IEPhO 2023, 8 класс

Решение

A1. Наберем в шприц объемом \(1~мл\) подкрашенную воду. Наденем на него иглу. В вертикальном положении шприца будем давить на поршень шприца, из-за этого на кончике иглы будут появляться капли, периодически отрывающиеся от него. Измерим объем одной капли. Для этого внесем в таблицу значения начального объема воды в шприце \(v_1\), конечного объема \(v_2\) и количество оторвавшихся в процессе выдавливания воды от иглы капель. Проведем эксперимент несколько раз для получения достоверного результата. Рассчитаем объем одной капли в каждом эксперименте по формуле:

\[v=\frac{v_1-v_2}{n}. \qquad(2)\tag{2}\]

Среднее значение объема капли составит \(v=6{.}6 \ мкл\).

Капнем одну такую каплю на поверхность приклеенного к столу отрезка скотча. Поднесем к нему капилляр. Под действием капиллярного эффекта жидкость затянется в капилляр без остатка. Собрав всю воду из капли в капилляр, с помощью линейки измерим длину столбика жидкости. Проведем эксперимент несколько раз для получения достоверного результата.

Рассчитаем среднее значение длины столбика жидкости в капилляре \(l=44 \ мм\).

Объем воды в капилляре может быть выражен формулой: \[v=l\frac{\pi d^2}{4}. \qquad(3)\tag{3}\]Откуда диаметр капилляра составит:

Ответ:

\[d=2\sqrt{\frac{v}{\pi l}}=0{.}44 \ мм \qquad(4)\tag{4}\]

A2. Проведем измерения зависимостей уровней воды в шприце и капилляре от угла наклона капилляра, как указано в условии. Рассчитаем разность уровней для каждого угла наклона капилляра. Занесем данные в таблицу и построим график зависимости \(h(\alpha)\).

Увеличение угла

Ответ:

A3. Уменьшение угла

Ответ:

A4. Проведем измерения зависимостей уровней воды в шприце и капилляре \(h_1'\) и \(h_2'\) от угла \(\alpha\) в соответствии с A2 задания. Рассчитаем для каждого угла наклона \(h'\). Занесем данные в таблицу и построим график зависимости \(h'(\alpha)\).

Увеличение угла

Ответ:

A5. Уменьшение угла

Ответ:

A6. Ответ:

Рис. 4. График разности высот \(h\) от угла наклона капилляра \(\alpha\)

A7. Ответ:

Рис. 5. График разности высот \(h'\) от угла наклона капилляра \(\alpha\)

A8. Если считать, что разность давлений остается постоянной, то разница высот \(h\) также не должна меняться. Однако экспериментальные данные говорят о том, что такая модель описания явления неверная.

В первую очередь необходимо отметить, что разность высот монотонно убывает по мере увеличения угла наклона капилляра. Функция является выпуклой вверх.

Также наблюдается неоднозначность разности уровней для одного положения капилляра. Так, в первом цикле измерений высоты \(h\) при увеличении угла наклона капилляра меньше, чем при уменьшении угла для одинаковых положений капилляра.

Во втором цикле измерений такой эффект либо наблюдается крайне слабо, либо совсем незаметен.

В заключение можно сказать, что при изменении угла наклона капилляра меняется кривизна поверхности воды. Также капиллярный эффект зависим от свойств поверхности стенок капилляра. В первом цикле измерений верхняя часть капилляра практически сухая при увеличении его угла наклона, а при уменьшении угла наклона оказывается смоченной водой. Во втором цикле измерений верхняя часть капилляра уже смочена водой независимо от направления изменения угла наклона установки. Этим объясняется наличие неоднозначности в разности высот для одинаковых наклонов капилляра и зависимости \(h\) от предыстории действий с установкой. Такое поведение зависимостей физических величин называется гистерезисом.

Источник: pho.rs/p/3808.

Решение

A1. Соберем установку, описанную в условии. Толкнем нижний конец цепочки. Через некоторое время нижний конец цепочки вновь дернется. То есть возмущение, распространяющееся в цепочке, в этот момент вернулось в исходную точку. Измерим зависимость времени, проходящего между подергиваниями нижних звеньев цепочки, от количества циклов движения возмущения в цепочке. Для получения достоверных данных проведем измерения несколько раз и усредним значения. Построим график усредненного времени \(\langle t_n\rangle\) от количества пройденных возмущением циклов.

Ответ:

Ответ:

Видно, что измеренное время пропорционально числу циклов движения, произошедших рассматриваемый период. То есть можно сделать вывод, что для всех циклов время движения возмущения одинаково.

A2. Для увеличения точности измерения времени одного цикла в дальнейшем будем измерять время \(t\) нескольких циклов \(N\), и получать значение периода, находя отношение:\[T=\frac{t}{N}. \qquad(2)\tag{2}\]Измерим зависимость времени \(N\) циклов движения от длины подвешенного участка цепи. Внесем данные в таблицу. Рассчитаем время одного цикла движения.

Ответ:

A3. Первая теоретическая модель подразумевает постоянную скорость распространения возмущения по цепи. В этом случае зависимость времени одного цикла движения от длины цепи должна описываться прямой пропорциональностью. Построим график \(T(l)\). На первый взгляд может показаться, что точки ложатся на прямую, что говорит о правильности модели. Однако нетрудно заметить, что если через точки провести прямую линию, то она пересечет вертикальную ось в координате существенно отличной от нуля. Значит экспериментальные точки не описываются прямой пропорциональностью и модель движения возмущения с постоянной скоростью не описывает наблюдаемый эксперимент.

Ответ:

Для проверки второй модели выберем координаты для линеаризации \(T^2\) и \(l\).

Ответ:

Видно, что в этих координатах график описывается прямой пропорциональностью, что говорит о верности модели равноускоренного движения. Найдем угловой коэффициент графика:

\[k=\frac{8}{a}=1.6 \ с^2/м. \qquad(3)\tag{3}\]Откуда искомое ускорение:

Ответ:

\[a=\frac{8}{k}=5 \ м/с^2 \qquad(4)\tag{4}\]

Заметим, что теоретическое значение составляет \(a_{теор}=g/2\).

Источник: pho.rs/p/3809.

Ответ

A6: \[n=-1\] \[{A=(0.07\pm 0.01) \ ^\circ\cdot мм}\]

Решение

A1. Для измерения диаметров игл воспользуемся методом прокатывания (рис. 4).

Рис. 1. Измерение диаметра иглы

Для этого сделаем флажок из малярного скотча и приклеим его к пластиковой части иглы. Положим иглу на миллиметровую бумагу и прокатим ее по бумаге линейкой, подсчитав количество оборотов \(n\), которое сделает игла. Определим расстояние \(L\), на которое сместится игла по бумаге. Диаметр иглы \(d\) может найден по следующей формуле:

\[d=\frac{L}{\pi n} \qquad(3)\tag{3}\]Для повышения точности величину \(L\) измерим три раза для каждой иглы (в таблице – величины \(L_1\), \(L_2\), \(L_3\)).

измерения длин оценим как \(\sigma_\text{случ}=1~ мм\). Тогда погрешность измерения диаметров иголок будет приблизительно одинаковой и равной:\[\sigma_d \approx \dfrac{\sigma_x +\sigma_{случ}}{\pi n}=0.02~\text{мм}. \qquad(4)\tag{4}\]Для сравнения проведём контрольные измерения игл с помощью микрометра (погрешность прибора \(0.01~ мм\)).

Ответ:

A2. Максимальная длина хода пучка (расстояние, которое свет от лазера до экрана), которую можно достичь на столе без применения сторонних устройств, примерно равна диагонали стола (\(\approx 130~ см\)). При такой длине возможно измерить диаметр \(D\) только для игл малых диаметров, при этом измерения будут иметь низкую точность. Для повышения точности используем зеркала для увеличения длины хода пучка (рис. 2). Таким образом можно добиться многократного прохождения пучком света расстояния между зеркалами за счет отражения от них. Для подсчета длины хода пучка в этом случае необходимо проследить, сколько раз пучок света отражался от зеркал, прежде чем попасть на экран.

Ответ:

Рис. 2. Схема хода длины пучка

A3. Соберем установку для наблюдения дифракции описанную в условии, увеличив длину хода пучка при помощи зеркал.

A4. Угол дифракции (в градусах) можно рассчитать как:

Ответ:

\[\varphi=\frac{D-d}{2\pi l}\cdot 360^\circ \qquad(5) \tag{5}\]

A5. Проведем измерения диаметра центрального пятна дифракционной картины и длины хода пучка для разных размеров диафрагмы.

Исходя из схемы (рис. 2), считая углы переотражения пучка от зеркал пренебрежимо малыми, рассчитаем общий путь пучка:\[L=a+3b+c, \qquad(6)\tag{6}\]где \(a\), \(b\), \(c\) – расстояния, указанные на рисунке.

Центральное пятно на экране может получиться овальной формы, если отверстие в скотче не круглое. Тогда будем измерять размеры пятна по вертикали (величина \(V\)) и горизонтали (величина \(H\)). Диаметр \(D\) рассчитаем как среднее арифметическое \(V\) и \(H\).

Рассчитаем для каждой диафрагмы угол дифракции и занесем данные в таблицу.

Ответ:

Погрешность измерения длин \(a\), \(b\), \(c\) примем равной \(\sigma_{abc}=0.5~ см\), погрешность измерения диаметра пятна \(D\) оценим как модуль полуразности вертикального и горизонтального размеров пятна, прибавив приборную погрешность линейки: \[\sigma_D=\frac{|H-V|}{2}+\sigma_х. \qquad(7)\tag{7}\] Относительная погрешность угла дифракции приблизительно равна относительной погрешности диаметра пятна, так как остальные величины дают существенно меньший вклад в нее. Тогда для абсолютной погрешности угла дифракции: \[\sigma_\varphi=\varphi\,\frac{\sigma_D}{D}. \qquad(8)\tag{8}\] Видно, что с увеличением диаметра диафрагмы угол дифракции уменьшается. Предположим, что зависимость является обратной пропорциональностью. Рассчитаем величины обратных диаметров игл и построим график зависимости \(\varphi(1/d)\).

Ответ:

A6. Видно, что график зависимости угла дифракции от обратного диаметра диафрагмы можно описать прямой пропорциональностью. Отсюда сделаем вывод, что искомая степень зависимости

Ответ:

\[n=-1\]

Рассчитаем угловой коэффициент зависимости

Ответ:

\[{A=(0.07\pm 0.01) \ ^\circ\cdot мм}\]

Теоретическое значение составляет:

\[A_{theor}=\frac{360^\circ}{2\pi}\cdot2\cdot1.22 \,\lambda=0.09 \ ^\circ\cdot мм, \qquad(9)\tag{9}\]где \(\lambda=650 \ нм\) – длина волны лазерного излучения.

A7. Рассчитаем диаметр центрального пятна \(D_0\) на экране, удалённом от диафрагмы лазерной указки на расстояние \(l_0=500~ см\), при прохождении света через диафрагму диаметром \(d_0=0.20~ мм\). Используя формулы \((1)\) и \((5)\), получим выражение для \(D_0\):

Ответ:

\[D_0=\dfrac{2\pi A}{d_0\cdot360^\circ} l_0+d_0=(30{.}7\pm4{.}4) \ мм \qquad(10)\tag{10}\]

Относительную погрешность этой величины можно считать равной относительной погрешности углового коэффициента графика:

Ответ:

\[\sigma_{D_0}=D_0\frac{\sigma_A}{A}=4.4 \ мм \qquad(11)\tag{11}\]

Источник: pho.rs/p/3818.

Решение

A1. Соберем установку, изображенную на рис. 1. Поместим трубку в мерный цилиндр, поставим рядом с мерным цилиндром штатив, с закрепленной лапкой. Высоту лапки подберем так, чтобы нижняя линия цилиндрической части лапки оказалась чуть выше верхнего края трубки. Установим алюминиевый профиль так, чтобы он оказался зажат между верхним торцом трубки и лапкой штатива. Таким образом, при изменении длины трубки профиль будет вращаться относительно точки опоры на лапку штатива, при этом дальний от лапки конец профиля будет перемещаться существенно больше, чем точка его опоры на трубку. Для измерения перемещения конца профиля установим линейку, предварительно прикрепив ее к бруску скотчем.

Рис. 1. Установка для измерения малого изменения длины трубки

Нальем в мерный цилиндр горячую воду и поместим в нее термометр. Дождемся выравнивания температур между водой, термометром и трубкой и измерим зависимость координаты \(x\) конца профиля от температуры \(T\) при охлаждении.

Ответ:

A2.

Видно, что на участке от \(50\,^\circ\mathrm C\) до \(70\,^\circ\mathrm C\), график хорошо описывается линейной функцией с угловым коэффициентом, модуль которого:\[k=\frac{\Delta x}{\Delta T}=(0.062\pm0.03) ~ \text{см}/\,^\circ\mathrm C.\]Измерим остальные параметры установки. Длины плеч рычага, образованного профилем \(z=(79.2\pm0.1)~ см\), \(y=(7.0\pm0.1)~ см\). Длину части трубки, испытывающей тепловое расширение оценим как среднее из полной длины трубки и длины ее части, погруженной в воду \(l=(24.0\pm0.5)~ см\). Свяжем изменение длины трубки c изменением координаты \(x\) простым геометрическим соотношением:\[\Delta l= \Delta x \,\frac{y}{z}. \qquad(2)\tag{2}\]Тогда для коэффициента теплового расширения имеем:

Ответ:

\[\alpha=\frac{\Delta l}{l \Delta T}= \frac{k y}{zl} = (2.3\pm0.2)\cdot10^{-4} ~^\circ \mathrm C^{-1} \qquad(3)\tag{3}\]

Погрешность измерения оценим исходя из суммы относительных погрешностей входящих в формулу величин:

Ответ:

\[\sigma_\alpha=\alpha(\varepsilon_{\Delta l}+\varepsilon_{l}+\varepsilon_{k}) = 0.2\cdot10^{-4} ~^\circ \mathrm C^{-1} \qquad(4)\tag{4}\]

Источник: pho.rs/p/3821.