зад 1 Распределённое сопротивление
В данной задаче требуется оценка погрешностей.
Часть A
Соберите установку, изображенную на рис. 1. Для этого разверните на столе лист фольги длиной \(70~см\). Положите его так, чтобы один из коротких краев листа шел вдоль края стола. Приклейте лист к столу малярным скотчем. Прижмите лист фольги к столу двумя струбцинами, так, чтобы металлические винты струбцин оказались над поверхностью стола. Расстояние между центрами винтов струбцин должно быть равно \(24~см\). Подключите к винтам струбцин источник питания в выключенном состоянии при помощи соединительных проводов. Включите источник питания и убедитесь, что он настроен на пропускание тока \(I_0 \approx 5 ~ А\) через фольгу. Ток измеряйте по амперметру источника питания.
Рис. 1. Установка для проведения эксперимента
Для измерения напряжения на фольге используются контакты с подключенным к ним мультиметром (см. рис. 2 и рис. 3).
Рис. 2. Контакт
Рис. 3. Место контакта с фольгой
A1. Измерьте напряжение между винтами струбцин \(U^*\), прикладывая контакты мультиметра непосредственно к винтам. Найдите две точки фольги с максимальным напряжением между ними. Отметьте эти точки на схематичном рисунке. Измерьте напряжение \(U_0\) между этими точками. Совпадают ли величины \(U^*\) и \(U_0\)? Если нет, то почему? Рассчитайте отношение \(R_0={U_0}/{I_0}\).
A2. Введем систему координат как показано на рисунке 1. Начало координат поместите в одну из точек, между которыми измерялось \(U_0\). Будем указывать координаты точек в формате \((x,y)\), где \(x\) и \(y\) указаны в см. Измерьте напряжения \(U_i\) между парами точек \((\Delta x \cdot (i-1),0)\) и \((\Delta x \cdot i,0)\) в диапазоне \(i\) от 1 до 10 для \(\Delta x = 3 \; см\).
Для описания работы некоторых электрических элементов с сильным распределением потенциала в пространстве (например, солнечных батарей) моделирование распределенного сопротивления является крайне актуальной задачей. Предложим модель распределения напряжения в исследуемой системе. В этой модели фольгу можно разбить на последовательные и параллельные сопротивления, соединенные в бесконечную цепочку (см. рисунок 4).
Рис. 4. Модель распределенного сопротивления
A3. Докажите, что измеренные напряжения \(U_i\) соответствуют предложенной модели.
A4. Рассчитайте модельные сопротивления \(R_1\) и \(R_2\).
A5. Для малых \(\Delta x\) (\(\Delta x \ll 3 \ см\)) можно сделать предположение, что сопротивление \(R_1=A\Delta x\), а сопротивление \(R_2=B/\Delta x\). Рассчитайте модельные сопротивления \(R'_1\) и \(R'_2\) для \(\Delta x ' = 0.1 \ см\). Определите величины \(A \ и \ B\).
A6. Измерьте зависимость напряжения \(U_{9y}\) между точками \((9,0)\) и \((9,y)\) от координаты \(y\). Измерьте зависимость напряжения \(U_{12y}\) между точками \((12,0)\) и \((12,y)\) от координаты \(y\). Нанесите обе измеренные зависимости на один график.
A7. Можно ли считать измеренные зависимости линейными? Если нет, то можно ли считать с учетом точности эксперимента, что зависимости имеют одинаковый профиль? (все измеренные точки одной зависимости можно получить умножением всех точек другой зависимости на некоторую одинаковую для всех точек константу).
Часть B
Для проводящих поверхностей вводят понятие поверхностного сопротивления. Для его определения представим, что имеется плоский вытянутый проводник длиной \(l\) и шириной \(d\) (рис. 5). Сопротивление такого проводника \(R\) пропорционально его длине и обратно пропорционально ширине:
\[R=r\, {l}/{d}. \tag{1}\]
Коэффициент пропорциональности \(r\) называют поверхностным сопротивлением.
Рис. 5. Схема подключения проводника
B1. Измерьте поверхностное сопротивление выданной вам фольги.
Оборудование
Лабораторный источник питания
Лист фольги (по требованию вам может быть выдан второй лист)
Мультиметр со щупами
Две струбцины
Линейка \(50~см\)
Скотч малярный
Два контакта для соединения мультиметра с фольгой
Ножницы
Соединительные провода (2 банан–крокодил, 2 крокодил–крокодил)
▶РешениеСкрыть
A1. Ответ:
Соберем установку, описанную в условии. Точное значение тока \(I_0 = (5.20 \pm 0.01) \ мА\). Измерим напряжения \(U^*=(81.0\pm0.2) \ мВ\) и \(U_0=(38.1 \pm 0.2) \ мВ\). Схематичное положение точек, между которыми измерялось напряжение \(U_0\) показано на рис. 6.
Видно, что напряжение \(U_0\) существенно меньше напряжения \(U^*\). Связано это с существенным по сравнению с сопротивлением фольги сопротивлением контакта между опорой струбцины и фольгой. Для расчета чистого сопротивления фольги будем использовать напряжение \(U_0\):
\[R_0=\frac{U_0}{I_0}=(7.31 \pm 0.05) \ мОм. \tag{2}\]Погрешность оценим, сложив относительные погрешности величин \(U_0\) и \(I_0\).
Рис. 6. Положение точек для измерения \(U_0\)
A2. Проведем измерения величин \(U_i\), занесем данные в таблицу.
| \(i\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) | \(7\) | \(8\) | \(9\) | \(10\) |
| \(U_i,~мВ\) | \(6.2\) | \(3.9\) | \(2.6\) | \(1.7\) | \(1.2\) | \(0.8\) | \(0.6\) | \(0.4\) | \(0.3\) | \(0.2\) |
| \(U_i/U_{i-1}\) | \(0\) | \(0.63\) | \(0.67\) | \(0.65\) | \(0.71\) | \(0.67\) | \(0.75\) | \(0.67\) | \(0.75\) | \(0.67\) |
| \(\ln(U_i/мВ)\) | \(1.82\) | \(1.36\) | \(0.96\) | \(0.53\) | \(0.18\) | \(-0.22\) | \(-0.51\) | \(-0.92\) | \(-1.20\) | \(-1.61\) |
| \(\sigma_{\ln(U_i/мВ)}\) | \(0.02\) | \(0.03\) | \(0.04\) | \(0.06\) | \(0.08\) | \(0.13\) | \(0.17\) | \(0.25\) | \(0.33\) | \(0.50\) |
A3. Для оценки состоятельности модели проверим, будет ли постоянным отношение \({\alpha_i=U_i/U_{i-1}}\), поскольку именно так себя ведет напряжения на резисторах \(R_1\) в бесконечной цепочке. Это можно сделать напрямую, но поскольку точность полученных данных невысока, то лучше построить график \(\ln{(U_i)}(i)\). Действительно, если считать, что \(\alpha_i=\alpha\) постоянно, то для напряжения с индексом \(i\) можно записать: \[U_i=U_1\alpha^i. \tag{3}\] Прологарифмировав это выражение получим: \[\ln{(U_i)}=\ln{(U_1)}+i\ln{\alpha}. \tag{4}\] То есть, если предложенный график линейный, то модель выполняется. Рассчитаем величины \(\ln({U_i})\). Погрешность величин оценим как относительную погрешность \(U_i\). Построим график \(\ln{(U_i)}(i)\).
Видно, что точки хорошо ложатся на прямую с угловым коэффициентом \[k=\ln{(\alpha)}=(-0.37\pm0.06). \tag{5}\] Откуда для величины отношения напряжений имеем \[\alpha=e^k=(0.69\pm0.04). \tag{6}\] Относительная погрешность \(\alpha\) равна абсолютной погрешности углового коэффициента графика.
A4. Свяжем величину \(\alpha\) с модельными сопротивлениями \(R_1 \ и \ R_2\). Пусть на одном из резисторов \(R_1\) напряжение равно \(U\), тогда на его соседе справа напряжение будет равно \(\alpha U\), а на соседе через одного \(\alpha^2 U\) (рисунок 7).
Рис. 7. К выводу связи \(\alpha\) с модельными сопротивлениями
Рассмотрим контур, обозначенный на рисунке буквой «A». Найдем токи на соседствующих с рассматриваемыми резисторами \(R_1\) резисторах \(R_2\). На основе закона Кирхгофа для суммы токов в узловых точках получим, что токи на левом и правом резисторах \(R_2\): \[I_2=\frac{U}{R_1}-\frac{\alpha U}{R_1},\qquad I'_2=\frac{\alpha U}{R_1}-\frac{\alpha^2 U}{R_1} \tag{7}\] Тогда для напряжения на этих резисторах имеем: \[U_2=U(1-\alpha)\,\frac{R_2}{R_1},\qquad U'_2=U\alpha(1-\alpha)\,\frac{R_2}{R_1} \tag{8}\] Запишем равенство нулю суммарного падения напряжений в контуре, обозначенном на рисунке буквой «A». \[U(1-\alpha)\frac{R_2}{R_1}=U\alpha(1-\alpha)\frac{R_2}{R_1}+2\alpha U. \tag{9}\] Откуда легко получить связь между отношением сопротивлений и величиной \(\alpha\): \[p=\frac{R_1}{R_2}=\frac{(1-\alpha)^2}{2\alpha}=(7\pm2) \cdot 10^{-2}. \tag{10}\] Погрешность определения этого параметра оценим методом границ. Видно, что относительная погрешность крайне большая.
Для поиска самих величин модельных сопротивлений необходимо еще одно уравнение, связывающее сопротивление фольги с модельными сопротивлениями. То есть необходимо провести вычисление сопротивления бесконечной цепи. Составим для этого уравнение, отражающее тот факт, что при удалении одного звена из цепи ее сопротивление не меняется:\[R_0=\frac{(R_0+2R_1)R_2}{R_0+2R_1+R_2}=\frac{(R_0+2pR_2)R_2}{R_0+2pR_2+R_2}. \tag{11}\]Приведем уравнение к виду квадратного:\[2pR^2_2-2pR_2R_0-R^2_0=0. \tag{12}\]Найдем его решение, выбрав только положительный корень:
Ответ:
\[R_2=\frac{R_0}{2}\frac{p+\sqrt{p^2+2p}}{p}=R_0\left(\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{2p}}\right)=(21\pm 3) \ мОм \tag{13}\]
Погрешность нахождения \(R_2\) оценим методом границ, основной вклад в нее внесет неточность определения параметра \(p\).
Оценим величину \(R_1\):
Ответ:
\[R_1=pR_2=(1.4\pm0.3) \ мОм \tag{14}\]
A5. Для расстояний в \(0.1~см\) между исследуемыми точками экспериментально получить отношение напряжений невозможно, однако эту величину несложно вычислить на основе уже полученных данных. Если на расстоянии в \(3~см\) напряжение падает в \(\alpha\), то так как на \(3~см\) укладывается 30 расстояний по \(0.1~ см\), то напряжение на этом расстоянии будет уменьшаться в: \[\alpha'=\alpha^{1/30} = (0.9877\pm0.0019). \tag{15}\] Для расчета погрешности \(\alpha'\), поделим относительную погрешность \(\alpha\) на 30.
Рассчитаем величину отношения сопротивлений в этом случае \(p'=(7.7\pm2.2)\cdot10^{-5}\). Погрешность вычислим в соответствии с формулой:\[\sigma_{p'}=p'\frac{\sigma_{\alpha'}}{1-\alpha'}. \tag{16}\]Вычислим значения модельных сопротивлений:
Ответ:
\[R'_2=(0.59\pm0.09) \ Ом,\qquad R'_1=(4.5\pm1.2)\cdot10^{-5} \ Ом \tag{17}\]
Тогда для искомых констант:
Ответ:
\[B=R'_2\cdot\Delta x'=(59\pm9) \ мОм\cdot см,\qquad A=R'_1/\Delta x'=(4.5\pm1.2)\cdot10^{-4} \ Ом/см \tag{18}\]
A6. Проведем измерения \(U_{9y}\) и \(U_{12y}\). Занесем данные в таблицу и построим графики зависимостей \(U_{9y} (y)\) и \(U_{12y} (y)\).
Ответ:
| \(y,~см\) | \(3.0\) | \(6.0\) | \(9.0\) | \(12.0\) | \(15.0\) | \(18.0\) | \(21.0\) | \(24.0\) |
| \(U_{9y},~мВ\) | \(0.9\) | \(2.1\) | \(3.7\) | \(5.4\) | \(7.3\) | \(9.0\) | \(10.9\) | \(12.0\) |
| \(U_{12y},~мВ\) | \(0.4\) | \(1.3\) | \(2.5\) | \(3.9\) | \(5.3\) | \(6.6\) | \(7.8\) | \(8.6\) |
Ответ:
A7. Ответ:
Видно, что графики не являются линейными функциями, однако похожи между собой. Для того чтобы проверить их подобие построим график зависимости одного напряжения от другого. Видно, что полученный график может быть описан прямой пропорциональностью, что говорит о верном предположении о подобии графиков.
B1. Отрежем от фольги достаточно длинный кусок. Подсоединим к нему источник питания (см. рисунок 8) так же, как и в предыдущем случае.
Пропустим через фольгу ток в \(I=(5.00\pm0.01) \ А\), и измерим падение напряжения \({U=(64.5\pm0.1) \ мВ}\) на участке кусочка фольги длиной \(l=(11.0\pm0.2 ) \ см\). Сопротивление этого участка фольги может быть рассчитано на основе закона Ома. Для поиска поверхностного сопротивления измерим ширину участка фольги \(d=(2.5\pm0.1) \ см\) и рассчитаем:
\[r=\frac{Ud}{Il}=(2.93\pm0.15) \ мОм. \tag{19}\]Для оценки погрешности сложим относительные погрешности входящих величин.
Для подтверждения результатов повторим измерение напряжения для значения \({l'=(19.8 \pm 0.2) \ см}\). Падение напряжения на этом участке составило \(U'=(115.6 \pm 0.1) \ мВ\). Поверхностное сопротивление оказывается равным:
Рис. 8. Установка для проведения эксперимента
Ответ:
\[r=\frac{U' d}{Il'}=(2.92\pm0.14) \ мОм \tag{20}\]
Источник: pho.rs/p/3812.
зад 2 Линза рассеивающая
В данной задаче требуется оценка погрешностей!
Теоретическая справка
Фокусное расстояние плоско-вогнутой линзы можно рассчитать как: \[F=-\frac{R}{n-1}, \tag{1}\] где \(R\) – радиус кривизны вогнутой поверхности, \(n\) – показатель преломления материала линзы.
Задание
Предметное стекло с лункой
A1. Измерьте радиус кривизны \(R\) изогнутой поверхности предметного стекла (рис. 1).
A2. Измерьте модуль фокусного расстояния \(|F|\) линзы образованной изогнутой и плоской поверхностью стекла. Рассчитайте с помощью полученных величин показатель преломления стекла \(n_1\).
A3. Измерьте показатель преломления предметного стекла в случае его работы как плоскопараллельной пластины \(n_2\).
A4. Сравните полученные результаты.
Оборудование
Предметное стекло с лункой
Лазерная указка
Канцелярский зажим
Рулетка
Линейка \(15~см\)
Малярный скотч
Штатив
Игла
Ножницы
Лист миллиметровой бумаги формата А4
▶ОтветСкрыть
A1: \[R= (13.8\pm0.4) \ \text{см}\]; A2: \[|F|=(29\pm3) \ \text{см}\]; A3: \[n_2=1.49\pm0.07\]
▶РешениеСкрыть
A1. Для измерения радиуса кривизны изогнутой поверхности стекла посветим на него лазерным лучом под небольшим углом падения (рисунок 1).
Падения луча на поверхность лунки
Лазерный луч достаточно широкий, поэтому разные его части попадают на разные части поверхности. Изогнутая поверхность стекла будет вести себя подобно вогнутому зеркалу, фокусируя лазерный луч на расстоянии полурадиуса кривизны поверхности. Для измерения положения фокусировки лазерного луча возьмем небольшой кусочек бумаги, на котором будем наблюдать зайчик отраженного от поверхности зеркала луча. В том месте, где размер зайчика станет минимальным, и будет находиться фокус отражающей поверхности. Измерения дают значение: \[R/2= (6.9\pm0.2) \ \text{см}.\] Погрешность измерения обусловлена как приборной погрешностью рулетки, так и некоторой наблюдаемой размытостью фокусировки луча.
Тогда радиус кривизны поверхности составляет:
Ответ:
\[R= (13.8\pm0.4) \ \text{см}\]
A2. Для определения фокусного расстояния линзы поставим стеклышко вертикально и будем светить на него горизонтальным лучом лазера. Параллельный лазерный пучок после прохождения через линзу станет расходящимся, как бы выходящим из заднего фокуса линзы.
Прохождение лазерного луча через рассеивающую линзу
Измерим зависимость диаметра лазерного пучка от расстояния до линзы. Для этого будем наблюдать зайчик от лазера на экране.
| \(x,~см\) | \(10.0\) | \(20.0\) | \(30.0\) | \(40.0\) | \(50.0\) | \(60.0\) | \(70.0\) | \(80.0\) | \(90.0\) | \(100.0\) | \(110.0\) |
| \(d,~мм\) | \(7\) | \(9\) | \(11\) | \(12\) | \(14\) | \(16\) | \(18\) | \(20\) | \(21\) | \(23\) | \(25\) |
Построим график найденной зависимости.
Видно, что она хорошо описывается линейной функцией. Экстраполируем данные до пересечения с осью \(x\). В этой точке диаметр должен обратиться в \(0\), то есть пучок света как бы выходит из этой точки. Таким образом координата этой точки соответствует модулю фокусного расстояния линзы:
Ответ:
\[|F|=(29\pm3) \ \text{см}\]
Погрешность этого измерения оценим, проведя крайние прямые через экспериментальные точки.
Рассчитаем на основе данных о радиусе кривизны поверхности линзы и ее фокусном расстоянии показатель преломления стекла:
Ответ:
\[n=1+\frac{|F|}{R}=1.47\pm0.06 \tag{2}\]
Погрешность измерения оценим, сложив относительные погрешности измерения радиуса кривизны и фокусного расстояния линзы:
Ответ:
\[\sigma_n=(n-1)(\varepsilon_{|F|} + \varepsilon_{R})=0.06 \tag{3}\]
A3. Измерим показатель преломления стекла способом, в котором предметное стекло будет выступать в роли плоскопарараллельной пластины. Для существенного смещения луча, необходимо, чтобы лазерный луч проходил большой путь внутри стекла, поэтому будем пускать лучик через боковую поверхность так, чтобы луч двигался во всей ширине стекла. Соберем установку, изображенную на рисунке 3. Для этого зажмем лазер в лапке штатива и направим лазерный луч под некоторым углом к поверхности стола. Предварительно наклеим на выходное отверстие лазера малярный скотч, в котором проткнем иглой небольшую дырку для уменьшения ширины пучка лазера. Поставим на стол предметное стекло так, чтобы оно находилось в плоскости падения лазерного луча на поверхность стола и при этом лазерный луч падал на торец стекла. Свет, попадая на границу раздела воздуха и стекла, будет преломляться, и освещать противоположную грань стекла и поверхность стола под ним. Так как лучик света все-таки достаточно широкий, то часть света будет проходить «мимо» стекла и попадать на поверхность стола без преломления.
Падения луча на поверхность лунки
Измерим расстояние между лазерными зайчиками на столе от преломленного и от непреломленного лучей \(x\). Также измерим геометрические величины необходимы для расчета угла падения луча \(h\) и \(l\) (см. рисунок 3) и ширину стекла \(y=(2.50\pm0.05)~см\). Проведем эксперимент несколько раз и занесем данные в таблицу.
| \(l,~см\) | \(26.7\) | \(37.5\) | \(37.2\) | \(27.2\) | \(21.3\) |
| \(h,~см\) | \(24.0\) | \(18.5\) | \(25.7\) | \(34.5\) | \(41.1\) |
| \(x,~мм\) | \(1.30\) | \(3.10\) | \(2.00\) | \(0.85\) | \(0.50\) |
| \(n\) | \(1.46\) | \(1.45\) | \(1.51\) | \(1.51\) | \(1.52\) |
Найдем связь между измеренными величинами и показателем преломления стекла. Угол падения луча \(\alpha\) определяется величинами \(h\) и \(l\): \[\operatorname{tg} \alpha=\frac{l}{h}. \tag{4}\] Угол преломления луча \(\beta\) связан с углом падения законом Снеллиуса: \[\sin \alpha=n\sin \beta. \tag{5}\] Вычислим геометрически величину \(x\): \[x=h(\operatorname{tg} \alpha - \operatorname{tg} \beta). \tag{6}\] После некоторых математических преобразований получим выражение для показателя преломления стекла: \[n=\frac{l}{\sqrt{l^2+h^2}}\cdot\sqrt{\frac{1}{({l}/{h}-{x}/{y})^2}+1}. \tag{7}\] Для оценки приборной погрешности изменим значение величины \(x\) на величину погрешности \(\sigma_x =0.5~мм\): \[\sigma_{n \ \text{приб}}=n(x=1.35 \ \text{мм})-n(x=1.30 \ \text{мм})=1.50-1.46=0.04. \tag{8}\] Для расчета случайной погрешности рассчитаем среднее отклонение от среднего: \[\sigma_{n \ \text{случ}}=0.03.\] Тогда среднее значение показателя преломления составляет:
Ответ:
\[n_2=1.49\pm0.07\]
A4. Видно, что значения показателей преломления \(n_1\) и \(n_2\), измеренные двумя способами совпадают в пределах погрешности.
Источник: pho.rs/p/3815.
зад 3 Метод рядов
В данной задаче требуется оценка погрешностей!
Теоретическая справка
В этой работе вам предстоит изучить деформацию кручения проволоки. При деформации кручения участка проволоки сечение одного конца участка поворачивается относительно другого вокруг оси участка (рис. 1) под действием скручивающего момента сил \(M\). Угол \(\varphi\) поворота сечений друг относительно друга при упругих деформациях связан c величиной скручивающего момента силы как:
\[M=\gamma\, \frac{\varphi}{l}\qquad(1) \tag{1}\]где \(l\) – длина участка проволоки. Величину \(\gamma\), характеризующую упругие свойства проволоки, будем называть модулем кручения единицы длины проволоки.
Кручение участка проволоки
Задание
Часть A. Статическая
Соберите установку, изображенную на рисунке 2. Для этого закрепите в лапке штатива поршень шприца объемом \(5~мл\). Прикрепите бумажный транспортир так, чтобы по нему было удобно контролировать угол поворота резервуарной части шприца относительно поршня. В сточенную иглу вставьте конец проволоки. Наденьте иглу на носик шприца так, чтобы конец проволоки был зажат между носиком шприца и пластиковой втулкой иглы. К концу проволоки прикрепите линейку длиной \(15~см\). Подвесьте под нее грузик соосно с проволокой. Поставьте весы с прикрепленным к ним деревянным бруском вертикально. Закрепите на столе резервуарную часть одного из шприцев. Подвиньте штатив так, чтобы линейка одним своим концом упиралась в этот шприц. Весы поставьте так, чтобы линейка упиралась в них своим противоположным концом. Начните поворачивать резервуарную часть закрепленного в штативе шприца так, чтобы давление на поверхность весов со стороны линейки увеличилось.
Установка для измерения модуля кручения проволоки статическим методом
A1. Измерьте длину проволоки \(l\), которая будет испытывать кручение. Измерьте зависимость показаний весов от угла \(\varphi\) поворота резервуарной части шприца (угла закручивания проволоки), сначала монотонно увеличивая угол закручивания, а после монотонно его уменьшая. Проведите измерения до угла закручивания не меньшего чем \(l \cdot 20 \; ^\circ/\text{см}\).
Обратите внимание, что весы в вертикальном положении могут «залипать» в положении нуля. Следует проводить измерения так, чтобы при определенном угле закручивания проволоки определять изменение показаний весов при оттягивании конца линейки от измерительной платформы весов.
A2. Рассчитайте момент сил кручения, действующих на проволоку, для каждого угла \(\varphi\). Постройте график зависимости \(M({\varphi}/{l})\) момента сил кручения от угла поворота единицы длины проволоки.
A3. В каком диапазоне углов поворота единицы длины проволоки выполняется закон, выражаемый формулой \((1)\)? Рассчитайте величину \(\gamma_{{ст}}\), модуля кручения единицы длины проволоки. Индекс «ст» означает, что измерения проведены статическим методом. Рассчитайте величину момента кручения \(M_{{пласт}}\), отвечающего началу пластической деформации проволоки.
Часть B. Колебательная
Более точным способом измерения \(\gamma\) является метод крутильных колебаний.
Уберите весы и шприц, ограничивающие движение линейки, а также снимите груз.
B1. Измерьте зависимость периода крутильных колебаний линейки от длины проволоки \(l\).
B2. Опишите полученную зависимость теоретически. При выводах можете воспользоваться фактом, что кинетическая энергия вращательного движения линейки \(W_{к}\) в таких колебаниях может быть записана как:
\[W_{к}=\frac{mL^2}{12}\frac{\omega^2}{2}, \tag{2}\]где \(m\) – масса линейки, \(L\) – ее длина, \(\omega\) – угловая скорость вращения.
B3. Выберите координаты, в которых зависимость периода колебаний линейки от длины подвеса будет линейной, обоснуйте свой выбор. Дайте физическую интерпретацию возможному смещению графика относительно начала координат. Постройте график в предложенных вами координатах. Определите \(\gamma_{{к}}\).
Часть C. Табличная
C1. Кратко объясните расхождения между величинами \(\gamma_{{ст}}\) и \(\gamma_{{к}}\). Какое из этих значений ближе к истинному?
C2. Известно, что модуль кручения единицы длины \(\gamma\) проволоки выражается через модуль сдвига \(G\) материала, из которого она изготовлена, следующим образом:
\[\gamma= \dfrac{\pi G d^4}{32}, \tag{3}\]где \(d\) – диаметр проволоки (указан в оборудовании). Рассчитайте модуль сдвига меди.
Часть D. Пружинная
D1. Пластичность медной проволоки позволяет навить из нее пружину. Изготовьте из проволоки несколько пружин разных диаметров. Пружины должны содержать не менее 15 витков. Измерьте жесткость одного витка \(k\) изготовленных вами пружин.
D2. Зависимость жесткости \(k\) одного витка пружины от его диаметра \(D\) и модуля кручения единицы длины проволоки \(\gamma\), из которой изготовлена пружина, можно описать степенной функцией:
\[k = A \gamma^j D^i, \tag{4}\]где \(i\) и \(j\) – целые числа, а \(A\) – некоторая константа. По полученным экспериментальным данным определите степень \(i\).
D3. Проволока, из которой навита пружина, испытывает деформацию кручения. Получите теоретически рассчитанные величины \(i\), \(j\) и \(A\).
D4. По данным зависимости \(k(D)\), измеренной в пункте D1, постройте график в координатах \(k^{1/i}(D)\). По угловому коэффициенту графика и значению \(\gamma\), выбранному вами в пункте C1, определите значение константы \(A_{эксп}\). Совпадает ли определенная вами величина с ее теоретическим значением?
D5. Для пружины диаметром \(D \approx 20\ мм\), состоящей из 15 витков, измерьте зависимость удлинения пружины \(\Delta x\) от растягивающей ее силы \(F\). Сначала монотонно увеличивайте силу до значения \(F_{1\max} = 55\; \text{мН}\), а затем монотонно уменьшайте до нулевого значения. Проведите измерения повторно, используя ту же пружину, растягивая ее в диапазоне сил от \(0\) до \(F_{2\max} = 70 \; \text{мН}\). Нанесите экспериментальные данные зависимости \(F(\Delta x)\) на график.
D6. Опишите отличия поведения проволоки при её деформации в областях пластичности по данным измерений пунктов A1 и D5.
Оборудование
Катушка с медной проволокой диаметром \(d=(0.30 \pm 0.01) \ \text{мм}\)
Штатив
Весы c прикрепленным к ним бруском
Груз
Сточенная игла
Шприц объемом \(1~ мл\)
Шприц объемом \(2 ~мл\)
Шприц объемом \(5 ~мл\)
Шприц объемом \(10 ~мл\)
Шприц объемом \(20 ~мл\)
Бумажный транспортир (не показан на фотографии)
Ножницы
Линейка длинной \(15 ~см\)
Линейка длинной \(50 ~см\)
Малярный скотч
Секундомер
▶ОтветСкрыть
A1: \[l=(35.0\pm0.5)~см\]; A3: \[M_{пласт}=1.2 \cdot 10^{-3}~Н\cdot м\]; D2: \[i=-3\]; D3: \[i=-3,\qquad j=1,\qquad A_{теор}=\dfrac{4}{\pi}\]
▶РешениеСкрыть
A1. Проведем измерения показаний весов \(m^*\) от угла кручения проволоки. Длина проволоки при этом составит:
Ответ:
\[l=(35.0\pm0.5)~см\]
Ответ:
| \(\varphi,~{}^\circ\) | \(0\) | \(30\) | \(60\) | \(90\) | \(120\) | \(150\) | \(180\) | \(210\) | \(240\) | \(270\) | \(300\) |
| \(m^*,~г\) | \(0.00\) | \(0.00\) | \(0.04\) | \(0.13\) | \(0.21\) | \(0.24\) | \(0.31\) | \(0.32\) | \(0.42\) | \(0.44\) | \(0.55\) |
| \(M,~10^{-3}~Н\cdot м\) | \(0.00\) | \(0.00\) | \(0.06\) | \(0.20\) | \(0.33\) | \(0.38\) | \(0.49\) | \(0.50\) | \(0.66\) | \(0.69\) | \(0.86\) |
| \(\varphi/l,~{}^\circ/см\) | \(0.00\) | \(0.86\) | \(1.71\) | \(2.57\) | \(3.43\) | \(4.29\) | \(5.14\) | \(6.00\) | \(6.86\) | \(7.71\) | \(8.57\) |
| \(\varphi,~{}^\circ\) | \(330\) | \(360\) | \(390\) | \(420\) | \(450\) | \(480\) | \(540\) | \(600\) | \(660\) | \(720\) | \(660\) |
| \(m^*,~г\) | \(0.55\) | \(0.65\) | \(0.74\) | \(0.74\) | \(0.74\) | \(0.81\) | \(0.81\) | \(0.81\) | \(0.81\) | \(0.81\) | \(0.73\) |
| \(M,~10^{-3}~Н\cdot м\) | \(0.86\) | \(1.02\) | \(1.16\) | \(1.16\) | \(1.16\) | \(1.27\) | \(1.27\) | \(1.27\) | \(1.27\) | \(1.27\) | \(1.14\) |
| \(\varphi/l,~{}^\circ/см\) | \(9.43\) | \(10.29\) | \(11.14\) | \(12.00\) | \(12.86\) | \(13.71\) | \(15.43\) | \(17.14\) | \(18.86\) | \(20.57\) | \(18.86\) |
| \(\varphi,~{}^\circ\) | \(600\) | \(570\) | \(540\) | \(510\) | \(480\) | \(450\) | \(420\) | \(390\) | \(360\) | \(330\) | \(300\) |
| \(m^*,~г\) | \(0.58\) | \(0.55\) | \(0.50\) | \(0.38\) | \(0.36\) | \(0.30\) | \(0.24\) | \(0.17\) | \(0.17\) | \(0.07\) | \(0.00\) |
| \(M,~10^{-3}~Н\cdot м\) | \(0.91\) | \(0.86\) | \(0.78\) | \(0.60\) | \(0.56\) | \(0.47\) | \(0.38\) | \(0.27\) | \(0.27\) | \(0.11\) | \(0.00\) |
| \(\varphi/l,~{}^\circ/см\) | \(17.14\) | \(16.29\) | \(15.43\) | \(14.57\) | \(13.71\) | \(12.86\) | \(12.00\) | \(11.14\) | \(10.29\) | \(9.43\) | \(8.57\) |
A2. Момент сил кручения складывается из действия на линейку весов и шприца. Так как шприц и весы располагаются на концах линейки, то силы, которые они оказывают на проволоку равны. Рассчитаем момент сил кручения как: \[M=2m^*g\frac{L}{2}=m^*gL, \tag{5}\]где \(L=(16.0\pm0.1)~см\). Погрешность измерения показаний весов оценим как \(0.03~г\), погрешность определения угла примем равной \(5^\circ\). Погрешность измерения момента силы будем рассчитывать на основе относительной погрешности измерения массы, так как относительная погрешность измерения длины линейки пренебрежимо мала.
Построим график исследованной зависимости.
Ответ:
A3. Видно, что график хорошо описывается линейно функцией вплоть до значений момента закручивающих сил
Ответ:
\[M_{пласт}=1.2 \cdot 10^{-3}~Н\cdot м\]
Начиная приблизительно с этого момента сил проволока деформируется пластически. Линейное приближение, описываемое формулой \((1)\) выполняется в диапазоне \({\varphi}/{l} \in [0;11] ~^\circ/\text{см}\). При величинах моментов сил ниже критического деформации можно считать упругими - график хорошо описывается линейно функцией. Угловой коэффициент линейной части графика равен \(\alpha=(1.01\pm 0.05) \cdot10^{-6} ~{\text{H}\cdot\text{м}^2}/{\,^\circ}\).
Рассчитаем на основе величины углового коэффициента графика модуль кручения единицы длин проволоки.
Ответ:
\[\gamma_{ст}=(5.70\pm0.25)\cdot10^{-5} \ \text{H}\cdot\text{м}^2 \tag{6}\]
B1. Измерим зависимость периода колебаний линейки от длины подвеса. Измерения длины подвеса всегда будем проводить между фиксированными точками. Для повышения точности следует засекать период не одного, а нескольких колебаний \(N\).
Ответ:
| \(l,~см\) | \(t_1,~с\) | \(t_2,~с\) | \(t_3,~с\) | \(N\) | \(T,~с\) | \(T^2,~с^2\) |
| \(5.9\) | \(11.20\) | \(11.54\) | \(10.98\) | \(10\) | \(1.12\) | \(1.26\) |
| \(12.9\) | \(14.40\) | \(14.66\) | \(14.40\) | \(10\) | \(1.45\) | \(2.10\) |
| \(19.8\) | \(17.20\) | \(17.20\) | \(17.60\) | \(10\) | \(1.73\) | \(3.00\) |
| \(26.0\) | \(19.14\) | \(19.26\) | \(18.94\) | \(10\) | \(1.91\) | \(3.65\) |
| \(30.7\) | \(20.64\) | \(20.62\) | \(20.86\) | \(10\) | \(2.07\) | \(4.29\) |
| \(36.8\) | \(22.18\) | \(22.04\) | \(22.06\) | \(10\) | \(2.21\) | \(4.88\) |
| \(40.2\) | \(23.22\) | \(23.06\) | \(23.16\) | \(10\) | \(2.31\) | \(5.36\) |
B2. Для получения теоретического выражения для периода колебаний запишем энергию колебательного процесса в некоторый момент времени:
\[W=w_{упр}+T= \frac{\gamma \varphi^2}{2(l+l_0)}+\frac{mL^2}{12}\frac{\dot{\varphi}^2}{2}, \tag{7}\]где \(l_0\) – некоторая эффективная длина участков проволоки, участвующих в кручении, но не учтенных в измерении \(l\). Из вида полученной функции энергии получаем выражение для периода колебаний:
Ответ:
\[T=2\pi\sqrt{\frac{mL^2(l+l_0)}{12\gamma}} \tag{8}\]
B3. Возведем выражение в квадрат:
\[T^2=\pi^2\frac{mL^2(l+l_0)}{3\gamma}. \tag{9}\]
Видно, что в координатах \(T^2(l)\) зависимость является линейной функцией. Величина \(l_0\) характеризует смещение графика относительно точки с координатами \((0,0)\). Возведем измеренные значения периодов колебаний в квадрат и построим график исследованной зависимости. По оси длины погрешность не превышает \(2 ~мм\). Погрешность измерения времени \(t\) оценим в \(0.3~ с\) (характерное время реакции человека). Тогда погрешность квадрата наибольшего из измеренных периодов составит:
\[\sigma_{T^2}=2T\sigma_T=2\,\frac{t}{N}\frac{\sigma_t}{N}=2\frac{0.3\cdot23.2}{10^2}=0.14 \ \text{c}^2. \tag{10}\]Угловой коэффициент графика составляет \(\beta=(11.8\pm0.5) ~{\text{c}^2}/{\text{м}}\). С учетом массы линейки \(m=(5.23\pm0.03)~ г\) рассчитаем модуль кручения единицы длины проволоки:
Ответ:
\[\gamma_к = \pi^2\frac{mL^2}{3\beta}= (3.6\pm0.2) \cdot 10^{-5} \ \text{H}\cdot\text{м}^2 \tag{11}\]
Погрешность оценим сложив относительные погрешности массы линейки, ее длины и величины углового коэффициента графика.
Ответ:
\[\sigma_{\gamma_к}=\gamma_к(\varepsilon_m+2\varepsilon_L+\varepsilon_B)=0.2 \cdot 10^{-5} \ \text{H}\cdot\text{м}^2 \tag{12}\]
C1. Измерения, проведенные статическим способом, не позволяют определить \(\gamma\) с хорошей точностью. Одна из причин состоит в том, что в кручении участвует не только проволока подвеса, но и часть проволоки, которой прикреплена линейка. Колебательный метод учитывает \(l_0\) – некоторую эффективную длину участков проволоки, участвующих в кручении, но не учтенных в измерении \(l\), поэтому модуль кручения единицы длины проволоки, определенный колебательным методом \(\gamma_к\) ближе к истинному и для дальнейших расчетов нужно использовать его.
C2. Рассчитаем, чему равняется модуль сдвига меди:
Ответ:
\[G=\dfrac{32\gamma_к}{\pi d^4}=45~ГПа \tag{13}\]
D1. Навьем из проволоки пружинки разных диаметров \(D\). Обозначим количество витков в них за \(Q\). Для измерения жесткости соберем установку, изображенную на рисунке 1.
Установка для измерения жесткостей пружин
Поставим весы под лапку штатива, положим на весы грузик. Запишем показания весов. Прикрепим к ушку грузика один конец пружины, растянем пружину и закрепим второй ее конец на лапке штатива (для этого удобно воспользоваться зажимающим винтом лапки). Измерим показания весов \(m^*\) и длину пружины в растянутом положении \(h\). Открепим конец пружины от грузика и измерим длину пружины в нерастянутом положении \(h_0\) и показания весов в этом случае \(m_0^*\). Необходимо при этом следить, чтобы пружина испытывала упругие деформации. Занесем данные в таблицу и рассчитаем жесткости витков пружин по формуле:
\[k=Q\frac{(m^*_0 - m^*)g}{h-h_0}. \tag{14}\]Погрешность измерения коэффициентов жесткости рассчитаем через сложение относительных погрешностей изменения показаний весов \(\sigma_{m_0^*}=\sigma_{m^*}=0.01\; г\), изменения длины пружины и количества витков в ней:
\[\sigma_k=k\cdot\Big(\dfrac{2\sigma_{m^*}}{m_0^*-m^*}+\frac{2\sigma_h}{h-h_0}+\frac{\sigma_Q}{Q}\Big), \tag{15}\]где \(\sigma_h = 1~мм\), \(\sigma_Q = 0.5\). Погрешность измерения диаметра витков примем равной \(\sigma_D=1~мм\).
Ответ:
| \(D,~мм\) | \(Q\) | \(h,~см\) | \(h_0,~см\) | \(m^*,~г\) | \(m_0^*,~г\) | \(k,~Н/м\) | \(\sigma_k,~Н/м\) |
| \(27\) | \(17\) | \(35.0\) | \(27.0\) | \(-0.13\) | \(1.08\) | \(2.5\) | \(0.07\) |
| \(20\) | \(18\) | \(31.0\) | \(15.7\) | \(44.45\) | \(49.42\) | \(5.7\) | \(0.04\) |
| \(16\) | \(10\) | \(20.0\) | \(5.2\) | \(5.29\) | \(0.00\) | \(10.8\) | \(0.10\) |
| \(13\) | \(29\) | \(38.0\) | \(27.5\) | \(39.26\) | \(47.01\) | \(21.0\) | \(0.04\) |
| \(7\) | \(49\) | \(30.0\) | \(23.3\) | \(29.40\) | \(45.70\) | \(116.8\) | \(0.04\) |
D2. Для определения степени \(i\) рассчитаем логарифмы диаметров и коэффициентов жесткости пружин. Погрешности логарифмов величин равны относительным погрешностям самих величин.
| \(\ln(k\cdot м/Н)\) | \(3.30\) | \(3.00\) | \(2.77\) | \(2.56\) | \(1.95\) |
| \(\ln(D/мм)\) | \(0.92\) | \(1.75\) | \(2.38\) | \(3.04\) | \(4.76\) |
| \(\sigma_{\ln(k\cdot м/Н)}\) | \(0.03\) | \(0.01\) | \(0.01\) | \(0.00\) | \(0.00\) |
| \(\sigma_{\ln(D/мм)}\) | \(0.04\) | \(0.05\) | \(0.06\) | \(0.08\) | \(0.14\) |
Построим график зависимости \(\ln{k}\) от \(\ln{D}\).
Видно, что экспериментальные точки хорошо описываются линейной зависимостью с угловым коэффициентом \((-2.9\pm0.2)\). В данный диапазон попадает лишь одно целое число, значит степень зависимости
Ответ:
\[i=-3\]
D3. Получим теоретическую связь между модулем кручения единицы длины проволоки и жесткостью одного витка пружины из этой проволоки. Пусть на виток действует сила \(F\), из-за чего он растянулся на величину \(h\). Разобьем один виток проволоки на кусочки длиной \(\mathrm dz\). Каждый из кусочков будет поворачиваться на некоторый угол \(\mathrm d\varphi\). Этот угол будет связан с вкладом этого кусочка в общую деформацию витка через диаметр витка:
\[\mathrm dh=\mathrm d\varphi \cdot\frac{D}{2}. \tag{16}\]С другой стороны на каждый виток действует скручивающий момент силы:
\[M=F\,\frac{D}{2}. \tag{17}\]Из закона Гука для кручения кусочка получаем:
\[\varphi=\frac{M~\mathrm dz}{\gamma}=\frac{FD~\mathrm dz}{2\gamma}. \tag{18}\]Таким образом вклад малого кусочка в общее удлинение витка связан с длиной кусочка прямо пропорционально:
\[\mathrm dh=F\,\frac{D^2}{4\gamma}~\mathrm dz. \tag{19}\]Откуда, с учетом длины витка \(z=\pi D\), получаем для полного растяжения витка:
\[h=\pi F\,\frac{D^3}{4\gamma}. \tag{20}\]Тогда коэффициент жесткости одного витка можно вычислить как:
\[k=\frac{F}{h}=\frac{4\gamma}{\pi D^3}. \tag{21}\]Иным словами:
Ответ:
\[i=-3,\qquad j=1,\qquad A_{теор}=\dfrac{4}{\pi}\]
То есть, теоретическая степень зависимости жесткости одного витка его диаметра совпадает с полученным ранее экспериментальным значением.
D4. Построим график зависимости жесткости одного витка пружины от диаметра витка в линейных координатах.
Пересчитаем данные в таблице и построим по ним требуемый график. Относительную погрешность степенной функции от \(k\) найдем умножив относительную погрешность \(k\) на показатель степени. \[\sigma_{k^{-1/3}}=\dfrac{1}{3}k^{-1/3}\frac{\sigma_k}{k}. \tag{22}\]
| \(D,~мм\) | \(27.00\) | \(20.00\) | \(16.00\) | \(13.00\) | \(7.00\) |
| \(k^{-1/3},~(мм/Н)^{1/3}\) | \(0.73\) | \(0.56\) | \(0.45\) | \(0.36\) | \(0.20\) |
| \(\sigma_D,~мм\) | \(1.00\) | \(1.00\) | \(1.00\) | \(1.00\) | \(1.00\) |
| \(\sigma_{k^{-1/3}},~(мм/Н)^{1/3}\) | \(0.007\) | \(0.001\) | \(0.001\) | \(0.000\) | \(0.000\) |
Ответ:
Угловой коэффициент графика составляет \(\kappa=(0.027\pm0.003)~ \left[\dfrac{1}{мм^2 \cdot Н}\right]^{1/3}\).
Вычислим экспериментальное значение константы \(A\), используя значение модуля кручения единицы длины проволоки, полученное колебательным способом \(\gamma_к\):
Ответ:
\[А_{эксп}=\dfrac{1}{\gamma_к \kappa^3}=1.4\pm0.2 \tag{23}\]
Теоретическое значение \(A_{теор}=\frac{4}{\pi}=1.27\) совпадает с полученным экспериментально с учетом погрешности.
D5. Для измерения зависимости \(F(\Delta x)\) воспользуемся установкой, изображенной на рис. 1. Соберем установку таким образом, чтобы недеформированной пружине соответствовало нулевое показание весов \(m^*_0=0 \;г\). Будем монотонно удлинять пружину и следить за показаниями весов. Дойдя до значения \(F_{\max_1}\), которое соответствует показанию весов \(m^*_{\max_1}=m^*_0-{F_{\max_1}}/{g}= - 5.6 \;г\), начнем монотонно уменьшать длину пружины, вплоть до нулевого значения силы. Повторим измерения, монотонно дойдя до силы \(F_{\max_2}\), которое соответствует показанию весов \(m^*_{\max_2}=m^*_0-{F_{\max_2}}/{g}= - 7.1\; г\). Измерения занесем в таблицу. По данным таблицы построим график \(F(\Delta x)\).
Ответ:
| Первый цикл измерений | Второй цикл измерений | |||||||
| \(h,~см\) | \(m^*,~г\) | \(\Delta x,~см\) | \(F,~мН\) | \(h,~см\) | \(m^*,~г\) | \(\Delta x,~см\) | \(F,~мН\) | |
| \(15.10\) | \(0.00\) | \(0.00\) | \(0.00\) | \(26.00\) | \(0.00\) | \(10.90\) | \(0.00\) | |
| \(17.80\) | \(-0.94\) | \(2.70\) | \(9.21\) | \(31.60\) | \(-2.21\) | \(16.50\) | \(21.66\) | |
| \(20.40\) | \(-2.05\) | \(5.30\) | \(20.09\) | \(44.50\) | \(-5.50\) | \(29.40\) | \(53.90\) | |
| \(23.40\) | \(-3.21\) | \(8.30\) | \(31.46\) | \(35.50\) | \(-3.73\) | \(20.40\) | \(36.55\) | |
| \(26.60\) | \(-4.13\) | \(11.50\) | \(40.47\) | \(47.00\) | \(-6.56\) | \(31.90\) | \(64.29\) | |
| \(28.50\) | \(-4.68\) | \(13.40\) | \(45.86\) | \(48.50\) | \(-6.87\) | \(33.40\) | \(67.33\) | |
| \(30.10\) | \(-4.98\) | \(15.00\) | \(48.80\) | \(49.90\) | \(-4.75\) | \(34.80\) | \(46.55\) | |
| \(33.60\) | \(-5.50\) | \(18.50\) | \(53.90\) | \(52.50\) | \(-6.00\) | \(37.40\) | \(58.80\) | |
| \(38.30\) | \(-6.20\) | \(23.20\) | \(60.76\) | \(51.50\) | \(-7.17\) | \(36.40\) | \(70.27\) | |
| \(40.70\) | \(-6.45\) | \(25.60\) | \(63.21\) | \(55.00\) | \(-7.44\) | \(39.90\) | \(72.91\) | |
| \(42.00\) | \(-6.53\) | \(26.90\) | \(63.99\) | \(47.00\) | \(-3.33\) | \(31.90\) | \(32.63\) | |
| \(39.10\) | \(-4.85\) | \(24.00\) | \(47.53\) | \(42.50\) | \(-1.52\) | \(27.40\) | \(14.90\) | |
| \(35.50\) | \(-3.31\) | \(20.40\) | \(32.44\) | \(37.50\) | \(-0.09\) | \(22.40\) | \(0.88\) | |
| \(30.60\) | \(-1.41\) | \(15.50\) | \(13.82\) | |||||
| \(26.50\) | \(-0.13\) | \(11.40\) | \(1.27\) | |||||
| \(26.00\) | \(0.00\) | \(10.90\) | \(0.00\) |
Ответ:
D6. При наблюдении пластических деформаций проволоки в пункте A1, силовая характеристика (крутящий момент) оставался постоянным при увеличении деформации в области пластичности. Наблюдение пластической деформации в пружине показывает, что силовая характеристика (сила упругости) растет с увеличением деформации как в области упругости, так и в области пластических деформаций пружины.
Источник: pho.rs/p/3816.
зад 4 Рассеяние
В задаче не требуется оценка погрешностей!
Введение
При прохождении света через среду часть энергии света может поглощаться средой с последующим выделением тепла, а часть – рассеиваться на частицах среды. При рассеянии свет переизлучается рассеивающими частицами практически во всех возможных направлениях, поэтому среда «светится» при прохождении света через неё, и её свечение можно увидеть.
В этой задаче вам предстоит изучить прохождение света через раствор воды с молоком. Чистая вода является малопоглощающей и не рассеивающей свет средой. Молоко, напротив, может как поглощать свет, так и сильно его рассеивать.
Для проведения фотометрических измерений вам необходимо будет воспользоваться фотодиодом. Вид его вольт-амперной характеристики представлен на рис. 1а. При отрицательных напряжениях вольт-амперная характеристика фотодиода выходит на насыщение по току. Ток насыщения пропорционален мощности поглощенного фотодиодом светового излучения. Последовательно к фотодиоду в плату впаян ограничивающий резистор. Считайте, что график вольт-амперной характеристики имеет постоянное значения тока \(I_{нас}\) в пределах напряжений от \(3\) до \(9~В\).
а) Вольт-амперная характеристика фотодиода; б) Принцип работы измерительной схемы
Указания
1. Лазерный модуль работает от источника питания. Значения тока и напряжения на источнике выставлены заранее. Эти значения менять запрещено. Запрещено снимать малярный скотч с лазерного модуля и проводов, подключающих его к источнику питания. Убедитесь, что при включении источника питания, лазер светит достаточно ярко, а ток, текущий через него составляет \(I_0 = (130 \pm 5) \;мА\).
2. Запишите в работу номер своего лазерного модуля.
3. Перед наливанием раствора в пробирку хорошо его перемешайте!
Задание
Часть A. Высотная
а) Схема установки для выполнения пункта №2;\(\\$б) Схема установки для выполнения пункта №3 \textbf{A1.} Соберите установку, изображенную на рис. 2а. Для этого закрепите в лапке штатива пробирку под лазерной указкой. Добейтесь того, чтобы лазерный луч шел вертикально. Опишите свои действия. Установите пробирку под лазерным лучом, сориентировав ее строго вертикально. Налейте с помощью шприца с трубкой раствор молока в пробирку. Для измерений используйте схему, изображенную на рис. 2б. Положите под пробирку фотодиод, подберите расстояние между дном пробирки и фотодиодом таким образом, чтобы луч фокусировался дном пробирки на поверхности фотодиода. Отъюстируйте установку так, чтобы луч шел вдоль оси пробирки. Измерьте зависимость тока\)I_1\(, текущего через амперметр от высоты столба раствора молока в пробирке\)h\(. \textbf{A2.} Постройте график измеренной зависимости. \textbf{A3.} Предложите координаты, в которых исследованная зависимость должна являться линейной функцией. Обоснуйте свой выбор теоретически. \textbf{A4.} Постройте график линеаризованной зависимости в предложенных координатах. Почему он не является линейным во всем диапазоне высот\)h\(? \textbf{A5.} Рассчитайте, используя график, мощность излучения лазерной указки в единицах тока насыщения фотодиода. Отражением на границах раздела сред в установке пренебрегите. \textbf{Часть B. Угловая} \textbf{B1.} Соберите установку, изображенную на рис. 2б. Для этого налейте в пробирку жидкость так, чтобы ее уровень оказался ниже края пробирки на\)1-2 см\(. Наденьте на пробирку бумажный транспортир. Поместите дно пробирки в отверстие в бруске. Установите брусок так, чтобы центр его отверстия совпал с центром шкалы транспортира. В верхний конец пробирки вставьте лазерную указку, брусок прижмите к поверхности штатива струбциной. К внешней боковой поверхности пробирки на глубине не менее\)2 см\(от поверхности раствора канцелярским зажимом прижмите фотодиод. Запишите расстояние между поверхностью раствора и измерительной поверхностью фотодиода\)H\(. К дужкам зажима привяжите нитку с гайкой, которая будет служить стрелкой для измерения угла по шкале транспортира. В этой части будут измеряться токи порядка микроампер, поэтому для повышения точности измерений в схеме, изображенной на рис. 1б, замените амперметр на параллельно соединенные вольтметр и резистор сопротивлением\)10 кОм\(. Вращая пробирку, измерьте зависимость мощности рассеянного излучения (в единицах тока насыщения), измеряемого фотодиодом (не забывайте вычитать фоновый сигнал), от угла поворота фотодиода относительно лазера с шагом в\)20^\circ\(. \textbf{B2.} Постройте график исследованной зависимости в полярных координатах. \textbf{B3.} Пронаблюдайте, что полученная неоднородность углового распределения интенсивности рассеянного света заметна невооруженным глазом. Заклейте указку малярным скотчем и сделайте в скотче небольшое отверстие в центре (диафрагму). Закрепите лазер в лапке штатива. Пронаблюдайте глазом угловое распределение интенсивности рассеянного света в этом случае. Сохранился ли эффект при освещении раствора лазером с диафрагмой? Объясните, какими факторами может быть вызван эффект неоднородности углового распределения рассеянного света. \textbf{Оборудование} \begin{ris} \includegraphics{4-3.jpg} \end{ris} \begin{enumerate} \item Раствор молока в стакане \item Штатив с двумя лапками и муфтами \item Шприц\)20 мл\(с трубкой \item Пробирка диаметром\)16 мм\(\item Лазерная указка, подключенная к источнику питания \item Канцелярский зажим \item Линейка длиной\)15 см\(\item Струбцина \item Малярный скотч \item Ножницы \item Нитка \item Гайка \item Брусок с отверстием \item Фотодиод на плате с магнитом \item Батарейка «Крона» \item Резистор сопротивлением\)10 кОм$ \item Мультиметр \item Соединительные провода \item Игла \item Салфетки для поддержания чистоты на рабочем месте (не показаны на фото)
▶ОтветСкрыть
A3: Так как ток насыщения фотодиода пропорционален мощности падающего излучения, то график \(\ln I_1\) от \(h\) должен описываться линейной функцией.; A5: \[I_{10}=e^{2.25}=9.5 \ мА\]
▶РешениеСкрыть
A1. Соберем установку, изображенную на рисунке 2б условия. Измерим зависимость показаний амперметра \(I_1\) от уровня жидкости в пробирке \(h\). Уровень при этом будем отсчитывать от нижней точки пробирки.
Построим график измеренной зависимости. При отключении лазерного излучения ток фотодиода будет определяться фоновым излучением света ламп и окон в аудитории. В данном упражнении фоновый ток составляет порядка нескольких микроампер, поэтому его можно не учитывать при измерениях.
Ответ:
| \(h,~см\) | \(0.2\) | \(1.2\) | \(1.6\) | \(2.0\) | \(2.4\) | \(3.1\) | \(3.6\) | \(4.1\) | \(4.6\) | \(5.0\) |
| \(I_1,~мА\) | \(4.72\) | \(4.70\) | \(4.70\) | \(4.68\) | \(4.67\) | \(4.62\) | \(4.39\) | \(4.09\) | \(3.76\) | \(3.50\) |
| \(\ln(I_1/мА)\) | \(1.55\) | \(1.55\) | \(1.55\) | \(1.54\) | \(1.54\) | \(1.53\) | \(1.48\) | \(1.41\) | \(1.32\) | \(1.25\) |
| \(h,~см\) | \(5.6\) | \(6.7\) | \(7.7\) | \(8.2\) | \(8.7\) | \(9.1\) | \(10.0\) | \(10.6\) | \(11.2\) | \(11.8\) |
| \(I_1,~мА\) | \(3.16\) | \(2.72\) | \(2.17\) | \(1.99\) | \(1.76\) | \(1.60\) | \(1.28\) | \(1.14\) | \(1.03\) | \(0.87\) |
| \(\ln(I_1/мА)\) | \(1.15\) | \(1.00\) | \(0.77\) | \(0.69\) | \(0.57\) | \(0.47\) | \(0.25\) | \(0.13\) | \(0.03\) | \(-0.14\) |
A2. Ответ:
A3. Видно, что график является нелинейной убывающей функцией. Построим простейшую теоретическую модель, объясняющую его поведение. Пусть в толщине \(\mathrm dh\) находится некоторое количество рассеивающих и поглощающих центров, очевидно пропорциональное толщине \(\mathrm dh\). На каждом из таких центров теряется или рассеивается часть энергии \(N\) падающего излучения. Чем больше падающее излучение, тем большее его количество теряется. С другой стороны количество, потерянной энергии \(\mathrm dN\) пропорционально толщине \(\mathrm dh\). Тогда несложно записать простейшее дифференциальное уравнение, описывающее этот процесс:\[\mathrm dN=-k N ~\mathrm dh. \tag{1}\]Его решением является экспоненциальная функция:
\[N=N_0 e^{-kh}. \tag{2}\]Или в линеаризованном виде:
\[\ln N=\ln N_0 -kh. \tag{3}\]
Ответ:
Так как ток насыщения фотодиода пропорционален мощности падающего излучения, то график \(\ln I_1\) от \(h\) должен описываться линейной функцией.
A4. Проверим это, пересчитав координаты исходного графика.
Ответ:
Видно, что график описывается линейной функцией с модулем углового коэффициента \(k=2.0\cdot10^{-2} \ мм^{-1}\).
A5. Если экстраполировать линейную функцию до нулевого значения толщины поглощающего слоя, то можно получить значение логарифма мощности исходного пучка лазерной указки:
Ответ:
\[I_{10}=e^{2.25}=9.5 \ мА\]
Измерить данное значение напрямую сложно, так как c одной стороны весь пучок лазера шире площади поверхности фотодиода. В случае представленного измерения, нижняя часть пробирки фокусирует весь пучок лазерного излучения на измерительной поверхности. С другой стороны при попадании полной мощности пучка на фотодиод напряжение, падающее на ограничивающем резисторе, становится практически равным напряжению батареи, что выводит рабочую точку фотодиода из области ВАХ, соответствующей области насыщения тока. Последнее объясняет образование плато на графике на уровне в \(4.7~ мА\). Действительно, сопротивление ограничивающего резистора составляет \(\approx 2~ кОм\), а напряжение батарейки \(\approx 9 ~В\).
B1. Соберем установку, изображенную на рисунке 2б. Так как мощность рассеянного света, попадающего на фотодиод, в данном упражнении много меньше мощностей, измеряемых в первом упражнении, требуется увеличение чувствительности схемы измерений. Простого переключения мультиметра в режим наиболее точного измерения тока может быть не достаточно. Поэтому подключим вместо амперметра резистор с сопротивлением \({R_{10}=10 \ кОм}\) и будем измерять на нем напряжение \(U_2\) вольтметром, которое легко пересчитать в ток, текущий через резистор:
\[I_2=\frac{U_2}{R_{10}}. \tag{4}\]Проведем измерения мощности излучения в зависимости от угла поворота пробирки с фотодиодом. В этом упражнении будем вычитать фоновый сигнал, так как мощность рассеянного света сравнима с мощностью фонового излучения.
Ответ:
| \(\alpha,~{}^\circ\) | \(0\) | \(20\) | \(40\) | \(60\) | \(80\) | \(100\) | \(120\) | \(140\) | \(160\) |
| \(U_2,~мВ\) | \(80\) | \(77\) | \(80\) | \(90\) | \(98\) | \(114\) | \(125\) | \(116\) | \(103\) |
| \(U_{2ф},~мВ\) | \(17\) | \(17\) | \(18\) | \(19\) | \(18\) | \(19\) | \(21\) | \(19\) | \(20\) |
| \(I_2,~мкА\) | \(6.3\) | \(6.0\) | \(6.2\) | \(7.1\) | \(8.0\) | \(9.5\) | \(10.4\) | \(9.7\) | \(8.3\) |
| \(\alpha,~{}^\circ\) | \(180\) | \(200\) | \(220\) | \(240\) | \(260\) | \(280\) | \(300\) | \(320\) | \(340\) |
| \(U_2,~мВ\) | \(88\) | \(82\) | \(92\) | \(100\) | \(113\) | \(120\) | \(113\) | \(106\) | \(84\) |
| \(U_{2ф},~мВ\) | \(19\) | \(17\) | \(17\) | \(19\) | \(18\) | \(17\) | \(16\) | \(18\) | \(18\) |
| \(I_2,~мкА\) | \(6.9\) | \(6.5\) | \(7.5\) | \(8.1\) | \(9.5\) | \(10.3\) | \(9.7\) | \(8.8\) | \(6.6\) |
B2. Ответ:
B3. Видно, что мощность рассеянного излучения зависит от угла наблюдения. Этот эффект можно наблюдать визуально, рассматривая «светящийся столб», образованный рассеивающими центрами в растворе, с разных ракурсов.
Можно заметить, что пучок света лазера имеет существенно вытянутую форму. На первый взгляд может показаться, что неизотропность в измерениях рассеянной мощности обусловлена лишь этим фактором. Для проверки этого утверждения приклеим к выходному окну лазера малярный скотч и проткнем его иглой в середине освещенного лазерной указкой пятна. В этом случае лазерный пучок становится круглой формы в поперечном сечении. Пронаблюдаем «светящийся столб» жидкости в этом случае. Отъюстируем установку так, чтобы луч шел по центру пробирки. Видно, что и в этом случае визуально наблюдается неизотропность рассеянного света. Провести количественные измерения в этом случае затруднительно, но в данном случае чувствительность глаза человека оказывается выше, чем чувствительность электрического прибора.
Ответ:
Из проведенных наблюдений можно сделать вывод, что наблюдаемая неизотропность рассеянного света обуславливается не только геометрическими свойствами пучка, но и какой-то другой физической причиной, связанной с выделенным направлением в излучении света лазером. Действительно, свет лазера линейно поляризован, то есть колебания вектора электрического поля в его излучении происходят в одной плоскости. Именно с этим и связан наблюдаемый эффект в особенности в случае освещения раствора светом лазера, прошедшим диафрагму.
Источник: pho.rs/p/3824.
зад 5 Изгиб линейки синей
В данной задаче требуется оценка погрешностей!
Теоретическая справка
В этой задаче вам предстоит изучить изгибную деформацию. Под изгибной деформацией понимают искривление осей различных стержней. Изгибная деформация в точке характеризуется радиусом кривизны оси стержня. Для произвольной кривой изогнутой в одной плоскости (см. рисунок 1) радиус кривизны рассчитывается как отношение малой длины дуги кривой \(\mathrm dl\) к величине изменения угла направления касательной к ней \(\mathrm d\alpha\):\[R=\frac{\mathrm dl}{\mathrm d\alpha}. \tag{1}\]Величину \(R^{-1}\) обратную радиусу кривизны называют кривизной.
Рис.1. К определению радиуса кривизны в точке кривой линии
Если рассмотреть небольшой кусочек стержня (рисунок 2), то под действием изгибного момента \(M\) он искривляется так, что часть его слоев растягивается, а часть сжимается. Некоторая линия внутри стержня остается недеформируемой. За счет изгиба в сечении стержня возникают силы упругости, создающие момент сил относительно недеформируемой линии. Этот момент сил уравновешивает момент внешних сил, из за которого возникает изгиб.
Рис. 2. Изгиб участка стержня
Закон Гука для упругих изгибных деформаций стержня состоит в том, что кривизна малого кусочка стержня пропорциональна изгибному моменту сил:
\[M=\frac{B}{R}. \tag{2}\]Будем называть коэффициент пропорциональности изгибной жесткостью стержня.
Типичным примером изгибной деформации является изгиб балки с одним жестко закрепленным горизонтальным концом под действием силы, приложенной к ее второму концу (рис. 3).
Рис. 3. Изгиб участка стержня
В этом случае балка деформируется неоднородно, то есть ее кривизна в каждой точке неодинакова. Изгибный момент внешних сил, действующих на сечение балки, на расстоянии \(x\) от линии действия силы \(F\), может быть вычислен как:
\[M=Fx. \tag{3}\]То есть в этом случае, если балка деформируется упруго, кривизна балки будет прямо пропорционально зависеть от \(x\).
Если положить длинную балку на цилиндрическую поверхность, так чтобы центр балки касался поверхности, и вывести из состояния равновесия, то балка начнет колебаться, качаясь на цилиндрической поверхности.
Колебания балки на цилиндрической поверхности
Период таких колебаний может быть рассчитан как:
\[T=2\pi\sqrt{\frac{l^2}{12gR}}, \tag{4}\]где \(R\) – радиус кривизны поверхности, \(l\) – длина балки.
Задание
Исследование кривизны линейки
A1. Стяните скотчем два конца пластиковой линейки (рисунок 4). Проделайте это так, чтобы к скотчу была обращена сторона линейки с делениями. Расстояние между наиболее удаленной от скотча точки линейки и полоской скотча должно составить в этом упражнении \(H_{\max}=9.5~см\). Линейка будет деформирована неоднородно. Измерьте зависимость кривизны \(r^{-1}\) поверхности линейки в зависимости от расстояния \(h\) между поверхностью и полоской скотча \(h\).
A2. Постройте график исследованной зависимости. Как должен вести себя график данной функции теоретически? Можно ли сказать, что полученные экспериментальные данные соответствуют теоретическим предположениям?
К определению изгибной жесткости линейки
A3. Для разных степеней стягивания линейки (рисунок 5) измерьте кривизну \(R^{-1}\) поверхности линейки в максимально удаленной от скотча точке, измерьте силу стягивания концов линейки \(F\) и расстояние \(H\) между максимальной удаленной от скотча точки поверхности линейки и скотчем. Проведите измерения для нескольких точек из диапазона высот \(H\) от \(0\) до \(H_{\max}\).
A4. Рассчитайте для каждой исследованной степени изгиба линейки величину изгибного момента \(M\), действующего на максимально удаленную от скотча точку линейки.
A5. Постройте график зависимости \(R^{-1}\) от \(M\). Определите изгибную жесткость линейки \(B\).
Оборудование
Пластиковая линейка \(30~см\)
Штатив с лапкой и муфтой
Секундомер
Линейка деревянная \(50~см\)
Малярный скотч
Электронные весы
▶ОтветСкрыть
A5: \[B = (4.3\pm0.4)\cdot10^{-2} \ \text{Н}\cdot\text{м}^{2}\]
▶РешениеСкрыть
A1. Для измерения кривизны поверхности закрепим изогнутую линейку в лапке штатива так, чтобы исследуемая точка поверхности линейки была наивысшей (см. рис. 7). Положим на эту точку изогнутой линейки деревянную линейку. Запустим колебания деревянной линейки. Измерим время \(t\) нескольких \(N\) колебаний линейки.
Рис. 7. Исследование кривизны линейки
Рассчитаем период колебаний линейки как отношение измеренного времени и количества колебаний, совершенных за это время \[T=\frac{t}{N}. \tag{5}\] Определим по полученным данным кривизну поверхности линейки \[r^{-1}=\frac{3gT^2}{l^2\pi^2}, \tag{6}\] где \(l=(51.0\pm0.1) \ см\) – длина деревянной линейки. Оценим погрешность измерения как: \[\sigma_{r^{-1}}=r^{-1}\cdot\frac{2\sigma_t}{t}, \tag{7}\] где погрешность измерения времени оценим как \(\sigma_t=0.3 \ с\).
Измерим также расстояние \(h\) до точки поверхности изогнутой линейки, около которой происходили колебания. Погрешность этого расстояния оценим в \(\sigma_h = 5~ мм\), складывая приборную погрешность линейки и неточность определения точки, до которой проводится измерение расстояния.
Ответ:
| \(h, ~см\) | 6.6 | 7.5 | 8.5 | 10.0 | 4.5 | 3.5 | 5.5 | 2.2 |
| \(t, ~с\) | 8 | 9 | 14 | 15 | 3 | 3 | 8 | 2 |
| \(N\) | 10 | 10 | 15 | 15 | 5 | 5 | 10 | 5 |
| \(T, ~с\) | 0.83 | 0.87 | 0.93 | 1.01 | 0.66 | 0.62 | 0.77 | 0.49 |
| \(r^{-1}, ~м^{-1}\) | 7.9 | 8.6 | 9.8 | 11.8 | 5.0 | 4.5 | 6.7 | 2.7 |
| \(\sigma_{r^{-1}}, ~м^{-1}\) | 0.6 | 0.6 | 0.4 | 0.5 | 0.9 | 0.9 | 0.5 | 0.7 |
A2. Ответ:
Видно, что данные могут быть описаны прямой пропорциональностью. Последнее несложно объяснить с теоретической точки зрения. Если сила, стягивающая линейку, равна \(F\), то ее момент относительно сечения, находящегося на удалении \(h\) от скотча, равен:\[M=F\cdot h. \tag{8}\]В соответствии с законом Гука для изгибной деформации, кривизна поверхности прямо пропорциональна моменту изгибных сил. То есть, как и получено в эксперименте, кривизна линейки прямо пропорциональна расстоянию \(h\).
A3. Измерим таким же образом кривизну поверхности линейки в наиболее удаленной от скотча точке при разных степенях изгиба. Будем измерять время \(N_0=10\) колебаний линейки. Для каждой степени изгиба измерим размер \(H\). Измерим также силу стягивания концов линейки с помощью весов (рисунок 8). Для этого сначала обнулим показания весов, предварительно положив на них пластиковую линейку.
Рис. 8. Способ измерения стягивающей силы
Снимем линейку с весов. Стянем ее концы скотчем и поставим обратно на весы так, чтобы полоска скотча приняла вертикальное положение. Надавим на верхний конец линейки так, чтобы скотч начал провисать, то есть его сила натяжения обратилась в 0. Запишем показания весов \(m^*\). Cила, действующая на платформу весов, будет равна силе, стягивающей концы линейки. Для ее вычисления умножим показания весов на ускорение свободного падения \(g\): \[F=m^*g. \tag{9}\] Занесем измерения в таблицу в п. A4. Рассчитаем кривизну линейки в наиболее удаленной от скотча точке.
A4. Рассчитаем момент силы стягивания относительно этой точки как: \[M=F\cdot H=m^*g\cdot H. \tag{10}\] Для оценки погрешности момента стягивающих сил сложим относительные погрешности показаний весов и плеча силы \(H\): \[\sigma_M=M\Big(\frac{\sigma_{m^*}}{m}+\frac{\sigma_{H}}{H}\Big), \tag{11}\] где погрешность показаний весов оценим в \(\sigma_{m*}=10~г\), так как сила меняется в небольших пределах по мере провисания скотча.
Ответ:
| \(H, ~см\) | \(m^*, ~г\) | \(t, ~с\) | \(M, ~Н \cdot м\) | \(1/R, ~м^{-1}\) | \(\sigma_{1/R}, ~м^{-1}\) | \(\sigma_M, ~Н\cdot м\) |
| 3.7 | 479 | 6 | 0.170 | 3.68 | 0.39 | 0.008 |
| 5.2 | 485 | 7 | 0.250 | 5.58 | 0.48 | 0.010 |
| 6.5 | 499 | 8 | 0.320 | 6.63 | 0.52 | 0.011 |
| 7.5 | 510 | 9 | 0.380 | 8.29 | 0.59 | 0.012 |
| 8.5 | 526 | 10 | 0.440 | 10.55 | 0.66 | 0.013 |
| 9.5 | 540 | 11 | 0.500 | 12.89 | 0.73 | 0.015 |
A5. Построим график зависимости кривизны точки линейки от момента изгибных сил, действующих в этом сечении.
Ответ:
Видно, что точки на графике могут быть описаны прямой пропорциональностью, обратный угловой коэффициент которой равен коэффициенту изгибной жесткости линейки:
Ответ:
\[B = (4.3\pm0.4)\cdot10^{-2} \ \text{Н}\cdot\text{м}^{2}\]
Заметим, что прямая, аппроксимирующая точки графика, может и не проходить через начало координат. Такой эффект при корректных измерениях связан с наличием у линейки начальной изгибной деформации.
Источник: pho.rs/p/3830.
Источник: Олимпиада по экспериментальной физике (IEPhO) 2023, 11 класс — условия. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.