IEPhO 2022, 8 класс

Ответ

A1: \[N_1=Cm_1k_1=(8.85\pm0.07) \ \text{Вт}\qquad(1)\];  A2: \[N=Cm_2k_2=(10.40\pm0.15) \ \text{Вт}\qquad(2)\]

Решение

A1. Нальем воду массой \(m_1=135.0\pm0.1~ г\) в банку и закроем банку крышкой. Вставим в отверстие в крышке термометр. Включим секундомер и питание лампы. Совершая круговые движения баночкой по поверхности стола в течение всего эксперимента будем перемешивать воду в банке. Измерим таким образом зависимость температуры воды внутри банки от времени. Запишем данные в таблицу и построим график соответствующей зависимости.

Ответ:

Ответ:

График зависимости температуры в банке от времени (лампочка без изоляции)

Видно, что со временем график меняет свой угловой коэффициент, это связано с увеличением тепловых потерь в окружающую среду. Проведем касательную к графику на его начальном участке. Первые две-три измеренных точки могут не попасть на аппроксимирующую прямую из-за того, что тепловой обмен между водой и термометром происходит не мгновенно. Определим угловой коэффициент касательной \(k_1\):\[k_1=(0.94\pm0.01) ~^\circ \text{C}/\text{мин}.\]Мощность получаемую от лампы водой рассчитаем как

Ответ:

\[N_1=Cm_1k_1=(8.85\pm0.07) \ \text{Вт}\qquad(1)\]

A2. Откроем банку. Выльем из нее воду и нальем новую порцию воды комнатной температуры массой \(m=135.0\pm0.1~г\). Вынем лампу из цоколя и обмотаем ее изолентой в четыре слоя. Вставим лампу обратно в цоколь и проведем аналогичный эксперимент. В ходе эксперимента будем следить за тем, чтобы изолента на лампе сохраняла свою целостность и не перегорала от перегрева. В рассматриваемом процессе всё электромагнитное излучение лампы будет поглощаться изолентой, которая в свою очередь посредством теплопроводности будет передавать полученную энергию воде. В случае отсутствия теплопотерь (то есть, в случае близких температур воды и окружающей среды) вся энергия, переданная от лампы воде через изоленту, будет идти на нагрев.

Вновь внесем полученные измерения в таблицу и построим соответствующий график.

График зависимости температуры в банке от времени (лампочка в изоляции).

Определим угловой коэффициент графика на начальном участке:\[k_2=(1.16\pm0.02) ~^\circ \mathrm C/\text{мин}.\]Рассчитаем полную мощность выделяемую лампой

Ответ:

\[N=Cm_2k_2=(10.40\pm0.15) \ \text{Вт}\qquad(2)\]

A3. Тогда для отношения мощности пропускаемой водой к полной мощности лампы в первом эксперименте имеем

Ответ:

\[\alpha = \frac{N_{out}}{N} =\frac{N-N_1}{N} = (14.8\pm2.3)\qquad(3)\]

Источник: pho.rs/p/3243.

Ответ

A3: Видно, что зависимость описывается линейной функцией с угловым коэффициентом \(k=13.5 \ ^\circ/Н^2\). Смещение зависимости \(b=4.3^\circ\) определяет угол поворота нижнего витка пружины под действием силы тяжести линеек и зажима.

Решение

A1. Измерим угол поворота нижнего витка пружины \(\phi_0\), возникающий при ее растяжении грузами. Для этого соберем конструкцию, описанную в условии. Закрепим пружину так, чтобы при растяжении ее максимальным количеством грузов, грузы не касались поверхности стола. Положим на поверхность стола листок бумаги и закрепим его пластилином так, чтобы центр листа оказался приблизительно под центром пружины. Будем проецировать положение линейки на стол с помощью бруска, устанавливая его на столе так, чтобы ребро бруска едва касалось линейки (см рис. 1). Точку соприкосновения этого ребра с листом бумаги будем отмечать на листе. Спроецировав так две точки линейки, отметим линию проекции линейки на поверхность стола.

Рис. 1. Установка для изучения кручения пружины

Проведем аналогичные измерения при подвешивании грузов на линейку. Измерим транспортиром углы поворота проекций линейки относительно исходного положения. Занесем данные в таблицу и построим график зависимости.

Ответ:

A2. Ответ:

График зависимости угла поворота пружины в зависимости от количества подвешенных грузов

Видно, что зависимость не описывается прямой пропорциональностью и более похожа на параболическую. Можно предположить, что зависимость угла поворота нижнего витка пружины от приложенной к пружине силы является квадратичной. Угол поворота нижнего конца пружины при подвешивании лишь линеек с зажимом достоверно измерить практически невозможно. Однако можно измерить массы грузов \(m_{г}=50.0~ г\) и массу линеек с зажимом \(m_{л}=57.0~ г\). Построим график зависимости \(\varphi_0\) от квадрата суммарной силы, растягивающей пружину \(F=(m_{л}+nm_{г})g\).

Ответ:

График зависимости угла поворота нижнего витка пружины в зависимости от квадрата растягивающей силы

A3. Ответ:

Видно, что зависимость описывается линейной функцией с угловым коэффициентом \(k=13.5 \ ^\circ/Н^2\). Смещение зависимости \(b=4.3^\circ\) определяет угол поворота нижнего витка пружины под действием силы тяжести линеек и зажима.

A4. Соберем установку для измерения возвращающего момента сил при кручении пружины (см. рис. 2). Для этого установим на краю стола струбцину, к которой с помощью пластилина закрепим весы в вертикальном положении. Установим штатив с линейкой так, чтобы поверхность линейки едва касалась поверхности весов и была параллельна ей. К поверхности весов прикрепим небольшой кусочек пластилина для обеспечения точечного контакта линейки и весов. При этом линейка вместе связанная с нижним витком пружины будет удерживаться в исходном положении за счет действия момента силы реакции опоры между весами и линейкой.

Рис. 2. Установка для изучения кручения пружины (вид сверху)

Измерим показания весов и повернем цилиндр с пружиной на \(90^\circ\). Проделаем данную процедуру несколько раз, измерим таким образом зависимость показаний весов \(m\) от угла поворота крепления пружины. Подвесим к пружине грузики и повторим опыт. Легко обнаружить, что зависимости практически идентичны. Рассчитаем возвращающий момент сил \(M\), как произведение показаний весов, ускорения свободного падения, расстояния \(l=25~ см\) между серединами линеек и точкой соприкосновения с весами и ускорения свободного падения. \[M=m \cdot lg\qquad(1) \tag{1}\]

Ответ:

A5. Построим график одной из зависимостей.

Ответ:

График зависимости возвращающего момента от угла кручения пружины

Видно, что график хорошо описывается прямой пропорциональностью с угловым коэффициентом:

Ответ:

\[k_2=10.5 \cdot 10^{-3} \ \text{мН}\cdot \text{м}/^\circ\]

Источник: pho.rs/p/3245.

Решение

A1. Соберем установку, изображенную на рисунке 1. Для этого прикрепим к краю мерного стакана канцелярские клипсы, к основаниям которых подсоединим магниты. В одну из дужек канцелярской клипсы проденем конец выходной трубки компрессора. Наберем в стакан воду и в перевернутом состоянии опустим на дно контейнера с водой. Для того, чтобы стакан держался в таком положении без помощи рук, поставим контейнер на основание штатива. В этом случае магниты будут удерживать стакан.

Ответ:

Рис. 1. Схема установки для измерения объема воздуха.\

A2. Подключим компрессор к питанию и одновременно запустим секундомер. Пузырьки воздуха начнут поступать из трубки в стакан, вытесняя из него воду. Дождемся того момента, когда воздух вытеснит из стакана \(V = 250~\text{мл}\) воды, и выключим секундомер. Запишем измеренное секундомером время \(t\) в таблицу. Рассчитаем производительность компрессора. Осветим поршень компрессора светом стробоскопа и найдем те частоты, при которых поршень в свете стробоскопа кажется застывшим в одном положении. Выберем из всех таких частот наибольшую. Запишем полученное значение частоты в таблицу. Заметим, что частота работы двигателя компрессора может немного изменяться во время измерений, поэтому может оказаться невозможным полностью остановить видимое положение поршня в свете стробоскопа, тогда выберем частоту вспышек такую, при которой поршень движется с наименьшей скоростью.

Ответ:

A3. Ответ:

График зависимости производительности компрессора от частоты вращения вала его двигателя

A4. Видно, что полученная зависимость является прямой пропорциональностью с угловым коэффициентом

\[v=0.52 ~\text{мл}.\]

Ответ:

Отношение производительности компрессора к частоте вращения двигателя имеет смысл объема воздуха, перекачиваемого компрессором в ходе одного цикла вращения двигателя. Тот факт, что зависимость является прямой пропорциональностью говорит о, независимости данного объема от частоты вращения двигателя.

Источник: pho.rs/p/3247.

Решение

A1. Для изменения температуры цилиндра нальем в него горячую воду. Вода будет отдавать свое тепло окружающей среде через стенки цилиндра. Так как через стенки проходит тепло, то внутренняя и внешняя поверхность стенки имеют разную температуру. При этом допущение о том, что температура внешней поверхности стенки равна температуре воздуха в комнате строго говоря не верно, так как воздух обладает не столь малым тепловым сопротивлением. Для обеспечения малой разности температуры внешней и внутренней поверхностей стенок цилиндра обернем его утеплителем в два слоя. Утеплитель снаружи закрепим малярным скотчем. В этом случае тепловой поток через стенки цилиндра уменьшится, вследствие чего и разность температур поверхностей стенок станет намного меньше. Последнее можно проверить, измерив температуру снаружи стенки и внутри цилиндра непосредственно.

Для измерения температуры воды установим в цилиндр термометр. Чтобы он не утонул в воде, просунем его через канцелярский зажим (зажим не помещается в цилиндре).

Для увеличения точности измерений необходимо выбрать для исследования наибольший размер цилиндра, то есть длину его образующей. Измерение изменения этого размера будем проводить с помощью микрометра. Для этого с помощью струбцины прикрепим к подставке цилиндра деревянную рейку. С помощью второй струбцины прикрепим к деревянной рейке микрометр так, чтобы нижний торец его барабана при повороте мог касаться верхнего торца цилиндра (рис. 1).

Рис. 1. Экспериментальная установка

Обратим внимание, что перед работой с микрометра была удалена трещотка. По мере остывания цилиндра между барабаном микрометра и верхним торцом цилиндра будет увеличиваться зазор. Наличие либо отсутствие зазора можно обнаружить даже визуально, так как коэффициент теплового расширения материала цилиндра достаточно высок. Кроме того, факт, что барабан упирается в цилиндр можно определить на ощупь, аккуратно закручивая барабан.

Будем производить измерение смещения барабана микрометра, требуемого для того, чтобы он был прислонён к верхнему торцу цилиндра, в зависимости от температуры воды внутри цилиндра. Для обеспечения равномерности распределения температуры воду в цилиндре будем помешивать термометром.

Дождаться самостоятельного остывания цилиндра до температуры в \(30\,^\circ\mathrm C\) не позволяет ограничение времени эксперимента. Поэтому начиная с температур в \(50-60\,^\circ\mathrm C\) будем удалять часть горячей воды из цилиндра шприцем через трубку и заменять ее холодной водой. После добавления холодной воды размешаем воду в цилиндре и подождем несколько минут для установления теплового баланса между стенками цилиндра и водой в нем. Контроль времени установления теплового баланса опять же легко произвести по сравнению температуры воды в цилиндре и температуры у внешней стенки цилиндра.

Занесем данные о смещении барабана микрометра \(\Delta l\), необходимого для касания верхней точки цилиндра, в зависимости от температуры воды в цилиндре в таблицу. Так как материал цилиндра обладает достаточно низкой теплопроводностью, то изменять температуру будет только та часть цилиндра, которая непосредственно соприкасается с горячей водой. Будем считать, что это сам цилиндр за исключением собственной подставки.

Линейки в оборудовании нет. Для измерения длины цилиндра будем использовать шкалу микрометра и шкалу цилиндра. Определим длину нескольких делений шкалы цилиндра и вычислим длину всей шкалы. Но шкала нанесена не на весь цилиндр. Чтобы измерить участок без шкалы, отметим на длинном бруске длину этого участка, а затем, прислонив этот участок бруска к шкале, выразим его в единицах шкалы цилиндра. Общую длину цилиндра в единицах объёма выразим в единицах длины.

Максимальная длина, которую можно измерить с помощью имеющегося микрометра, составляет \(25~мм\). \(18~мл\) по шкале цилиндра соответствует \(25 \pm 1~ мм\) длины по шкале микрометра. Длина шкалы цилиндра: \(l_{{шк}}=(138.9 \pm 5.5)~ мм\). Длина цилиндра: \(l=(201 \pm 8)~ мм\). Рассчитаем величину относительного удлинения цилиндра \(\varepsilon\) для каждой температуры \(T\).

Ответ:

A2. Ответ:

График зависимости относительного уменьшения размера цилиндра от температуры воды в нем

Видно, что полученные экспериментальные точки не ложатся на прямую линию. Можно сделать вывод, что коэффициент теплового расширения материала цилиндра в указанном диапазоне температур не является постоянной величиной. Найдем модули угловых коэффициентов касательных к сглаживающей точки кривой, на краях исследуемого диапазона. Тогда для коэффициента теплового расширения имеем:

Ответ:

\[\alpha\in[1.6;2.4]\cdot10^{-4} ~^\circ\mathrm C^{-1}\]

Источник: pho.rs/p/3248.

Ответ

A2: \[\rho_{100}=0.807 \ \text{г/см}^3\]

Решение

A1. Привяжем к гайке леску. Второй конец лески закрепим на штативе. Гайку соединим с батарейкой магнитом. Поставим на весы пробирку, в которую предварительно нальем воду. Тарируем весы. Поставим пробирку так, чтобы в пробирку можно было полностью погрузить батарейку, при батарейка висела бы на леске и не касалась дна и стенок пробирки. Из за погружения батарейки в воду показания весов изменяются и становятся равными \(m_0=7.78~г\). Измеряемая весами масса будет равна произведению плотности жидкости, в которую опущена батарейка, и суммарного объема \(V_0\) погруженной в воду конструкции, включающей в себя батарейку, магнитик и гайку.

\[m_0=V_0 \rho_0 \tag{1}\]Достанем конструкцию из воды. Отцепим батарейку и промокнём салфетками магнит и гайку. Заново оттарируем весы, так как несколько капель воды останутся на извлечённой из пробирки батарейке. Погрузим привязанные к леске магнит и гайку (без батарейки) в воду, не касаясь стенок и дна. В этом случае весы покажут значение массы \(m_{доп}=0.32~ г\), соответствующее произведению плотности воды и объема магнита с гайкой. Тогда объем батарейки составит:

Ответ:

\[V_b=\frac{m_0-m_{доп}}{\rho_0} = 7.5~ \text{мл} \tag{2}\]

A2. Для измерения плотностей жидкости воспользуемся аналогичными измерениями. Так показания весов, при погружении батарейки (вместе с магнитом и гайкой) в жидкость, будут соответствовать произведению объема погруженного тела и плотности жидкости. Откуда легко можно рассчитать плотность жидкости, считая плотность воды известной:\[\rho=\rho_0\,{m}/{m_0}. \tag{3}\]При погружении батарейки в неизвестную жидкость, показания весов составили \(m_{100}=6.28~ г\). Откуда плотность неизвестной жидкости

Ответ:

\[\rho_{100}=0.807 \ \text{г/см}^3\]

A3. Для получения растворов неизвестной жидкости с разной массовой долей рассчитаем предварительные массы компонентов при фиксированной массе смеси в пробирке. Каждый раз будем помещать приблизительно требуемое количество жидкостей в пробирку и записывать их массы (\(m_{в}\)  и \(m_{ж}\)).

Удобной и быстрой представляется следующая методика измерения масс. На весы устанавливается пустая пробирка. Весы тарируются. С помощью шприца в пробирку помещается порция одной из смешиваемых жидкостей. Записываются показания весов (масса 1-й жидкости). После этого весы снова тарируются, и в пробирку помещается вторая жидкость. Фиксируются новые показания (масса 2-й жидкости). Рассчитаем в каждом случае массовую долю неизвестной жидкости:

\[\alpha=\frac{m_{ж}}{m_{ж}+m_{в}}. \tag{4}\]Закроем пробирку пробкой и тщательно взболтаем её для полного перемешивания компонентов смеси. Проведем гидростатическое взвешивание батарейки. Для этого после того после снятия крышки снова установим пробирку со смесью на весы. Оттарируем весы и погрузим в смесь батарейку. Запишем показания весов и рассчитаем плотность получившейся смеси.

Ответ:

A4. Если считать, что суммарный объем компонентов при смешивании остается постоянным, то теоретическое значение плотности может быть рассчитано так:\[\rho_{theor}=\left(\frac{\alpha}{\rho_{100}}+\frac{1-\alpha}{\rho_{0}}\right)^{-1} \tag{5}\]Тогда, если предположение верно, то измеренная зависимость должна быть линейной в координатах \(\rho^{-1}\) и \(\alpha\). Проверим это, построив соответствующий график.

Ответ:

График зависимости обратной плотности смеси от массовой доли неизвестной жидкости

A5. Видно, что точки не ложатся на прямую. Значит при смешивании воды с неизвестной жидкостью наблюдается контракция. Суммарный объем смеси может быть рассчитан так:\[V=\frac{m_{ж}+m_{г}}{\rho}. \tag{6}\]Суммарный же объем входящих в смесь компонентов до смешения составляет:

\[V_{theor}=\frac{m_{ж}+m_{г}}{\rho_{theor}}. \tag{7}\]Тогда для относительного уменьшения объема получаем:

Ответ:

\[\beta=1-\frac{V}{V_{theor}}=1-\frac{\rho_{theor}}{\rho} \tag{8}\]

A6. Если провести расчеты для каждого из растворов, то можно заметить, что наибольший эффект контракции наблюдается в диапазоне массовых долей раствора от \(40\) до \(60 \%\). Более точное определение массовой доли отвечающей самой высокой степени контракции жидкостей требует более скрупулезных и точных измерений.

Источник: pho.rs/p/3256.

Решение

A1. При нерастянутой пружине передвинем красную стрелку на крючке динамометра в положение, указывающее на ноль по шкале. Соберём установку в соответствии с описанием в задании. Проведем измерения зависимости дальности полета гайки от растяжения пружины. Растяжение пружины очень удобно измерять с помощью шкалы динамометра. Её длина \(x_0=9.5~см\). Для каждого растяжения пружины проведем несколько запусков и найдем среднее положение точки падения гайки. Один из применимых методов достижения высокой точности нахождения места падения гайки с использованием имеющихся средств состоит в том, чтобы использовать два кусочка малярного скотча в качестве маркеров, ограничивающих зону, в которую при одной и той же величине \(x\) падает гайка. С каждым последующим опытом положение меток корректируется. Далее с помощью рулетки измеряется координата середины образованного метками интервала на столе. Полуширина области падения \(\Delta l\) составляет приблизительно \(2~см\). Учтем также, что при разных начальных растяжениях изменяется начальная координата движения по горизонтальной оси. Для того, чтобы отметить координату начала движения по горизонтальной оси, удобно использовать линейку с бруском. Каждый раз мы будем её устанавливать точно в место старта. И с помощью рулетки измерять расстояние \(l\) от линейки до отметок места падения.

Ответ:

A2. Обобщив формулы, указанные в теоретической модели, получим что длина полета зависит от начальной деформации пружины прямо пропорционально.

Ответ:

\[l=vt=x\sqrt{\frac{k}{m}}\sqrt{\frac{2H}{g}} \tag{5}\]

A3. Для подсчета теоретического значения коэффициента необходимо вычислить коэффициент жесткости пружины динамометра. Последний легко рассчитать поделив предел динамометра \(F_0=1~Н\) на длину его шкалы \(x_0\). Тогда теоретическое значение углового коэффициента составит:

Ответ:

\[K_{theor}=\sqrt{\frac{2 F_0 H}{m x_0 g}}=13.1 \tag{6}\]

A4. Построим график измеренной зависимости.

Ответ:

График зависимости дальности полета гайки от начального растяжения пружины динамометра

A5. Видно, что точки, соответствующие растяжениям более \(2-3~см\) хорошо описываются прямой пропорциональностью. При меньших длинах растяжения на движение гайки во время полета начинает влиять натяжение нити в силу ограниченности ее длины. Это особенно заметно, если отпустить гайку из положения, когда нить в начальном положении не провисает, но стрелка динамометра находится в нулевом положении.

A6. Рассчитаем угловой коэффициент той части графика, которая описывается прямой пропорциональностью:

Ответ:

\[K_{exp}=8.2.\] Расхождение в полученных коэффициента проще всего объяснить тем, что не вся энергия пружины передается гайке во время запуска. Например, часть энергии передается пружине и крючку, которые также движутся во время сжатия пружины.

Кроме того, имеет место сухое трение крючка о направляющую проушину на динамометре.

Источник: pho.rs/p/3257.