IEPhO 2022, 10 класс

Решение

A1. Для первой части соберем установку изображенную на рис. 1. На брусок длиной \(40~см\) прилепим два кусочка пластилина около одного конца, на которые прикрепим включенный лазер. Надавливая на переднюю и заднюю часть лазера, можно регулировать угол между ним и бруском. Будем двигать брусок вдоль длинной стороны стола и смотреть за изображением лазерного луча на экране (стенке кабинки). Меняя угол между лазером и бруском, способом описанным выше, добьемся горизонтальности траектории изображения луча на экране. В этом случае лазерный луч будет параллелен бруску.

После этого на второй край бруска прикрепим при помощи пластилина баллончик с газом. Приклеим малярный скотч к боковой поверхности баллончика так, чтобы лазерный луч попадал в среду через небольшую щель.

Чтобы убедиться в том, что падающий луч перпендикулярен поверхности баллончика, будем следить за отражением лазерного луча от передней стенки баллончика: отраженный луч должен попадать обратно в лазер.

Будем менять угол \(\varphi\) наклона бруска и наблюдать на стенке кабинки за выходящими из баллона лучами. Для стабильности картины будем использовать короткий брусок (длиной \(15~см\)) как подставку. Один из выходящих лучей является отраженным от границы раздела жидкой и газообразной фазы изучаемого вещества (бутана), а другой — луч, преломленным на этой границе. Изображение отраженного луча можно наблюдать на экране  при любых углах наклона бруска, а преломленный луч можно наблюдать только при \(\varphi \leq \varphi_{{кр}}\). При углах больше критического на границе между жидкой и газообразной фазой бутана происходит явление полного внутреннего отражения. Тогда для критического угла можно записать:

\[\sin{\varphi_{{кр}}}=\frac{1}{n_{{жид}}}. \qquad(1) \tag{1}\]

Рис. 1. Определение показателя преломления жидкости

Примечание: границу газ–пластик–воздух луч пройдет при любых углах, так как показатель преломления пластика больше чем у газа и воздуха.

Установим брусок так, чтобы при небольшом увеличении угла зайчик от преломленного луча на экране пропал. В этом случае угол между длинным бруском и вертикалью равен \(\varphi_{кр}\).

Тогда \[\sin{\varphi_{кр}}=\frac{\sqrt{S^2-h^2}}{S}. \qquad(2) \tag{2}\] Окончательно для показателя преломления бутана в жидком состоянии: \[n_{жид} = \frac{S}{\sqrt{S^2-h^2}}. \qquad(3) \tag{3}\] Измерим длину бруска \(S = 40.0 \pm 0.5 ~\text{см}\) и высоту \(h\).

Тогда:

Ответ:

\[n_{жид}= 1.31 \pm 0.02 \qquad(4) \tag{4}\]

A2. При помощи пластилина закрепим лазер на бруске длиной \(15~см\).

Установим 2 зеркала и экран (лист белого картона) таким образом, чтобы на экран попадало изображение луча, дважды отраженного в зеркалах (рис. 2). Нажмем на рычаг для подачи газа и будем двигать трубочку, присоединенную к баллончику так, чтобы струя газа проходила сквозь лазерный луч. Будем считать, что струя газа движется слева направо. Как только крайние лучи лазерного пучка попадут в область струи, на экране можно будет увидеть, что изображения пучка на экране «расплывается»  в левую сторону. То есть лучи, попадающие в струю, отклоняются влево (рис. 3). Такое возможно только в том случае, если показатель преломления бутана в газообразном состоянии больше показателя преломления воздуха, то есть \(\Delta n\) будет отрицательным.

Рис. 2. Увеличение базы

Рис. 3. Определение знака разности

Второй способ определить знак разности – это качественные наблюдения фокусировки луча. Если по ходу луча смотреть за его изображением в разных местах, то можно увидеть, что на расстоянии порядка \(\sim10-20~см\) наблюдается четкая полоса, которая могла образоваться, только если показатель преломления бутана больше, чем у воздуха. В случае, если бы это было не так – четкой линии не было бы видно, так как тогда струя работала как рассеивающая линза. Также из характерных значений фокусного расстояния можно сделать вывод, что показатель преломления бутана близок к показателю преломления воздуха:

\[\Delta n \ll 1.\]При полном попадании струи газа, выпущенного через трубочку, в лазерный пучок (ширина струи меньше ширины лазерного пучка), изображение на экране будет иметь существенно больший размер, чем ширина пучка до прохождения струи. Расширение изображения происходит из-за преломления лучей в цилиндрической линзе, образованной струей бутана (см. рис. 4.).

Рис. 4. Ход лучей

Угол расхождения \(\varphi\) пучка определяется отношением горизонтального размера зайчика на экране \(x\) к суммарному расстоянию которое проходит луч лазера от струи газа до экрана \(D\).

\[\varphi=\frac{x}{D}. \qquad(5) \tag{5}\]Рассмотрим геометрию преломления луча в струе (см. рис. 5) и запишем закон Снелла для преломления на первой границе (на второй границе уравнение будет выглядеть аналогично).

Рис. 5. Геометрия преломления

Из геометрии рисунка видно, что \(\theta = \alpha\) и \(\gamma = 2(\alpha - \beta)\).

Закон Снелла будет выглядеть следующим образом:

\[n_\text{воз} \sin \alpha = n_\text{газ} \sin \beta. \qquad(6) \tag{6}\]Отсюда не сложно заметить, что так как \(n_\text{газ}\) и \(n_\text{воз}\) близки к единице, то \(\alpha - \beta \ll 1\). Получаем, что \(\gamma \ll 1\).

Используя в уравнение \((6)\) выражение для \(\gamma\), получаем:

\[\frac{n_\text{воз} }{n_\text{газ}} \sin (\alpha - \gamma/2) = \sin \alpha, \qquad(7) \tag{7}\]откуда, раскрывая синус суммы, получаем:\[\sin \alpha = \frac{n_{газ}}{n_{воз}} \sin (\alpha - \gamma/2) = \frac{n_{газ}}{n_{воз}}\big(\sin\alpha\cos \gamma/2 - \cos \alpha \sin \gamma/2\big). \qquad(8) \tag{8}\]

Используем малость угла \(\gamma\):

\[\sin \alpha = \frac{n_{газ}}{n_{воз}}\left((1-{\gamma^2}/{8})\sin\alpha - \gamma/2 \cos \alpha \right), \qquad(9) \tag{9}\]где отношение показателей преломления удобно переписать в следующем виде:

\[\frac{n_{газ}}{n_{воз}}= \frac{n_{газ}-n_{воз}}{n_{воз}}+1 = -\frac{\Delta n}{n_{воз}}+1 = 1-\Delta n. \qquad(10) \tag{10}\]Разделив уравнение \((9)\) на \(\sin \alpha\), получаем:

\[1 = (1-\Delta n) \left(1 - \frac{\gamma}{2 \operatorname{tg} \alpha} -\frac{\gamma^2}{8}\right) \qquad(11) \tag{11}\]

Формула \((11)\) дает связь между разностью показателей преломления и углом расхождения лучей после прохождения струи, не обращая внимания на интенсивность света в пучке. На практике лучи с наибольшим отклонением имеют на несколько порядков меньшую интенсивность, чем центральные. Поэтому человеческий глаз воспринимает на экране лишь характерный размер освещаемый лучами области, соответствующей существенной интенсивности падающего света. Тогда оценим максимальное значение \(\operatorname{tg} \alpha\), которому соответствуют лучи, определяющие воспринимаемый размер освещаемой на экране области, как \(10\).

С учетом этого сравним поправки к единице во второй скобке. Для этого найдем угол расхождения \(\varphi\), половина которого равна максимальному \(\gamma\).

При использовании зеркал расстояние между струей газа и экраном определяется суммой расстояния между струей и первым зеркалом \(l_1=90 ~\text{см}\), расстоянием между зеркалами \(l_2 = 116 ~\text{см}\) и расстоянием между вторым зеркалом и экраном \(l_3 = 100 ~\text{см}\). Тогда максимальный угол расхождения лучей с учетом измерений горизонтального размера зайчика \(x=2.0~\text{см}\) в такой конфигурации:

\[\gamma=\frac{1}{2}\frac{x}{l_1+l_2+l_3} \approx 3.3 \cdot 10^{-3}. \qquad(12) \tag{12}\]Подставляя эти значения, получаем:

\[\frac{\gamma}{2 \operatorname{tg} \alpha} = 1.7\cdot 10^{-4} \qquad(13) \tag{13}\]\[\frac{\gamma^2}{8} = 1.3\cdot 10^{-6} \qquad(14) \tag{14}\]То есть поправку второго порядка можно отбросить и тогда выражение для \(\Delta n\) принимает вид:

Ответ:

\[\Delta n = \frac{\gamma}{2\operatorname{tg} \alpha} = 1.7 \cdot 10^{-4} \qquad(15) \tag{15}\]

Дополнение

Моделирование второй части позволяет получить такие картины:

Рис. 6. Моделирование рисунка 4

Рис. 7. Распределение интенсивности света на экране

С учетом динамического коэффициента контрастности человеческого глаза в 3-4 порядка, можно сделать вывод, что из всей ширины мы видим на экране ширину изображения \(x \approx 20\) радиусов линзы, что сходится с экспериментальными данными. Внутренний диаметр трубки был порядка \(0.5-0.8~ мм\).

Комментарии для жюри:

• Луч, вышедший после преломления под критическим углом, на самом деле появляется не на одной горизонтали с баллончиком, а ниже. Это объясняется наличием мениска, в который попадает этот луч, а также преломлением в стенке баллончика.

• Ширина изображения во второй части определяется с большой погрешностью, поэтому необходимо установить достаточно широкие ворота. При этом важно, чтобы показатель преломления бутана был строго больше показателя преломления воздуха. Это можно определить точно. Табличное значение \(\Delta n \approx - 3 \cdot 10^{-4}\).

Источник: pho.rs/p/3242.

Ответ

A1: \[k=N=49\]

Решение

A1. Измерим понижающий коэффициент редуктора. Будем поворачивать основной вал и следить за поворотом колеса. Посчитаем, сколько оборотов \(N\) должен совершить основной вал для того, чтобы колесо совершило один полный оборот. Получившееся число и будет равно понижающему коэффициенту редуктора

Ответ:

\[k=N=49\]

A2. Замкнем щупы омметра. Запишем показания омметра \(r= 0.3 \ Ом\). Измерим сопротивление электродвигателя. При различных углах поворота вала оно колеблется от \(4.0 \ Ом\) до \(4.4 \ Ом\). Среднее значение будет равняться \(R_{ср} = 4.2 \ Ом\). Измерения указывают на наличие сопротивления у щупов мультиметра, сравнимого с измеряемым сопротивлением мотора. Тогда для значения сопротивления двигателя в отсутствии вращения вала получаем

Ответ:

\[R=R_{ср}-r = 3.9 \ Ом \qquad(3) \tag{3}\]

A3. Подключим к двигателю лабораторный источник питания. Подадим на двигатель небольшое напряжение. Измерим время \(t\), за которое колесо со спицами совершит \(n=10\) оборотов. Для удобства подсчета количества оборотов будем использовать отметку на одной из спиц. Рассчитаем частоту вращения колеса как:

\[\nu_{slave}=\frac{n}{t}. \qquad(4) \tag{4}\]Проведем измерения для нескольких значений поданного напряжения. Запишем в таблицу полученный результат, а также внесем в нее значения напряжения, поданного на двигатель и значение тока, текущего через него.

Ответ:

A4. Заметим, что произведение тока на сопротивление двигателя не равно поданному на него напряжению. Предположим, что их разница \(U_{rot}\) связана с вращением двигателя

\[U_{rot}=U-IR. \tag {5} \tag{5}\]Построим график зависимости частоты вращения ведомого вала двигателя \(\nu_{slave}\) от величины \(U_{rot}\). Видно, что график описывается прямой пропорциональностью с угловым коэффициентом

\[K= 0.83 \ {\text{Гц}}/{\text{В}}.\]Сделанное предположение можно обосновать и теоретически, указав что ЭДС индукции в двигателе прямо пропорциональна частоте его вращения.

График зависимости частоты вращения ведомого вала от ЭДС индукции в двигателе.

Ответ:

Рис. 1

A5. Подадим напряжение на двигатель. Будем светить на шкив основного вала фонарем в режиме уменьшенной яркости. При некоторых значениях напряжения на шкиве будут появляться устойчивые стробоскопические картины. Выберем минимальное из всех напряжений на двигателе, при которых наблюдается одна освещенная область стробоскопической картины. Соответствующая частота вращения основного вала двигателя будет совпадать с частотой вспышек фонаря. Для расчета частоты вращения двигателя запишем значение напряжения \(U_{strobe}=7.63~В\), подаваемого на него, и текущий через него ток \(I_{strobe}=160~мА\). Тогда для частоты вращения основного вала двигателя на основе данных графика и измерений понижающего коэффициента имеем

Ответ:

\[f_{low}=\nu_{main}=k\nu_{slave}=kK(U_{strobe}-I_{strobe}R)= 2.85 \ \text{Гц} \qquad(6) \tag{6}\]

A6. Заметим, что освещенная область стробоскопической картины при данной частоте составляет приблизительно четверть длины окружности (см рисунок 2). То есть длина вспышки составляет приблизительно четверть периода мерцания. Таким образом, скважность импульсов в этом режиме

\[\gamma_{low}=75\%.\]

Рис. 2. Вид стробоскопической картины при совпадении частоты вращения основного вала двигателя и частоты мигания фонарика в режиме уменьшенной яркости

Теперь сравним световые потоки в обычном режиме и в режиме пониженной яркости. Если положить экран с масленым пятном на стол, то пятно будет казаться более темным (см. рис. 3(а)). Значит от пятна отражается меньше света, чем от непромасленной части экрана.  Будем для простоты считать, что экран не поглощает свет, проходящий через него, а лишь рассеивает.

Введем понятие плотности потока излучения, то есть отношение потока излучения через некоторое поперечное направлению распространения энергии сечение к площади этого сечения. Пусть плотность падающего потока излучения одинакова в любой точке экрана и равна \(I\). Также будем рассматривать лишь перпендикулярное падение света на поверхность экрана. Часть энергии будет отражаться от экрана, а часть проходить через него. Будем считать, что от промасленной части экрана отражается часть падающей энергии \(k_1\), а от непромасленной части \(k_2\). Тогда отраженные плотности потоков энергии от промасленной и непромасленной части будут равны соответственно \(k_1 I\) и \(k_2 I\). Так как пятно нам кажется более темным, \(k_1\) меньше, чем \(k_2\).

Пусть теперь пятно дополнительно освещается другим потоком излучения снизу (см рис. 3(б,в)). Пусть также освещение снизу обладает свойством однородности по поверхности экрана и распространяется в перпендикулярном экрану направлении. Если плотность потока энергии падающего на экран снизу равна \(I'\), то в соответствии с законом сохранения энергии вверх через пятно пройдет плотность потока \((1-k_1)I'\), а через непромасленную часть экрана – \((1-k_2)I'\). Плотность потока энергии подчиняется принципу суперпозиции, поэтому для плотности потока идущего вверх от пятна имеем

\[I_1=Ik_1+(1-k_1)I', \tag {7} \tag{7}\]а для плотности потока от непромасленной части

\[I_2=Ik_2+(1-k_2)I'. \tag {8} \tag{8}\]

Сравнив величины \(I_1\) и \(I_2\), можно понять, каким будет пятно на экране - более темным или более светлым по сравнению с остальным фоном. Так, если \(I'\) окажется меньше \(I\) (см. рис. 3(б)), то \(I_1\) окажется меньшим, чем \(I_2\), и пятно будет казаться темным. В противном случае (см. рис. 3(в)), когда \(I'>I\), пятно будет казаться светлее остальной части экрана. В случае же (см. рис. 3(г)), когда падающие плотности потоков окажутся одинаковыми \((I'=I)\), величины \(I_1\) и \(I_2\) также будут равными. Пятно в таком случае будет практически не видно на экране.

Рис. 3. Наблюдение пятна на экране. а) Освещение только с одной стороны (экран лежит на темной рассеивающей поверхности); б) Плотность потока излучения, падающего сверху, больше плотности потока излучения, падающего снизу; в) Плотность потока излучения, падающего сверху, меньше плотности потока излучения, падающего снизу; г) Равенство плотностей потоков излучения, падающих снизу и сверху на экран.

Измерим отношение светового потока фонаря в нормальном режиме и воспринимаемого глазом светового потока фонаря в режиме уменьшенной яркости. Положим на стол два фонаря так, чтобы они светили друг на друга. Установим между ними экран с жирным пятном. В произвольном положении экрана на нем отчетливо видно жирное пятно. В зависимости от положения фонарей оно может оказаться либо более темным, чем непромасленная часть экрана, либо более светлым. Можно найти такое положение, при котором пятно практически не видно на экране. В этом случае световые плотности световых потоков, освещающие экран с двух сторон, одинаковы. Будем использовать один из фонарей как опорный, а на втором будем переключать режимы освещения. Для каждого из режимов освещения подберем такое положение исследуемого фонаря, при котором пятно практически не видно на экране. Обозначим полученные расстояния между экраном и исследуемым фонарем за \(x_{normal}\) для нормального режима освещения и \(x_{low}\) для режима уменьшенной яркости.

Рис. 4. Установка для сравнения световых потоков фонарей, включенных в разных режимах

Плотность потока энергии \(I\) точечного источника излучения (в нашем случае светодиода) убывает с расстоянием до источника \(x\) обратно квадрату расстояния

\[I=\frac{\Phi}{4 \pi x^2}, \tag {9} \tag{9}\]где \(\Phi\) – полный световой поток светодиода. Тогда, так как плотность светового потока от фонаря в найденных положениях экрана одинакова, можно записать:

\[\frac{\Phi_{normal}}{4 \pi x_{normal}^2}=\frac{\Phi_{low}}{4 \pi x_{low}^2}. \tag {10} \tag{10}\]Измерим расстояния между светодиодом в исследуемом фонаре и экраном \(x_{normal}\) и \(x_{low}\) для нескольких положений опорного фонаря, при котором пятно на экране не видно. Определим отношение расстояний в каждом случае и усредним полученный результат. Измерения будем проводить для расстояний между экраном и фонарями не превышающими \(35~см\), чтобы плотность потока внешнего освещения была много меньше плотности потока освещения от фонарей.

Таким образом для отношения световых потоков в разных режимах:

Ответ:

\[\frac{\Phi_{normal}}{\Phi_{low}}=\Big(\frac{x_{normal}}{x_{low}}\Big)^2_{ср}= 4.1. \tag {11} \tag{11}\]

A7. Ответ:

Видно, что отношение световых потоков близко к 4. При скважности импульсов в 75% такое отношение достижимо в случае, если амплитуда импульсов равна номинальному напряжению. Действительно, если в режиме номинальной мощности светодиод будет гореть четверть всего времени, то за достаточно длительный промежуток времени он излучит в четыре раза меньше энергии, чем если бы он работал в номинальном режиме все исследуемое время. Таким образом, средний световой поток, воспринимаемый глазом окажется в 4 раза меньше, чем световой поток в нормальном режиме, что и наблюдается на практике.

A8. Для измерения частоты вспышек в режиме SOS соберем установку, изображенную на рисунке 5.

Рис. 5. Установка для измерения частоты фонаря в режиме SOS

Будем светить на шкив, надетый на ведомый вал, фонариком, включенным в режиме SOS. Шкив представляет из себя колесо с \(i=5\) спицами. Спицы в свете фонаря образуют тень на столе. В некоторых случаях тень кажется остановившейся. В этом случае на место одной из спиц колеса в одинаковую фазу вспышки приходит другая спица. Наблюдение такого эффекта затруднено с одной стороны не очень высокой частотой мигания фонарика, с другой стороны \(50\%\) скважностью импульсов. Поэтому для достоверного измерения измерим несколько режимов вращения двигателя, при котором наблюдается такой эффект. Разные скорости вращения будут отвечать разному количеству спиц, успевающих пролететь точку наблюдения за время периода вспышек. Вычислим для каждого из режимов частоты \(\nu_{slave}\) вращения ведомого вала и подберем такие целые небольшие числа \(j\), что образованная зависимость частот от подобранных чисел представляла из себя прямую пропорциональность. В этом случае число \(j\) будет являться количеством спиц, сменившихся в точке наблюдения за время одной вспышки.

Построим график получившейся зависимости. Найдем ее угловой коэффициент \(k'=1.77~Гц\).

График зависимости частоты вращения ведомого вала от количества спиц пролетающих точку наблюдения за время периода вспышек фонаря в режиме SOS.

Тогда частота мигания фонаря в режиме SOS может быть найдена как:

Ответ:

\[f_{SOS}=k'\cdot i=8.85 \ \text{Гц} \tag {12} \tag{12}\]

Источник: pho.rs/p/3244.

Ответ

A1: \[\Delta P = P_0\,\frac{s\Delta x}{V_{ш}+sx_0 - s\Delta x} =(11.1\pm0.5) \ \text{кПа}.\]

Решение

A1. Надуем пластиковый пакет. Для измерения дополнительного давления в пакете необходимо использовать манометр. Из предложенного оборудования можно сконструировать этот прибор несколькими способами.

Первый вариант – жидкостный манометр.

Максимальное давление, создаваемое легкими, отличается от атмосферного на \(\Delta P= P-P_0 \approx 5-10~ кПа\). Это соответствует разности уровней в коленях водяного манометра \(\Delta l = {\Delta P}/{\rho g} \approx  50-100 ~см\). Длины трубки \(l_{трубки} \approx 50 ~см\) не хватит для проведения такого измерения. Поэтому использование жидкостного манометра в данном случае не целесообразно.

Второй вариант – воздушный манометр.

Измерим площадь поперечного сечения силиконовой трубки. Для этого наберем в шприц воду, подсоединим к нему шприц и начнем закачивать в трубку воду. Когда поршень шприца будет стоять точно на одном из делений, сделаем отметку на трубке. Переместим поршень шприца до одного из следующих отметок, закачав воду в трубку объемом \(V=(8.0\pm0.2)~ мл\). Погрешность установки поршня шприца на одно из делений оценим как \(0.1~мл\). Сделаем вторую отметку на трубке и измерим расстояние между отметками \(l=(40.1\pm0.2)~ см\). Тогда площадь сечения трубки можно рассчитать как:

\[s={V}/{l}= (0.200\pm0.007)\ \text{см}^2. \qquad(2) \tag{2}\]

Cоберем манометр. Для этого поместим в трубку небольшую каплю воды, создав таким образом водяной поршень. Подсоединим к трубке шприц, предварительно установив поршень в положение, при котором объем шприца составит \(V_{ш}\) (см. рис. 2). Измерим положение границы водяного поршня относительно носика шприца \(x_0\).

Измерять давление можно двумя способами. Первый вариант создавать давление в трубке манометра напрямую ртом. Измеренное таким образом давление может немного отличаться от давления в пакете.  Так как для дальнейшего расчета объема воздуха в пакете понадобится использовать именно давление в пакете, то воспользуемся вторым методом. Соединим шланг с пакетом и будем медленно открывать клапан.  При этом водяной поршень сместится к носику шприца. Обозначим его смещение \(\Delta x\). Изменением давления в пакете можно пренебречь, так как из пакета вытекло всего несколько миллилитров воздуха, а объем пакета составляет несколько литров. Процесс измерения можно считать изотермическим. Поэтому согласно закону Бойля-Мариотта можно записать уравнение:\[P_0(V_{ш}+sx_0)=(P_0+\Delta P)(V_{ш}+s(x_0-\Delta x)), \qquad(3) \tag{3}\]

где \(P_0\) – атмосферное давление. Тогда дополнительное давление в трубке составит:

\[\Delta P = P_0\frac{s\Delta x}{V_{ш}+sx_0 - s\Delta x}. \qquad(4) \tag{4}\]

Рис. 2. Конструкция манометра.

Для максимально достоверных измерений объем воздуха в шприце \(V_{ш}\) сделаем максимальным, чтобы максимальным и наиболее точно измеряемым было смещение водяного поршня. Так как шкала объемов содержимого шприца покрывает поверхность шприца не полностью, измерим длину шкалы шприца \(y_{20}=(6.80\pm0.05)~см\) соответствующую \(V_{20}=20.0\pm0.1~ мл\) и длину объема воздуха в шприце при максимально выдвинутом поршне \(y=(8.00\pm0.05)~см\). Тогда объем воздуха в шприце составит:

\[V_\text{ш}=V_{20} \,{y}/{y_{20}}=23.5\pm0.3 \ \text{мл}. \qquad(5) \tag{5}\]

Подберем начальное положение водяного поршня так, чтобы он при подаче давления смещался как можно ближе к носику шприца. Это необходимо для того, чтобы исключить фактор изменения внутреннего объема силиконовой трубки при изменении давления в ней.

Тогда с учетом проведенных измерений \(x_0=34.2\pm0.1~ см\) (погрешность определяет неточность положения начала трубки) и \(\Delta x=15.2\pm0.1~см\) для дополнительного давления получаем:

Ответ:

\[\Delta P = P_0\,\frac{s\Delta x}{V_{ш}+sx_0 - s\Delta x} =(11.1\pm0.5) \ \text{кПа}.\]

A2. Сразу после проведённых измерений давления поставим на весы стакан с водой, а него положим пакет с воздухом. Обнулим показания весов. Спустим воздух из пакета  и вновь положим его в стакан. Полученная разность масс \(\Delta m=0.53\pm0.03~г\).

Запишем условие равновесия для пакета на весах с избыточным давлением \(\Delta P\) и для пакета с воздухом атмосферного давления и вычтем одно из другого:\[\Delta m =  (\rho  -\rho_o)   V , \qquad(6) \tag{6}\]где \(\Delta m\) – разность показаний весов, \(\rho\) – плотность воздуха в пакете с избыточным давлением, \(\rho_o\) – плотность воздуха при атмосферном давлении, \(V\) – объем пакета.

Пользуясь уравнением Менделеева-Клапейрона получим для объема воздуха в пакете:

Ответ:

\[V=\frac{\Delta m}{\Delta P } \frac{RT}{\mu}= (4.0\pm0.7) \ \text{л} \qquad(7) \tag{7}\]

Здесь \(\mu\) – молярная масса воздуха, \(T = 295~К\) – температура воздуха в аудитории, \(R\) – универсальная газовая постоянная.

A3. Соберем установку для измерения величины \(k\) (см рис. 3). Для этого надуем пакет, подсоединим к нему силиконовую трубку. Лапкой штатива немного зажмем трубку в средней части, направив, ее кончик на весы. При этом кончик трубы расположим на расстоянии приблизительно равном \(5~мм\) от измерительной платформы весов. Положим пластиковую крышку на пакет. Будем одной рукой одновременно давить на крышку и засекать время на секундомере, а второй рукой будем держать открытым кран. Давление рукой будем стараться осуществлять так, чтобы показания весов были приблизительно равны некоторому значению. Проведем измерение времени вытекания \(t\) всего воздуха из пакета в таких условиях не меньше трех раз. Запишем полученные значения в таблицу и усредним. Пережмем немного силиконовую трубку для удобства регулировки скорости потока струи и вновь проведем измерения.

Рис. 3. Установка для измерения силы давления струи воздуха

Воздух, вытекающий из струи имеет давление близкое к атмосферному, равно как и воздух в пакете. Поэтому связь между объемом пакета и скоростью струи \(v\) можно записать как:

\[V=vst. \qquad(8) \tag{8}\]С другой стороны, показания весов связаны с изменением импульса весов, как:

\[mg=k\rho s v^2. \qquad(9) \tag{9}\]Плотность вытекающего воздуха найдем с помощью закона Менделеева-Клапейрона:

\[\rho=\frac{\mu P_0}{RT}. \qquad(10) \tag{10}\]Тогда окончательно получаем связь между временем вытекания и показаниями весов:

\[m=\frac{k\mu P_0 V^2}{s g RT } \frac{1}{t^2}. \qquad(11) \tag{11}\]Построим график \(t^{-2}(m)\). Его угловой коэффициент составляет:

\[K=\frac{RT s g}{k\mu P_0 V^2} = (0.73\pm0.05) ~ 10^{-2} ~{г^{-1} \cdot с^{-2}}. \qquad(12) \tag{12}\]Откуда искомый коэффициент:

Ответ:

\[k=\frac{RT s g}{K\mu P_0 V^2} = (1.3\pm0.3) \qquad(13) \tag{13}\]

График зависимости обратного квадрата времени вытекания воздуха из пакета от показаний весов

Источник: pho.rs/p/3250.

Решение

A1.

Рис. 1. Установка по измерению массы

Определить толщину фольги прямым измерением линейкой не представляется возможным. Поэтому для начала определим площадь поперечного сечения. Площадь поперечного сечения фольги также не может быть определена лишь геометрическими измерениями. Для ее определения измерим массу кусочка фольги и разделим ее на плотность фольги и длину кусочка. Масса измеряется на весах с крайне низкой точностью. С помощью линейки, штатива и батарейки соберем рычаг (рис. 1). Обнулим показания весов и положим на край рычага кусочек фольги. Тогда значение силы \(P\), действующей перпендикулярно площадке весов, в соответствии с уравнением моментов, будет связаны с массой фольги \(m\) как:

\[P = mg \frac{x_1+x_2}{x_2}. \tag{1}\]

Полученные экспериментальные точки можно описать линейной зависимостью с хорошей точностью. Итоговое значение массы составляет \(m=0.055 \pm 0.002 ~ г\).

Длина кусочка фольги \(L = 120\pm 1 ~ мм\) может быть напрямую измерена линейкой с достаточной точностью. Тогда площадь поперечного сечения фольги составит: \[S=\frac{m}{L\rho} = 0.169 \pm 0.007~мм^2. \tag{2}\]Измерим среднее значение ширины фольги по всей ее длине \(b=(20\pm1) ~мм\). Тогда толщина фольги составит:

Ответ:

\[h=\frac{S}{b} = 8.5 \pm 0.8~мкм \tag{3}\]

A2.

Рис. 2. Установка по измерению сопротивления

Сопротивление участка фольги мало и не может быть определено прямым измерением с помощью омметра. Для измерения сопротивления участка фольги воспользуемся четерёхточечным методом измерения. Суть этого метода заключается в том, что ток и напряжение на определенном участке цепи измеряются отдельными приборами (см. рис. 2). Так, если измеряемое сопротивление много меньше сопротивления вольтметра, то можно считать, что ток, текущий через амперметр, равен току, текущему через изучаемый элемент.

Вольтметр в таком способе измерения подключается непосредственно к измеряемому элементу. Стоит отметить, что сопротивление участка фольги настолько мало, что с ним сравнимо сопротивление контактного перехода между соединительным проводом и фольгой. Сопротивление самих проводов и внутреннее сопротивление батарейки много больше, чем сопротивление фольги.

Поэтому щупы вольтметра необходимо прикладывать непосредственно к концам участка фольги, сопротивление которого будет измеряться. Также стоит отметить, что распределение электрического поля неоднородно по ширине фольги в непосредственной близости от ее контактов, поэтому измерения необходимо проводить в области несколько удаленной от контактов.

Проведем серию измерений, сопротивление для каждого расстояния между щупами \(x\) будем рассчитывать как отношения показаний вольтметра \(U\) к показаниям амперметра \(I\).

\[R=\frac{U}{I}. \tag{4}\]

Построим график зависимости \(R(x)\).

Видно, что зависимость хорошо описывается прямой пропорциональностью. Угловой коэффициент зависимости имеет физический смысл сопротивления единицы длины участка фольги и равен \[r=0.175 \pm 0.002 ~ {Ом}/{м}.\] В соответствии с формулой \((1)\) получаем связь между \(r\) и удельным сопротивлением материала фольги: \[r = \frac{A}{S}. \tag{5}\]Тогда окончательно для удельного сопротивления получаем:

Ответ:

\[A = rS = (3.0 \pm 0.2) \cdot 10^{-8} ~ Ом \cdot м \tag{6}\]

Табличное значение сопротивления составляет \(2.8 \cdot 10^{-8} ~ Ом \cdot м\).

Источник: pho.rs/p/3253.

Ответ

A1: \[m_{в}=151~ г\] \[T_{в} = 18.8\, ^\circ \mathrm C\];  A2: \[T_{с} = 70\,^\circ\mathrm C\];  A4: \[m_\text{c}=242.5~г\];  A5: \[T_{\max}=29.6\,^\circ\mathrm C\]

Решение

A1. Измерим массу воды в кружке:

Ответ:

\[m_{в}=151~ г\]

Измерим комнатную температуру, убедившись, что она совпадает с температурой воды:

Ответ:

\[T_{в} = 18.8\, ^\circ \mathrm C\]

A2. Начальная температура стекла перед погружением в кружку с водой комнатной температуры:

Ответ:

\[T_{с} = 70\,^\circ\mathrm C\]

A3. Поместим стекло в сосуд с водой комнатной температуры, закроем крышкой и вставим термометр. Проведем измерения температуры воды в кружке от времени, перемешивая воду термометром. Занесем данные в таблицу.

Ответ:

A4. Ответ:

\[m_\text{c}=242.5~г\]

A5. Построим график исследованной зависимости температуры внутри стакана от времени.

Ответ:

График зависимости температуры внутри стакана от времени

Видно, что через время \(t_{\max}=7.5~ мин\) температура в воды в кружке достигает максимума:

Ответ:

\[T_{\max}=29.6\,^\circ\mathrm C\]

Рассчитаем на основе этих данных удельную теплоемкость стекла без учета тепловых потерь. Считая, что к моменту достижения водой максимальной температуры установилось тепловое равновесие, а обмена теплом с окружающей средой не происходило запишем уравнение теплового баланса:\[C_{в} m_{в} (T_{\max}-T_{в}) + C_{к} m_{к} (T_{\max}-T_{в}) =C'_{с} m_{с} (T_{с}-T_{\max}), \tag{1}\]где \(C_\text{в}=4200 \ \text{Дж}/(\text{кг}\cdot\,^\circ\mathrm C)\) – удельная теплоемкость воды, \(C_\text{к}=470 \ \text{Дж}/(\text{кг}\cdot\,^\circ\mathrm C)\) – удельная теплоемкость кружки. Массу кружки измерим на весах предварительно вылив из нее воду в пластиковый стакан: \(m_\text{к} = 60~ г\), массой утеплителя на дне можно пренебречь по сравнению с массой кружки.

Тогда с учетом массы стекла \(m_\text{c}=242.5~г\) получаем для удельной теплоемкости стекла:

Ответ:

\[C'_{с} = \frac{ (T_{\max}-T_{в})\dot (C_{в}m_{в} + C_{к}m_{к})}{m_{с} (T_{с}-T_{\max})} = 730 \ \text{Дж}/(\text{кг}\cdot\,^\circ\mathrm C) \tag{2}\]

A6. Так как время установления максимальной температуры достаточно существенно, то для более точной оценки удельной теплоемкости стекла необходимо учесть теплопотери. Максимальная температура в кружке сохраняется в течение некоторого времени, вследствие того, что стекло отдает тепла воде примерно столько же, сколько вода отдает окружающей среде. При этом температура стекла все еще выше температуры воды. В дальнейшем температура стекла становится ближе к температуре воды, стекло отдает тепла меньше, а теплопотери в окружающую среду сохраняются. Вследствие этого вода остывает. Через достаточно большое время, после достижения максимальной температуры, можно предположить, что температура стекла практически сравнивается с температурой воды в стакане. Тогда скорость остывания воды (и стекла) связана лишь с мощностью тепловых потерь. Видно, что начиная с приблизительно \(10\) минуты, график можно описать линейной функцией. Рассчитаем его угловой коэффициент на участке с \(10\) до \(30\) минуты, он составляет \(k= - 0.0016~^\circ \mathrm C/\text{с}\). Будем считать, что для мощности тепловых потерь выполняется закон Ньютона–Рихмана. Тогда коэффициент тепловых потерь связан с угловым коэффициентом следующим выражением:\[\alpha=\frac{(C_{в}m_{в}+C_{с}m_{с}+ C_{к}m_{к})k}{(T_1-T_{в})}, \tag{3}\]где \(T_1=28.4\,^\circ\mathrm C\) – средняя температура на линейном участке.

В течение времени проведения эксперимента между измерениями экспериментальных точек с временами \(t_i\) и \(t_{i+1}\) содержимое стакана теряет энергию:\[\Delta Q_i = \alpha \left(\frac{T_i+T_{i+1}}{2}-T_{в}\right)(t_{i+1}-t_i) \tag{4}\]Тогда за время \(t\) полное количество энергии, которое потеряет система, можно рассчитать как сумму потерь энергии на каждом из этапов.\[Q(t) = \sum \Delta Q_i =\alpha \sum \left(\frac{T_i+T_{i+1}}{2}-T_{в}\right)(t_{i+1}-t_i)= \alpha S(t) \tag{5}\]Величину, находящуюся под знаком суммы обозначим величиной \(S(t)\), смысл которой — площадь между линией графика до момента времени \(t\) и горизонтальной линией, соответствующей температуре \(T_{в}\). Запишем тогда уравнение теплового баланса для системы, предполагая, что при некоторой температуре \(T\), температура стекла совпадает с температурой воды.\[Q =\alpha S(t)=(C_{с} m_{с} + C_{к} m_{к}) (T-T_{с})-C_{в} m_{в} (T-T_{в}). \tag{6}\]Тогда с учетом подстановки \(\alpha\) и перестановки слагаемых получаем\[(C_{в} m_{в}+C_{к} m_{к}) \left(T+\frac{kS(t)}{T_1-T_{в}}-T_{в}\right)=C_{с} m_{с} \left(T_{с}-T-\frac{kS(t)}{T_1-T_{в}}\right). \tag{7}\]Для качественного объяснения полученного результата можно ввести величину\[\Delta T (t) =\frac{kS(t)}{T_1-T_{в}}. \tag{8}\]Можно сказать, что эта величина является поправкой к температуре воды в кружке, возникающей из-за тепловых потерь. Последнее полностью верно лишь в случае одинаковой температуры воды и стекла в кружке. На этапах до выравнивания температуры стекла и воды, следует говорить о поправке к средневзвешенной температуре содержимого в кружке.

Для определения установившейся температуры с учетом поправки по температуре рассчитаем в каждой точке сумму температуры воды в стакане и поправки \(\Delta T\). Построим график этой величины от времени. Видно, что начиная с приблизительно \(18\) минуты график выходит на постоянную величину \(T_{у}=30.5~^\circ \mathrm C\). Именно эту температуру будем считать той, которая бы установилась в стакане в отсутствии потерь. Эту же температуру можно найти не перестраивая график, а усреднив несколько значений температур с поправкой \(T + \Delta T\) на конечном участке графика.

Тогда удельная теплоемкость стекла составит:

Ответ:

\[C_{с} = \frac{(C_{в}m_{в} + C_{к}m_{к}) (T_{у}-T_{в})}{m_{с} (T_{с}-T_{у})} = 809 \ \text{Дж}/(\text{кг}\cdot\,^\circ\mathrm C). \tag{9}\]

Источник: pho.rs/p/3258.

Решение

A1. Соберем из шайбы, предметного стекла и вазелина конструкцию, описанную в условии. Объем водяной линзы крайне мал. Для его измерения будем считать количество капель, упавших в центр шайбы с конца иглы шприца. Предварительно определим объем одной капли. Будем выдавливать капли из шприца поршнем и измерять зависимость количества упавших капель от положения поршня. Построим соответствующий график и определим его угловой коэффициент, который и будет являться объемом одной капли.

График зависимости объема воды внутри шприца от количества упавших с конца иглы капель

Рассчитав угловой коэффициент графика, получаем для одной капли:

\[V_1=6.0 \text{мкл}.\]Для измерения фокусного расстояния соберем установку, изображенную на рисунке 3. Будем использовать короткую линейку в качестве экрана, стараясь при измерениях не задевать брусок, чтобы поверхность воды в водяной линзе не волновалась. Расстояние между фонариком и линзой \(b\) сделаем как можно большим для того, чтобы изображения светодиода фонарика было как можно меньшего размера для остроты фокусировки.

Измерим зависимость расстояний между изображениями и линзой \(a\) от количества капель, упавших в центр шайбы, \(N\) при неизменном расстоянии между фонариком и экраном \(b=862~мм\).

Рассчитаем объем воды в шайбе как:

\[V=NV_1. \tag{3}\]Фокусное расстояние рассчитаем на основе формулы тонкой линзы:

\[F=\frac{ab}{a+b}. \tag{4}\]Радиус кривизны поверхности линзы рассчитаем в соответствии с формулой:

\[R=(n-1)F. \tag{5}\]Предполагая, что вода над верхней поверхностью шайбы принимает форму шарового сегмента, можем рассчитать высоту шарового сегмента, исходя из геометрических соображений:

\[h=R-\sqrt{R^2- \left(\frac{D}{2} \right)^2}. \tag{6}\]Объем воды над верхней поверхностью шайбы тогда может быть рассчитан на основе формулы:

\[v=\pi h^2 \left(r-\frac{h}{3} \right), \tag{7}\]Занесем измерения и расчетные величины в таблицы.

Таблица для дальнего фокуса

Ответ:

Таблица для ближнего фокуса

Ответ:

A2. Результаты пересчёта точек приведены в таблице выше.

A3. Построим графики зависимостей расчетных объемов воды в капельной линзе \(v\) от измеренного \(V\), исходя из данных о двух разных фокусах. Резкий изгиб графиков при больших объемах капли соответствует началу вытекания капли из внутренней области шайбы. Не будем обращать внимания на эту область графиков.

Ответ:

График зависимости расчетного объема воды в шайбе от измеренного

A4. Видно, что оставшиеся части графиков можно описать линейными функциями. Некоторое смещение графиков говорит о том, что в шайбе кроме воды в шапочке есть еще и вода в отверстии. Для теоретического графика угловой коэффициент данной зависимости равен единице \(k_{theor}=1\). Однако угловые коэффициенты аппроксимирующих прямых для разных фокусов составляют \(k_2=0.57\) и \(k_1\approx 1.1\). Это объясняется тем, что вода принимает не сферическую форму. В центральной части капли радиус кривизны поверхности больше, что соответствует нижнему фокусу. А по краям шайбы радиус кривизны меньше (рис. 5). То есть края линзы создают ближнее к линзе изображение, а центр линзы формирует дальнее изображение (рис. 6). Значение \(k_{theor}\), отвечающее модели сферической формы «шапочки» лежит в пределах измеренных коэффициентов \(k_1\) и \(k_2\).

Рис. 5. Качественное сравнение отклонения формы <<шапочки>> от модели сферического сегмента

A5. Форма «шапочки» определяется конкуренцией двух типов сил: гравитации и поверхностного натяжения. Так или иначе «шапочка» определенного объема принимает такую форму, при которой сумма потенциальной энергии силы тяжести и энергии, связанной с поверхностью капли, минимизируется. Модель сферического сегмента верна лишь в тех случаях, когда потенциальной энергией силы тяжести можно пренебречь по сравнению с поверхностной энергией. Объем «шапочки», а вместе с тем и ее гравитационная энергия пропорциональны кубу ее характерного размера. Поверхностная же энергия пропорциональна квадрату характерного размера. Поэтому для шайб малого диаметра форма шапочки будет определяться поверхностным натяжением и вполне описывается моделью сферического сектора. Для больших шайб капля будет практически плоской. В этих случаях ключевую роль играет гравитационная энергия.

Качественное объяснение формирования двух изображений в капельной линзе

Источник: pho.rs/p/3260.