IEPhO 2024, 8 класс

В данной задаче не требуется оценка погрешностей.

Вам выдана неизвестная жидкость с низкой температурой кипения (около \(50 ^\circ \mathrm С\)). Эта жидкость крайне легко испаряется, поэтому храните основной объем неизвестной жидкости в закрытой таре, отливая исследуемую порцию в другие открытые сосуды при помощи шприца. Свойства неизвестной жидкости не меняются после её соединения с водой. Неизвестная жидкость не растворяется в воде. Если вы соединили разные жидкости в одном сосуде, неизвестную жидкость можно собрать со дна сосуда с помощью шприца.

Внимание! Дополнительная порция неизвестной жидкости может быть выдана один раз в обмен на \(-1\) балл от результата проверки. Все измерения возможно провести только с одной порцией жидкости.

1. Измерьте зависимость температуры \(T_1\) и массы \(m\) неизвестной жидкости от времени \(t\) в процессе её активного испарения. Для этого налейте порцию неизвестной жидкости (около \(50~г\)) в калориметр. Поставьте калориметр на весы. Погрузите в жидкость термометр и конец трубки с иглой. Запустите секундомер и начните дуть в трубку с обратной стороны. После того, как испарится \(0.4-0.5\) грамма жидкости, запишите в таблицу показания термометра и весов. Продолжайте дуть в трубку, записывая показания весов и термометра. Закончите измерения, когда испарится около \(5\) граммов жидкости.

Сразу после окончания изучения процесса испарения неизвестной жидкости, измерьте зависимость её температуры \(T_2\) от времени \(t\) при нагревании от окружающей среды.

Рассчитайте по результатам экспериментов отношение \(R = \frac{L}{c}\) удельной теплоты парообразования жидкости \(L\) и ее удельной теплоемкости \(c\).

2. Проведите измерение удельной теплоемкости \(c\) неизвестной жидкости путем смешивания в одном калориметре жидкости и воды, взятых при разных температурах. Проведите несколько измерений и усредните результат. Подробно опишите последовательность ваших действий. Для ускорения установления теплового равновесия в калориметре помешивайте жидкости ложкой. Не извлекайте ложку из сосуда во время проведения измерений. Учтите, что в процессе эксперимента неизвестная жидкость может испаряться.

Примечание.

При измерении масс объектов с высокой температурой используйте деревянный брусок в качестве теплоизолятора между горячим объектом и платформой весов. Нагревание конструктивных элементов весов может привести к искажению их показаний.

Справочные данные.

Удельная теплоемкость воды \(c_{воды}=4.2~\frac{кДж}{кг \cdot К}\).

Оборудование

1. Шприц объемом \(20~мл\)

2. Трубка от инфузионной системы

3. Неизвестная жидкость в закрытой баночке (\(\sim50 ~г\))

4. Пенопластовые стаканы 2 штуки

5. Большая емкость для слива воды

6. Вода комнатной температуры в бутылке

7. Термометр со снятым кожухом

8. Весы

9. Деревянный брусок для теплоизоляции платформы весов

10. Ложка

11. Секундомер

12. Штатив с лапкой

13. Горячая вода (по требованию)

14. Салфетки для поддержания рабочего места в порядке

▶РешениеСкрыть

Решение

1. Проведем измерения описанные в первом пункте условия. Запишем результаты в таблицу.

Остывание из-за испарения

\(t,~с\)	\(m,~г\)	\(T_1, ~^\circ С\)	\(T_1',~^\circ С\)
0.0	50.42	19.1	17.8
60.0	49.88	18.2	17.8
98.0	49.32	17.1	16.4
153.0	48.71	16.4	15.3
210.0	48.05	15.5	14.0
270.0	47.43	14.9	13.0
325.0	46.87	14.3	12.0
387.0	46.22	13.7	11.0
450.0	45.73	13.0	9.8

Нагревание от окружающей среды

\(T_2, ~^\circ С\)	13.1	13.2	13.5	13.6	13.8	13.9	14.1	14.2	14.3	14.4	14.5
\(t,~с\)	0	20	40	60	80	100	120	140	160	180	200

Построим график зависимости температуры от времени на участке нагревания и оценим скорость нагревания жидкости от окружающей среды \(k=7.1\cdot10^{-3}~^\circ С/с\).

График зависимости температуры от времени на участке нагревания

Будем предполагать, что за время проведения опыта с испарением количество тепла в единицу времени, приходящее из окружающей среды, было приблизительно постоянным и равным аналогичной величине на участке нагревания. Тогда, если бы потерь тепла в окружающую среду не было, то на участке остывания температуры были бы ниже на поправку:

\[\Delta T=kt.\qquad(1)\]То есть составляла бы:

\[T'=T-\Delta T=T-kt.\qquad(2)\]Тогда построим график \(T'(m)\), его угловой коэффициент составляет \(k'=1.8~^\circ С/г\).

Опишем исследуемый процесс теоретически. Так как потери тепла в окружающую среду уже учтены во введенной поправке, можно сказать количество теплоты отнимаемое у основной части жидкости идет на ее частичное испарение. Тогда уравнение теплового баланса будет выглядеть так:

\[с m \Delta T'=L \Delta m,\qquad(3)\]Тогда для отношения удельной теплоты плавления и удельной теплоемкости жидкости имеем:

\[R=\frac{L}{c}=m\frac{\Delta T'}{\Delta m}=mk'.\]Подставим в формулу среднее значение массы жидкости в процессе эксперимента \(m=48~г\) и окончательно получим для \(R=85~^\circ С\). Табличное значение данной величины составляет \(R_{табл}=80~^\circ С\).

Ответ:

\(R=85~^\circ С\)

2. Выполним вторую часть работы. Установим на весы брусок, а на него поставим пенопластовый стакан. Включим весы. Нальем в пенопластовый стакан воду комнатной температуры и измерим ее массу \(m_в\) и температуру \(T_в\). Обнулим показания весов. Заполним второй пенопластовый стакан горячей водой, откроем крышку баночки с неизвестной жидкостью и отпустим баночку с жидкостью плавать в стакане с горячей водой. Жидкость через некоторое время начнет кипеть. Вытащим стакан с жидкостью из горячей воды. Измерим температуру жидкости \(T_ж\) и перельем жидкость в стакан с водой комнатной температуры. Запишем показания весов \(m_ж\), соответствующие массе неизвестной жидкости в смеси. Будем помешивать смесь до тех пор пока разница температур между водой, находящейся сверху смеси, и неизвестной жидкостью, находящейся снизу, не станет малой (меньше приборной погрешности термометра, равной \(0.3~^\circ С\)). Запишем значение установившейся \(T_у\) температуры, как среднее между температурой верхнего и нижнего слоев жидкости. Обратим внимание, что жидкость во время помешивания могла частично испариться, запишем значение показаний весов после проведения опыта \(m'_ж\). Проведем опыт трижды и занесем данные в таблицу.

\(m_в,~ г\)	\(T_в,~^\circ C\)	\(m_ж,~г\)	\(m_ж',~г\)	\(T_ж,~^\circ C\)	\(T_у,~^\circ C\)	\(c,~\frac{Дж}{кг \cdot ^\circ C}\)	\(c',~\frac{Дж}{кг \cdot ^\circ C}\)
37.03	20.5	26.68	25.90	49.9	24.5	918	1018
26.58	26.9	25.91	25.60	43.1	30.3	1144	1243
19.68	26.6	21.37	2093	39.5	29.5	1122	1360

Запишем уравнение теплового баланса для проведенного опыта:

\[c_в m_в (T_у-T_в)=c_ж m_ж (T_ж-T_у)\qquad(5)\]

Тогда для расчета удельной теплоемкости жидкости имеем:

\[c_ж=c_в \frac{m_в (T_у-T_в)}{m_ж (T_ж-T_у)}.\qquad(6)\]Если принять во внимание, что часть жидкости испарилась, то можно записать уравнение теплового баланса несколько иначе:

\[c_в m_в (T_у-T_в)+(m_ж-m_ж')\lambda=c_ж m_ж (T_ж-T_у).\qquad(7)\]C учетом найденного в первом упражнении отношения:

\[c_в m_в (T_у-T_в)+(m_ж-m_ж')Rc_ж=c_ж m_ж (T_ж-T_у).\qquad(8)\]Тогда уточненная формула для расчета удельной теплоемкости выглядит так:

\[c'_ж=\frac{c_в m_в (T_у-T_в)}{m_ж (T_ж-T_у)-(m_ж-m_ж')R}.\qquad(9)\]Проведем расчет теплоемкости двумя способами. Видно, что поправка на испарения дает изменение в конечном результате порядка \(10\%.\)

Среднее значение теплоемкости, таким образом, окажется равным \(c'_ж=1.2 \ \frac{кДж}{кг\cdot^\circ С}\).

Табличное значение при этом составляет \(c_{табл}=1.1 \ \frac{кДж}{кг\cdot^\circ С}\).

Ответ:

\(c'_ж=1.2 \ \frac{кДж}{кг\cdot^\circ С}\)

Источник: pho.rs/p/4392.

В данной задаче требуется оценка погрешностей.

Внимание! Проволока пачкает руки. Берегите ваше здоровье: не трогайте грязными руками лицо или еду!

После выполнения задачи тщательно вымойте руки!

1. Измерьте длину проволоки \(l_0\). Намотайте на стержень проволоку виток к витку. Измерьте общую длину намотки \(x_0\) и количество витков \(N_0\). Рассчитайте среднюю толщину проволоки \(d_0\).

2. Снимите намотанную «пружинку» из проволоки со стержня и измерьте ее массу \(m\). Рассчитайте плотность материала проволоки \(\rho_0\).

3. Распрямите проволоку. Для этого аккуратно растяните концы пружинки из проволоки. Затем зажмите проволоку между листом бумаги и стержнем и медленно вытягивайте проволоку. Проволока в месте соприкосновения со стержнем будет распрямляться. Проводите процедуру по всей длине проволоки, пока она не выпрямится. Измерьте длину распрямленной проволоки \(l\).

(Оценивается вместе с п.4)

4. Вновь намотайте проволоку на стержень и измерьте средний диаметр проволоки \(d\). Повторите процедуру распрямления проволоки. Измерьте таким образом зависимость среднего диаметра проволоки \(d\) от ее длины \(l\). Измерения проводите вплоть до удлинения проволоки примерно в \(1.5\) раза. Если проволока во время измерений порвалась — проводите манипуляции с каждым из получившихся кусков. Чтобы найти полную длину проволоки \(l\), длину намотки \(x\) и количество витков \(N\), складывайте значения величин, полученные для каждого из кусков.

5. Рассчитайте для каждого измерения значение плотности проволоки \(\rho\) и относительное удлинение:

\[\varepsilon_l=(l-l_0)/l_0.\]

6. Постройте график зависимости \(\rho(\varepsilon_l)\) и сделайте вывод о характере полученной зависимости с учётом погрешностей проведённых измерений.

Оборудование

1. Проволока из припоя диаметром около \(1~мм\) и длиной около \(1~м\) (еще один дополнительный отрезок выдается по просьбе участника)

2. Рулетка

3. Малярный скотч

4. Ножницы

5. Стержень (кожух от термометра)

6. Линейка

7. Весы

Справочная информация:

для нахождения объёма проволоки воспользуйтесь выражением: \(V = \pi \dfrac{D^2}{4}l,\) где

• \(\pi=3.14\), \(d\) – диаметр проволоки

• \(l\) – длина проволоки

▶РешениеСкрыть

Решение

1. Ответ:

Для наглядности мы провели две серии измерений с разными образцами.

Образец 1.

Измерим длину проволоки \(l_0=(106.5\pm0.1)~см\). Намотаем проволоку на стержень. Длина намотки из \(N_0=70\) витков составила \(x_0=(72\pm1)~мм\). Тогда диаметр проволоки: \[d_0=\frac{x_0}{N_0}=(1.029\pm0.015)~мм. \qquad(2)\]

2. Ответ:

Образец 1.

Масса проволоки \(m=(7.13\pm0.03) \ г\).

Плотность проволоки: \[\rho_0=\frac{4m}{l_0\pi d^2}=(8.1\pm0.5)~г/см^3.\qquad(2)\]

Погрешность плотности рассчитаем, сложив относительные погрешности, входящих в формулу величин:

\[\sigma_{\rho_0}=\rho_0\left(\frac{\sigma_m}{m}+ \frac{\sigma_{l_0}}{l_0}+2\frac{\sigma_{d_0}}{d_0}\right)\approx\rho_0\left(\frac{\sigma_m}{m}+2\frac{\sigma_{d_0}}{d_0}\right).\qquad(3)\]

3. Распрямим проволоку и проведем измерение длины и диаметра проволоки вновь. Повторим эксперимент несколько раз. Занесем данные в таблицу. Видно, что с каждым последующим распрямлением длина проволоки увеличивается, а ее средний диаметр уменьшается. Рассчитаем величины плотности проволоки и ее относительное удлинение. Построим график плотности проволоки от величины относительного удлинения.

Ответ:

\(l,~см\)	\(x,~см\)	\(N\)	\(d,~мм\)	\(\varepsilon_l\)	\(\rho,~г/см^3\)	\(\sigma_{\rho},~г/см^3\)
106.5	7.2	70	1.029	0.000	8.06	0.49
111.5	7.5	74	1.014	0.047	7.93	0.46
116.7	78	77	1.013	0.096	7.58	0.42
1220	7.9	81	0.975	0.146	7.82	0.42
128.9	8.3	86	0.965	0.210	7.56	0.39
135.7	8.4	91	0.923	0.274	7.85	0.39
142.9	8.6	97	0.887	0.342	8.08	0.39
149.0	8.8	100	0.880	0.399	7.87	0.37

Ответ:

Как можно видеть, в нашем эксперименте не удаётся выявить зависимости плотности от относительного удлинения. Проведённые измерения имеют большие погрешности. Если через точки на графике провести аппроксимирующую прямую, то эта прямая практически горизонтальна.

4. Ответ:

Образец 2.

Измерим длину проволоки \(l_0=(100.0\pm0.1)~см\).

Длина намотки \(N_0=68~витков\) составит \(x_0=(71\pm1)~мм\).

Диаметр проволоки: \(d_0=(1.044\pm0.015)~мм.\)

Масса проволоки: \(m=(7.27\pm0.07)~г\).

Плотность проволоки: \(\rho_0=(8.5\pm0.3) \ г/см^3.\)

Результаты дальнейших измерений приведены в таблице.

5. Ответ:

\(l,~см\)	\(x,~см\)	\(N\)	\(d,~мм\)	\(\varepsilon_l\)	\(\rho,~г/см^3\)	\(\sigma_{\rho},~г/см^3\)
100.0	71	68	1.044	0.000	8.50	0.32
108.0	75	74	1.014	0.080	8.35	0.31
116.0	78	79	0.987	0.160	8.19	0.29
123.5	80	84	0.952	0.235	8.27	0.29
132.0	86	92	0.935	0.320	8.03	0.27
140.5	88	97	0.907	0.405	8.01	0.26
155.8	92	105	0.876	0.558	7.74	0.25

6. Ответ:

Ответ:

В данном случае на графике можно заметить наличие зависимости расчётной плотности образца от относительного удлинения. При увеличении длинны проволоки значение плотности уменьшается.

Одной из причин изменений результирующего значения плотности может служить нарушение формы сечения проволоки при выполнении манипуляций по растяжению пружинки и спрямлению проволоки.

Источник: pho.rs/p/4393.

В данной задаче требуется оценка погрешностей.

Закрепим проволоку поперек наклонной плоскости. Выше по склону разместим шарик так, чтобы он касался проволоки. При небольших углах наклона плоскости шарик не будет скатываться, так как проволока будет препятствовать его движению. При увеличении угла наклона плоскости до некоторого значения шарик перекатится через проволоку (рис. 1). Обозначим за \(h\) критическую высоту подъема верхнего края наклонной плоскости, при которой шарик перекатывается через проволоку.

Рис. 1. Поиск критической высоты

1. Измерьте диаметры \(d\) выданных вам отрезков проволоки.

2. Используя в качестве наклонной плоскости длинную линейку, измерьте зависимость критической высоты \(h\) от диаметра проволоки \(d\). Опишите методику проведения измерений.

3. Постройте график измеренной зависимости \(h(d)\).

4. В каких координатах исследуемая зависимость будет являться прямой пропорциональностью? Постройте график этой зависимости в таких координатах.

5. Проведите измерения, аналогичные измерениям пункта 2, используя в качестве препятствия для шарика выданную вам нить. Определите диаметр нити \(d_{1}\), используя соответствующее значение критической высоты наклонной плоскости \(h_{1}\). После этого измерьте диаметр нити микрометром \(d_{2}\).

6. Сравните полученные разными способами значения диаметра нити. Оцените преимущества и недостатки каждого из способов.

Оборудование

1. Пронумерованные отрезки проволоки

2. Стаканчик с батарейкой для хранения проволоки (батарейку и стакан нельзя использовать при проведении измерений, батарейка нужна для обеспечения устойчивости стакана)

3. Нить

4. Металлический шарик диаметром \(2~см\)

5. Линейка деревянная \(50~см\)

6. Брусок

7. Микрометр

8. Два канцелярских зажима шириной \(25~мм\)

9. Тряпочка для улавливания шарика

Внимание!

Дополнительные отрезки проволоки и нити выдаваться не будут.

Тщательно продумывайте свои действия!

▶РешениеСкрыть

Решение

1. Измерим диаметр \(d\) образцов проволоки с помощью микрометра, внесем данные в таблицу. Заметим, что у микрометра может быть сбит «0». При необходимости будем учитывать это и вводить поправку в измерениях. С учётом поправки, погрешность измерения диаметра \(\sigma_d=0.01~мм\).

Ответ:

\(d_1,~мм\)	\(d_2,~мм\)	\(d_3,~мм\)	\(d_4,~мм\)	\(d_5,~мм\)	\(d_6,~мм\)	\(d_7,~мм\)
0.35	0.21	0.16	0.12	0.10	0.06	0.05

2. Для закрепления проволоки прижмем её в натянутом виде к поверхности линейки с помощью двух канцелярских зажимов (рис. 2). Заметим, что если разместить проволоку ближе к нижнему концу линейки, линейка не изгибается под весом шарика. Дужки зажимов при необходимости можно снять.

Рис. 2. Закрепление проволоки/нити на поверхности линейки

Проведем измерения критической высоты.

В задаче мы не имеем возможности проводить прямые измерение высоты \(h\). При этом в качестве опоры используется брусок, размеры которого мы можем измерить.

Пусть брусок высотой \(a\) подпирает линейку длиной \(L\) на расстоянии \(x\) от её нижнего торца (рис. 3).

Рис. 3. Косвенное измерение высоты \(h\)

Используя геометрический принцип подобия, можно записать уравнение для \(h\):

\[h=\dfrac{aL}{x}\qquad(1)\]Таким образом для определения высоты \(h\) требуется измерить длину линейки (в контрольном опыте \(L=(51.0 \pm 0.1)~мм\) и при достижении состояния, когда шарик оказывается способен перекатиться через проволоку, надо определить длину \(x\). Также для вычислений потребуется измерить высоту бруска. Для наших опытов в качестве длины \(a\) удобно использовать короткую сторону бруска \(a=(39.5\pm 0.5)~мм\).

Для повышения точности для каждого образца проволоки проведем измерения длины \(x\) 10 раз.

При измерении \(x\) следует учитывать тот факт, что шкала нулевая отметка на шкале находится на некотором расстоянии \(\Delta x\) от края линейки. Тогда:

\[x=x'+\Delta x,\qquad(2)\]\(x'\) – координата точки опоры линейки о брусок по шкале линейки. В контрольном опыте \(\Delta x=(4.5 \pm 0.5)~мм\)

Абсолютная погрешность \(\sigma_x\) среднего значения \(x\) главным образом будет определяться случайной погрешностью:

\[\sigma_x \approx \dfrac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} |x_i - \langle x \rangle|.\qquad(3)\]Приборной погрешностью измерения отдельных значений \(x\) можно пренебречь.

Оценка абсолютной погрешности \(h\):

\[\sigma_{h} \approx h\left( \dfrac{\sigma_a}{a}+\dfrac{\sigma_L}{L}+\dfrac{\sigma_x}{x} \right)\qquad(4)\]Оценка абсолютной погрешности \(h^2\):

\[\sigma_{h^2} \approx 2 h^2 \left( \dfrac{\sigma_a}{a}+\dfrac{\sigma_L}{L}+\dfrac{\sigma_x}{x} \right)\qquad(5)\]

\(d,~мм\)	\(x_1,~см\)	\(x_2,~см\)	\(x_3,~см\)	\(x_4,~см\)	\(x_5,~см\)	\(x_6,~см\)	\(x_7,~см\)	\(x_8,~см\)	\(x_9,~см\)	\(x_{10},~см\)
0.05	41.1	39.5	41.1	39.5	42.8	41.9	38.7	38.0	41.9	41.1
0.06	30.0	30.5	29.6	29.6	29.2	29.6	29.2	29.2	30.5	29.6
0.10	29.2	29.2	28.8	28.3	30.0	29.6	30.0	28.3	28.8	27.2
0.12	23.7	23.7	24.0	23.7	23.4	22.9	23.4	24.0	24.0	23.4
0.16	19.7	19.4	20.1	19.7	19.5	19.4	20.1	19.5	19.9	19.4
0.21	19.2	18.8	19.7	23.8	19.0	19.4	19.0	19.4	19.2	19.9
0.35	15.4	15.5	15.4	15.5	15.4	15.5	15.4	15.5	15.6	15.5

Далее усредним полученные значения, для каждой серии измерений \(x\) рассчитаем высоту \(h\).

Ответ:

\(d,~мм\)	\(\langle x \rangle,~см\)	\(h,~см\)	\(h^2,~см^2\)	\(\sigma_x,~см\)	\(\sigma_h,~см\)	\(\sigma_h^2,~см^2\)
0.05	40.5	5.0	24.6	1.3	0.2	1.8
0.06	29.7	6.8	45.9	0.4	0.1	1.5
0.10	28.9	7.0	48.4	0.7	0.2	2.5
0.12	23.6	8.5	72.7	0.3	0.1	2.1
0.16	19.7	10.2	104.6	0.3	0.2	3.3
0.21	19.2	10.5	109.5	0.3	0.2	4.0
0.35	15.4	13.0	169.8	0.1	0.1	2.6

3. Перейдём к анализу экспериментальных данных. Вначале построим график зависимости \(h(d)\).

Ответ:

График зависимости \(h(d)\)

4. Из графика видно, что экспериментальные точки не ложатся на прямую. По форме кривой на графике можно сделать предположение, что они описываются «корневой» зависимостью. Для проверки этого факта построим график зависимости \(h^2(d)\).

Ответ:

График зависимости \(h^2(d)\)

Видно, что в этом случае экспериментальные точки хорошо описываются прямой пропорциональностью с угловым коэффициентом \(k= (535\pm65)~см^2/мм\).

5. Проведем аналогичные измерения с нитью.

\(d,~мм\)	\(x_1,~см\)	\(x_2,~см\)	\(x_3,~см\)	\(x_4,~см\)	\(x_5,~см\)	\(x_6,~см\)	\(x_7,~см\)	\(x_8,~см\)	\(x_9,~см\)	\(x_{10},~см\)
0.13	19.9	20.5	20.1	20.7	20.7	20.1	20.5	20.7	20.5	20.3

Квадрат критической высоты для нити составит \(h^2_{нить}=(97.0\pm3.4)~см^2\).

По графику зависимости \(h^2(d)\) определим диаметр нити

Ответ:

\(d_1= (0.18\pm0.02)~мм\).

Толщина нити, измеренная микрометром, составляет

\(d_{2}=(0.13\pm0.01)~мм\).

6. Ответ:

Разница в результатах двух измерений обусловлена тем, что нить мягкая, и в случае измерения с помощью микрометра деформируется сильнее, нежели при измерениях в эксперименте с перематываниями шарика.

Источник: pho.rs/p/4394.

В данной задаче требуется оценка погрешностей.

Теоретическая справка

Если в кювету налить слой воды небольшой толщины, то по поверхности воды могут распространяться волны. Для запуска волн следует приподнять один край кюветы на небольшую высоту и отпустить (см. рис. 1). Тогда от этого края к противоположному начнет двигаться гребень волны. Когда гребень волны достигнет противоположного края кюветы, волна отразится и гребень начнет двигаться в обратном направлении с той же по модулю скоростью. Обозначим скорость движения гребня волны за \(v\).

Рис. 1. Способ запуска волн на поверхности воды в кювете

Задание

1. Измерьте зависимость скорости \(v\) движения гребня волны от толщины \(h\) слоя воды в кювете в диапазоне \(h\) от \(1.0\) до \(4.5~см\).

2. Постройте график исследуемой зависимости \(v(h)\).

3. Предположим, что скорость \(v\) гребня волны зависит только от толщины \(h\) слоя воды и ускорения свободного падения \(g\) следующим образом:

\[v=A g^x h^y,\]где \(A, x, y\) – безразмерные константы. Исходя из единиц измерения величин, входящих в уравнение (1), определите значения констант \(x\) и \(y\).

4. Проверьте, выполняется ли предположение пункта 3. Для этого постройте график зависимости \(v(h)\) в координатах, в которых он может описываться линейной функцией. Если предположение пункта 3 выполняется, определите значение константы \(A\) в уравнении (1).

Справочные данные. Примите ускорение свободного падения равным \(g = 9.8~м/с^2\)

Оборудование

1. Кювета

2. Ведро с водой

3. Стакан для переливания воды

4. Пластиковая линейка

5. Секундомер

6. Тряпочка для поддержания чистоты рабочего места

▶РешениеСкрыть

Решение

1. Запустим процесс распространения волны в кювете. Для более точного определения скорости будем записывать время \(t\) нескольких прохождений \(N\) гребнем расстояния \(l=(30 \pm 1) ~см\) от стенки до стенки. При этом значение \(N\) не должно превышать \(7\), так как при большем числе прохождений кюветы волна достаточно сильно затухает. Для расчета скорости воспользуемся формулой:

\[v=\frac{lN}{t} \qquad(2)\]Проведем измерения времени \(t\) для нескольких высот \(h\) из указанного диапазона. Для получения достоверных результатов каждое время будем измерять \(5\) раз. При измерении толщины слоя воды учтем, что край линейки не совпадает с началом шкалы. Для корректного измерения толщины будем проводить измерения, разместив кювету на краю стола, чтобы сопоставлять начало шкалы линейки и дно сосуда. Рассчитаем значение скорости движения гребня волны для каждой из высот на основании усредненного времени \(t\).

Ответ:

\(h~мм\)	\(N\)	\(t_1,~с\)	\(t_2,~с\)	\(t_3,~с\)	\(t,~с\)	\(v,~м/с\)	\(\sqrt{gh},~м/с\)
7	4	4.66	4.64	4.68	4.66	0.26	0.26
17	6	4.53	4.50	4.50	4.51	0.40	0.41
23	6	4.00	4.06	4.00	4.02	0.45	0.47
29	6	3.56	3.53	3.50	3.53	0.51	0.43
34	6	3.35	3.25	3.34	3.31	0.54	0.58
40	6	2.94	3.06	3.06	3.02	0.60	0.63
46	6	2.86	2.97	2.75	2.86	0.63	0.67
52	6	2.47	2.625	2.62	2.57	0.70	0.71
10	4	3.75	3.65	3.90	3.77	0.32	0.31

2. Построим график исследованной зависимости.

Ответ:

3. Воспользуемся методом размерностей для определения вида теоретической

\[\frac{м}{с}=\frac{м^x}{с^{2x}}м^y.\tag3{}\]Составим уравнения на значений степеней:

\[\begin{cases} 1= x+y\\ 1 = 2x \end{cases}\qquad(4)\]Откуда получаем:

\[\begin{cases} y= 0.5\\ x = 0.5 \end{cases}\qquad(5)\]Следовательно, формулу (1) можно записать в виде:

Ответ:

\[v=A\sqrt{gh}.\qquad(6)\]

4. Для проверки выполняемости теоретической модели, рассчитаем в таблице значения \(\sqrt{gh}\) для каждого уровня воды в кювете и построим график зависимости \(v(\sqrt{gh})\).

Видно, что точки описываются прямой пропорциональностью с угловым коэффициентом \(A=(0.97)\approx 1\). И действительно, теоретическое значение скорости распространения гребня при пренебрежении силами поверхностного натяжения составляет \(v_{теор}=\sqrt{gh}\). То есть можно утверждать, что теоретическая модель с хорошей точностью описывает изучаемый процесс.

Ответ:

\(A= 1\).

Источник: pho.rs/p/4395.

В данной задаче требуется оценка погрешностей.

Внимание!

Среди оборудования есть острые иглы, будьте осторожны при работе с ними.

Выданные жидкости не пригодны для питья.

Не допускайте попадания жидкостей в рот и глаза.

Не смешивайте жидкости друг с другом.

Открывайте сосуд с жидкостью только на время проведения экспериментов с ней.

Интенсивное вдыхание паров спирта опасно для здоровья.

На линейках запрещено делать пометки.

Задание

1. Определите внутренний диаметр \(d\) трубки с максимально возможной точностью. Опишите способ определения \(d\).

Соберите установку, максимально похожую на изображённую на фотографии (рис. 1). В штуцер вставьте зеленую иглу с острым концом.

Рис. 1. Экспериментальная установка

Присоедините пустой шприц к свободному концу трубки. Очень медленно выдвигая поршень шприца, наберите исследуемую жидкость в трубку, не допуская появления пузырей воздуха в жидкости внутри трубки. Загните левый конец трубки и зажмите его зажимом. Отсоедините шприц. Проверьте, что при разжимании левого зажима и регулировании высоты иглы над поверхностью стола вы можете добиться того, что капли отрываются с постоянной частотой (примерно 1 капля в секунду) от иглы справа (рис. 2).

Рис. 2. Экспериментальная установка

2. Изобразите схему установки, укажите на рисунке, на каком уровне относительно горизонтального участка трубки должен находиться конец иглы для описанного режима образования капель.

Примечание: Даже если вы получили другую частоту отрыва капель, вы можете выполнить последующие пункты задания.

3. Используя собранную вами установку, проведите измерения объемов \(V_{туп}\) и \(V_{остр}\) водяных капель, которые отрываются от концов тупой и острой зелёных игл. Одинаковы ли эти объемы? Старайтесь проводить измерения при приблизительно одинаковой скорости образования капель.

4. Используя собранную вами установку, проведите измерения объема \(V_{кор}\) водяных капель, которые отрываются от конца коричневой иглы. Сравните полученное значение объема \(V_{кор}\) с объемом капли \(V_{остр}\), которые отрываются от конца острой зеленой игры. Старайтесь проводить измерения при той же скорости образования капель.

5. Используя собранную вами установку, проведите измерения объема \(V_{сп}\) спиртовых капель, которые отрываются от конца коричневой иглы. Сравните полученное значение объема \(V_{сп}\) с объемом капли \(V_{кор}\) воды на выходе из этой же иглы. Старайтесь проводить измерения при той же скорости образования капель.

Оборудование

1. Шприц объемом \(10~мл\)

2. Трубка силиконовая длинная

3. Штуцер белый

4. Зеленая игла с тупым концом

5. Зеленая игла с острым концом

6. Коричневая игла

7. Вода и спирт в баночках

8. Штатив с одной лапкой

9. Деревянная линейка \(50~см\)

10. Пластмассовая линейка \(30~см\)

11. Пять канцелярских зажимов \(25~мм\)

12. Маркер

13. Салфетки для поддержания чистоты рабочего места

Справочная информация: Объем цилиндра связан с его длиной \(l\) и площадью основания \(S\) как:\[V = Sl.\]

Площадь круга можно вычислить как:

\[S=\pi d^2/4,\]где \(d\) – диаметр круга, а \(\pi=3.14\).

▶РешениеСкрыть

Решение

1. Измерим внутренний диаметр трубки. Для этого заполним трубку водой из шприца и расположим ее вдоль линейки. Объем \(V=(3.7\pm0.1)~мл\) занимает в трубке \(l=(50.0\pm0.1)~см\). Тогда внутренний диаметр трубки составит:

Ответ:

\[d=\sqrt{\frac{4V}{\pi l}}=(0.31\pm0.01)~см.\qquad(1)\]

2. Для проведения измерений необходимо добиться получения капельного режима истечения жидкости с конца игл. Для этого необходимо подстраивать разности уровней жидкости в трубке и на конце иглы. Поддержание разницы уровней в малом диапазоне капельного режима требует особого внимания. Сделать это можно меняя относительное положение конца иглы и горизонтальной части трубки с помощью изменения положения линейки или трубки относительно стола.

Для того, чтобы заполнить трубку водой, опустим кончик иглы в воду. Медленно затянем воду с помощью шприца в трубку, внимательно следя за тем, чтобы в трубке не было воздушных пузырей. Пережмем шланг зажимом, отсоединим шприц и уберем подставку, опустив тем самым уровень жидкости, конец иглы при этом окажется над жидкостью. Отрегулируем скорость вытекания относительным положением конца иглы и горизонтальной трубки, добившись частоты вытекания около 1 капли в секунду. Для проведения измерений необходимо, чтобы нижний конец иглы был ниже горизонтального участка трубки, расположенного на длинной линейке.

Ответ:

3. Для определения объема капель используем следующую методику. Наполним трубку жидкость примерно до начала шкалы длинной линейки. Сделаем отметку на трубке маркером и отсчитаем \(N\) капель. Вновь сделаем отметку на трубке. Повторим измерения трижды. Измерим расстояния \(x\) между метками, соответствующие отсчитанному количеству капель. Внесем данные в таблицу. Усредним измеренные расстояния и разделим результат на количество отсчитанных капель. Тем самым мы будем измерять размер \(y\) одной капли в единицах длины столба жидкости в трубке.

Для сравнения размеров капель правильно пользоваться именно этим величинами. Ведь в дальнейшем для расчета объема капли \(v\) в единицах СИ необходимо будет умножить длину столба на площадь сечения трубки, сложив их относительные погрешности. Однако, ошибка в измерении площади поперечного сечения не должна влиять на сравнение объемов капель, так как истинное значение площади в каждом случае измерений одинаково.

Измерим объемы водяных капель, отрывающихся от концов зеленой иглы с тупым концом и острым концом. Оценим погрешность длины столба \(x\) в \(2~мм.\)

Ответ:

Тип иглы	\(N\)	\(x_1,~мм\)	\(x_2,~мм\)	\(x_3,~мм\)	\(x,~мм\)	\(y,~мм\)	\(\sigma_y,~мм\)	\(v,~мкл\)	\(\sigma_v,~мкл\)
тупая	100	238	252	245	245	2.45	0.07	18.5	0.7
острая	100	190	185	192	189	1.89	0.05	14.3	0.6

Видно, что объем водяных капель, отрывающихся с конца тупой иглы \(V_{туп}\), и объем водяных капель, отрывающихся с конца острой иглы \(V_{остр}\), отличаются друг от друга.

4. Результаты измерений для водяных капель, отрывающихся от конца коричневой иглы.

Ответ:

Тип иглы	\(N\)	\(x_1,~мм\)	\(x_2,~мм\)	\(x_3,~мм\)	\(x,~мм\)	\(y,~мм\)	\(\sigma_y,~мм\)	\(v,~мкл\)	\(\sigma_v,~мкл\)
коричневая	60	70	67	65	67	1.13	0.04	8.5	0.4

Видно, что объем водяных капель \(V_{кор}\), которые отрываются от конца коричневой иглы, меньше объема водяных капель \(V_{остр}\), которые отрываются от конца острой зелёной иглы.

5. Результаты измерения объема спиртовых капель, отрывающихся от конца коричневой иглы.

Ответ:

Тип иглы	\(N\)	\(x_1,~мм\)	\(x_2,~мм\)	\(x_3,~мм\)	\(x,~мм\)	\(y,~мм\)	\(\sigma_y,~мм\)	\(v,~мкл\)	\(\sigma_v,~мкл\)
коричневая	50	30	31	29	30	0.60	0.02	4.5	0.2

В соответствии с полученными экспериментальными данными, объем спиртовых капель \(V_{сп}\), отрывающихся от конца коричневой иглы, меньше объема водяных капель \(V_{кор}\), отрывающихся от конца коричневой иглы.

Источник: pho.rs/p/4396.

В данной задаче не требуется оценка погрешностей.

Введение

Основной единицей функциональной структуры любой современной электронно-вычислительной машины является логический элемент. По своей сути логический элемент – устройство, которое по определённому правилу в зависимости от сигналов, подаваемых на входные контакты, выдаёт сигналы на выходных контактах.

В простейшем случае сигналом может служить

электрическое напряжение определённой величины и полярности.

В двоичной логике различают два вида сигналов: «ноль» (полярность отрицательная) и «единица» (полярность положительная).

Для того, чтобы сигнал передавался по проводам, требуется, чтобы провода образовывали замкнутый контур (рис. 1).

Рис. 1. Принципиальная схема подключения логического элемента и считывания выходного сигнала индикатором

Для работы логического элемента он подключается к питанию – например, к батарейке. Эта же батарейка может выступать в роли источника сигналов.

Чтобы с помощью батарейки подать на «вход» логического элемента «единицу», требуется подключить «плюс» батарейки ко «входу» элемента. Чтобы подать на «вход» логического элемента «ноль», мы должны подключить «вход» элемента к «минусу» батарейки.

Считывать сигнал с «выходов» логических элементов мы будем с помощью специального светового индикатора. Индикатор светится, если один из его контактов подключить к «плюсу», а другой – к «минусу».

• Пусть на «выходе» логического элемента – «единица». Если индикатор подключить одним контактом к «выходу» логического элемента, а другим – к «минусу» батарейки, то индикатор будет светиться. Если его подключить не к «минусу», а к «плюсу» батарейки – он светиться не будет.

• Пусть на «выходе» логического элемента – «ноль». Если индикатор подключить одним контактом к «выходу» логического элемента, а другим – к «минусу» батарейки, то индикатор светиться не будет. Если его подключить не к «минусу», а к «плюсу» батарейки – он будет светиться.

Основными логическими элементами являются элементы «И», «ИЛИ», «НЕ». Таблицы зависимости их входных и выходных сигналов представлены ниже.

Логический элемент «И»

Логический элемент «ИЛИ»

Логический элемент «НЕ»

Экспериментальная установка

Рис. 2. Экспериментальный стенд

В вашем распоряжении имеется экспериментальный стенд (рис. 2) с уникальным номером. Стенд состоит из блока питания (отсек для двух батареек), колодки питания, отдельных логических элементов и некоторого устройства («чёрного ящика»), состоящего из таких же элементов. Принцип работы приведённых логических элементов и устройство «чёрного ящика» вам предлагается изучить в данной работе. На стенде для краткости контакты логических элементов обозначены буквами \(A\), \(B\) и \(C\), а изучаемого устройства — буквой \(Ч\) (рис. 2).

У каждого логического элемента и «чёрного ящика» имеется две группы проводов для подключения. Первая группа проводов условно называется «Входы» (они расположены слева), а вторая — «Выходы» (они расположены справа).

Рис. 3. Структурная схема стенда

Для подключения к батарейке на корпусе стенда сверху расположена колодка. Левый ряд контактов колодки подключён к «минусу» блока питания, а правый —- к «плюсу».

Для подключения «входов» элементов стенда и контактов индикатора к питанию включите соответствующие провода в гнёзда колодки.

Для определения состояния на «выходе» логического элемента вам предоставлен светодиодный индикатор.

Световой индикатор состоит из двух зелёных светодиодов. Считается, что индикатор светится, если светится любой из двух светодиодов в индикаторе.

Задание

Перед выполнением основной части работы, проверьте работоспособность светодиодного индикатора. Для этого подключите индикатор к колодке (один провод к контакту «\(+\)», а второй — к контакту «\(-\)»). Убедитесь, что  один из светодиодов индикатора светится. Поменяйте полярность подключения (первый провод к контакту «\(-\)», а второй — к контакту «\(+\)»). Убедитесь, что один из светодиодов индикатора снова светится.

Все дальнейшие измерения нужно проводить, подключив один провод индикатора к контакту «\(-\)», а второй — к одному из выходных контактов установки (\(A_{11}\), \(B_{11}\), \(C_{11}\), \(\text{Ч}_{11}\), \(\text{Ч}_{12}\) или \(\text{Ч}_{13}\)).

1. В вашем распоряжении три различных логических элемента. Для упрощения будем их называть «элемент A», «элемент B» и «элемент C».

Определите как зависит сигнал на выходах трёх имеющихся логических элементов от сигналов на входах.

Составьте таблицу, в которой будут представлены комбинации сигналов на входах элементов и соответствующие сигналы на выходе. Шаблон таблицы представлен ниже.

Таблица A

Таблица B

Таблица C

Поставьте в соответствие изученные в эксперименте логические элементы и элементы, описанные выше.

2. «Чёрный ящик» – представляет собой схему, составленную из изученных вами логических элементов. Ящик имеет три входа (\(Ч_{01}\), \(Ч_{02}\), \(Ч_{03}\)) и три выхода (\(Ч_{11}\), \(Ч_{12}\), \(Ч_{13}\)).

Определите как зависит сигнал на выходах «чёрного ящика» от сигналов на входах.

Составьте таблицу, в которой будут представлены комбинации сигналов на входах элементов и соответствующие сигналы на выходах.

Шаблон таблицы представлен ниже.

Таблица Ч

Используя изученные логические элементы, придумайте схему их соединения, которая бы позволила реализовать работу «чёрного ящика».

Оборудование

1. Стенд, включающий в себя три логических элемента, «чёрный ящик» и батарейку

2. Индикатор

Обязательно укажите в работе номер вашего стенда.

▶РешениеСкрыть

Решение

1. Изучим элемент \(A\). Он имеет один вход и один выход. Этот элемент устроен очень просто – он превращает входной сигнал в противоположный по уровню: сигнал «ноль» элемент преобразовывает в «единицу» и наоборот. Таблица истинности этого элемента соответствует элементу «НЕ».

Ответ:

Таблица A

№	\(A_{01}\)	\(A_{11}\)
1	\(-\)	\(+\)
2	\(+\)	\(-\)

Изучим элемент \(B\). Он имеет два входа и один выход. Как можно видеть этот элемент выдаёт «единицу» во всех случаях, когда хотя бы на один вывод поступает «единица». Таблица истинности этого элемента соответствует элементу «ИЛИ».

Ответ:

Таблица B

№	\(B_{01}\)	\(B_{02}\)	\(B_{11}\)
1	\(-\)	\(-\)	\(-\)
2	\(+\)	\(-\)	\(+\)
3	\(-\)	\(+\)	\(+\)
4	\(+\)	\(+\)	\(+\)

Изучим элемент \(C\). Он имеет два входа и один выход. Как можно видеть этот элемент выдаёт «единицу» только тогда, когда на оба входа поступает «единица». Таблица истинности этого элемента соответствует элементу «И».

Ответ:

Таблица C

№	\(C_{01}\)	\(C_{02}\)	\(C_{11}\)
1	\(-\)	\(-\)	\(-\)
2	\(+\)	\(-\)	\(-\)
3	\(-\)	\(+\)	\(-\)
4	\(+\)	\(+\)	\(+\)

2. Ответ:

Перейдём к изучению «чёрного ящика». Будем подавать различные сигналы на входы ящика и измерять сигнал на выходе.

Таблица Ч

№	\(Ч_{01}\)	\(Ч_{02}\)	\(Ч_{03}\)	\(Ч_{11}\)	\(Ч_{12}\)	\(Ч_{13}\)
1	\(-\)	\(-\)	\(-\)	\(-\)	\(+\)	\(-\)
2	\(+\)	\(-\)	\(-\)	\(+\)	\(+\)	\(-\)
3	\(-\)	\(+\)	\(-\)	\(+\)	\(+\)	\(-\)
4	\(+\)	\(+\)	\(-\)	\(+\)	\(+\)	\(-\)
5	\(-\)	\(-\)	\(+\)	\(-\)	\(-\)	\(-\)
6	\(+\)	\(-\)	\(+\)	\(+\)	\(-\)	\(-\)
7	\(-\)	\(+\)	\(+\)	\(+\)	\(-\)	\(+\)
8	\(+\)	\(+\)	\(+\)	\(+\)	\(-\)	\(+\)

Отталкиваясь от данных, полученных в четырёх вышеописанных экспериментах, приходим к принципиальной схеме ящика (Рис. 4),

Рис. 4. Принципиальная схема <<чёрного ящика>>.

Отметим, что данная схема не является единственной, которая может соответствовать таблице истинности рассмотренного «чёрного ящика».

Технические указания.

В качестве логических элементов выступают сборки, включающие микросхему логики, токоограничивающий резистор в цепи питания, а также сигнальные провода. Во избежание «дребезга контактов» входы микросхем соединены с «минусом» схемы через резисторы \(100~кОм.\) Это позволяет условно считать, что если участник не подаёт сигнал на вход, то на нём «автоматически» устанавливается «ноль». В качестве источника питания стенда играют роль две батарейки ААА (3 вольта). Напряжение от батареек выводится на внешнюю колодку. Сборки выполнены на макетных платах (без пайки).

Используемые микросхемы: CD4073B (элемент «И»), CD4071B (элемент «ИЛИ»), CD4069UBE (элемент «НЕ»).

В качестве индикатора используется цепочка из двух зелёных светодиодов, включённых встречно-параллельно. Последовательно светодиодам подключён токоограничивающий резистор \(1~кОм.\)

Источник: pho.rs/p/4397.

Источник: Олимпиада по экспериментальной физике (IEPhO) 2024, 8 класс — условия. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.