IEPhO 2022, 9 класс

Ответ

A1: \[N_1=Cm_1k_1=(8.85\pm0.07) \ \text{Вт}\qquad(1)\];  A2: \[N=Cm_2k_2=(10.40\pm0.15) \ \text{Вт}\qquad(2)\]

Решение

A1. Нальем воду массой \(m_1=135.0\pm0.1~ г\) в банку и закроем банку крышкой. Вставим в отверстие в крышке термометр. Включим секундомер и питание лампы. Совершая круговые движения баночкой по поверхности стола в течение всего эксперимента будем перемешивать воду в банке. Измерим таким образом зависимость температуры воды внутри банки от времени. Запишем данные в таблицу и построим график соответствующей зависимости.

Ответ:

Ответ:

График зависимости температуры в банке от времени (лампочка без изоляции)

Видно, что со временем график меняет свой угловой коэффициент, это связано с увеличением тепловых потерь в окружающую среду. Проведем касательную к графику на его начальном участке. Первые две-три измеренных точки могут не попасть на аппроксимирующую прямую из-за того, что тепловой обмен между водой и термометром происходит не мгновенно. Определим угловой коэффициент касательной \(k_1\):\[k_1=(0.94\pm0.01) ~^\circ \text{C}/\text{мин}.\]Мощность получаемую от лампы водой рассчитаем как

Ответ:

\[N_1=Cm_1k_1=(8.85\pm0.07) \ \text{Вт}\qquad(1)\]

A2. Откроем банку. Выльем из нее воду и нальем новую порцию воды комнатной температуры массой \(m=135.0\pm0.1~г\). Вынем лампу из цоколя и обмотаем ее изолентой в четыре слоя. Вставим лампу обратно в цоколь и проведем аналогичный эксперимент. В ходе эксперимента будем следить за тем, чтобы изолента на лампе сохраняла свою целостность и не перегорала от перегрева. В рассматриваемом процессе всё электромагнитное излучение лампы будет поглощаться изолентой, которая в свою очередь посредством теплопроводности будет передавать полученную энергию воде. В случае отсутствия теплопотерь (то есть, в случае близких температур воды и окружающей среды) вся энергия, переданная от лампы воде через изоленту, будет идти на нагрев.

Вновь внесем полученные измерения в таблицу и построим соответствующий график.

График зависимости температуры в банке от времени (лампочка в изоляции).

Определим угловой коэффициент графика на начальном участке:\[k_2=(1.16\pm0.02) ~^\circ \mathrm C/\text{мин}.\]Рассчитаем полную мощность выделяемую лампой

Ответ:

\[N=Cm_2k_2=(10.40\pm0.15) \ \text{Вт}\qquad(2)\]

A3. Тогда для отношения мощности пропускаемой водой к полной мощности лампы в первом эксперименте имеем

Ответ:

\[\alpha = \frac{N_{out}}{N} =\frac{N-N_1}{N} = (14.8\pm2.3)\qquad(3)\]

Источник: pho.rs/p/3243.

Ответ

A3: Видно, что зависимость описывается линейной функцией с угловым коэффициентом \(k=13.5 \ ^\circ/Н^2\). Смещение зависимости \(b=4.3^\circ\) определяет угол поворота нижнего витка пружины под действием силы тяжести линеек и зажима.

Решение

A1. Измерим угол поворота нижнего витка пружины \(\phi_0\), возникающий при ее растяжении грузами. Для этого соберем конструкцию, описанную в условии. Закрепим пружину так, чтобы при растяжении ее максимальным количеством грузов, грузы не касались поверхности стола. Положим на поверхность стола листок бумаги и закрепим его пластилином так, чтобы центр листа оказался приблизительно под центром пружины. Будем проецировать положение линейки на стол с помощью бруска, устанавливая его на столе так, чтобы ребро бруска едва касалось линейки (см рис. 1). Точку соприкосновения этого ребра с листом бумаги будем отмечать на листе. Спроецировав так две точки линейки, отметим линию проекции линейки на поверхность стола.

Рис. 1. Установка для изучения кручения пружины

Проведем аналогичные измерения при подвешивании грузов на линейку. Измерим транспортиром углы поворота проекций линейки относительно исходного положения. Занесем данные в таблицу и построим график зависимости.

Ответ:

A2. Ответ:

График зависимости угла поворота пружины в зависимости от количества подвешенных грузов

Видно, что зависимость не описывается прямой пропорциональностью и более похожа на параболическую. Можно предположить, что зависимость угла поворота нижнего витка пружины от приложенной к пружине силы является квадратичной. Угол поворота нижнего конца пружины при подвешивании лишь линеек с зажимом достоверно измерить практически невозможно. Однако можно измерить массы грузов \(m_{г}=50.0~ г\) и массу линеек с зажимом \(m_{л}=57.0~ г\). Построим график зависимости \(\varphi_0\) от квадрата суммарной силы, растягивающей пружину \(F=(m_{л}+nm_{г})g\).

Ответ:

График зависимости угла поворота нижнего витка пружины в зависимости от квадрата растягивающей силы

A3. Ответ:

Видно, что зависимость описывается линейной функцией с угловым коэффициентом \(k=13.5 \ ^\circ/Н^2\). Смещение зависимости \(b=4.3^\circ\) определяет угол поворота нижнего витка пружины под действием силы тяжести линеек и зажима.

A4. Соберем установку для измерения возвращающего момента сил при кручении пружины (см. рис. 2). Для этого установим на краю стола струбцину, к которой с помощью пластилина закрепим весы в вертикальном положении. Установим штатив с линейкой так, чтобы поверхность линейки едва касалась поверхности весов и была параллельна ей. К поверхности весов прикрепим небольшой кусочек пластилина для обеспечения точечного контакта линейки и весов. При этом линейка вместе связанная с нижним витком пружины будет удерживаться в исходном положении за счет действия момента силы реакции опоры между весами и линейкой.

Рис. 2. Установка для изучения кручения пружины (вид сверху)

Измерим показания весов и повернем цилиндр с пружиной на \(90^\circ\). Проделаем данную процедуру несколько раз, измерим таким образом зависимость показаний весов \(m\) от угла поворота крепления пружины. Подвесим к пружине грузики и повторим опыт. Легко обнаружить, что зависимости практически идентичны. Рассчитаем возвращающий момент сил \(M\), как произведение показаний весов, ускорения свободного падения, расстояния \(l=25~ см\) между серединами линеек и точкой соприкосновения с весами и ускорения свободного падения. \[M=m \cdot lg\qquad(1) \tag{1}\]

Ответ:

A5. Построим график одной из зависимостей.

Ответ:

График зависимости возвращающего момента от угла кручения пружины

Видно, что график хорошо описывается прямой пропорциональностью с угловым коэффициентом:

Ответ:

\[k_2=10.5 \cdot 10^{-3} \ \text{мН}\cdot \text{м}/^\circ\]

Источник: pho.rs/p/3245.

Решение

A1. Соберем установку, изображенную на рисунке 1. Для этого прикрепим к краю мерного стакана канцелярские клипсы, к основаниям которых подсоединим магниты. В одну из дужек канцелярской клипсы проденем конец выходной трубки компрессора. Наберем в стакан воду и в перевернутом состоянии опустим на дно контейнера с водой. Для того, чтобы стакан держался в таком положении без помощи рук, поставим контейнер на основание штатива. В этом случае магниты будут удерживать стакан.

Ответ:

Рис. 1. Схема установки для измерения объема воздуха.\

A2. Подключим компрессор к питанию и одновременно запустим секундомер. Пузырьки воздуха начнут поступать из трубки в стакан, вытесняя из него воду. Дождемся того момента, когда воздух вытеснит из стакана \(V = 250~\text{мл}\) воды, и выключим секундомер. Запишем измеренное секундомером время \(t\) в таблицу. Рассчитаем производительность компрессора. Осветим поршень компрессора светом стробоскопа и найдем те частоты, при которых поршень в свете стробоскопа кажется застывшим в одном положении. Выберем из всех таких частот наибольшую. Запишем полученное значение частоты в таблицу. Заметим, что частота работы двигателя компрессора может немного изменяться во время измерений, поэтому может оказаться невозможным полностью остановить видимое положение поршня в свете стробоскопа, тогда выберем частоту вспышек такую, при которой поршень движется с наименьшей скоростью.

Ответ:

A3. Ответ:

График зависимости производительности компрессора от частоты вращения вала его двигателя

A4. Видно, что полученная зависимость является прямой пропорциональностью с угловым коэффициентом

\[v=0.52 ~\text{мл}.\]

Ответ:

Отношение производительности компрессора к частоте вращения двигателя имеет смысл объема воздуха, перекачиваемого компрессором в ходе одного цикла вращения двигателя. Тот факт, что зависимость является прямой пропорциональностью говорит о, независимости данного объема от частоты вращения двигателя.

Источник: pho.rs/p/3247.

Решение

A1.

Рис. 1. Установка по измерению массы

Определить толщину фольги прямым измерением линейкой не представляется возможным. Поэтому для начала определим площадь поперечного сечения. Площадь поперечного сечения фольги также не может быть определена лишь геометрическими измерениями. Для ее определения измерим массу кусочка фольги и разделим ее на плотность фольги и длину кусочка. Масса измеряется на весах с крайне низкой точностью. С помощью линейки, штатива и батарейки соберем рычаг (рис. 1). Обнулим показания весов и положим на край рычага кусочек фольги. Тогда значение силы \(P\), действующей перпендикулярно площадке весов, в соответствии с уравнением моментов, будет связаны с массой фольги \(m\) как:

\[P = mg \frac{x_1+x_2}{x_2}. \tag{1}\]

Полученные экспериментальные точки можно описать линейной зависимостью с хорошей точностью. Итоговое значение массы составляет \(m=0.055 \pm 0.002 ~ г\).

Длина кусочка фольги \(L = 120\pm 1 ~ мм\) может быть напрямую измерена линейкой с достаточной точностью. Тогда площадь поперечного сечения фольги составит: \[S=\frac{m}{L\rho} = 0.169 \pm 0.007~мм^2. \tag{2}\]Измерим среднее значение ширины фольги по всей ее длине \(b=(20\pm1) ~мм\). Тогда толщина фольги составит:

Ответ:

\[h=\frac{S}{b} = 8.5 \pm 0.8~мкм \tag{3}\]

A2.

Рис. 2. Установка по измерению сопротивления

Сопротивление участка фольги мало и не может быть определено прямым измерением с помощью омметра. Для измерения сопротивления участка фольги воспользуемся четерёхточечным методом измерения. Суть этого метода заключается в том, что ток и напряжение на определенном участке цепи измеряются отдельными приборами (см. рис. 2). Так, если измеряемое сопротивление много меньше сопротивления вольтметра, то можно считать, что ток, текущий через амперметр, равен току, текущему через изучаемый элемент.

Вольтметр в таком способе измерения подключается непосредственно к измеряемому элементу. Стоит отметить, что сопротивление участка фольги настолько мало, что с ним сравнимо сопротивление контактного перехода между соединительным проводом и фольгой. Сопротивление самих проводов и внутреннее сопротивление батарейки много больше, чем сопротивление фольги.

Поэтому щупы вольтметра необходимо прикладывать непосредственно к концам участка фольги, сопротивление которого будет измеряться. Также стоит отметить, что распределение электрического поля неоднородно по ширине фольги в непосредственной близости от ее контактов, поэтому измерения необходимо проводить в области несколько удаленной от контактов.

Проведем серию измерений, сопротивление для каждого расстояния между щупами \(x\) будем рассчитывать как отношения показаний вольтметра \(U\) к показаниям амперметра \(I\).

\[R=\frac{U}{I}. \tag{4}\]

Построим график зависимости \(R(x)\).

Видно, что зависимость хорошо описывается прямой пропорциональностью. Угловой коэффициент зависимости имеет физический смысл сопротивления единицы длины участка фольги и равен \[r=0.175 \pm 0.002 ~ {Ом}/{м}.\] В соответствии с формулой \((1)\) получаем связь между \(r\) и удельным сопротивлением материала фольги: \[r = \frac{A}{S}. \tag{5}\]Тогда окончательно для удельного сопротивления получаем:

Ответ:

\[A = rS = (3.0 \pm 0.2) \cdot 10^{-8} ~ Ом \cdot м \tag{6}\]

Табличное значение сопротивления составляет \(2.8 \cdot 10^{-8} ~ Ом \cdot м\).

Источник: pho.rs/p/3253.

Ответ

A1: \[m_{в}=151~ г\] \[T_{в} = 18.8\, ^\circ \mathrm C\];  A2: \[T_{с} = 70\,^\circ\mathrm C\];  A4: \[m_\text{c}=242.5~г\];  A5: \[T_{\max}=29.6\,^\circ\mathrm C\]

Решение

A1. Измерим массу воды в кружке:

Ответ:

\[m_{в}=151~ г\]

Измерим комнатную температуру, убедившись, что она совпадает с температурой воды:

Ответ:

\[T_{в} = 18.8\, ^\circ \mathrm C\]

A2. Начальная температура стекла перед погружением в кружку с водой комнатной температуры:

Ответ:

\[T_{с} = 70\,^\circ\mathrm C\]

A3. Поместим стекло в сосуд с водой комнатной температуры, закроем крышкой и вставим термометр. Проведем измерения температуры воды в кружке от времени, перемешивая воду термометром. Занесем данные в таблицу.

Ответ:

A4. Ответ:

\[m_\text{c}=242.5~г\]

A5. Построим график исследованной зависимости температуры внутри стакана от времени.

Ответ:

График зависимости температуры внутри стакана от времени

Видно, что через время \(t_{\max}=7.5~ мин\) температура в воды в кружке достигает максимума:

Ответ:

\[T_{\max}=29.6\,^\circ\mathrm C\]

Рассчитаем на основе этих данных удельную теплоемкость стекла без учета тепловых потерь. Считая, что к моменту достижения водой максимальной температуры установилось тепловое равновесие, а обмена теплом с окружающей средой не происходило запишем уравнение теплового баланса:\[C_{в} m_{в} (T_{\max}-T_{в}) + C_{к} m_{к} (T_{\max}-T_{в}) =C'_{с} m_{с} (T_{с}-T_{\max}), \tag{1}\]где \(C_\text{в}=4200 \ \text{Дж}/(\text{кг}\cdot\,^\circ\mathrm C)\) – удельная теплоемкость воды, \(C_\text{к}=470 \ \text{Дж}/(\text{кг}\cdot\,^\circ\mathrm C)\) – удельная теплоемкость кружки. Массу кружки измерим на весах предварительно вылив из нее воду в пластиковый стакан: \(m_\text{к} = 60~ г\), массой утеплителя на дне можно пренебречь по сравнению с массой кружки.

Тогда с учетом массы стекла \(m_\text{c}=242.5~г\) получаем для удельной теплоемкости стекла:

Ответ:

\[C'_{с} = \frac{ (T_{\max}-T_{в})\dot (C_{в}m_{в} + C_{к}m_{к})}{m_{с} (T_{с}-T_{\max})} = 730 \ \text{Дж}/(\text{кг}\cdot\,^\circ\mathrm C) \tag{2}\]

A6. Так как время установления максимальной температуры достаточно существенно, то для более точной оценки удельной теплоемкости стекла необходимо учесть теплопотери. Максимальная температура в кружке сохраняется в течение некоторого времени, вследствие того, что стекло отдает тепла воде примерно столько же, сколько вода отдает окружающей среде. При этом температура стекла все еще выше температуры воды. В дальнейшем температура стекла становится ближе к температуре воды, стекло отдает тепла меньше, а теплопотери в окружающую среду сохраняются. Вследствие этого вода остывает. Через достаточно большое время, после достижения максимальной температуры, можно предположить, что температура стекла практически сравнивается с температурой воды в стакане. Тогда скорость остывания воды (и стекла) связана лишь с мощностью тепловых потерь. Видно, что начиная с приблизительно \(10\) минуты, график можно описать линейной функцией. Рассчитаем его угловой коэффициент на участке с \(10\) до \(30\) минуты, он составляет \(k= - 0.0016~^\circ \mathrm C/\text{с}\). Будем считать, что для мощности тепловых потерь выполняется закон Ньютона–Рихмана. Тогда коэффициент тепловых потерь связан с угловым коэффициентом следующим выражением:\[\alpha=\frac{(C_{в}m_{в}+C_{с}m_{с}+ C_{к}m_{к})k}{(T_1-T_{в})}, \tag{3}\]где \(T_1=28.4\,^\circ\mathrm C\) – средняя температура на линейном участке.

В течение времени проведения эксперимента между измерениями экспериментальных точек с временами \(t_i\) и \(t_{i+1}\) содержимое стакана теряет энергию:\[\Delta Q_i = \alpha \left(\frac{T_i+T_{i+1}}{2}-T_{в}\right)(t_{i+1}-t_i) \tag{4}\]Тогда за время \(t\) полное количество энергии, которое потеряет система, можно рассчитать как сумму потерь энергии на каждом из этапов.\[Q(t) = \sum \Delta Q_i =\alpha \sum \left(\frac{T_i+T_{i+1}}{2}-T_{в}\right)(t_{i+1}-t_i)= \alpha S(t) \tag{5}\]Величину, находящуюся под знаком суммы обозначим величиной \(S(t)\), смысл которой — площадь между линией графика до момента времени \(t\) и горизонтальной линией, соответствующей температуре \(T_{в}\). Запишем тогда уравнение теплового баланса для системы, предполагая, что при некоторой температуре \(T\), температура стекла совпадает с температурой воды.\[Q =\alpha S(t)=(C_{с} m_{с} + C_{к} m_{к}) (T-T_{с})-C_{в} m_{в} (T-T_{в}). \tag{6}\]Тогда с учетом подстановки \(\alpha\) и перестановки слагаемых получаем\[(C_{в} m_{в}+C_{к} m_{к}) \left(T+\frac{kS(t)}{T_1-T_{в}}-T_{в}\right)=C_{с} m_{с} \left(T_{с}-T-\frac{kS(t)}{T_1-T_{в}}\right). \tag{7}\]Для качественного объяснения полученного результата можно ввести величину\[\Delta T (t) =\frac{kS(t)}{T_1-T_{в}}. \tag{8}\]Можно сказать, что эта величина является поправкой к температуре воды в кружке, возникающей из-за тепловых потерь. Последнее полностью верно лишь в случае одинаковой температуры воды и стекла в кружке. На этапах до выравнивания температуры стекла и воды, следует говорить о поправке к средневзвешенной температуре содержимого в кружке.

Для определения установившейся температуры с учетом поправки по температуре рассчитаем в каждой точке сумму температуры воды в стакане и поправки \(\Delta T\). Построим график этой величины от времени. Видно, что начиная с приблизительно \(18\) минуты график выходит на постоянную величину \(T_{у}=30.5~^\circ \mathrm C\). Именно эту температуру будем считать той, которая бы установилась в стакане в отсутствии потерь. Эту же температуру можно найти не перестраивая график, а усреднив несколько значений температур с поправкой \(T + \Delta T\) на конечном участке графика.

Тогда удельная теплоемкость стекла составит:

Ответ:

\[C_{с} = \frac{(C_{в}m_{в} + C_{к}m_{к}) (T_{у}-T_{в})}{m_{с} (T_{с}-T_{у})} = 809 \ \text{Дж}/(\text{кг}\cdot\,^\circ\mathrm C). \tag{9}\]

Источник: pho.rs/p/3258.

Решение

A1. Соберем из шайбы, предметного стекла и вазелина конструкцию, описанную в условии. Объем водяной линзы крайне мал. Для его измерения будем считать количество капель, упавших в центр шайбы с конца иглы шприца. Предварительно определим объем одной капли. Будем выдавливать капли из шприца поршнем и измерять зависимость количества упавших капель от положения поршня. Построим соответствующий график и определим его угловой коэффициент, который и будет являться объемом одной капли.

График зависимости объема воды внутри шприца от количества упавших с конца иглы капель

Рассчитав угловой коэффициент графика, получаем для одной капли:

\[V_1=6.0 \text{мкл}.\]Для измерения фокусного расстояния соберем установку, изображенную на рисунке 3. Будем использовать короткую линейку в качестве экрана, стараясь при измерениях не задевать брусок, чтобы поверхность воды в водяной линзе не волновалась. Расстояние между фонариком и линзой \(b\) сделаем как можно большим для того, чтобы изображения светодиода фонарика было как можно меньшего размера для остроты фокусировки.

Измерим зависимость расстояний между изображениями и линзой \(a\) от количества капель, упавших в центр шайбы, \(N\) при неизменном расстоянии между фонариком и экраном \(b=862~мм\).

Рассчитаем объем воды в шайбе как:

\[V=NV_1. \tag{3}\]Фокусное расстояние рассчитаем на основе формулы тонкой линзы:

\[F=\frac{ab}{a+b}. \tag{4}\]Радиус кривизны поверхности линзы рассчитаем в соответствии с формулой:

\[R=(n-1)F. \tag{5}\]Предполагая, что вода над верхней поверхностью шайбы принимает форму шарового сегмента, можем рассчитать высоту шарового сегмента, исходя из геометрических соображений:

\[h=R-\sqrt{R^2- \left(\frac{D}{2} \right)^2}. \tag{6}\]Объем воды над верхней поверхностью шайбы тогда может быть рассчитан на основе формулы:

\[v=\pi h^2 \left(r-\frac{h}{3} \right), \tag{7}\]Занесем измерения и расчетные величины в таблицы.

Таблица для дальнего фокуса

Ответ:

Таблица для ближнего фокуса

Ответ:

A2. Результаты пересчёта точек приведены в таблице выше.

A3. Построим графики зависимостей расчетных объемов воды в капельной линзе \(v\) от измеренного \(V\), исходя из данных о двух разных фокусах. Резкий изгиб графиков при больших объемах капли соответствует началу вытекания капли из внутренней области шайбы. Не будем обращать внимания на эту область графиков.

Ответ:

График зависимости расчетного объема воды в шайбе от измеренного

A4. Видно, что оставшиеся части графиков можно описать линейными функциями. Некоторое смещение графиков говорит о том, что в шайбе кроме воды в шапочке есть еще и вода в отверстии. Для теоретического графика угловой коэффициент данной зависимости равен единице \(k_{theor}=1\). Однако угловые коэффициенты аппроксимирующих прямых для разных фокусов составляют \(k_2=0.57\) и \(k_1\approx 1.1\). Это объясняется тем, что вода принимает не сферическую форму. В центральной части капли радиус кривизны поверхности больше, что соответствует нижнему фокусу. А по краям шайбы радиус кривизны меньше (рис. 5). То есть края линзы создают ближнее к линзе изображение, а центр линзы формирует дальнее изображение (рис. 6). Значение \(k_{theor}\), отвечающее модели сферической формы «шапочки» лежит в пределах измеренных коэффициентов \(k_1\) и \(k_2\).

Рис. 5. Качественное сравнение отклонения формы <<шапочки>> от модели сферического сегмента

A5. Форма «шапочки» определяется конкуренцией двух типов сил: гравитации и поверхностного натяжения. Так или иначе «шапочка» определенного объема принимает такую форму, при которой сумма потенциальной энергии силы тяжести и энергии, связанной с поверхностью капли, минимизируется. Модель сферического сегмента верна лишь в тех случаях, когда потенциальной энергией силы тяжести можно пренебречь по сравнению с поверхностной энергией. Объем «шапочки», а вместе с тем и ее гравитационная энергия пропорциональны кубу ее характерного размера. Поверхностная же энергия пропорциональна квадрату характерного размера. Поэтому для шайб малого диаметра форма шапочки будет определяться поверхностным натяжением и вполне описывается моделью сферического сектора. Для больших шайб капля будет практически плоской. В этих случаях ключевую роль играет гравитационная энергия.

Качественное объяснение формирования двух изображений в капельной линзе

Источник: pho.rs/p/3260.