счет изменения сопротивления резистора. Однако такое буквальное восприятие требований к работе двухпредельного амперметра не может привести к его простой не коммутируемой схеме. Если предположить, что в на одном из пределов миллиамперметра один из резисторов может быть подключен к измерительной головке последовательно, то можно прийти к очень простой логичной схеме соединения элементов внутри миллиамперметра, изображенной на рисунке 1.

Ответ:

Рис. 1. Схема миллиамперметра. На схеме G – измерительная головка

A2. Для подтверждения правильного расположения измерительной головки подключим к выходам \(-\) и \(\mathrm{60\,mA}\) батарейку с ограничивающим резистором (см. рисунок 2). Стрелка миллиамперметра отклонится от нулевого положения. Замкнем контакты \(-\) и \(\mathrm{6\,mA}\) проводом и заметим, что стрелка прибора переместится в нулевое положение. Значит в этом случае измерительная головка оказалась замкнутой и ток через нее течь перестал.

Рис. 2. Схема подключения амперметра для определения \(\dfrac{R_{1} R_{2}}{R_{1}+R_{2}}\)

Измерим при таком соединении напряжение на ограничивающем резисторе \(U_{R}=1201~мВ\) и напряжение на миллиамперметре \(U_{a}=31.9~мВ\). В контрольном эксперименте сопротивление ограничивающего резистора было равно \(R=51.0~Ом\).

A3. В случае замкнутой измерительной головки сопротивление миллиамперметра определяется параллельным соединением резисторов \(R_{1}\) и \(R_{2}\). Тогда можно записать уравнение определяющее связь измеренных величин:

\[\frac{R_{1} R_{2}}{R_{1}+R_{2}}=R \cdot \frac{U_{a}}{U_{R}} \qquad(1)\]Чтобы составить второе уравнение для поиска сопротивлений \(R_{1}\) и \(R_{2}\), подключим миллиамперметр к батарейке с ограничивающим резистором выводами \(-\) и \(\mathrm{6\,mA}\) (cм. рисунок 3).

Рис. 3. Схема подключения амперметра для определения \(\dfrac{R_{2}}{R_{1}}\)

Далее с помощью мультиметра определим напряжения на резисторах \(U_{1}=26.7~мВ\) и \(U_{2}=239~мВ\). Отношение напряжений будет определяться отношением сопротивлений.

\[\frac{R_{2}}{R_{1}}=\frac{U_{2}}{U_{1}}=8.95 \qquad(2)\]Решив систему уравнений, найдем значения сопротивлений:

Ответ:

\[R_{1}=1.50~Ом,\qquad R_{2}=13.4~Ом\]

A4. Получим теоретические выражения для связи сопротивлений \(R_{1}\) и \(R_{2}\). При использовании миллиамперметра на пределе \(\mathrm{60\,mA}\) через измерительную головку течет ток \(I_{\max }\), когда через весь прибор протекает ток \(\mathrm{60\,mA}\). Тогда падение напряжения на всем приборе должно быть равным падению напряжения на ветке схемы, содержащей измерительную головку. Тогда в соответствии с законом Ома:

\[I_{\max } \cdot\left(R_{G}+R_{2}\right)=60~мА\cdot \frac{\left(R_{G}+R_{2}\right) \cdot R_{1}}{R_{G}+R_{1}+R_{2}} \qquad(3)\]Аналогичное выражение можно записать в случае использования миллиамперметра на пределе измерений \(\mathrm{6\,mA}\):

\[I_{\max } \cdot R_{G}=6~мА\cdot \frac{\left(R_{1}+R_{2}\right) \cdot R_{G}}{R_{G}+R_{1}+R_{2}} \qquad(4)\]Тогда, поделив выражение \((3)\) на выражение \((4)\) получаем:

\[\frac{R_{1}+R_{2}}{R_{1}}=\frac{60~мА}{6~мА}=10 \qquad(5)\]Откуда для теоретического отношения сопротивлений получаем:

\[\frac{R_{2}}{R_{1}}=9 \qquad(6)\]

Ответ:

\[\frac{R_{2}}{R_{1}}=9\]

Видно, что теоретически рассчитанное значение хорошо сходится с полученным экспериментально.

A5. Для определения сопротивления измерительной головки подключим миллиамперметр к батарейке с ограничивающим резистором контактами \(-\) и \(\mathrm{60\,mA}\) (см. рисунок 4).

Рис. 4. Схема подключения амперметра для определения сопротивления измерительной головки

Измерим напряжения на измерительной головке \(U_{3}=32.1~мВ\) и на втором резисторе \(U_{4}=3.6~мВ\). Отношение напряжений на этих элементах будет равно отношению их сопротивлений. Откуда сопротивление измерительной головки:\[R_{G}=R_{2} \cdot \frac{U_{3}}{U_{4}}=120~Ом \qquad(7)\]

Ответ:

\[R_{G}=120~Ом\]

Расчет номинального тока измерительной головки \(I_{\max }\) проведем теоретически па основе формулы \((4)\):\[I_{\max }=6~мА \cdot \frac{R_{1}+R_{2}}{R_{1}+R_{2}+R_{G}}=0.66~мА \qquad(8)\]

Ответ:

\[I_{\max }=0.66~мА\]

Источник: pho.rs/p/4365.

Ответ

A1: \[L_{\min}=3~м\];  A2: \[k=3.6~ \sqrt м/с\]

Решение

A1. Для измерения зависимости времени «вытекания» цепи от ее длины, установим штатив на стол, закрепим чашку Петри в лапке на высоте \(h=100~см\) от пола. Для увеличения точности измерим время вытекания для каждой длины цепочки три раза и усредним. При вытекании цепочки, она может задевать край чашки Петри, что занижает полученные значения времен вытекания и увеличивает разброс получаемых значений. Наиболее удобный способ избежать этого эффекта – немного наклонить чашку. Результаты измерений занесем в таблицу:

Ответ:

Ответ:

График зависимости \(\tau_{ср} \left(L\right)\)

График хорошо описывается линейной функцией с угловым коэффициентом \(k=0.27~с/ м\). Исходя из линейности графика, можно сделать вывод о том, что длина цепочки, равная \(L_{\min}=3~м\), достаточна для установления постоянной скорости движения звеньев во время падения. В соответствии с условием будем считать последнее утверждение верным для вытекания цепочки с любой из высот.

Ответ:

\[L_{\min}=3~м\]

A2. Чтобы найти установившуюся скорость, будем для каждой высоты \(h\) измерять не только время падения \(T\) цепи максимальной возможной длины \(L_{\max}=12~м\), но и время падения \(t\) цепочки длиной \(3~м\). Измерение каждого из времен падения также будем проводить три раза. Будем вычислять установившуюся скорость движения звеньев цепи как:

\[v=\frac{L_{\max }-L_{\min }}{T-t} \qquad(3)\]Отметим, что для повышения точности следует увеличить диапазон выбора высот запуска. Так, например, можно поставить штатив на стул, который в свою очередь разместить на столе для получения больших высот размещения чашки. В результате получим следующие данные:

Ответ:

Построим график зависимости найденной нами скорости от корня высоты установки чашки Петри над поверхностью пола \(v(\sqrt{h})\).

Ответ:

График зависимости \(v(\sqrt{h})\)

Коэффициент наклона графика, проведенного из начала координат составляет \(k=3.6~ \sqrt м/с\) и лежит между значениями коэффициентов, отвечающим первой и второй моделям.

Ответ:

\[k=3.6~ \sqrt м/с\]

A3. Все точки, измеренные студентами, представлены на графике ниже. Не задевая края чашки, цепочка может вытекать, начиная с высот \(\approx 30-40~см\).

График зависимости \(v(\sqrt{h})\)

Ответ:

Таким образом ни одна из моделей, предложенных в условии, не выполняется

Источник: pho.rs/p/4367.

Ответ

A1: \[\alpha=1.44\];  A2: \[h=1.03~мм,\qquad d=4.7~мм\];  A3: \[D_1=0.73~мм\]

Решение

A1. Наклеим на боковую стенку пробирки полоску малярного скотча вдоль ее образующей. перенесем шкалу шприца на скотч. Заливая воду шприцем в пробирку, определим сколько миллилитров воды укладывается между делениями шкалы. Так, между \(l_{1}=88~дел\) (\(дел\) – деления шкалы) укладывается \(V_{1}=3.00~мл\) воды. Оставим в пробирке часть воды и будем помещать в пробирку шприц с полностью погруженным в него поршнем. Заметим положения уровня воды в пробирке тогда, когда в нее погружен только кончик шприца, и когда шприц будет погружен в нее до отметки на его шкале, отмечающей 100 дел. Разность между уровнями воды по шкале на пробирке \(l_{2}=97-36=61~дел\) дает возможность определить объем внешней цилиндрической части шприца, расположенной между нулевым и сотым делениями:

\[V_{2}=l_{2} \frac{V_{1}}{l_{1}}=2.08~мл \qquad(2)\]Отношение внешнего и внутреннего диаметров цилиндрической части шприца найдем из соотношения объемов, высотой в \(l_{0}=100~дел\), с искомыми диаметрами:\[\alpha=\frac{D}{d}=\sqrt{\frac{V_{2}}{V_{0}}}=1.44 \qquad(3)\]где \(V_0=1~мл\) – объем внутренней части шприца.

Ответ:

\[\alpha=1.44\]

A2. Найдем внешний диаметр шприца в величине делений шкалы шприца. Для этого прокатим шприц по бумаге, предварительно помещенной на стол, с помощью пробирки, на которую перенесена шкала шприца. Совершив \(N=10\) оборотов, шприц смещается относительно пробирки на величину \(l_{3}=370~дел\). Тогда его внешний диаметр составит:\[D=\frac{l_{3}}{\pi N}=11.8~дел \qquad(4)\]Величину внутреннего диаметра шприца найдем с помощью вычисленного ранее отношения диаметров: \[d=\frac{D}{\alpha}=8.2~дел \qquad(5)\] Для нахождения расстояния в миллиметрах, соответствующего делению шприца, запишем внутренний объем шприца между нулевым и сотым делениями в кубических делениях шкалы шприца \[V_{0}=l_{0} \frac{\pi d^{2}}{4}=5278~дел^{3} \qquad(6)\] Так как данная величина известна в метрических единицах измерения, найдем соответствие между шкалой делений шприца и обычной метрической шкалой измерений: \[V_0 = 5278~дел^3=1000~мм^3\\ \qquad(7) 17.4~дел=10~мм\\ дел=0.57~мм\] Таким образом, внутренний диаметр шприца в миллиметрах составит:\[d=\frac{D}{\alpha}=8.2~дел\cdot 0.57~мм/дел =4.7~мм.\qquad(8)\] Толщину стенок определим с помощью вычисленного ранее отношения внешнего и внутреннего диаметров цилиндрической части шприца:\[\alpha=\frac{D}{d}=\frac{d+2h}{d}\\ \qquad(9) h=\left(\alpha-1\right)\frac{d}{2}=1.03~мм\]

Ответ:

\[h=1.03~мм,\qquad d=4.7~мм\]

A3. Определим внешний диаметр иглы, прокатив ее пробиркой со шкалой по бумаге, предварительно расположенной на столе. Игла, совершив \(N_1=25\) оборотов сместилась пробирки на \(l_4=100~дел\). Таким образом, ее внешний диаметр составит:\[D_1=\frac{l_4}{\pi N_1}=1.36~дел=0.73~мм \qquad(10)\]

Ответ:

\[D_1=0.73~мм\]

Нальем термоклей в жидком состоянии в силиконовый лоточек. Поместим в него иглу (ту, что с креплением под шприц). Подождем несколько минут пока клей застынет. Достанем иглу и клей из силиконового лоточка. Вынем из клея иглу. Обрежем получившуюся клеевую форму так, чтобы она образовывала открытую с двух сторон трубку. Диаметр этой трубки с хорошей точностью совпадает с внешним диаметром иглы. Подсоединим к этой трубке с одной стороны иглу без канюли, а с другой иглу со шприцем. Поместим свободный конец конструкции в воду и будем аккуратно затягивать воду с помощью шприца в иглу. Когда вода полностью заполнит иглу в трубке можно будет заметить появление границы воздух-вода. Вынем иглу из воды в тот момент, когда граница воздух-вода находится на крае иглы. Затянем всю воду из иглы в трубку. Длина столба воды в трубке из термоклея составит \(l_5=24~дел\), длина иглы без канюли \(l_6=55~дел\). Так как объем воды внутри иглы совпадает с объемом воды внутри трубки из термоклея, то отношение их длин будет равно обратному отношению их внутренних сечений. Поэтому для внутреннего диаметра иглы имеем:\[d_1=D_1\sqrt\frac{l_5}{l_6}=0.48~мм\qquad(11)\]Окончательно для толщины стенки иглы:

\[h_{1}=\frac{D_{1}-d_{1}}{2}=0.12~мм\qquad(12)\]

Ответ:

\[d_1=0.48~мм,\qquad h_{1}=0.12~мм\]

Источник: pho.rs/p/4368.