IEPhO 2025, 10 класс

Ответ

1: \[D_1=-(5.5\pm1.0) \ дптр\]\[D_2=-(6.3\pm1.2) \ дптр\]

Решение

1. Прикрепим с помощью зажима к линзе линейку. Закрепим рулетку на столе с помощью малярного скотча. Поставим линзу на расстоянии \(c=50 \ см\) от края рулетки и места, где в дальнейшем будем располагать наш глаз. Расположим за линзой на расстоянии \(a\) второй канцелярский зажим, предварительно измерив его высоту: \(x=(51\pm1) \text{ мм}\). Будем наблюдать за изображением зажима в линзе, расположив глаз на уровне края стола (рис. 1 – рис.2).

Рис. 1. Установка для наблюдения изображения зажима в линзе (вид сбоку)

Рис. 2. Установка для наблюдения изображения зажима в линзе (вид со стороны наблюдателя)

Измерим зависимость высоты \(z\), занимаемой изображением зажима на линейке, от расстояния \(a\) между зажимом и линзой (табл. 1).

Таблица 1. Измерения для расположения линзы вогнутой стороной к глазу

Положение изображения зажима связано с положением источника формулой тонкой линзы: \[\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=-|D|.\qquad(1) \tag{1}\] Размер изображения связан с размером источника как: \[y=x\frac{b}{a}.\qquad(2) \tag{2}\] Измеряемый линейкой размер изображения канцелярского зажима в линзе \(z\) связан с размером изображения как: \[z=y\frac{c}{c+b}.\qquad(3) \tag{3}\] Объединим формулы вместе: \[z=x\frac{b}{a}\frac{c}{c+b}=\frac{x}{a}\frac{1}{\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{b}}=\frac{x}{a}\frac{1}{\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}+|D|}.\qquad(4) \tag{4}\] И преобразуем к виду: \[\frac{x}{z}=1+a\left(\dfrac{1}{c}+|D|\right)\qquad(5) \tag{5}\] Видно, что в координатах \(\frac{x}{z}(a)\) зависимость описывается линейной функцией с угловым коэффициентом: \[k=\dfrac{1}{c}+|D|.\qquad(6) \tag{6}\] Заметим, что возможны и другие способы линеаризации. Оценим погрешность расстояния между линзой и зажимом как толщину линзы \({\sigma_a=0,5 \ см}\). Наблюдаемый размер изображения и размер источника имеют погрешность \({\sigma_{xz}=1 \ мм}\). Тогда погрешность величины отношения размеров можно рассчитать как: \[\sigma_{x/z}=\frac{x}{z}\sigma_{xz}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}\right).\qquad(7) \tag{7}\] Пересчитаем экспериментальные точки и построим соответствующий график. Проведем аппроксимирующие прямые с максимальным и минимальным угловыми коэффициентами через точку с координатой \((1;0 \ см)\), так как смещение графика в аппроксимирующей функции известно точно. Итого угловой коэффициент графика составит: \[k=\left(0.075\pm\frac{0.084-0.068}{2}\right)=(0.075\pm0.008) \ см^{-1}.\] Рассчитаем оптическую силу линзы: \[D_1=-\left(k-\frac{1}{c}\right)=-(5.5\pm1.0) \ дптр.\qquad(8) \tag{8}\] Погрешность расстояния между линзой и глазом оценим в \(\sigma_c=5 \ см\), как характерный размер глазного яблока. Тогда погрешность оптической силы рассчитаем как: \[\sigma_D=\sigma_k+\frac{1}{c}\frac{\sigma_c}{c}.\qquad(9) \tag{9}\]

Повторим эксперимент, располагая линзу выпуклой стороной к наблюдателю. Полученные значения внесем в таблицу (табл. 2). В этом эксперименте выберем расстояние от линзы до глаза равным \(c=60 \text{ см}\).

Таблица 2. Измерения для расположения линзы выпуклой стороной к глазу

Найдем значение оптической силы: \[k=\left(0.079\pm\frac{0.089-0.068}{2}\right)=(0.079\pm0.011) \ см^{-1}.\] Рассчитаем оптическую силу линзы: \[D_2=-\left(k-\frac{1}{c}\right)=-(6.3\pm1.2) \ дптр.\qquad(10) \tag{10}\] В пределах погрешности проводимого эксперимента достоверно сравнить \(D_1\) и \(D_2\) не представляется возможным. Однако чаще всего модуль оптической силы \(D_2\) оказывается большим модуля оптической силы \(D_1\). Этот эффект связан с самим способом измерений. Дело в том, что лучи, идущие от краев источника и попадающие в глаз, проходят достаточно далеко от центра линзы. В этих областях имеют место аберрации, зависящие от направления хода лучей через линзу. Поэтому результат нахождения оптической силы, выполненный авторским методом, может отклоняться от номинальной оптической силы, рассчитанной в параксиальном приближении.

Ответ:

\[D_1=-(5.5\pm1.0) \ дптр\]\[D_2=-(6.3\pm1.2) \ дптр\]

Примечание

Однако, при более детальном рассмотрении хода лучей через реальную линзу (рис. 3) имеющую некоторую толщину, можно заметить, что фокусное расстояние для приосевых пучков лучей совпадает. Проводимые в задаче измерения размеров «изображения» на поверхности линзы, связаны с определением положения границ изображения предмета, размеры которого сопоставимы с размерами линзы. Наблюдение этих границ проводится в области, где проявляется влияние толщины линзы на ход лучей - линзу в данных областях уже нельзя считать тонкой. В связи с этим измеренное значение \(D_2\) оказывается заведомо завышенным.

Рисунок носит иллюстративный характер, толщина линзы в центре несколько преувеличена.

Рис. 3. Сравнение продолжения хода лучей для двух положений линзы

Источник: pho.rs/p/4919.

Ответ

4: Видно, что точки второго графика не могут быть описаны линейной функцией. На участке перегиба ВАХ сопротивление позистора \(R_{перегиб}=(14.5\pm1.5) \ Ом\) позволяет оценить температуру фазового перехода \(T_{пл}=(70\pm5) \ ^\circ \mathrm{C}\).

Решение

1. Для выполнения первого эксперимента поместим позистор в стакан с холодной водой. Соберем схему, изображенную на рисунке 1, и проведем требуемые измерения вольт–амперной характеристики.

Рис. 1. Установка для измерения ВАХ позистора

В сторону увеличения напряжения

Ответ:

В сторону уменьшения напряжения

Ответ:

2. Ответ:

Видно, что график имеет два участка. При малых напряжениях с увеличением напряжения ток возрастает, а при больших – наоборот, убывает. При максимальном токе происходит смена поведения графика, скорее всего связанная с фазовым переходом вещества в жидкое состояние. Также наблюдается гистерезис, графики в случае увеличения напряжения и уменьшения напряжения на некоторых участках не совпадают.

3. Для экономии времени, запустим второй эксперимент перед началом обработки результатов первого эксперимента. Для этого, не отключая позистор от электрической схемы, переместим его в пустой стакан и зальем кипятком. Подадим на него небольшое напряжение порядка \(100~мВ\) и будем измерять значения тока и напряжения на приборах в зависимости от температуры воды в стакане. Температуру будем измерять при помощи термометра, зафиксированного в лапке штатива. Для ускорения остывания будем доливать в стакан с горячей водой небольшое количество холодной воды и перемешивать жидкость при помощи термометра для получения одинаковой температуры воды во всем сосуде.

Занесем данные второго эксперимента в таблицу, по данным \(U\) и \(I\) рассчитаем сопротивления и построим график зависимости сопротивления позистора \(R(T)\) от температуры \(T\).

Ответ:

4.

Ответ:

Видно, что точки второго графика не могут быть описаны линейной функцией. На участке перегиба ВАХ сопротивление позистора \(R_{перегиб}=(14.5\pm1.5) \ Ом\) позволяет оценить температуру фазового перехода \(T_{пл}=(70\pm5) \ ^\circ \mathrm{C}\).

5. По полученному графику \(R(T)\) определим температуру позистора в точках ВАХ, соответствующих твердому состоянию. Для этого рассчитаем сопротивление позистора \(R=\frac{U}{I}\) на участке ВАХ, соответствующем твердому состоянию вещества внутри позистора при постепенном увеличении напряжения. Затем, пользуясь графиком \(R(T)\), определим температуру, которую имел позистор при таком сопротивлении. Рассчитаем электрическую мощность \(P=UI\) для каждой точки этой части ВАХ.

Ответ:

6. Построим график зависимости температуры от мощности, выделяемой на позисторе.

Ответ:

Так как теплоемкость воды, в которую погружен позистор, намного больше теплоемкости самого элемента, можно считать, что в первом эксперименте температура воды в стакане не изменялась. В таком случае воду можно рассматривать как термостат. Тогда мощность теплопотерь в соответствии с законом Ньютона–Рихмана пропорциональна разности температуры позистора и температуры воды (температура воды совпадает с комнатной).

Ответ:

Построенный график \(T(P)\) хорошо аппроксимируется прямой на исследуемом диапазоне температур, что подтверждает применимость этой модели для описания теплопотерь.

Источник: pho.rs/p/4920.

Ответ

1.1: \[\boxed{d = d_0 \cdot \left(\frac{l_0}{l}\right)^{\chi}}\];  1.4: \[\chi_{стат} = 0.54 \pm 0.18\];  2.1: \[T=(0.44\pm 0.01)~с\];  2.2: \[l = (30.0 \pm 0.1) \ см\]\[l_0 = (26.5 \pm 0.1) \ см\];  2.3: \[d=(3.93 \pm 0.17)~мм\];  2.4: \[E = (1.01 \pm 0.16)~МПа\];  3.2: Видно, что это парабола, проходящая через ноль. Поэтому её уравнение не имеет свободного члена: \[T^2 = C_1\cdot x(C_2-x).\] Выберем линеаризацию \(\frac{T^2}{x}(x)\) для построения графика.;  3.4: \[T^2(x) = \frac{128\pi I_0}{l_0Gd^4} x(x - l_0) = Ax(x - l_0)\];  3.5: \[G=G_1=(660 \pm 140)~кПа\];  4.2: \[\ln T = (2\chi + 0.5)\ln (l/l_0) + \operatorname{const}\]

Решение

1.1. Из определения коэффициента геометрической связи линейных размеров можем записать в дифференциальной форме:

\[\chi = -\frac{d\varepsilon_{\perp}}{d\varepsilon_{\parallel}} = -\frac{\mathrm{d} d/d}{\mathrm{d} l/l}.\]

Получаем дифференциальное уравнение:

\[\frac{\mathrm{d} d}{d} = -\chi \frac{\mathrm{d} l}{l}.\]

Интегрируем обе части:

\[\int \frac{\mathrm{d}d}{d} = -\chi \int \frac{\mathrm{d} l}{l};\]

\[\ln \dfrac{d}{d_0} = -\chi \ln \dfrac{l}{l_0}.\]

Продифференцировав, получаем окончательную связь:

\[\boxed{d = d_0 \cdot \left(\frac{l_0}{l}\right)^{\chi}}\]

Ответ:

\[\boxed{d = d_0 \cdot \left(\frac{l_0}{l}\right)^{\chi}}\]

1.2. Соберем установку, описанную в условии и измерим требуемую зависимость. Все величины, измеряются линейкой, поэтому абсолютная погрешность измеряемых величин равна \(1~мм\). Диаметр шнура можно найти по формуле \(d=d'\cdot\frac{z}{z_0}\), где \(z\) – это длина от вершины клина до центра шнура, \(z_0=(29.5\pm0.5) \ см\) – длина клина, а \(d'\) – ширина раствора клина на его концах.

Ответ:

1.3. Для получения линейной графика построим его в логарифмических осях. \[\ln \dfrac{d}{d_0} = -\chi \ln \dfrac{l}{l_0}\] Тогда коэффициент наклона этой прямой будет равняться искомому \(\chi_{стат}\). Погрешности оценим по следующим формулам \[\sigma_{\ln(\frac{l}{l_0})}=\dfrac{\sigma_{l}}{l} + \cancel{\dfrac{\sigma_{l_0}}{l_0}} = \varepsilon_l,\] \[\sigma_{ln(\frac{d}{d_0})}=\dfrac{\sigma_d}{d} + \cancel{\dfrac{\sigma_{d_0}}{d_0}}= \varepsilon_d.\] Погрешность определения \(d_0\) и \(l_0\) для построения этого графика учитывать не следует, так как постоянный множитель в логарифмическом выражении не влияет на коэффициент угла наклона, а лишь задает смещение графика.

Ответ:

1.4. Анализируя полученный график, получаем \(\chi_{стат} = 0.54 \pm 0.18\).

Ответ:

\[\chi_{стат} = 0.54 \pm 0.18\]

2.1. Проведем описанные в условии измерения. Непосредственные измерения \(N=50\) периодов дают следующие результаты:

\(t_1 = 22.47~с\), \(t_2 = 22.53~с\), \(t_3 =21.63~с\),

\[\sigma_{t\,случ} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |t_i - \bar{t}| = 0.4~с.\]Также в погрешность измеренного результата вносит вклад характерное время реакции человека \(\sigma_ {t\,приб}\approx0.3~с\).

Отсюда получим период одного колебания \(T =t/N= (0.44\pm 0.01)~с.\)

Ответ:

\[T=(0.44\pm 0.01)~с\]

2.2. Измерим длину свободной части резинового шнура в растянутом \(l = (30.0 \pm 0.1) \ см\) и нагруженном \(l_0 = (26.5 \pm 0.1) \ см\) состояниях.

Ответ:

\[l = (30.0 \pm 0.1) \ см\]\[l_0 = (26.5 \pm 0.1) \ см\]

2.3. Измерим диаметр недеформированного шнура способом, описанным в предыдущем пункте, \(d_0 = (4.19 \pm 0.06)~мм\). Используя определенное ранее значение \(\chi_{стат}\) определим значение диаметра резинки, деформированной грузом: \[d = d_0 \cdot \left(\frac{l_0}{l}\right)^{\chi} = (3.93 \pm 0.17)~мм.\] Из-за сложности формулы погрешность была оценена методом границ: \[\sigma_d = \left({d_0}_{max} \cdot \left(\frac{{l_0}_{max}}{{l}_{min}}\right)^{\chi_{min}} -{d_0}_{min} \cdot \left(\frac{l_{0_{min}}}{{l}_{max}}\right)^{\chi_{max}}\right)/2.\]

Ответ:

\[d=(3.93 \pm 0.17)~мм\]

2.4. Определим чему равняется Модуль Юнга изучаемого материала. Из закона Гука следует: \[E = \dfrac{\Delta F}{S} \cdot \dfrac{l}{\Delta l}=\dfrac{kl}{S},\] где \(k\) – жесткость резины при данной нагрузке. Как следует из теоретической справки \(k = \frac{4 \pi^2 m}{T^2}\). Отсюда \[E = \dfrac{16 \pi m l }{T^2 d^2} =(1.01 \pm 0.16)~МПа.\] Относительная погрешность результата может быть оценена по следующей формуле: \[\varepsilon_E = 2\varepsilon_T+\varepsilon_L+2\varepsilon_d.\] Стоит отметить, что школьникам выдавалось \(2\) типа резинок. У первого типа (первое число в номере резинки – \(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11\)) модуль Юнга лежит в пределах \((800 \pm 80)~кПа\). У второго типа (первое число в номере резинки – \(8, 12, 13, 14, 15, 16, 17\)) модуль Юнга оказывается равным \((1100 \pm 150)~кПа\).

Ответ:

\[E = (1.01 \pm 0.16)~МПа\]

3.1. Проведем требуемые измерения. Занесем результаты в таблицу.

Ответ:

Погрешности оценивались по следующим формулам:

\[\sigma_{T^2}=2T\sigma_T;\]\[\sigma_{\frac{T^2}{x}} = \frac{T^2}{x}\cdot(\varepsilon_x+2\varepsilon_{T}).\]

3.2. Построим требуемый график.

Ответ:

Ответ:

Видно, что это парабола, проходящая через ноль. Поэтому её уравнение не имеет свободного члена: \[T^2 = C_1\cdot x(C_2-x).\] Выберем линеаризацию \(\frac{T^2}{x}(x)\) для построения графика.

3.3. Построим график зависимости в выбранных координатах.

Ответ:

3.4. Для получения теоретической формулы, связывающей период колебаний с расстоянием между перекладиной и верхней точкой шнура воспользуемся формулами из теоретической справки. Модуль кручения \[\varkappa = \varkappa_x + \varkappa_y = \frac{G\pi d^4}{32x} + \frac{G\pi d^4}{32y} = \frac{G\pi d^4(x+y)}{32xy} = \frac{G\pi d^4 l_0}{32x(l_0-x)},\] откуда период колебаний определяется как: \[T = 2\pi\sqrt{\frac{I_0}{\varkappa}} = 2\pi\sqrt{\frac{32I_0 x(l_0-x)}{G\pi d^4 l_0}}.\] (здесь \(l_0 = x + y =63~см\) – полная длина немного растянутого резинового шнура между зажимами). Видно, что зависимость \(T^2(x) = \frac{128\pi I_0}{l_0Gd^4} x(x - l_0) = Ax(x - l_0)\) – это «перевернутая» парабола с вершиной в \(x_0 = \frac{1}{2} l_0\). Таким образом, предложенная нами линеаризация согласуется с теоретической формулой. Коэффициент угла наклона графика \(A\) оказывается равным: \[A=\dfrac{128 \pi I_0}{l_0Gd^4}=(40.6\pm2.5) \ с^2/м^2.\] Модуль сдвига \(G\) найдём по значению углового коэффициента \(A\). Для этого требуется рассчитать момент инерции линейки. В авторском эксперименте линейка имела массу \(m =4.92 \ г\). Прямые измерения длины и ширины линейки дают \({a = (16.0 \pm 0.1)}~см\) и \({b = (2.2 \pm 0.1)}см\). Отсюда по формуле из условия: \[I = \dfrac{1}{12}m(a^2 + b^2) = (1.07 \pm 0.01) \cdot 10^{-5}~кг м^2\] \[\sigma_I = I\left(\dfrac{2a\sigma_ a+2b\sigma_b}{a^2 + b^2}\right)\] Текущий диаметр \(d\) найдем при помощи клина, аналогично пункту \(1\). Измерим геометрические параметры: \({z= (30 \pm 1)} \ мм\), \(z_0 = (295 \pm 1)\ мм\), \(d' = (40 \pm 1) \ мм\), и рассчитаем \(d = (4.00\pm 0.14)\ мм\).

Ответ:

\[T^2(x) = \frac{128\pi I_0}{l_0Gd^4} x(x - l_0) = Ax(x - l_0)\]

3.5. Посчитаем \(G\), используя полученные выше формулы: \[G_1 = \cfrac{128\pi I_0}{l_0Ad^4} = (660 \pm 140)~кПа\] \[\sigma_{G_1}= G_1(\varepsilon_{I_0}+4\varepsilon_d+\varepsilon_{l_0}+\varepsilon_A).\] Основной вклад в погрешность определения модуля сдвига вносит погрешность измерения диаметра. Для получения лучшего результата определения \(G\), необходимо измерять диаметр резины с максимальной точностью. Это достигается путем подбора такого положения клина, чтобы величины \(z\) и \(d'\) были примерно равны. Интересно, что модуль сдвига можно найти и по свободному члену \(B= (25.7 \pm 1.3) \ с^2/м\). Расчет таким способом дает значение \[G_2=\cfrac{128\pi I_0}{BD^4} = 664~кПа.\] Но в таком случае погрешность будет немного больше, так как коэффициент угла наклона имеет меньшую относительную погрешность чем смещение. Поэтому примем за итоговое значение модуля сдвига величину, рассчитанную из углового коэффициента графика \(G=G_1=(660 \pm 140)~кПа\).

Ответ:

\[G=G_1=(660 \pm 140)~кПа\]

4.1. Проведем необходимые измерения. Результаты запишем в таблицу.

Ответ:

4.2. При растяжении резины период изменяется по закону: \[\frac{T}{T_0} = \sqrt{\frac{\varkappa_0}{\varkappa}} = \sqrt{\frac{l}{l_0}\left(\frac{d_0}{d}\right)^4} = \sqrt{\frac{l}{l_0}\left(\frac{l_0}{l}\right)^{-4\chi}}= \left(\frac{l}{l_0}\right)^{2\chi+0.5}.\] Можно видеть, что если прологарифмировать полученное выражение, то зависимость \(\ln T (\ln l)\) будет является линейной функцией: \[\ln T = (2\chi + 0.5)\ln (l/l_0) + \operatorname{const}.\] Если построить график измеренной зависимости в логарифмических осях, то его угловой коэффициент будет равняться \[k= 2\chi + 0.5.\]

Ответ:

\[\ln T = (2\chi + 0.5)\ln (l/l_0) + \operatorname{const}\]

4.3. Построим график в двойных логарифмических координатах.

Ответ:

Найдем угловой коэффициент наклона графика \(k = (0.87 \pm 0.08)\).

4.4. Отсюда

\[\chi_{колеб} = \frac{k-0.5}{2} = (0.19 \pm0.04).\]

Ответ:

\[\chi_{колеб} = (0.19 \pm0.04)\]

Источник: pho.rs/p/4921.

Ответ

2: \(I_0=23 \ мкА\);  3: Подключая питание к ультрафиолетовому светодиоду и засвечивая пленку, видим, что она заметно темнеет в местах, на которые попадает световой поток. При освещении пленки синим светодиодом такого эффекта не наблюдается.;  5: \(\beta=6.5\cdot10^{-3} \ с^{-1}\)

Решение

1.

2. Проведем, описанные в пункте \(2\) измерения. Получим значение силы тока \(I_0=23 \ мкА\). Так как значение существенно влияет на расчетные данные, повторим это измерение и перед измерениями в пункте \(6\).

Ответ:

\(I_0=23 \ мкА\)

3. Ответ:

Подключая питание к ультрафиолетовому светодиоду и засвечивая пленку, видим, что она заметно темнеет в местах, на которые попадает световой поток. При освещении пленки синим светодиодом такого эффекта не наблюдается.

4. Как описано в пункте \(4\), подключив к питанию оба светодиода и фотодиод (в обратном направлении) в закрытом коробе со стеклянной пластинкой, добьемся максимального затемнения пленки. Этому моменту будет соответствовать не изменяющаяся сила тока через фотодиод. Для установления этого равновесия требуется время порядка \(5\) минут. Отключим ультрафиолетовый светодиод и запустим секундомер. Снимем зависимость силы тока \(I_{фд}\), протекающего через фотодиод от времени \(t\). Результаты занесем в таблицу.

Ответ:

5. При отсутствии ультрафиолетового излучения формула \((2)\) приобретает вид: \[\frac{dn_B}{dt}=-\beta n_B.\qquad(6)\] Решая данное дифференциальное уравнение, получаем: \[\begin{align*} \frac{dn_B}{n_B} &= -\beta\, dt \\ \int_{n_{B0}}^{n_B} \frac{dn_B'}{n_B'} &= -\beta \int_{0}^{t} dt' \\ \ln{\frac{n_B}{n_{B0}}} &= -\beta t \end{align*}\] где \(n_{B0}\) – концентрация молекул в состоянии \(B\) в момент времени \(t=0\), а \(n_{B}\) – концентрация молекул в состоянии \(B\) в момент времени \(t\). Используя уравнения \((1)\) и \((3)\), выразим концентрацию поглощающих частиц и силу фототока, протекающего через фотодиод: \[\begin{gather*} \ln{\frac{P}{kP_0}=-\chi n_Bl}\\ kP_0=\frac{I_{фд0}}{\gamma_{син}}, P=\frac{I_{фд}}{\gamma_{син}}\\ \\ n_B=-\frac{1}{\chi l} \ln{\frac{P}{kP_0}}\\ \ln{\frac{n_B}{n_{B0}}} = \ln{\frac{-\frac{1}{\chi l} \ln{\frac{P}{kP_0}}}{-\frac{1}{\chi l} \ln{\frac{P_{max}}{kP_0}}}}=\ln{\frac{-\ln{\frac{P}{kP_0}}}{-\ln{\frac{P_{max}}{kP_0}}}}=\ln{\frac{-\ln{\frac{I_{фд}}{I_{фд0}}}}{-\ln{\frac{P_{max}}{kP_0}}}}=\ln{\frac{\ln{\frac{I_{фд0}}{I_{фд}}}}{\ln{\frac{kP_0}{P_{max}}}}}= -\beta t\\ \ln{\left(\ln{\frac{I_{фд0}}{I_{\text{фд}}}}\right)}-\ln{{\ln{\frac{kP_0}{P_{max}}}}}=-\beta t. \end{gather*}\] В координатах \(\ln{\left(\ln{\frac{I_{фд0}}{I_{\text{фд}}}}\right)}\) от \(t\) исследованная зависимость должна являться линейной функцией. Рассчитаем логарифм от логарифма отношения фототоков и нанесем полученные экспериментальные точки на график.

Видно, что измеренная зависимость описывается линейной функцией с угловым коэффициентом \(\beta=6.5\cdot10^{-3} \ с^{-1}\).

Ответ:

\(\beta=6.5\cdot10^{-3} \ с^{-1}\)

6. Перед началом выполнения пункта \(6\) измерим значение силы тока \(I_0=14 \ мкА\), протекающего через фотодиод при освещении его только синим светодиодом при просветленной пленке. Этот параметр может существенно меняться от установки к установке.

Добавим в цепь питания ультрафиолетового светодиода переменный резистор (см. рисунок 4).

Рис. 4. Электрическая схема для измерений в пункте \(6\)

При такой схеме подключения минимальный ток через светодиод составляет около \(1.3~мкА\). Включим оба светодиода. Установим сначала силу тока, протекающего через УФ светодиод порядка \(1.5~мкА\). Выждем \(3-5\) минут пока значение силы тока, протекающего через фотодиод, перестанут изменяться. Отключим ультрафиолетовый светодиод и сразу измерим силу фототока. В этот момент затемнение еще не успевает существенно измениться и при этом фототок создается только синим светодиодом. Проведем серию таких опытов и занесем данные в таблицу.

Ответ:

7. Обозначим общее количество молекул в двух состояниях за константу \(n\). Тогда количество молекул в состоянии \(n_A\) может быть рассчитано как: \[n_A=n-n_B.\qquad(7)\] В указанном в условии дифференциальном уравнении \((2)\) в стационарном состоянии скорость изменения количества молекул в поглощающем состоянии равна нулю: \[0=\alpha P_{УФ}(n-n_B)-\beta n_B.\qquad(8)\] Введем коэффициент пропорциональности между током, текущем через светодиод, и мощностью излучения, падающего на фотохромную пленку \[P_{УФ}=\zeta I_{УФ}.\qquad(9)\] Тогда для равновесной концентрации молекул в поглощающем состоянии получаем \[n_B=\frac{\alpha \zeta I_{УФ} n}{\alpha \zeta I_{УФ}+\beta}.\qquad(10)\] Преобразуем зависимость к виду \[\frac{1}{n_B}=\frac{1}{I_{УФ}}\frac{\beta}{\alpha \zeta n}+\frac{1}{n}.\qquad(11)\] Подставляя в зависимость выражение пропорциональное концентрации молекул в состоянии \(B\) получаем \[\frac{\chi l}{\ln{\frac{I_{ph0}}{I_{\text{фд}}}}}=\frac{1}{I_{УФ}}\frac{\beta}{\alpha \zeta n}+\frac{1}{n}.\qquad(12)\] Видно, что в координатах \(\frac{1}{\ln{\frac{I_{ph0}}{I_{\text{фд}}}}}\) и \(\frac{1}{I_{УФ}}\) зависимость можно описать линейной функцией.

Рассчитаем соответствующие величины и построим график.

Ответ:

Ответ:

Как и ожидалось, график с хорошей точностью описывается линейной зависимостью.

Источник: pho.rs/p/4922.

Ответ

1: \[R=\frac{U}{I}=6.45 \ Ом\];  2: \[T_0 = 21.7 ~^\circ \mathrm{C}\];  4: \[k=2.81\cdot10^{-3} \ ^\circ\mathrm{C}/с\];  5: \[T'=T+k\tau_н\];  8: \[k_С=3.86 \ ^\circ\mathrm{C}/кДж\]\[c=2.6 \ кДж/(кг\cdot ^\circ \mathrm{C})\]

Решение

1. Подключим мотор к источнику питания и подадим на него напряжение \(U=1.00 \ В\). Такого напряжения недостаточно для того, чтобы мотор вращался. Ток протекающий через мотор составляет \(I= 155 \ мА\). Рассчитаем сопротивление мотора как: \[R=\frac{U}{I}=6.45 \ Ом.\qquad(1) \tag{1}\] Измерим массу пустого стаканчика и массу стаканчика с глицерином. Масса глицерина при этом составила \(m=99.56 \ г\).

Ответ:

\[R=\frac{U}{I}=6.45 \ Ом\]

2. Начальная температура глицерина составляет \(T_0 = 21.7 ~^\circ \mathrm{C}\) и совпадает с комнатной температурой.

Ответ:

\[T_0 = 21.7 ~^\circ \mathrm{C}\]

3. Соберем далее установку, описанную в условии, и проведем измерения во время нагрева глицерина и во время его остывания. Напряжение на моторе в процессе нагревания было постоянным \(U=12.02~В\).

Данные нагрева.

Ответ:

Данные остывания.

Ответ:

4. Построим график зависимости температуры глицерина от времени на участке остывания. Определим угловой коэффициент графика \(k=2.81\cdot10^{-3} \ ^\circ\mathrm{C}/с\).

Ответ:

\[k=2.81\cdot10^{-3} \ ^\circ\mathrm{C}/с\]

Ответ:

5. Таким образом, если предполагать что во время всего эксперимента, мощность теплопотерь оставалась постоянной, то температура, которая установилась бы в сосуде в отсутствии теплопотерь, тогда бы составляла:\[T'=T+k\tau_н.\qquad(2)\tag{2}\] Более точный расчет можно осуществить на основе закона Ньютона–Рихмана. Однако, в рамках точности рассматриваемого эксперимента это может оказаться излишним.

Ответ:

\[T'=T+k\tau_н\]

6. Для каждого промежутка времени \(\Delta \tau_н\) найдем среднее значение силы тока, протекающего через двигатель, рассчитав полусумму значений вначале и в конце временного промежутка. Тогда общая электрическая мощность на этом временном интервале может быть рассчитана как: \[P=U_0 I_{ср}.\qquad(3) \tag{3}\] Тепловая мощность, выделяющаяся в обмотках мотора, составляет: \[P_{обмоток}=I_{ср}^2 R.\qquad(4) \tag{4}\] Тогда механическая мощность вала двигателя составляет: \[P_{тр}(\tau)=P-P_{обмоток}=I_{ср}(U_0-I_{ср}R).\qquad(5) \tag{5}\] Для расчета работы, идущей на размешивание, на каждом промежутке времени, необходимо рассчитанную мощность умножить на промежуток времени, в течение которого эта мощность подводилась. Для расчета полной работы необходимо сложить работы за предыдущие моменты времени: \[A_{i+1}=A_{i}+P(\tau)\cdot\Delta\tau_н\qquad(6) \tag{6}\]

Ответ:

7. Занесем итоговые расчеты в таблицу и построим соответствующий график.

Ответ:

8. Полученный график можно описать линейной функций с угловым коэффициентом \(k_С=3.86 \ ^\circ\mathrm{C}/кДж\). Глицерин нагревается за счет работы, совершенной над ним: \[A_{тр}=cm\Delta T'.\qquad(7) \tag{7}\] Таким образом, удельная теплоемкость глицерина может быть рассчитана как: \[c=(k_Сm)^{-1}=2.6 \ кДж/(кг\cdot ^\circ \mathrm{C})\qquad(8) \tag{8}\] Табличное значение при этом составляет \(c=2.5~кДж/(кг\cdot ^\circ \mathrm{C})\).

Ответ:

\[k_С=3.86 \ ^\circ\mathrm{C}/кДж\]\[c=2.6 \ кДж/(кг\cdot ^\circ \mathrm{C})\]

Дополнение

При аккуратных измерениях в данном эксперименте результат практически всегда получается завышенным по сравнению с табличным значением. Расхождение можно объяснить двумя эффектами.

Первый эффект связанн с допущением, что мощность теплопотерь постоянна, однако известно, что она зависит от разности температур. В рамках данной задачи этот эффект незначителен, учет изменения мощности изменил ответ бы ответ на \(5-10\%\).

Второй эффект заключается в преодолении момента сил трения внутри самого двигателя. Для учета этого эффекта необходимо определить мощность потерь на трение вала двигателя при вращении на рабочей частоте \(\omega_{раб}\) (момент трения зависит от частоты). Определить частоту напрямую достаточно сложно, поэтому можно воспользоваться свойствами двигателя, а именно зависимостями индукционного напряжения в катушках от частоты вращения \[\omega = \frac{\mathcal{E}_{инд}}{\alpha}=\frac{U_0-IR}{\alpha}\qquad(9) \tag{9}\] и момента сил, действующего на вал двигателя, от протекающего через него тока \[M=\alpha I,\qquad(10) \tag{10}\] где \(\alpha\) – константа, характеризующая электродвигатель.

Для поиска момента сил трения в самом двигателе \(M_{тр.\,двиг.}\) на рабочих оборотах сначала рассчитаем ЭДС индукции при погружении насадки для перемешивания в глицерин. Достанем электромотор из глицерина и запустим его, когда мешалка будет находиться в воздухе. Подберем подаваемое напряжение так, чтобы ЭДС индукции в этом случае получилась равной ЭДС индукции, возникающей в моторе при погружении мешалки в глицерин. Таким образом частоты вращения двигателя в двух случаях будут совпадать. Измерим силу тока \(I_{возд}\), потребляемую двигателем для совершения вращения в воздухе. В случае вращения мешалки в воздухе момент на валу двигателя будет определяться только силами трения в самом двигателе. Механическая мощность на рабочей частоте может быть рассчитана как: \[P_{тр}=M_{тр}\omega_{раб.}=\alpha I\omega.\qquad(11) \tag{11}\] А мощность, возникающая за счет сил трения в глицерине: \[P_{тр\, глицер.}=M_{тр.\,глиц.}\omega_{раб.}=(M_{тр}-M_{тр.\,двиг.})\omega_{раб.}=\alpha (I-I_{возд})\omega_{раб.}.\qquad(12) \tag{12}\] Тогда для связи мощности, нагревающей глицерин, и полной механической мощности мотора имеем: \[P_{тр\, глицер.}=P_{тр}\frac{I-I_{возд}}{I}.\qquad(13) \tag{13}\] В авторской установке величина силы тока \(I'\) составляет приблизительно \(\frac{5}{6}I\). Это в свою очередь вносит поправку в расчет мощности сил трения, возникающих при перемешивании в глицерине: \[P_{тр\, глицер.}\approx\frac{5}{6}P_{тр}.\] Учет этой поправки изменяет ответ примерно в \(5/6\) раза, приближая измеренное значение удельной теплоемкости к табличному.

Источник: pho.rs/p/4923.