IEPhO 2023, 10 класс

Решение

A1. Ответ:

Соберем установку, описанную в условии. Точное значение тока \(I_0 = (5.20 \pm 0.01) \ мА\). Измерим напряжения \(U^*=(81.0\pm0.2) \ мВ\) и \(U_0=(38.1 \pm 0.2) \ мВ\). Схематичное положение точек, между которыми измерялось напряжение \(U_0\) показано на рис. 6.

Видно, что напряжение \(U_0\) существенно меньше напряжения \(U^*\). Связано это с существенным по сравнению с сопротивлением фольги сопротивлением контакта между опорой струбцины и фольгой. Для расчета чистого сопротивления фольги будем использовать напряжение \(U_0\):

\[R_0=\frac{U_0}{I_0}=(7.31 \pm 0.05) \ мОм. \tag{2}\]Погрешность оценим, сложив относительные погрешности величин \(U_0\) и \(I_0\).

Рис. 6. Положение точек для измерения \(U_0\)

A2. Проведем измерения величин \(U_i\), занесем данные в таблицу.

A3. Для оценки состоятельности модели проверим, будет ли постоянным отношение \({\alpha_i=U_i/U_{i-1}}\), поскольку именно так себя ведет напряжения на резисторах \(R_1\) в бесконечной цепочке. Это можно сделать напрямую, но поскольку точность полученных данных невысока, то лучше построить график \(\ln{(U_i)}(i)\). Действительно, если считать, что \(\alpha_i=\alpha\) постоянно, то для напряжения с индексом \(i\) можно записать: \[U_i=U_1\alpha^i. \tag{3}\] Прологарифмировав это выражение получим: \[\ln{(U_i)}=\ln{(U_1)}+i\ln{\alpha}. \tag{4}\] То есть, если предложенный график линейный, то модель выполняется. Рассчитаем величины \(\ln({U_i})\). Погрешность величин оценим как относительную погрешность \(U_i\). Построим график \(\ln{(U_i)}(i)\).

Видно, что точки хорошо ложатся на прямую с угловым коэффициентом \[k=\ln{(\alpha)}=(-0.37\pm0.06). \tag{5}\] Откуда для величины отношения напряжений имеем \[\alpha=e^k=(0.69\pm0.04). \tag{6}\] Относительная погрешность \(\alpha\) равна абсолютной погрешности углового коэффициента графика.

A4. Свяжем величину \(\alpha\) с модельными сопротивлениями \(R_1 \ и \ R_2\). Пусть на одном из резисторов \(R_1\) напряжение равно \(U\), тогда на его соседе справа напряжение будет равно \(\alpha U\), а на соседе через одного \(\alpha^2 U\) (рисунок 7).

Рис. 7. К выводу связи \(\alpha\) с модельными сопротивлениями

Рассмотрим контур, обозначенный на рисунке буквой «A». Найдем токи на соседствующих с рассматриваемыми резисторами \(R_1\) резисторах \(R_2\). На основе закона Кирхгофа для суммы токов в узловых точках получим, что токи на левом и правом резисторах \(R_2\): \[I_2=\frac{U}{R_1}-\frac{\alpha U}{R_1},\qquad I'_2=\frac{\alpha U}{R_1}-\frac{\alpha^2 U}{R_1} \tag{7}\] Тогда для напряжения на этих резисторах имеем: \[U_2=U(1-\alpha)\,\frac{R_2}{R_1},\qquad U'_2=U\alpha(1-\alpha)\,\frac{R_2}{R_1} \tag{8}\] Запишем равенство нулю суммарного падения напряжений в контуре, обозначенном на рисунке буквой «A». \[U(1-\alpha)\frac{R_2}{R_1}=U\alpha(1-\alpha)\frac{R_2}{R_1}+2\alpha U. \tag{9}\] Откуда легко получить связь между отношением сопротивлений и величиной \(\alpha\): \[p=\frac{R_1}{R_2}=\frac{(1-\alpha)^2}{2\alpha}=(7\pm2) \cdot 10^{-2}. \tag{10}\] Погрешность определения этого параметра оценим методом границ. Видно, что относительная погрешность крайне большая.

Для поиска самих величин модельных сопротивлений необходимо еще одно уравнение, связывающее сопротивление фольги с модельными сопротивлениями. То есть необходимо провести вычисление сопротивления бесконечной цепи. Составим для этого уравнение, отражающее тот факт, что при удалении одного звена из цепи ее сопротивление не меняется:\[R_0=\frac{(R_0+2R_1)R_2}{R_0+2R_1+R_2}=\frac{(R_0+2pR_2)R_2}{R_0+2pR_2+R_2}. \tag{11}\]Приведем уравнение к виду квадратного:\[2pR^2_2-2pR_2R_0-R^2_0=0. \tag{12}\]Найдем его решение, выбрав только положительный корень:

Ответ:

\[R_2=\frac{R_0}{2}\frac{p+\sqrt{p^2+2p}}{p}=R_0\left(\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{2p}}\right)=(21\pm 3) \ мОм \tag{13}\]

Погрешность нахождения \(R_2\) оценим методом границ, основной вклад в нее внесет неточность определения параметра \(p\).

Оценим величину \(R_1\):

Ответ:

\[R_1=pR_2=(1.4\pm0.3) \ мОм \tag{14}\]

A5. Для расстояний в \(0.1~см\) между исследуемыми точками экспериментально получить отношение напряжений невозможно, однако эту величину несложно вычислить на основе уже полученных данных. Если на расстоянии в \(3~см\) напряжение падает в \(\alpha\), то так как на \(3~см\) укладывается 30 расстояний по \(0.1~ см\), то напряжение на этом расстоянии будет уменьшаться в: \[\alpha'=\alpha^{1/30} = (0.9877\pm0.0019). \tag{15}\] Для расчета погрешности \(\alpha'\), поделим относительную погрешность \(\alpha\) на 30.

Рассчитаем величину отношения сопротивлений в этом случае \(p'=(7.7\pm2.2)\cdot10^{-5}\). Погрешность вычислим в соответствии с формулой:\[\sigma_{p'}=p'\frac{\sigma_{\alpha'}}{1-\alpha'}. \tag{16}\]Вычислим значения модельных сопротивлений:

Ответ:

\[R'_2=(0.59\pm0.09) \ Ом,\qquad R'_1=(4.5\pm1.2)\cdot10^{-5} \ Ом \tag{17}\]

Тогда для искомых констант:

Ответ:

\[B=R'_2\cdot\Delta x'=(59\pm9) \ мОм\cdot см,\qquad A=R'_1/\Delta x'=(4.5\pm1.2)\cdot10^{-4} \ Ом/см \tag{18}\]

A6. Проведем измерения \(U_{9y}\) и \(U_{12y}\). Занесем данные в таблицу и построим графики зависимостей \(U_{9y} (y)\) и \(U_{12y} (y)\).

Ответ:

Ответ:

A7. Ответ:

Видно, что графики не являются линейными функциями, однако похожи между собой. Для того чтобы проверить их подобие построим график зависимости одного напряжения от другого. Видно, что полученный график может быть описан прямой пропорциональностью, что говорит о верном предположении о подобии графиков.

B1. Отрежем от фольги достаточно длинный кусок. Подсоединим к нему источник питания (см. рисунок 8) так же, как и в предыдущем случае.

Пропустим через фольгу ток в \(I=(5.00\pm0.01) \ А\), и измерим падение напряжения \({U=(64.5\pm0.1) \ мВ}\) на участке кусочка фольги длиной \(l=(11.0\pm0.2 ) \ см\). Сопротивление этого участка фольги может быть рассчитано на основе закона Ома. Для поиска поверхностного сопротивления измерим ширину участка фольги \(d=(2.5\pm0.1) \ см\) и рассчитаем:

\[r=\frac{Ud}{Il}=(2.93\pm0.15) \ мОм. \tag{19}\]Для оценки погрешности сложим относительные погрешности входящих величин.

Для подтверждения результатов повторим измерение напряжения для значения \({l'=(19.8 \pm 0.2) \ см}\). Падение напряжения на этом участке составило \(U'=(115.6 \pm 0.1) \ мВ\). Поверхностное сопротивление оказывается равным:

Рис. 8. Установка для проведения эксперимента

Ответ:

\[r=\frac{U' d}{Il'}=(2.92\pm0.14) \ мОм \tag{20}\]

Источник: pho.rs/p/3812.

Ответ

A4: \[H=0.21~мм\]

Решение

A1. Соберем установку, описанную в условии. Луч лазера может отражаться как от верхней поверхности стекла, так и от нижней. Заметим, что когда луч лазера падает на нисходящую поверхность, то отраженный луч должен идти под углом большим к вертикали, нежели при падении на горизонтальную поверхность стекла. Так как на линейке только один зайчик от лазера при падении на нисходящую поверхность уходит вниз, то именно он и образован лучом, отраженным от верхней поверхности стекла.

A2. Проведем измерения положения зайчика, образованного лучом, отраженным от верхней поверхности стекла, в зависимости от координаты \(z\). Результаты занесём в таблицу в пункте A4.

A3. С помощью измерения начальной координаты зайчика \(y_0=24.1~см\), расстояния от места падения луча до линейки \(x=32.8~см\) и текущего положения зайчика \(y\) на линейке легко рассчитать углы отклонения отраженного луча в каждой точке: \[\Delta \alpha=\arctan{\frac{y_0}{x}}-\arctan{\frac{y}{x}}. \tag{1}\]Результаты пересчёта занесём в таблицу в пункте A4.

A4. Проведем расчеты и построим график зависимости \(\Delta \alpha (z)\).

При отражении от верхней поверхности стекла, наклоненной под углом \(\beta\) к горизонтали, луч поворачивается на угол \(\Delta \alpha=2\beta\) относительно отраженного от горизонтальной поверхности луча (см. рисунок 4).

Рис. 4. Падение луча на поверхность лунки.

Ответ:

Угол наклона поверхности лунки мал, поэтому его в каждой точке можно связать с величиной увеличения глубины лунки на каждом участке длиной \(\Delta z\) (рисунок 5):

\[\Delta h = \beta \Delta z. \tag{2}\]

Рис. 5. Падение луча на поверхность лунки

Тогда, суммируя все \(\Delta h\) до определенной координаты \(z\), можно рассчитать глубину лунки в данной координате, то есть определить профиль лунки.

Рассчитаем для каждой координаты угол наклона поверхности \(\beta\) и глубину лунки \(h\) на этой координате. Построим график зависимости глубины \(h\) от координаты \(z\).

Ответ:

Видно, что в самом глубоком месте поверхность лунки смещена от верхней поверхности стекла приблизительно на

Ответ:

\[H=0.21~мм\]

Заметим, что график зависимости \(h(z)\) не вернулся на прежний уровень с ошибкой \(0.02 ~мм\). Таким образом, ошибка измерения глубины лунки составит приблизительно \(10 \,\%\).

A5. Для измерения толщины предметного стекла подложим под краешек стекла, от которого будет происходить отражение, другое предметное стекло (рис. 6).

Рис. 6. Схема измерения толщины пластинки

Измерим изменение угла отражения луча \(\varphi\) от стекла при подкладывании под него еще одного стекла. Для этого измерим изменение высоты падения лазерного лучика на линейку \({\Delta y' = (3.0\pm0.2) \ см}\), а также начальное положение зайчика на линейке \({y' = 44 \ см}\) и расстояние между линейкой и точкой падения луча на отражающую поверхность \({x'=47.9 \ см}\). Тогда с помощью простейших геометрических расчетов можно определить значение угла \(\varphi\): \[\varphi=\frac12\left({\arctan{\frac{y'}{x'}}-\arctan{\frac{y'-\Delta y'}{x'}}}\right)= (1.75\pm0.09)\cdot10^{-2} \ \text{рад}. \tag{3}\] Для оценки погрешности угла воспользуемся методом границ. Очевидно, что основной вклад в погрешность измерения этого угла вносит величина \(\Delta y'\). Подставим в вычислительную формулу для угла минимальное и максимальное значения этой величины, оценив таким образом диапазон значений \(\varphi\). \[\varphi_{\min} = \varphi(\Delta y' = 4.0 \ \text{мм}) = 1.64\cdot10^{-2} \ \text{рад}, \\ \varphi_{\max} = \varphi(\Delta y' = 4.4 \ \text{мм}) = 1.89\cdot10^{-2} \ \text{рад}, \\ \\ \sigma_{\varphi}=\dfrac{\varphi_{\max}-\varphi_{\min}}{2}=0.13. \tag{4}\] Измерим также расстояние между точкой опоры отражающего стекла и местом его соприкосновения со стеклом-подставкой \(l=(56\pm1)~ мм\). Тогда окончательно толщина стекла составит:

Ответ:

\[d=l\varphi=(0.98\pm0.09) \ \text{мм} \tag{5}\]

Погрешность величины \(d\) оценим, сложив относительные погрешности величин \(l\) и \(\varphi\):

Ответ:

\[\sigma_d=d(\varepsilon_l+\varepsilon_\varphi)=1.0\cdot\Big(\frac{1}{56}+\frac{9}{179}\Big)= 0.07 \ \text{мм} \tag{6}\]

Источник: pho.rs/p/3811.

Ответ

C2: \[n=(1.52\pm0.3)\]

Решение

A1. Для поиска положения изображения самореза поставим перед цилиндрической линзой второй саморез (рис. 3). Будем одновременно наблюдать изображение первого самореза и второй саморез. В общем случае при смещении точки наблюдения второй саморез и изображение первого будут смещаться друг относительно друга в поле зрения наблюдателя, так как находятся в разных точках пространства. Однако можно подобрать такое положение второго самореза, при котором такого смещения происходить не будет. В этом случае положение второго самореза будет совпадать с положением изображения первого. Так, если поместить первый саморез на расстоянии \(a=12.0 \ см\) от поверхности линзы, то можно определить расстояние \(c=(5.3\pm0.5) \ см\) между его изображением и поверхностью банки.

Ответ:

Рис. 3. Поиск положения изображения

A2. Проведем измерение зависимости расстояния между поверхностью линзы и изображением самореза от расстояния между им самим и поверхностью линзы. Погрешность измерения расстояния \(a\) оценим в \(1~мм\). Погрешность определения расстояния \(c\) оценим в \(5~мм\), так как метод измерения не позволяет искать положение изображения с большей точностью.

Ответ:

A3. Для определения радиуса кривизны поверхности линзы измерим длину окружности банки. Для этого вырежем тонкую полоску бумаги и обернем ей цилиндрическую поверхность линзы. Получим значение длины \(L=(26.8\pm0.1) \ см\). Тогда радиус окружности составит:

Ответ:

\[R=\frac{L}{2\pi}=(4.27\pm0.02) \ см \tag{1}\]

B1. Опишем работу цилиндрической линзы в параксиальном приближении. Для этого сначала рассмотрим формирование изображения от точечного источника на сферической границе двух сред (см рисунок 5).

Рис. 5. Формирование изображения сферической границей раздела сред

Пусть точечный источник света \(S\) находится в воздушной среде на расстоянии \(x\) от сферической границы поверхности воздушной среды и среды с показателем преломления \(n\). Опустим перпендикуляр к границе раздела сред из места положения источника света, будем называть эту линию осевой. Рассмотрим луч, идущий из источника света под малым углом \(\alpha\) к осевой линии. Проведем перпендикуляр к границе раздела сред в точке падения луча. Обозначим угол между осевой линией и перпендикуляром к границе раздела сред в точке падения луча \(\gamma\). После преломления луч пересечет осевую линию под углом \(\beta\) на расстоянии \(y\) от границы раздела сред. Обозначим расстояние между осевой линией и местом падения луча на границу раздела сред за величину \(h\). Так как все введенные углы малы, то их легко связать с введенными линейными геометрическими размерами:\[\alpha=\frac{h}{x}, \qquad \beta=\frac{h}{y}, \qquad \gamma=\frac{h}{r}. \tag{2}\]Угол падения луча на границу раздела сред \(\alpha+\beta\) связан с углом преломления луча \(\gamma-\beta\) законом Снеллиуса, который в приближении малых углов можно записать как:\[\alpha+\beta=n(\gamma-\beta). \tag{3}\]Откуда для связи расстояний \(y\) и \(x\) получаем:

Ответ:

\[\frac{1}{x}+\frac{n}{y}=\frac{(n-1)}{r} \tag{4}\]

Так как в полученной формуле расстояние \(y\) не зависит от угла \(\alpha\) направления распространения луча из источника света, то все лучи испущенные источником под малым углом к осевой линии пересекутся в точке, отстоящей от границы раздела сред на расстояние \(y\). То есть сформируется изображение источника \(S\), которое обозначим за \(S'\).

B2. Первый способ

Рассмотрим цилиндрическую линзу как две поверхности границы раздела сред с радиусом кривизны \(R\) отстоящие друг от друга на расстояние \(2R\).

Рис. 6. Формирование изображения цилиндрической линзой

Тогда первая граница раздела сред сформирует изображение \(S'\) сформирует изображение источника \(S\). Это изображение в свою очередь станет источником для второй границы раздела сред и будет отстоять от второй границы раздела на расстояние \(2R-y\). Применим дважды формулу, полученную для связи положений источника и изображения при преломлении на сферической поверхности границы раздела сред.\[\frac{1}{a}+\frac{n}{b}=(n-1)R,\qquad \frac{n}{2R-b}+\frac{1}{c}=(n-1)R. \tag{5}\]Откуда для величины \(c\) можем получить:

Ответ:

\[c=\left(\left(\frac{aF}{a-F}-\frac{2R}{n}\right)^{-1}+\frac{1}{F}\right)^{-1}, \tag{6}\]

где введено обозначение \({1}/{F}={(n-1)}/{R}\).

Второй способ

Также можно получить формулу, связывающую \(c\) и \(a\) другим методом. Для этого необходимо рассмотреть линзу как три отдельных оптических элемента (см. рисунок 7).

Рис. 7. Модель цилиндрической линзы

Части линзы с искривленными поверхностями ведут себя как плоско-выпуклые  тонкие линзы с фокусным расстоянием:\[F=\frac{R}{n-1}. \tag{7}\]Для первой по ходу лучей линзы можно записать формулу тонкой линзы, связывающую положение источника и его изображения:\[\frac{1}{F}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}, \tag{8}\]где \(b\) – расстояние между первой тонкой линзой и изображением, образованным в ней.

После прохождения первой линзы лучи попадают на плоскопараллельную пластину, которая в параксиальном приближении перемещает изображение ближе дальше от первой линзы на расстояние: \[\Delta=2R\,\frac{n-1}{n}. \tag{9}\] Полученное в плоскопараллельной пластине изображение является мнимым источником для второй тонкой линзы, которая в свою очередь формирует окончательное изображение в толстой линзе. Запишем формулу тонкой линзы с учетом знаков для преломления на второй линзе: \[\frac{1}{F}=\frac{1}{2R-b-\Delta}+\frac{1}{c}=-\frac{1}{b-2R/n}+\frac{1}{c} .\tag{10}\] Объединяя полученные формулы, получим такую же теоретическую связь между расстоянием \(c\) и расстоянием \(a\).

C1. Нанесем полученные экспериментальные точки на график.

Ответ:

C2. Наиболее удобной точкой для проведения расчета показателя преломления является точка с совпадающими по обеим осям координатами. Для ее поиска проведем на графике вспомогательную прямую линию, показывающую множество таких точек. Интерполируем экспериментальные точки и найдем с точностью до \(0.5~см\) значения расстояния \(a_0=(8.2\pm0.5) \ см\) от самореза до поверхности линзы, при котором его изображение находится на том же расстоянии от поверхности линзы, но с другой стороны.

В этом случае ход лучей в системе симметричен относительно плоскости, проходящей через середину линзы перпендикулярно линии, соединяющей источник и его изображение (в дальнейшем оптической оси или ОО). То есть внутри линзы лучи идут параллельно оптической оси.

Для теоретической связи параметров линзы с измеренным расстоянием \(a_0\) построим ход лучей в линзе в параксиальном приближении (см. рис. 4). Для этого рассмотрим луч, идущий под небольшим углом из источника. После второго преломления на поверхности линзы луч придет в точку, где располагается изображения источника.

Рис. 4. Поиск положения изображения

Пусть луч, выходящий из источника, идет под углом \(\alpha\) к оптической оси и падает на поверхность линзы на расстоянии \(h\) от ОО. Проведем в точке падения перпендикуляр к поверхности линзы. Перпендикуляр одновременно будет являться радиусом линзы. Обозначим угол наклона перпендикуляра к оси \(\beta\). В силу малости углов можем записать для них выражения:\[\alpha=\dfrac{h}{a_0},\qquad \beta=\dfrac{h}{R}. \tag{11}\]Угол падения луча на поверхность линзы составит \(\alpha+\beta\), а угол преломления — \(\beta\). Запишем закон преломления света, с учетом малости углов:\[\alpha+\beta=n \beta. \tag{12}\]Объединяя формулы, получаем для показателя преломления:\[n=\frac{\alpha+\beta}{\beta}=1+\frac{\alpha}{\beta}=1+\frac{R}{a_0}. \tag{13}\]Рассчитаем показатель преломления жидкости в соответствие с формулой \((3)\):

Ответ:

\[n=(1.52\pm0.3)\]

Погрешность оценим методом границ.

C3. Нанесем теоретическую кривую на график с экспериментальными точками.

Ответ:

Видно, что кривая хорошо описывает экспериментальные точки.

Источник: pho.rs/p/3822.

Ответ

A1: \[V_1=(10.50\pm0.25)~ мл\]

Решение

A1. Снимем крышку с пробирки. Нальем в пробирку воду до краев. Проткнем пробку иглой. Наденем крышку на пробирку прикладывая некоторые усилия. Излишки воды выйдут из пробирки либо через края крышки, либо через иглу. После того, как крышка будет надета полностью, снимем ее. Воду из пробирки выльем в резервуарную часть шприца, предварительно надев на его носик иглу, чтобы вода практически из него не выливалась. Запишем значение объема воды в шприце:

Ответ:

\[V_1=(10.50\pm0.25)~ мл\]

A2. Нальем в резервуарную часть шприца воду до отметки в \(V_0=(10.00\pm0.25)~ мл\), предварительно надев на его носик иглу. Возьмем новую пробирку и проткнем иглой шприца крышку пробирки. Вода начнет поступать в пробирку (рис. 1).

Рис. 1. Установка для проведения эксперимента

Измерим зависимость объема воды в шприце \(V\) от времени, отмечая моменты времени, когда уровень воды пересекает деления на шприце. Занесем результаты измерений в таблицу. По прошествии приблизительно двух минут вода практически перестанет протекать по игле. Но все же ее небольшой поток сохраняется. Поэтому подождем еще около \(10~минут\) пока уровень перестанет меняться окончательно в пределах точности измерений. Последнее можно проверить оставив пробирку в таком состоянии еще на большой промежуток времени. Вода окончательно перестает течь по игле, когда разность давлений на ее концах равна поправке Лапласа для капельки, образующейся на конце иглы. Это давление пренебрежимо мало по сравнению с измеряемым, поэтому в расчетах будем им пренебрегать. Также мало и давление гидростатического столба, образованного водой в шприце.

Объем воды в шприце по истечении \(10~минут\) составляет \(V_3=(2.50\pm0.25)~ мл\). Тогда объем воздуха в пробирке в этом случае составляет: \[V_2=V_1-(V_0-V_3)=(3.00\pm0.75) \ \text{мл}. \tag{1}\] Давление воздуха в этом состоянии равно атмосферному \(p_0\). Тогда в соответствии с законом Бойля-Мариотта можем записать для воздуха в шприце: \[p_0 V_2=p_x V_1. \tag{2}\] Откуда искомое давление:

Ответ:

\[p_x=p_0 \frac{V_2}{V_1} = (29\pm9) \ \text{кПа} \tag{3}\]

Погрешность оценим через сумму относительных погрешностей объемов \(V_1\) и \(V_2\):

Ответ:

\[\sigma_{p_x}=p_x (\varepsilon_{V_1}+\varepsilon_{V_2})=9 \ \text{кПа}\tag{4}\]

A3. Аналогично найдем давления в шприце в промежуточные моменты времени: \[p=p_0 \frac{V_2}{V_1-(V_0-V)}. \tag{5}\] Тогда для разности давлений на концах иглы: \[\Delta p=p_0-p=p_0\Big(1-\frac{V_1-(V_0-V_3)}{V_1-(V_0-V)}\Big)=p_0\frac{V-V_3}{V_1-(V_0-V)} \tag{6}\] Для расчета погрешностей давлений воспользуемся формулой: \[\sigma_{\Delta p}=\Delta p\Big(\frac{2\sigma_V}{V-V_3}+\frac{3\sigma_V}{V_1-(V_0-V)}\Big), \tag{7}\] где \(\sigma_V=0.25 мл\).

Объемный расход жидкости \(Q\) посчитаем как отношение изменения объема в шприце к времени, за которое оно произошло. Погрешность объемного расхода будем оценивать, исходя из погрешности времени прохождения мениска жидкости расстояния между двумя делениями. Оценим ее как \(10\%\) от измеренных времен. То есть относительную погрешность измерения объемного расхода также оценим в \(10\%\). Нанесем на график точки объемного расхода и средней разности давлений за расчетный промежуток времени.

Ответ:

A4.

Ответ:

Видно, что точки можно описать прямой пропорциональностью с угловым коэффициентом \(k=(0.65\pm0.10) \ \text{мкл}/(\text{c}\cdot\text{кПа})\).

Источник: pho.rs/p/3823.

Ответ

A4: \[r_{пр}=(450\pm50) \ мм\]

Решение

A1. Соберем установку в соответствии с рис. 2. Убедимся, что линейка, прилегающая к струбцине, опирается на оба ребра струбцины и не изгибается под давлением клипсы. Убедимся, что длинные линейки установлены строго вертикально. Поставим фонарик непосредственно под фоторезистором. Опустим короткую линейку с фоторезистором до положения, при котором светодиод фонарика окажется прижатым к торцу бумажного цилиндра.

Измерим зависимость \(R(r)\). Будем периодически  закрывать фонарь деревянной линейкой с иглой и измерять сопротивление резистора при фоновом освещении \(R_{ф}\). При измерениях важно не менять положения своего  тела, так как это сильно влияет на значение фонового сопротивления. Сопротивление фоторезистора при фоновом освещении в авторском эксперименте при неизменном положении тела экспериментатора варьировались от \(30~кОм\) до \(40~кОм\).

Ответ:

A2. Для определения степени \(n\) запишем выражение для мощности света, падающего на фоторезистор: \[P = P_{фон}+\frac{I}{r^2}, \tag{2}\] где \(P_{фон}\) – мощность фонового света, а слагаемое \({I}/{r^2}\) – мощность света, попадающего на фоторезистор от фонарика. Мощность света фонарика убывает обратно пропорционально квадрату расстояния \(r\) между фоторезистором и светодиодом фонарика, так как размеры светодиода пренебрежимо малы по сравнению с характерными исследуемыми расстояниями между фонариком и фоторезистором.

Из выражения \((3)\) видно, что при небольших расстояниях \(r\), второе слагаемое будет иметь больший вклад. Однако при малых расстояниях существенная доля световой энергии может падать на фоторезистор за счет отражения от внутренних стенок цилиндра и измерения могут отклониться от предложенной модели. То есть в некоторой области расстояний, которая ограничена сверху и снизу, выражение для мощности падающего на фоторезистор света можно записать как: \[P = \frac{I}{r^2}. \tag{3}\] Для диапазона расстояния, в котором зависимость может быть описан формулой 4 для сопротивления фоторезистора можно написать: \[R = \alpha P^{1/n} = \frac{\alpha I^{1/n}}{r^{2/n}} \tag{4}\] Прологарифмируем полученное выражение:

Ответ:

\[\ln R = \ln \left(\alpha I^{1/n}\right) -\frac{2}{n}\,\ln r \tag{5}\]

A3. Построим график \(\ln(R)\) от \(\ln(r)\) и определим коэффициент его наклона \(k\) в диапазоне линейности графика.

Найдем угловой коэффициент наклона графика \(k=1.6\). Используя это значение, рассчитаем величину степени \(n\):

Ответ:

\[n =-2/k = -1{.}25 \tag{6}\]

A4. Пусть сопротивление фоторезистора равно \(R_{фон}\) при освещении фоновым излучением с мощностью \(P_{фон}\). Пусть фоторезистор дополнительно освещается фонариком и падающая от фонарика мощность \(P_{фонар}=10P_{фон}\) в десять раз большей чем мощность фонового излучения. Тогда полная мощность излучения, падающего на фоторезистор, равна сумме мощности фонового излучения и мощности излучения фонарика в данной точке: \[P=P_{фонар}+P_{фон}=11P_{фон}. \tag{7}\] Назовем \(R_{пр}\) сопротивление фоторезистора, которое соответствует максимальному сопротивлению, при котором мы еще можем пренебречь фоновым излучением. Найдем отношение сопротивления фоторезистора \(R_{пренебреж}\) и сопротивления при фоновом освещении: \[\left(\frac{R_{пр}}{R_ф}\right) = \left(\frac{P}{P_ф} \right)^{1/n}=11^{-1/1.25} = 0.147. \tag{8}\] Тогда, поскольку измеренное значение сопротивления фоторезистора при освещении только фоновым излучением равно \(R_ф=(35\pm5) \ кОм\), легко рассчитать величину сопротивления \(R_{пр}\): \[R_{пр}=0.147\cdot R_{ф}=(5.2\pm0.7) \ кОм. \tag{9}\] Найдем соответствующее найденному сопротивлению расстояние между фоторезистором и светодиодом фонарика по таблице измерений:

Ответ:

\[r_{пр}=(450\pm50) \ мм\]

При расстояниях между фонариком и фоторезистором больше, чем \(r_{пр}\) нельзя пренебречь фоновым излучением.

B1. Соберем установку в соответствии с рис. 3 условия задачи. Разместим фонарик на расстоянии \(15~см\) от оси вращения фоторезистора, то есть от иглы, воткнутой в линейку. Чтобы подвижная линейка при вращении относительно иглы оставалась вертикальной, прикрепим к задней части подвижной линейки клипсу, которая будет выполнять роль дополнительной точки опоры. Измерим зависимость сопротивления фоторезистора от угла поворота линейки. За ноль отсчета угла выберем направление, в котором плоскость фоторезистора перпендикулярна направлению на фонарик. В этой части важно учитывать зависимость мощности фонового освещения от угла поворота фоторезистора, так как она может существенно изменяться в зависимости от направления угла обзора фоторезистора в установке.

Чтобы определить коэффициент \(\theta\), получим связь между измеряемыми сопротивлениями и мощностью излучений. Запишем выражение \((1)\) для случая измерений с включенным фонариком: \[R(\varphi) = \alpha \Big(P_{фон}(\varphi)+P_{фонар}(\varphi)\Big)^{1/n}. \tag{10}\] При выключенном фонарике можем измерить сопротивление фоторезистора соответствующее мощности только фонового излучения. Это сопротивление зависит от мощности фонового излучения следующим образом: \[R_{фон}(\varphi) = \alpha \Big(P_{фон}(\varphi)\Big)^{1/n}. \tag{11}\] Таким образом получаем: \[R^n(\varphi) = R_{фон}^n(\varphi)+\alpha P_{фонар}(\varphi) = R_{фон}^n(\varphi) + \alpha P_{0}\theta(\varphi). \tag{12}\] Выразим \(\theta\): \[\theta = \frac{R^n(\varphi)-R_{фон}^n(\varphi)}{\alpha P_0}. \tag{13}\] Необходимо нормировать коэффициент чувствительности на единицу. Мощность \(P_0\) освещения от фонарика в некоторой точке пространства, в которой располагается фоторезистор, остается постоянной. Максимуму коэффициента \(\theta\) соответствует угол \(0^о\) поворота линейки. Таким образом итоговое выражение для коэффициента чувствительности фоторезистора: \[\theta = \frac{R^n(\varphi)-R_{фон}^n(\varphi)}{R^n(0^о)-R_{фон}^n(0^о)} \tag{14}\] Измерим зависимость \(R\) и \(R_{фон}\) от угла \(\varphi\):

Ответ:

B2. Нанесем измеренную зависимость на график в полярных координатах.

Ответ:

B3. Найдем область углов, в которой коэффициент чувствительности принимает значения больше \(0.7\). Получаем, что рабочий диапазон углов исследуемого в задаче фоторезистор составляет:

Ответ:

\[-40^\circ < \varphi < 40^\circ\]

Источник: pho.rs/p/3828.

Ответ

A5: \[B = (4.3\pm0.4)\cdot10^{-2} \ \text{Н}\cdot\text{м}^{2}\]

Решение

A1. Для измерения кривизны поверхности закрепим изогнутую линейку в лапке штатива так, чтобы исследуемая точка поверхности линейки была наивысшей (см. рис. 7). Положим на эту точку изогнутой линейки деревянную линейку. Запустим колебания деревянной линейки. Измерим время \(t\) нескольких \(N\) колебаний линейки.

Рис. 7. Исследование кривизны линейки

Рассчитаем период колебаний линейки как отношение измеренного времени и количества колебаний, совершенных за это время \[T=\frac{t}{N}. \tag{5}\] Определим по полученным данным кривизну поверхности линейки \[r^{-1}=\frac{3gT^2}{l^2\pi^2}, \tag{6}\] где \(l=(51.0\pm0.1) \ см\) – длина деревянной линейки. Оценим погрешность измерения как: \[\sigma_{r^{-1}}=r^{-1}\cdot\frac{2\sigma_t}{t}, \tag{7}\] где погрешность измерения времени оценим как \(\sigma_t=0.3 \ с\).

Измерим также расстояние \(h\) до точки поверхности изогнутой линейки, около которой происходили колебания. Погрешность этого расстояния оценим в \(\sigma_h = 5~ мм\), складывая приборную погрешность линейки и неточность определения точки, до которой проводится измерение расстояния.

Ответ:

A2. Ответ:

Видно, что данные могут быть описаны прямой пропорциональностью. Последнее несложно объяснить с теоретической точки зрения. Если сила, стягивающая линейку, равна \(F\), то ее момент относительно сечения, находящегося на удалении \(h\) от скотча, равен:\[M=F\cdot h. \tag{8}\]В соответствии с законом Гука для изгибной деформации, кривизна поверхности прямо пропорциональна моменту изгибных сил. То есть, как и получено в эксперименте, кривизна линейки прямо пропорциональна расстоянию \(h\).

A3. Измерим таким же образом кривизну поверхности линейки в наиболее удаленной от скотча точке при разных степенях изгиба. Будем измерять время \(N_0=10\) колебаний линейки. Для каждой степени изгиба измерим размер \(H\). Измерим также силу стягивания концов линейки с помощью весов (рисунок 8). Для этого сначала обнулим показания весов, предварительно положив на них пластиковую линейку.

Рис. 8. Способ измерения стягивающей силы

Снимем линейку с весов. Стянем ее концы скотчем и поставим обратно на весы так, чтобы полоска скотча приняла вертикальное положение. Надавим на верхний конец линейки так, чтобы скотч начал провисать, то есть его сила натяжения обратилась в 0. Запишем показания весов \(m^*\). Cила, действующая на платформу весов, будет равна силе, стягивающей концы линейки. Для ее вычисления умножим показания весов на ускорение свободного падения \(g\): \[F=m^*g. \tag{9}\] Занесем измерения в таблицу в п. A4. Рассчитаем кривизну линейки в наиболее удаленной от скотча точке.

A4. Рассчитаем момент силы стягивания относительно этой точки как: \[M=F\cdot H=m^*g\cdot H. \tag{10}\] Для оценки погрешности момента стягивающих сил сложим относительные погрешности показаний весов и плеча силы \(H\): \[\sigma_M=M\Big(\frac{\sigma_{m^*}}{m}+\frac{\sigma_{H}}{H}\Big), \tag{11}\] где погрешность показаний весов оценим в \(\sigma_{m*}=10~г\), так как сила меняется в небольших пределах по мере провисания скотча.

Ответ:

A5. Построим график зависимости кривизны точки линейки от момента изгибных сил, действующих в этом сечении.

Ответ:

Видно, что точки на графике могут быть описаны прямой пропорциональностью, обратный угловой коэффициент которой равен коэффициенту изгибной жесткости линейки:

Ответ:

\[B = (4.3\pm0.4)\cdot10^{-2} \ \text{Н}\cdot\text{м}^{2}\]

Заметим, что прямая, аппроксимирующая точки графика, может и не проходить через начало координат. Такой эффект при корректных измерениях связан с наличием у линейки начальной изгибной деформации.

Источник: pho.rs/p/3829.