IEPhO 2022, 11 класс

Решение

A1. Для первой части соберем установку изображенную на рис. 1. На брусок длиной \(40~см\) прилепим два кусочка пластилина около одного конца, на которые прикрепим включенный лазер. Надавливая на переднюю и заднюю часть лазера, можно регулировать угол между ним и бруском. Будем двигать брусок вдоль длинной стороны стола и смотреть за изображением лазерного луча на экране (стенке кабинки). Меняя угол между лазером и бруском, способом описанным выше, добьемся горизонтальности траектории изображения луча на экране. В этом случае лазерный луч будет параллелен бруску.

После этого на второй край бруска прикрепим при помощи пластилина баллончик с газом. Приклеим малярный скотч к боковой поверхности баллончика так, чтобы лазерный луч попадал в среду через небольшую щель.

Чтобы убедиться в том, что падающий луч перпендикулярен поверхности баллончика, будем следить за отражением лазерного луча от передней стенки баллончика: отраженный луч должен попадать обратно в лазер.

Будем менять угол \(\varphi\) наклона бруска и наблюдать на стенке кабинки за выходящими из баллона лучами. Для стабильности картины будем использовать короткий брусок (длиной \(15~см\)) как подставку. Один из выходящих лучей является отраженным от границы раздела жидкой и газообразной фазы изучаемого вещества (бутана), а другой — луч, преломленным на этой границе. Изображение отраженного луча можно наблюдать на экране  при любых углах наклона бруска, а преломленный луч можно наблюдать только при \(\varphi \leq \varphi_{{кр}}\). При углах больше критического на границе между жидкой и газообразной фазой бутана происходит явление полного внутреннего отражения. Тогда для критического угла можно записать:

\[\sin{\varphi_{{кр}}}=\frac{1}{n_{{жид}}}. \qquad(1) \tag{1}\]

Рис. 1. Определение показателя преломления жидкости

Примечание: границу газ–пластик–воздух луч пройдет при любых углах, так как показатель преломления пластика больше чем у газа и воздуха.

Установим брусок так, чтобы при небольшом увеличении угла зайчик от преломленного луча на экране пропал. В этом случае угол между длинным бруском и вертикалью равен \(\varphi_{кр}\).

Тогда \[\sin{\varphi_{кр}}=\frac{\sqrt{S^2-h^2}}{S}. \qquad(2) \tag{2}\] Окончательно для показателя преломления бутана в жидком состоянии: \[n_{жид} = \frac{S}{\sqrt{S^2-h^2}}. \qquad(3) \tag{3}\] Измерим длину бруска \(S = 40.0 \pm 0.5 ~\text{см}\) и высоту \(h\).

Тогда:

Ответ:

\[n_{жид}= 1.31 \pm 0.02 \qquad(4) \tag{4}\]

A2. При помощи пластилина закрепим лазер на бруске длиной \(15~см\).

Установим 2 зеркала и экран (лист белого картона) таким образом, чтобы на экран попадало изображение луча, дважды отраженного в зеркалах (рис. 2). Нажмем на рычаг для подачи газа и будем двигать трубочку, присоединенную к баллончику так, чтобы струя газа проходила сквозь лазерный луч. Будем считать, что струя газа движется слева направо. Как только крайние лучи лазерного пучка попадут в область струи, на экране можно будет увидеть, что изображения пучка на экране «расплывается»  в левую сторону. То есть лучи, попадающие в струю, отклоняются влево (рис. 3). Такое возможно только в том случае, если показатель преломления бутана в газообразном состоянии больше показателя преломления воздуха, то есть \(\Delta n\) будет отрицательным.

Рис. 2. Увеличение базы

Рис. 3. Определение знака разности

Второй способ определить знак разности – это качественные наблюдения фокусировки луча. Если по ходу луча смотреть за его изображением в разных местах, то можно увидеть, что на расстоянии порядка \(\sim10-20~см\) наблюдается четкая полоса, которая могла образоваться, только если показатель преломления бутана больше, чем у воздуха. В случае, если бы это было не так – четкой линии не было бы видно, так как тогда струя работала как рассеивающая линза. Также из характерных значений фокусного расстояния можно сделать вывод, что показатель преломления бутана близок к показателю преломления воздуха:

\[\Delta n \ll 1.\]При полном попадании струи газа, выпущенного через трубочку, в лазерный пучок (ширина струи меньше ширины лазерного пучка), изображение на экране будет иметь существенно больший размер, чем ширина пучка до прохождения струи. Расширение изображения происходит из-за преломления лучей в цилиндрической линзе, образованной струей бутана (см. рис. 4.).

Рис. 4. Ход лучей

Угол расхождения \(\varphi\) пучка определяется отношением горизонтального размера зайчика на экране \(x\) к суммарному расстоянию которое проходит луч лазера от струи газа до экрана \(D\).

\[\varphi=\frac{x}{D}. \qquad(5) \tag{5}\]Рассмотрим геометрию преломления луча в струе (см. рис. 5) и запишем закон Снелла для преломления на первой границе (на второй границе уравнение будет выглядеть аналогично).

Рис. 5. Геометрия преломления

Из геометрии рисунка видно, что \(\theta = \alpha\) и \(\gamma = 2(\alpha - \beta)\).

Закон Снелла будет выглядеть следующим образом:

\[n_\text{воз} \sin \alpha = n_\text{газ} \sin \beta. \qquad(6) \tag{6}\]Отсюда не сложно заметить, что так как \(n_\text{газ}\) и \(n_\text{воз}\) близки к единице, то \(\alpha - \beta \ll 1\). Получаем, что \(\gamma \ll 1\).

Используя в уравнение \((6)\) выражение для \(\gamma\), получаем:

\[\frac{n_\text{воз} }{n_\text{газ}} \sin (\alpha - \gamma/2) = \sin \alpha, \qquad(7) \tag{7}\]откуда, раскрывая синус суммы, получаем:\[\sin \alpha = \frac{n_{газ}}{n_{воз}} \sin (\alpha - \gamma/2) = \frac{n_{газ}}{n_{воз}}\big(\sin\alpha\cos \gamma/2 - \cos \alpha \sin \gamma/2\big). \qquad(8) \tag{8}\]

Используем малость угла \(\gamma\):

\[\sin \alpha = \frac{n_{газ}}{n_{воз}}\left((1-{\gamma^2}/{8})\sin\alpha - \gamma/2 \cos \alpha \right), \qquad(9) \tag{9}\]где отношение показателей преломления удобно переписать в следующем виде:

\[\frac{n_{газ}}{n_{воз}}= \frac{n_{газ}-n_{воз}}{n_{воз}}+1 = -\frac{\Delta n}{n_{воз}}+1 = 1-\Delta n. \qquad(10) \tag{10}\]Разделив уравнение \((9)\) на \(\sin \alpha\), получаем:

\[1 = (1-\Delta n) \left(1 - \frac{\gamma}{2 \operatorname{tg} \alpha} -\frac{\gamma^2}{8}\right) \qquad(11) \tag{11}\]

Формула \((11)\) дает связь между разностью показателей преломления и углом расхождения лучей после прохождения струи, не обращая внимания на интенсивность света в пучке. На практике лучи с наибольшим отклонением имеют на несколько порядков меньшую интенсивность, чем центральные. Поэтому человеческий глаз воспринимает на экране лишь характерный размер освещаемый лучами области, соответствующей существенной интенсивности падающего света. Тогда оценим максимальное значение \(\operatorname{tg} \alpha\), которому соответствуют лучи, определяющие воспринимаемый размер освещаемой на экране области, как \(10\).

С учетом этого сравним поправки к единице во второй скобке. Для этого найдем угол расхождения \(\varphi\), половина которого равна максимальному \(\gamma\).

При использовании зеркал расстояние между струей газа и экраном определяется суммой расстояния между струей и первым зеркалом \(l_1=90 ~\text{см}\), расстоянием между зеркалами \(l_2 = 116 ~\text{см}\) и расстоянием между вторым зеркалом и экраном \(l_3 = 100 ~\text{см}\). Тогда максимальный угол расхождения лучей с учетом измерений горизонтального размера зайчика \(x=2.0~\text{см}\) в такой конфигурации:

\[\gamma=\frac{1}{2}\frac{x}{l_1+l_2+l_3} \approx 3.3 \cdot 10^{-3}. \qquad(12) \tag{12}\]Подставляя эти значения, получаем:

\[\frac{\gamma}{2 \operatorname{tg} \alpha} = 1.7\cdot 10^{-4} \qquad(13) \tag{13}\]\[\frac{\gamma^2}{8} = 1.3\cdot 10^{-6} \qquad(14) \tag{14}\]То есть поправку второго порядка можно отбросить и тогда выражение для \(\Delta n\) принимает вид:

Ответ:

\[\Delta n = \frac{\gamma}{2\operatorname{tg} \alpha} = 1.7 \cdot 10^{-4} \qquad(15) \tag{15}\]

Дополнение

Моделирование второй части позволяет получить такие картины:

Рис. 6. Моделирование рисунка 4

Рис. 7. Распределение интенсивности света на экране

С учетом динамического коэффициента контрастности человеческого глаза в 3-4 порядка, можно сделать вывод, что из всей ширины мы видим на экране ширину изображения \(x \approx 20\) радиусов линзы, что сходится с экспериментальными данными. Внутренний диаметр трубки был порядка \(0.5-0.8~ мм\).

Комментарии для жюри:

• Луч, вышедший после преломления под критическим углом, на самом деле появляется не на одной горизонтали с баллончиком, а ниже. Это объясняется наличием мениска, в который попадает этот луч, а также преломлением в стенке баллончика.

• Ширина изображения во второй части определяется с большой погрешностью, поэтому необходимо установить достаточно широкие ворота. При этом важно, чтобы показатель преломления бутана был строго больше показателя преломления воздуха. Это можно определить точно. Табличное значение \(\Delta n \approx - 3 \cdot 10^{-4}\).

Источник: pho.rs/p/3242.

Ответ

A1: \[k=N=49\]

Решение

A1. Измерим понижающий коэффициент редуктора. Будем поворачивать основной вал и следить за поворотом колеса. Посчитаем, сколько оборотов \(N\) должен совершить основной вал для того, чтобы колесо совершило один полный оборот. Получившееся число и будет равно понижающему коэффициенту редуктора

Ответ:

\[k=N=49\]

A2. Замкнем щупы омметра. Запишем показания омметра \(r= 0.3 \ Ом\). Измерим сопротивление электродвигателя. При различных углах поворота вала оно колеблется от \(4.0 \ Ом\) до \(4.4 \ Ом\). Среднее значение будет равняться \(R_{ср} = 4.2 \ Ом\). Измерения указывают на наличие сопротивления у щупов мультиметра, сравнимого с измеряемым сопротивлением мотора. Тогда для значения сопротивления двигателя в отсутствии вращения вала получаем

Ответ:

\[R=R_{ср}-r = 3.9 \ Ом \qquad(3) \tag{3}\]

A3. Подключим к двигателю лабораторный источник питания. Подадим на двигатель небольшое напряжение. Измерим время \(t\), за которое колесо со спицами совершит \(n=10\) оборотов. Для удобства подсчета количества оборотов будем использовать отметку на одной из спиц. Рассчитаем частоту вращения колеса как:

\[\nu_{slave}=\frac{n}{t}. \qquad(4) \tag{4}\]Проведем измерения для нескольких значений поданного напряжения. Запишем в таблицу полученный результат, а также внесем в нее значения напряжения, поданного на двигатель и значение тока, текущего через него.

Ответ:

A4. Заметим, что произведение тока на сопротивление двигателя не равно поданному на него напряжению. Предположим, что их разница \(U_{rot}\) связана с вращением двигателя

\[U_{rot}=U-IR. \tag {5} \tag{5}\]Построим график зависимости частоты вращения ведомого вала двигателя \(\nu_{slave}\) от величины \(U_{rot}\). Видно, что график описывается прямой пропорциональностью с угловым коэффициентом

\[K= 0.83 \ {\text{Гц}}/{\text{В}}.\]Сделанное предположение можно обосновать и теоретически, указав что ЭДС индукции в двигателе прямо пропорциональна частоте его вращения.

График зависимости частоты вращения ведомого вала от ЭДС индукции в двигателе.

Ответ:

Рис. 1

A5. Подадим напряжение на двигатель. Будем светить на шкив основного вала фонарем в режиме уменьшенной яркости. При некоторых значениях напряжения на шкиве будут появляться устойчивые стробоскопические картины. Выберем минимальное из всех напряжений на двигателе, при которых наблюдается одна освещенная область стробоскопической картины. Соответствующая частота вращения основного вала двигателя будет совпадать с частотой вспышек фонаря. Для расчета частоты вращения двигателя запишем значение напряжения \(U_{strobe}=7.63~В\), подаваемого на него, и текущий через него ток \(I_{strobe}=160~мА\). Тогда для частоты вращения основного вала двигателя на основе данных графика и измерений понижающего коэффициента имеем

Ответ:

\[f_{low}=\nu_{main}=k\nu_{slave}=kK(U_{strobe}-I_{strobe}R)= 2.85 \ \text{Гц} \qquad(6) \tag{6}\]

A6. Заметим, что освещенная область стробоскопической картины при данной частоте составляет приблизительно четверть длины окружности (см рисунок 2). То есть длина вспышки составляет приблизительно четверть периода мерцания. Таким образом, скважность импульсов в этом режиме

\[\gamma_{low}=75\%.\]

Рис. 2. Вид стробоскопической картины при совпадении частоты вращения основного вала двигателя и частоты мигания фонарика в режиме уменьшенной яркости

Теперь сравним световые потоки в обычном режиме и в режиме пониженной яркости. Если положить экран с масленым пятном на стол, то пятно будет казаться более темным (см. рис. 3(а)). Значит от пятна отражается меньше света, чем от непромасленной части экрана.  Будем для простоты считать, что экран не поглощает свет, проходящий через него, а лишь рассеивает.

Введем понятие плотности потока излучения, то есть отношение потока излучения через некоторое поперечное направлению распространения энергии сечение к площади этого сечения. Пусть плотность падающего потока излучения одинакова в любой точке экрана и равна \(I\). Также будем рассматривать лишь перпендикулярное падение света на поверхность экрана. Часть энергии будет отражаться от экрана, а часть проходить через него. Будем считать, что от промасленной части экрана отражается часть падающей энергии \(k_1\), а от непромасленной части \(k_2\). Тогда отраженные плотности потоков энергии от промасленной и непромасленной части будут равны соответственно \(k_1 I\) и \(k_2 I\). Так как пятно нам кажется более темным, \(k_1\) меньше, чем \(k_2\).

Пусть теперь пятно дополнительно освещается другим потоком излучения снизу (см рис. 3(б,в)). Пусть также освещение снизу обладает свойством однородности по поверхности экрана и распространяется в перпендикулярном экрану направлении. Если плотность потока энергии падающего на экран снизу равна \(I'\), то в соответствии с законом сохранения энергии вверх через пятно пройдет плотность потока \((1-k_1)I'\), а через непромасленную часть экрана – \((1-k_2)I'\). Плотность потока энергии подчиняется принципу суперпозиции, поэтому для плотности потока идущего вверх от пятна имеем

\[I_1=Ik_1+(1-k_1)I', \tag {7} \tag{7}\]а для плотности потока от непромасленной части

\[I_2=Ik_2+(1-k_2)I'. \tag {8} \tag{8}\]

Сравнив величины \(I_1\) и \(I_2\), можно понять, каким будет пятно на экране - более темным или более светлым по сравнению с остальным фоном. Так, если \(I'\) окажется меньше \(I\) (см. рис. 3(б)), то \(I_1\) окажется меньшим, чем \(I_2\), и пятно будет казаться темным. В противном случае (см. рис. 3(в)), когда \(I'>I\), пятно будет казаться светлее остальной части экрана. В случае же (см. рис. 3(г)), когда падающие плотности потоков окажутся одинаковыми \((I'=I)\), величины \(I_1\) и \(I_2\) также будут равными. Пятно в таком случае будет практически не видно на экране.

Рис. 3. Наблюдение пятна на экране. а) Освещение только с одной стороны (экран лежит на темной рассеивающей поверхности); б) Плотность потока излучения, падающего сверху, больше плотности потока излучения, падающего снизу; в) Плотность потока излучения, падающего сверху, меньше плотности потока излучения, падающего снизу; г) Равенство плотностей потоков излучения, падающих снизу и сверху на экран.

Измерим отношение светового потока фонаря в нормальном режиме и воспринимаемого глазом светового потока фонаря в режиме уменьшенной яркости. Положим на стол два фонаря так, чтобы они светили друг на друга. Установим между ними экран с жирным пятном. В произвольном положении экрана на нем отчетливо видно жирное пятно. В зависимости от положения фонарей оно может оказаться либо более темным, чем непромасленная часть экрана, либо более светлым. Можно найти такое положение, при котором пятно практически не видно на экране. В этом случае световые плотности световых потоков, освещающие экран с двух сторон, одинаковы. Будем использовать один из фонарей как опорный, а на втором будем переключать режимы освещения. Для каждого из режимов освещения подберем такое положение исследуемого фонаря, при котором пятно практически не видно на экране. Обозначим полученные расстояния между экраном и исследуемым фонарем за \(x_{normal}\) для нормального режима освещения и \(x_{low}\) для режима уменьшенной яркости.

Рис. 4. Установка для сравнения световых потоков фонарей, включенных в разных режимах

Плотность потока энергии \(I\) точечного источника излучения (в нашем случае светодиода) убывает с расстоянием до источника \(x\) обратно квадрату расстояния

\[I=\frac{\Phi}{4 \pi x^2}, \tag {9} \tag{9}\]где \(\Phi\) – полный световой поток светодиода. Тогда, так как плотность светового потока от фонаря в найденных положениях экрана одинакова, можно записать:

\[\frac{\Phi_{normal}}{4 \pi x_{normal}^2}=\frac{\Phi_{low}}{4 \pi x_{low}^2}. \tag {10} \tag{10}\]Измерим расстояния между светодиодом в исследуемом фонаре и экраном \(x_{normal}\) и \(x_{low}\) для нескольких положений опорного фонаря, при котором пятно на экране не видно. Определим отношение расстояний в каждом случае и усредним полученный результат. Измерения будем проводить для расстояний между экраном и фонарями не превышающими \(35~см\), чтобы плотность потока внешнего освещения была много меньше плотности потока освещения от фонарей.

Таким образом для отношения световых потоков в разных режимах:

Ответ:

\[\frac{\Phi_{normal}}{\Phi_{low}}=\Big(\frac{x_{normal}}{x_{low}}\Big)^2_{ср}= 4.1. \tag {11} \tag{11}\]

A7. Ответ:

Видно, что отношение световых потоков близко к 4. При скважности импульсов в 75% такое отношение достижимо в случае, если амплитуда импульсов равна номинальному напряжению. Действительно, если в режиме номинальной мощности светодиод будет гореть четверть всего времени, то за достаточно длительный промежуток времени он излучит в четыре раза меньше энергии, чем если бы он работал в номинальном режиме все исследуемое время. Таким образом, средний световой поток, воспринимаемый глазом окажется в 4 раза меньше, чем световой поток в нормальном режиме, что и наблюдается на практике.

A8. Для измерения частоты вспышек в режиме SOS соберем установку, изображенную на рисунке 5.

Рис. 5. Установка для измерения частоты фонаря в режиме SOS

Будем светить на шкив, надетый на ведомый вал, фонариком, включенным в режиме SOS. Шкив представляет из себя колесо с \(i=5\) спицами. Спицы в свете фонаря образуют тень на столе. В некоторых случаях тень кажется остановившейся. В этом случае на место одной из спиц колеса в одинаковую фазу вспышки приходит другая спица. Наблюдение такого эффекта затруднено с одной стороны не очень высокой частотой мигания фонарика, с другой стороны \(50\%\) скважностью импульсов. Поэтому для достоверного измерения измерим несколько режимов вращения двигателя, при котором наблюдается такой эффект. Разные скорости вращения будут отвечать разному количеству спиц, успевающих пролететь точку наблюдения за время периода вспышек. Вычислим для каждого из режимов частоты \(\nu_{slave}\) вращения ведомого вала и подберем такие целые небольшие числа \(j\), что образованная зависимость частот от подобранных чисел представляла из себя прямую пропорциональность. В этом случае число \(j\) будет являться количеством спиц, сменившихся в точке наблюдения за время одной вспышки.

Построим график получившейся зависимости. Найдем ее угловой коэффициент \(k'=1.77~Гц\).

График зависимости частоты вращения ведомого вала от количества спиц пролетающих точку наблюдения за время периода вспышек фонаря в режиме SOS.

Тогда частота мигания фонаря в режиме SOS может быть найдена как:

Ответ:

\[f_{SOS}=k'\cdot i=8.85 \ \text{Гц} \tag {12} \tag{12}\]

Источник: pho.rs/p/3244.

Ответ

A1: \[\Delta P = P_0\,\frac{s\Delta x}{V_{ш}+sx_0 - s\Delta x} =(11.1\pm0.5) \ \text{кПа}.\]

Решение

A1. Надуем пластиковый пакет. Для измерения дополнительного давления в пакете необходимо использовать манометр. Из предложенного оборудования можно сконструировать этот прибор несколькими способами.

Первый вариант – жидкостный манометр.

Максимальное давление, создаваемое легкими, отличается от атмосферного на \(\Delta P= P-P_0 \approx 5-10~ кПа\). Это соответствует разности уровней в коленях водяного манометра \(\Delta l = {\Delta P}/{\rho g} \approx  50-100 ~см\). Длины трубки \(l_{трубки} \approx 50 ~см\) не хватит для проведения такого измерения. Поэтому использование жидкостного манометра в данном случае не целесообразно.

Второй вариант – воздушный манометр.

Измерим площадь поперечного сечения силиконовой трубки. Для этого наберем в шприц воду, подсоединим к нему шприц и начнем закачивать в трубку воду. Когда поршень шприца будет стоять точно на одном из делений, сделаем отметку на трубке. Переместим поршень шприца до одного из следующих отметок, закачав воду в трубку объемом \(V=(8.0\pm0.2)~ мл\). Погрешность установки поршня шприца на одно из делений оценим как \(0.1~мл\). Сделаем вторую отметку на трубке и измерим расстояние между отметками \(l=(40.1\pm0.2)~ см\). Тогда площадь сечения трубки можно рассчитать как:

\[s={V}/{l}= (0.200\pm0.007)\ \text{см}^2. \qquad(2) \tag{2}\]

Cоберем манометр. Для этого поместим в трубку небольшую каплю воды, создав таким образом водяной поршень. Подсоединим к трубке шприц, предварительно установив поршень в положение, при котором объем шприца составит \(V_{ш}\) (см. рис. 2). Измерим положение границы водяного поршня относительно носика шприца \(x_0\).

Измерять давление можно двумя способами. Первый вариант создавать давление в трубке манометра напрямую ртом. Измеренное таким образом давление может немного отличаться от давления в пакете.  Так как для дальнейшего расчета объема воздуха в пакете понадобится использовать именно давление в пакете, то воспользуемся вторым методом. Соединим шланг с пакетом и будем медленно открывать клапан.  При этом водяной поршень сместится к носику шприца. Обозначим его смещение \(\Delta x\). Изменением давления в пакете можно пренебречь, так как из пакета вытекло всего несколько миллилитров воздуха, а объем пакета составляет несколько литров. Процесс измерения можно считать изотермическим. Поэтому согласно закону Бойля-Мариотта можно записать уравнение:\[P_0(V_{ш}+sx_0)=(P_0+\Delta P)(V_{ш}+s(x_0-\Delta x)), \qquad(3) \tag{3}\]

где \(P_0\) – атмосферное давление. Тогда дополнительное давление в трубке составит:

\[\Delta P = P_0\frac{s\Delta x}{V_{ш}+sx_0 - s\Delta x}. \qquad(4) \tag{4}\]

Рис. 2. Конструкция манометра.

Для максимально достоверных измерений объем воздуха в шприце \(V_{ш}\) сделаем максимальным, чтобы максимальным и наиболее точно измеряемым было смещение водяного поршня. Так как шкала объемов содержимого шприца покрывает поверхность шприца не полностью, измерим длину шкалы шприца \(y_{20}=(6.80\pm0.05)~см\) соответствующую \(V_{20}=20.0\pm0.1~ мл\) и длину объема воздуха в шприце при максимально выдвинутом поршне \(y=(8.00\pm0.05)~см\). Тогда объем воздуха в шприце составит:

\[V_\text{ш}=V_{20} \,{y}/{y_{20}}=23.5\pm0.3 \ \text{мл}. \qquad(5) \tag{5}\]

Подберем начальное положение водяного поршня так, чтобы он при подаче давления смещался как можно ближе к носику шприца. Это необходимо для того, чтобы исключить фактор изменения внутреннего объема силиконовой трубки при изменении давления в ней.

Тогда с учетом проведенных измерений \(x_0=34.2\pm0.1~ см\) (погрешность определяет неточность положения начала трубки) и \(\Delta x=15.2\pm0.1~см\) для дополнительного давления получаем:

Ответ:

\[\Delta P = P_0\,\frac{s\Delta x}{V_{ш}+sx_0 - s\Delta x} =(11.1\pm0.5) \ \text{кПа}.\]

A2. Сразу после проведённых измерений давления поставим на весы стакан с водой, а него положим пакет с воздухом. Обнулим показания весов. Спустим воздух из пакета  и вновь положим его в стакан. Полученная разность масс \(\Delta m=0.53\pm0.03~г\).

Запишем условие равновесия для пакета на весах с избыточным давлением \(\Delta P\) и для пакета с воздухом атмосферного давления и вычтем одно из другого:\[\Delta m =  (\rho  -\rho_o)   V , \qquad(6) \tag{6}\]где \(\Delta m\) – разность показаний весов, \(\rho\) – плотность воздуха в пакете с избыточным давлением, \(\rho_o\) – плотность воздуха при атмосферном давлении, \(V\) – объем пакета.

Пользуясь уравнением Менделеева-Клапейрона получим для объема воздуха в пакете:

Ответ:

\[V=\frac{\Delta m}{\Delta P } \frac{RT}{\mu}= (4.0\pm0.7) \ \text{л} \qquad(7) \tag{7}\]

Здесь \(\mu\) – молярная масса воздуха, \(T = 295~К\) – температура воздуха в аудитории, \(R\) – универсальная газовая постоянная.

A3. Соберем установку для измерения величины \(k\) (см рис. 3). Для этого надуем пакет, подсоединим к нему силиконовую трубку. Лапкой штатива немного зажмем трубку в средней части, направив, ее кончик на весы. При этом кончик трубы расположим на расстоянии приблизительно равном \(5~мм\) от измерительной платформы весов. Положим пластиковую крышку на пакет. Будем одной рукой одновременно давить на крышку и засекать время на секундомере, а второй рукой будем держать открытым кран. Давление рукой будем стараться осуществлять так, чтобы показания весов были приблизительно равны некоторому значению. Проведем измерение времени вытекания \(t\) всего воздуха из пакета в таких условиях не меньше трех раз. Запишем полученные значения в таблицу и усредним. Пережмем немного силиконовую трубку для удобства регулировки скорости потока струи и вновь проведем измерения.

Рис. 3. Установка для измерения силы давления струи воздуха

Воздух, вытекающий из струи имеет давление близкое к атмосферному, равно как и воздух в пакете. Поэтому связь между объемом пакета и скоростью струи \(v\) можно записать как:

\[V=vst. \qquad(8) \tag{8}\]С другой стороны, показания весов связаны с изменением импульса весов, как:

\[mg=k\rho s v^2. \qquad(9) \tag{9}\]Плотность вытекающего воздуха найдем с помощью закона Менделеева-Клапейрона:

\[\rho=\frac{\mu P_0}{RT}. \qquad(10) \tag{10}\]Тогда окончательно получаем связь между временем вытекания и показаниями весов:

\[m=\frac{k\mu P_0 V^2}{s g RT } \frac{1}{t^2}. \qquad(11) \tag{11}\]Построим график \(t^{-2}(m)\). Его угловой коэффициент составляет:

\[K=\frac{RT s g}{k\mu P_0 V^2} = (0.73\pm0.05) ~ 10^{-2} ~{г^{-1} \cdot с^{-2}}. \qquad(12) \tag{12}\]Откуда искомый коэффициент:

Ответ:

\[k=\frac{RT s g}{K\mu P_0 V^2} = (1.3\pm0.3) \qquad(13) \tag{13}\]

График зависимости обратного квадрата времени вытекания воздуха из пакета от показаний весов

Источник: pho.rs/p/3250.

Ответ

A4: В диапазоне частот от \(3~ кГц\) до \(10~ кГц\) на графике наблюдаются два последовательных пика, соответствующие резонансам. Больший резонанс соответствует частоте \(f_{\max1} = 6.45~кГц\), малый резонанс соответствует частоте \(f_{\max2} = 7.55~ кГц\).

Решение

A1. Соберем электрическую, цепь изображенную на рисунке 1.

Рис. 1. Пьезопластинка

Установим на генераторе сигнал амплитудой \(U_0 = 3000~мВ\). Измерим зависимость напряжения на резисторе в зависимости от частоты подаваемого сигнала. Обратим особое внимание на поведение исследуемой зависимости в диапазоне частот от \(6\) до \(10~кГц\).

Ответ:

График зависимости напряжения на резисторе от частоты подаваемого на цепь сигнала.

Ответ:

График зависимости напряжения на резисторе от частоты подаваемого на цепь сигнала в области частот от \(3~кГц\) до \(10~кГц\).

Ответ:

A2. Исходя из предположения, что пьезоэлемент ведет себя, как конденсатор постоянной емкости (на частотах выше \(16~кГц\)), запишем выражение для модуля импеданса последовательно соединенного резистора \(R\) и конденсатора \(C\).\[Z=\sqrt{R^2+\Big(\frac{1}{2 \pi f C}\Big)^2}.\qquad(3)\tag{1}\]Так как при измеряемых частотах модуль импеданса пьезоэлемента много больше сопротивления резистора, можно написать выражение для напряжения на резисторе на частоте \(f\) в виде:

Ответ:

\[U=U_0 \cdot \frac{R}{\sqrt{R^2+\Big(\frac{1}{2 \pi f C}\Big)^2}} = U_0 \cdot 2 \pi f R C . \qquad(4)\tag{2}\]

A3. В диапазоне от \(10~ кГц\) до \(30~кГц\) график хорошо описывается линейной функцией, проходящей через ноль, с угловым коэффициентом наклона \(k = 17.6 \cdot 10^{-6}~В/Гц\).

Тогда для емкости \(C\) получаем:

Ответ:

\[C = \dfrac{k}{2 \pi R U_0} = 9.3 \ \text{нФ}. \qquad(5)\tag{3}\]

A4. Ответ:

В диапазоне частот от \(3~ кГц\) до \(10~ кГц\) на графике наблюдаются два последовательных пика, соответствующие резонансам. Больший резонанс соответствует частоте \(f_{\max1} = 6.45~кГц\), малый резонанс соответствует частоте \(f_{\max2} = 7.55~ кГц\).

A5. Нальем в стакан горячую воду. Подключим пьезоэлемент в схему на рис. 2 и погрузим пробирку, в которой он находится, в стакан. Установим частоту генератора равной \(30~ кГц\). Измерим зависимость напряжения на резисторе от температуры воздуха в пробирке при его остывании. Рассчитаем величину обратной емкости пьезоэлемента для каждой температуры

\[\dfrac{1}{C} = \dfrac{2 \pi R U_0 f_{30}}{U} . \qquad(6) \tag{4}\]

Ответ:

График зависимости обратной емкости от температуры

Ответ:

Видно, что полученная зависимость достаточно хорошо описывается линейной функцией. Экстраполируем ее график до пересечения с осью температур и найдем тем самым температуру Кюри материала пьезоэлемента

Ответ:

\[T_c =234\,^\circ\mathrm C\]

Источник: pho.rs/p/3255.

Ответ

A1: \[d_0 = 354 \pm 10~мкм\];  A5: \[d_р = 297 \pm 10 ~ мкм\];  B4: \[E = (180\pm20)~ {ГПа}\];  B5: \[E' = (160 \pm 20) ~ГПа\]

Решение

A1. Измерим диаметр недеформированной проволоки при помощи микрометра. Проведем несколько измерений вдоль длины и усредним.

Тогда:

Ответ:

\[d_0 = 354 \pm 10~мкм\]

A2. Измерим сопротивление выданного резистора \(R=100.8~Ом\). Соберем установку, описанную в условии, и подключим проволоку к батарейке, соединенную последовательно с резистором. Для исключения сопротивления контактов при измерении воспользуемся четырехточечной схемой измерения (рис. 1).

Рис. 1. Схема измерения сопротивления проволоки

Подключим подключим последовательно с проволокой резистор и батарейку. Подключим один вольтметр параллельно к участку проволоки длиной 50 см, а второй вольтметр к резистору.

Измерим показания вольтметров \(U_1 = 52~ мВ\), \(U_2= 1451 ~ мВ\). Тогда:

Ответ:

\[r_0=\dfrac{U_1}{U_2}\,R= (3.63 \pm 0.10)~ Ом \qquad(3) \tag{3}\]

A3. Рассчитаем удельное сопротивление недеформированной проволоки.

\[r_0=\rho_0\dfrac{l_0}{S_0}=\rho_0\dfrac{4l_0}{\pi d_0^2} \qquad(4) \tag{4}\]

Ответ:

\[\rho_0=\dfrac{\pi r_0 d_0^2}{4 l_0} = (7.1 \pm 0.3)\cdot10^{-7}~ Ом\cdot м \qquad(5) \tag{5}\]

A4. Закрепим проволоку как описано в условии. Вновь воспользуемся четырехточечной схемой измерения.

Будем растягивать проволоку и измерять длину изучаемого участка, а также записывать показания вольтметров.

Рис. 2. Схема измерения сопротивления проволоки при растяжении

Ответ:

A5. Измерим длину изучаемого участка проволоки после ее разрыва \(l_р = 68 ~ см\). Тогда ее относительная деформация равняется \(\varepsilon_р = {l_р}/{l_0} -1 = 36\%\). Измерим микрометром диаметр деформированной проволоки. Также проведем несколько измерений вдоль длины и усредним.

Тогда:

Ответ:

\[d_р = 297 \pm 10 ~ мкм\]

A6. Запишем выражение для связи малого изменения диаметра проволоки и малого изменения ее длины:\[\frac{\Delta d}{d}=-\gamma \frac{\Delta l}{l}. \qquad(6)\tag{6}\]Также запишем как связаны малые изменения продольного и поперечного размеров проволоки с малым изменением ее объема:

\[\dfrac{\Delta V}{V} = \dfrac{\Delta l}{l} + \dfrac{\Delta S}{S} = \dfrac{\Delta l}{l} + 2\dfrac{\Delta d}{d}. \qquad(7)\tag{7}\]C учетом \((6)\) можно записать:

\[\dfrac{\Delta V}{V} = \dfrac{\Delta l}{l} + 2\dfrac{\Delta d}{d} = \dfrac{\Delta l}{l} + -2\gamma \dfrac{\Delta l}{l}= (1-2\gamma )\dfrac{\Delta l}{l}. \qquad(8)\tag{8}\]Если при деформации плотность материала остается постоянной, то и объем изучаемого тела не меняется. Иными словами \(\Delta V = 0\). Тогда, получаем:

\[1-2\gamma_{theor}=0\implies \qquad(9)\tag{9}\]

Ответ:

\[\gamma_{theor} = 0.5 \qquad(10)\tag{10}\]

A7. Следует понимать, что в знаменателе дробей формулы \((6)\) для относительного изменения размеров стоит текущее значение размера. Требуемые по условию задачи продольные деформации должны составлять не менее 30%. Их нельзя считать малыми, поэтому для получения связи изменения размеров в больших пределах, исходное выражение необходимо проинтегрировать. Тогда получим:

\[\ln \frac{d}{d_0}=-\gamma \ln \frac{l}{l_0}. \qquad(11)\tag{11}\]где индекс \(0\) обозначает параметры недеформированной проволоки.

Для определения величины \(\gamma\) рассчитаем значения \(\ln \dfrac{d_р}{d_0}\) и \(\ln \dfrac{l_р}{l_0}\) и найдем их отношение.

Ответ:

\[\gamma= - \dfrac{\ln\dfrac{d_р}{d_0}}{\ln\dfrac{l_р}{l_0}} = 0.57 \pm 0.11 \qquad(12)\tag{12}\]С учетом погрешности измерений величины \(\gamma\) нельзя сделать однозначный вывод, что проволока изменяет свой объем при пластической деформации.

A8. Запишем выражение для сопротивления участка проволоки: \[r=\rho \frac{4 l}{\pi d^2}. \qquad(13)\tag{13}\] Тогда для отношения сопротивлений в растянутом и нерастянутом состояниях: \[\frac{r}{r_0}=\frac{\rho}{\rho_0}\frac{l}{l_0}\frac{d_0^2}{d^2}. \qquad(14)\tag{14}\] Или в логарифмическом представлении: \[\ln{\left(\frac{r}{r_0}\right)}=\ln{\left(\frac{\rho}{\rho_0}\right)}+\ln{\left(\frac{l}{l_0}\right)}+\ln{\left(\frac{d_0^2}{d^2}\right)}. \qquad(15)\tag{15}\] C учетом связи между поперечным и продольным размерами проволоки: \[\ln{\left(\frac{r}{r_0}\right)}=\ln{\left(\frac{\rho}{\rho_0}\right)}+(1+2\gamma)\ln{\left(\frac{l}{l_0}\right)}. \qquad(16)\tag{16}\] Если предположить, что удельное сопротивление проволоки не зависит от ее длины при деформировании, то график зависимости \(\ln{\left({r}/{r_0}\right)}\) от \(\ln{\left({l}/{l_0}\right)}\) должен описываться линейной функцией с угловым коэффициентом \(k_{theor}=1+2\gamma\). Проверим это, построив соответствующий график.

График зависимости логарифма сопротивления проволоки от логарифма ее длины.

Ответ:

Видно, что полученный график может быть описан линейной функцией с угловым коэффициентом \(k_{exp}=2.35\pm0.05\). Поскольку точность измеряемых в эксперименте величин достаточно высока, то можно описать полученный график более подробно. Угловой коэффициент графика при малых пластических деформациях составляет \(k_{exp1}\approx2\), а при больших меняется вплоть до \(k_{exp2}\approx2.8\).

A9. Если считать, что при деформации плотность, а значит и объем материала проволоки не меняется, то угловой коэффициент построенного графика должен равняться \(k_{theor}=1+2\gamma_{theor}=2\).

Диапазоны значений \(k_{exp}\) и \(k_{theor}\) не пересекаются, поэтому можно сделать вывод, что удельное сопротивление проволоки по мере растяжения меняется в большую сторону. При этом основываясь на коэффициентах \(k_{exp1}\) и \(k_{exp2}\) можно утверждать, что скорость роста удельного сопротивления возрастает с величиной пластической деформации. Такую связь измеренных величин можно объяснить тем, что сопротивление материала в частности определяется концентрацией дефектов в кристаллической решетке. По мере пластического деформирования количество дефектов увеличивается, а вместе с тем увеличивается и удельное сопротивление. Рассчитаем значения удельного сопротивления проволоки в деформированном до \(30 \%\) относительного удлинения состоянии.

\[\rho_{30}=\dfrac{r \pi d_{30}^2}{4l_{30}}= \pi \dfrac{(6,58 \ \text{Ом})\cdot (0.311 \pm 0.009\  \text{мм})^2}{4\cdot (65 \ \text{см})}=(7.7\pm0.20)\cdot10^{-7} \ \text{Ом}\cdot\text{м},\]где \(l_{30} = 65~ см\) – длина исследуемого участка при относительной продольной деформации 30%, а \(d_{30} = d_0\left({l_{30}}/{l_0}\right)^{-\gamma_{theor}} = 311 \pm 9 ~ мкм\) – диаметр исследуемого участка при относительной продольной деформации \(30\%\), рассчитанный из предположения о постоянстве объема.

Оценим процентный рост удельного сопротивления:

Ответ:

\[\dfrac{\rho_{30}-\rho_0}{\rho_0} \approx 8.5 \%. \qquad(17)\tag{17}\]

B1. Исследуем, как изменяются упругие свойства проволоки при ее растяжении. Для этого соберем установку, изображенную на рис. 3. Закрепим проволоку с помощью струбцин на столе в натянутом состоянии. Измерим расстояние между зажатыми концами проволоки \(L=90.0\pm0.2~ см\). К середине проволоки привяжем нитку, на которой сделаем крепление для крючка динамометра. Измерим расстояние \(x\), на которое сместился центр проволоки от начального недеформированного положения. Будем измерять зависимость показаний динамометра \(F\) от смещения центра проволоки \(x\), измеряемого при помощи бумажной линейки, приклеенной к столу.

Рис. 3. Схема измерения упругих свойств проволоки

Точка прикрепления нити к проволоке находится в равновесии под действием трех сил: силы натяжения нити, равной показаниям динамометра, а также двух сил упругости \(F_{упр}\), возникающих в проволоке. Тогда, в силу малости углов наклона к горизонту сил натяжения, условие равенства суммы проекций этих сил на вертикальную ось нулю можно записать как: \[2F_{упр}\frac{2x}{L}=F, \qquad(18)\tag{18}\] Тогда: \[F_{упр}=\frac{FL}{4x}. \qquad(19)\tag{19}\] Запишем длину проволоки в состоянии когда ее узелок смещен на расстояние \(x\), воспользовавшись при этом формулами приближенного исчисления. \[l=2\sqrt{(L/2)^2+x^2}\approx L+\frac{2x^2}{L}. \qquad(20)\tag{20}\] Видно, что увеличение длины проволоки меньше длины \(x\) по порядку величины в \({L}/{x}\) раз, что и дает возможность косвенного измерения величины удлинения, через измеряемую напрямую величину \(x\). Рассчитаем относительное удлинение проволоки. \[\varepsilon=\frac{(L+\frac{2x^2}{L})-L}{L}\approx\frac{2x^2}{L^2}. \qquad(21)\tag{21}\] Построим график зависимости \(F\) от \(\varepsilon\). Так как точность измерения координаты \(x\) низкая (\(\sigma_x=0.5~ мм\)), рассчитаем погрешности точек графика. \[\Delta {F_{упр}}= F_{упр}\left(\dfrac{\Delta x}{x}+\dfrac{\Delta F}{F}\right) ,\qquad \Delta \varepsilon=\dfrac{2x^2}{L^2}\cdot\dfrac{2\Delta x}{x} \qquad(22)\tag{22}\]

B2. Проведем описанные измерения и занесем результаты в таблицу.

Ответ:

B3. Построим требуемый график.

Ответ:

График зависимости механического напряжения от относительного продольного удлинения для предварительно недеформированной пластически проволоки.

B4. На графике можно обнаружить несколько областей. При нагрузке проволока сначала деформируется упруго. Начиная со значения механического напряжения \(\tau\approx250~ МПа\) проволока начинает менять свою длину пластически. Вслед за нагрузкой в опыте проводилась разгрузка. На этом участке, график также как и при упругой нагрузке можно описать линейной функцией. Ее угловой коэффициент определяет модуль Юнга проволоки:

Ответ:

\[E = (180\pm20)~ {ГПа}\]

B5. Проведем аналогичные измерения предварительно растянутой до относительного удлинения в \(30 \%\) проволоки. Для расчетов механического напряжения в проволоке будем использовать значение диаметра проволоки \(d_{30}\), рассчитанное ранее. Начало пластической деформации в этом случае достоверно зафиксировать затруднительно. Это означает, что механическое напряжение, требуемое для начала пластической деформации превышаем предел измерений в данном опыте. То есть можно утверждать, что предел текучести \(\tau'\) для предварительно растянутой пластически проволоки больше, чем для нерастянутой. В этом случае говорят о деформационном упрочнении.

Ответ:

Построим требуемый график.

Ответ:

График зависимости механического напряжения от относительного продольного удлинения для предварительно деформированной до \(30\%\) относительной пластической деформации проволоки.

Рассчитаем угловой коэффициент последнего графика:

Ответ:

\[E' = (160 \pm 20) ~ГПа\]

B6. Ответ:

С учетом точности измерений, невозможно достоверно зафиксировать изменение модуля Юнга при пластическом деформировании.

Источник: pho.rs/p/3262.