IEPhO 2023, 9 класс

Ответ

A4: На графике явно видны два линейных участка, отвечающие двум секциям постоянного сечения. Площади сечения найдем как обратные угловые коэффициенты аппроксимирующих линий, соответствующих этим участкам: \[S_1=(3.3\pm0.3) \ см^2,\qquad S_2=(10.5\pm1.0) \ см^2\]

Решение

A1. Соберем описанную в условии установку и проведем измерения \(m^*(V)\). Построим график измеренной зависимости. Каждая новая порция объема вносит погрешность равную половине цены деления шприца \(\sigma_{\Delta V}=0.5 \ мл\). Тогда общая погрешность измерения объема есть сумма погрешностей отдельных измерений: \[\sigma_V=i \sigma_{\Delta_V}, \qquad(1) \tag{1}\] где \(i\) – номер измерения. Погрешность показаний весов оценим как \(\varepsilon_{m^*}=1\, \%\) от измеряемой величины.

Ответ:

График зависимости показаний весов от кол-ва залитой в трубу

A2. Для обработки экспериментальных точек измерим в первую очередь геометрические параметры установки. Точное значение смещения нижнего конца трубки составляет \({x=(8.0\pm0.1) \ см}\). Расстояние от оси вращения до нижней точки трубы составляет \({L_2=(54.0\pm0.2) \ см}\), расстояние от оси вращения до точки приложения силы натяжения нити по вертикальной оси составляет \(L_1=(52.0\pm0.2) \ см\).

При добавлении в трубку объема воды \(\Delta V=V_i-V_{i-1}\) показания весов увеличиваются на \(\Delta m^*=m_i-m_{i-1}\). Происходит это из-за компенсации момента силы тяжести воды моментом силы натяжения нити. Запишем это выражение в математическом виде.\[\Delta V \rho g x \frac{L_2-h}{L_2}=\Delta m^*g L_1. \qquad(2) \tag{2}\] Получим отсюда формулу для расчета высоты центра масс объема добавленной жидкости: \[h=L_2-\frac{\Delta m^* L_1 L_2}{x\Delta V \rho}. \qquad(3) \tag{3}\] Проведем расчет этой величины для каждой пары точек. Полученные высоты будут соответствовать объему жидкости, вычисленному как среднее из объемов точек: \[v=\frac{V_i+V_{i-1}}{2}. \qquad(4) \tag{4}\] Также добавим в таблицу точки \((v,h)=(0 ~\text{мл},0.0~\text{см})\) и \((v,h)=V_{\max},h_{\max})\) (\(h_{\max}=(53.5\pm0.3) \ см\) и немного меньше \(L_2\) из-за размеров отверстия, к котором происходит вращение). Построим график зависимости высоты уровня воды в трубе от объема воды в ней. Погрешность объема оценим аналогично первому графику. При подсчете погрешности высоты \(h\) воспользуемся следующей формулой: \[\sigma_h=\sigma_{L_2}+\left(\varepsilon_{m*}+\frac{\sigma_{V}}{\Delta V}+\frac{\sigma_{x}}{x}+ \frac{\sigma_{L_1}}{L_1}+\frac{\sigma_{L_2}}{L_2}\right)\frac{\Delta m^* L_1 L_2}{x\Delta V \rho}. \qquad(5)\tag{5}\]

Ответ:

A3. Ответ:

График зависимости уровня воды в трубе от ее объема

A4. Ответ:

На графике явно видны два линейных участка, отвечающие двум секциям постоянного сечения. Площади сечения найдем как обратные угловые коэффициенты аппроксимирующих линий, соответствующих этим участкам:

Ответ:

\[S_1=(3.3\pm0.3) \ см^2,\qquad S_2=(10.5\pm1.0) \ см^2\]

Высоту уровня перехода одной секции в другую найдем из координаты точки пересечения линейных участков по вертикальной оси:

Ответ:

\[H = (32\pm2) \ см\]

Источник: pho.rs/p/3810.

Ответ

A4: \[H=0.21~мм\]

Решение

A1. Соберем установку, описанную в условии. Луч лазера может отражаться как от верхней поверхности стекла, так и от нижней. Заметим, что когда луч лазера падает на нисходящую поверхность, то отраженный луч должен идти под углом большим к вертикали, нежели при падении на горизонтальную поверхность стекла. Так как на линейке только один зайчик от лазера при падении на нисходящую поверхность уходит вниз, то именно он и образован лучом, отраженным от верхней поверхности стекла.

A2. Проведем измерения положения зайчика, образованного лучом, отраженным от верхней поверхности стекла, в зависимости от координаты \(z\). Результаты занесём в таблицу в пункте A4.

A3. С помощью измерения начальной координаты зайчика \(y_0=24.1~см\), расстояния от места падения луча до линейки \(x=32.8~см\) и текущего положения зайчика \(y\) на линейке легко рассчитать углы отклонения отраженного луча в каждой точке: \[\Delta \alpha=\arctan{\frac{y_0}{x}}-\arctan{\frac{y}{x}}. \tag{1}\]Результаты пересчёта занесём в таблицу в пункте A4.

A4. Проведем расчеты и построим график зависимости \(\Delta \alpha (z)\).

При отражении от верхней поверхности стекла, наклоненной под углом \(\beta\) к горизонтали, луч поворачивается на угол \(\Delta \alpha=2\beta\) относительно отраженного от горизонтальной поверхности луча (см. рисунок 4).

Рис. 4. Падение луча на поверхность лунки.

Ответ:

Угол наклона поверхности лунки мал, поэтому его в каждой точке можно связать с величиной увеличения глубины лунки на каждом участке длиной \(\Delta z\) (рисунок 5):

\[\Delta h = \beta \Delta z. \tag{2}\]

Рис. 5. Падение луча на поверхность лунки

Тогда, суммируя все \(\Delta h\) до определенной координаты \(z\), можно рассчитать глубину лунки в данной координате, то есть определить профиль лунки.

Рассчитаем для каждой координаты угол наклона поверхности \(\beta\) и глубину лунки \(h\) на этой координате. Построим график зависимости глубины \(h\) от координаты \(z\).

Ответ:

Видно, что в самом глубоком месте поверхность лунки смещена от верхней поверхности стекла приблизительно на

Ответ:

\[H=0.21~мм\]

Заметим, что график зависимости \(h(z)\) не вернулся на прежний уровень с ошибкой \(0.02 ~мм\). Таким образом, ошибка измерения глубины лунки составит приблизительно \(10 \,\%\).

A5. Для измерения толщины предметного стекла подложим под краешек стекла, от которого будет происходить отражение, другое предметное стекло (рис. 6).

Рис. 6. Схема измерения толщины пластинки

Измерим изменение угла отражения луча \(\varphi\) от стекла при подкладывании под него еще одного стекла. Для этого измерим изменение высоты падения лазерного лучика на линейку \({\Delta y' = (3.0\pm0.2) \ см}\), а также начальное положение зайчика на линейке \({y' = 44 \ см}\) и расстояние между линейкой и точкой падения луча на отражающую поверхность \({x'=47.9 \ см}\). Тогда с помощью простейших геометрических расчетов можно определить значение угла \(\varphi\): \[\varphi=\frac12\left({\arctan{\frac{y'}{x'}}-\arctan{\frac{y'-\Delta y'}{x'}}}\right)= (1.75\pm0.09)\cdot10^{-2} \ \text{рад}. \tag{3}\] Для оценки погрешности угла воспользуемся методом границ. Очевидно, что основной вклад в погрешность измерения этого угла вносит величина \(\Delta y'\). Подставим в вычислительную формулу для угла минимальное и максимальное значения этой величины, оценив таким образом диапазон значений \(\varphi\). \[\varphi_{\min} = \varphi(\Delta y' = 4.0 \ \text{мм}) = 1.64\cdot10^{-2} \ \text{рад}, \\ \varphi_{\max} = \varphi(\Delta y' = 4.4 \ \text{мм}) = 1.89\cdot10^{-2} \ \text{рад}, \\ \\ \sigma_{\varphi}=\dfrac{\varphi_{\max}-\varphi_{\min}}{2}=0.13. \tag{4}\] Измерим также расстояние между точкой опоры отражающего стекла и местом его соприкосновения со стеклом-подставкой \(l=(56\pm1)~ мм\). Тогда окончательно толщина стекла составит:

Ответ:

\[d=l\varphi=(0.98\pm0.09) \ \text{мм} \tag{5}\]

Погрешность величины \(d\) оценим, сложив относительные погрешности величин \(l\) и \(\varphi\):

Ответ:

\[\sigma_d=d(\varepsilon_l+\varepsilon_\varphi)=1.0\cdot\Big(\frac{1}{56}+\frac{9}{179}\Big)= 0.07 \ \text{мм} \tag{6}\]

Источник: pho.rs/p/3811.

Ответ

A1: \[R_V=1.00 \ МОм\];  A2: \[R_2=R_{AB}=R_{BC}=1.8 \ \text{МОм}\] \[R_1=R_{AC}\,\dfrac{U_{AB}}{U_{AB}+U_{BC}}=1.6 \ \text{кОм} ,\qquad R_3=R_{AC}\,\dfrac{U_{BC}}{U_{AB}+U_{BC}}=0.61 \ \text{кОм}\qquad(3)\];  A3: \[U_{200}=U_3=1484 \ \text{мВ}\]

Решение

A1. Измерим сопротивление мультиметра в режиме вольтметра. Для этого подключим параллельно два мультиметра, один из которых будет работать в режиме омметра, а второй в режиме вольтметра. Запишем показания омметра:

Ответ:

\[R_V=1.00 \ МОм\]

Заметим, что переключение между режимами вольтметра не меняет показаний омметра. Значит, сопротивление в режиме вольтметра не зависит от выбранного режима измерений.

A2. Подключим омметр к выводам ЧЯ и запишем его показания для трех разных вариантов подключения:

\[R_{AC}=R_1+R_3=2.2 \ \text{кОм},\qquad R_{AB}=R_1+R_2=1.8 \ \text{МОм},\qquad R_{BC}=R_2+R_3=1.8 \ \text{МОм}\qquad(1) \tag{1}\]Заметим соотношение между измеренными сопротивлениями \(R_{AB}=R_{BC}\gg R_{AC}\). Из него легко сделать вывод, что сопротивление \(R_2\) много больше сопротивлений \(R_1\) и \(R_3\) и может быть определено напрямую:

Ответ:

\[R_2=R_{AB}=R_{BC}=1.8 \ \text{МОм}\]

Тогда для определения сопротивлений \(R_1\) и \(R_3\) уравнений не хватает. Для этого подключим омметр к контактам \(A\) и \(C\), а второй мультиметр в режиме вольтметра поочередно будем подключать к контактам \(A \ и \ B\) и к контактам \(B \ и \ C\). Для увеличения показаний вольтметра выберем режим работы омметра «200» (см. рисунок 3).

Рис. 1. Схема для определения отношения сопротивлений

Запишем показания вольтметра в этом случае: \[U_{AB}=114.0 \ \text{мВ},\qquad U_{BC}=44.0 \ \text{мВ} .\] Несмотря на то, что сопротивление \(R_2\) сравнимо с сопротивлением вольтметра, отношение измеренных напряжений будет равно отношению сопротивлений в ветке \(A-C\) черного ящика:\[\frac{U_{AB}}{U_{BC}}=\frac{R_1}{R_3}. \qquad(2) \tag{2}\]Тогда рассчитаем сопротивления \(R_1\) и \(R_3\):

Ответ:

\[R_1=R_{AC}\,\dfrac{U_{AB}}{U_{AB}+U_{BC}}=1.6 \ \text{кОм} ,\qquad R_3=R_{AC}\,\dfrac{U_{BC}}{U_{AB}+U_{BC}}=0.61 \ \text{кОм}\qquad(3)\]

A3. Для определения параметров омметра в разных режимах будем подключать к нему вольтметр и дополнительные сопротивления из ЧЯ. Сначала изучим режим «2000k» (см. рисунок 4). Для этого сначала подключим к омметру вольтметр и запишем его показания \(U_1=1360 \ \text{мВ}\). После этого подключим параллельно к вольтметру сопротивление \(R_2\) (сопротивление \(R_{AB}\) или \(R_{BC}\)). Вновь запишем показания вольтметра \(U_2=1067 \ \text{мВ}\).

Рис. 4. Схема для определения внутренних параметров омметра в режиме <<2M>>

Опишем полученные значения формульно: \[U_1=U_{2M}\,\dfrac{R_V}{R_V+R_{2M}}, \qquad \qquad(4)U_2=U_{2M}\,\dfrac{R_{2V}}{R_{2V}+R_{2M}}, \tag{3}\] где \(R_{2V}\) – сопротивление параллельно соединенных вольтметра и сопротивления \(R_2\). Решим полученную систему уравнений:

Ответ:

\[R_{2M}=\dfrac{U_1-U_2}{{U_2}/{R_{2V}}-{U_1}/{R_{V}}}=0.98 \ \text{МОм} ,\qquad U_{2M}=\dfrac{R_V-R_{2V}}{{R_V}/{U_1}-{R_{2V}}/{U_2}}=2.7 \ \text{В}\qquad(5) \tag{4}\]

Если повторить опыт для режима «200», то можно обнаружить, что полученные значения напряжений не отличаются друг от друга и равны \(U_3=1484 \ \text{мВ}\). Последнее можно объяснить тем, что сопротивление вольтметра и сопротивление \(R_2\) много больше сопротивления \(R_{200}\) омметра в этом режиме. Тогда показания вольтметра совпадают с напряжением внутреннего источника питания в этом режиме:

Ответ:

\[U_{200}=U_3=1484 \ \text{мВ}\]

Тогда подключим вместо сопротивления \(R_2\) параллельно к вольтметру сопротивление \(R_{AC}=R_1+R_3\). В этом случае показания вольтметра составят \(U_4=680 \ \text{мВ}\). Это напряжение связано с параметрами схемы: \[U_4=U_{200}\,\frac{R_{AC}}{R_{AC}+R_{200}}. \qquad(6)\tag{5}\] Откуда получаем для сопротивления омметра в этом режиме:

Ответ:

\[R_{200}=R_{AC}\frac{U_{200}-U_4}{U_4}= 2620 ~\text{Ом} \qquad(7 )\tag{6}\]

Опишем альтернативный способ нахождения \(R_{200}\). Аналогично предыдущему методу измерим напряжение внутреннего источника питания омметра \(U_3 = 1484~ мВ\). Соберем схему, подключив напрямую амперметр к омметру, и измерим протекающий ток (см рис. 5).

Рис. 5. Схема для определения внутреннего сопротивления омметра в режиме <<200>>

Запишем показания амперметра \(I_A = 544~ мкА\). Общее сопротивление цепи может быть рассчитано как: \[R_{200}+R_A=\dfrac{U_3}{I_A}. \qquad(8) \tag{7}\] В то же время омметр показывает сопротивление амперметра (и проводов), подключенных к нему, \(R_A = 103 ~ Ом\). Вычислим сопротивление омметра как: \[R_{200}=\dfrac{U_{3}}{I_A} - R_A = 2625 ~\text{Ом}. \qquad(9) \tag{8}\]

Примечание: значения записаны для конкретного мультиметра, измеренного жюри. На различных приборах значения \(R_{200}\) могут отличаться.

Источник: pho.rs/p/3820.

Решение

A1. Соберем установку, изображенную на рис. 1. Поместим трубку в мерный цилиндр, поставим рядом с мерным цилиндром штатив, с закрепленной лапкой. Высоту лапки подберем так, чтобы нижняя линия цилиндрической части лапки оказалась чуть выше верхнего края трубки. Установим алюминиевый профиль так, чтобы он оказался зажат между верхним торцом трубки и лапкой штатива. Таким образом, при изменении длины трубки профиль будет вращаться относительно точки опоры на лапку штатива, при этом дальний от лапки конец профиля будет перемещаться существенно больше, чем точка его опоры на трубку. Для измерения перемещения конца профиля установим линейку, предварительно прикрепив ее к бруску скотчем.

Рис. 1. Установка для измерения малого изменения длины трубки

Нальем в мерный цилиндр горячую воду и поместим в нее термометр. Дождемся выравнивания температур между водой, термометром и трубкой и измерим зависимость координаты \(x\) конца профиля от температуры \(T\) при охлаждении.

Ответ:

A2.

Видно, что на участке от \(50\,^\circ\mathrm C\) до \(70\,^\circ\mathrm C\), график хорошо описывается линейной функцией с угловым коэффициентом, модуль которого:\[k=\frac{\Delta x}{\Delta T}=(0.062\pm0.03) ~ \text{см}/\,^\circ\mathrm C.\]Измерим остальные параметры установки. Длины плеч рычага, образованного профилем \(z=(79.2\pm0.1)~ см\), \(y=(7.0\pm0.1)~ см\). Длину части трубки, испытывающей тепловое расширение оценим как среднее из полной длины трубки и длины ее части, погруженной в воду \(l=(24.0\pm0.5)~ см\). Свяжем изменение длины трубки c изменением координаты \(x\) простым геометрическим соотношением:\[\Delta l= \Delta x \,\frac{y}{z}. \qquad(2)\tag{2}\]Тогда для коэффициента теплового расширения имеем:

Ответ:

\[\alpha=\frac{\Delta l}{l \Delta T}= \frac{k y}{zl} = (2.3\pm0.2)\cdot10^{-4} ~^\circ \mathrm C^{-1} \qquad(3)\tag{3}\]

Погрешность измерения оценим исходя из суммы относительных погрешностей входящих в формулу величин:

Ответ:

\[\sigma_\alpha=\alpha(\varepsilon_{\Delta l}+\varepsilon_{l}+\varepsilon_{k}) = 0.2\cdot10^{-4} ~^\circ \mathrm C^{-1} \qquad(4)\tag{4}\]

Источник: pho.rs/p/3821.