IEPhO 2025, 11 класс

Ответ

3: Таблица 2. Измерения для расположения линзы выпуклой стороной к глазу

Решение

1. Прикрепим с помощью зажима к линзе линейку. Закрепим рулетку на столе с помощью малярного скотча. Поставим линзу на расстоянии \(c=50 \ см\) от края рулетки и места, где в дальнейшем будем располагать наш глаз. Расположим за линзой на расстоянии \(a\) второй канцелярский зажим, предварительно измерив его высоту: \(x=(51\pm1) \text{ мм}\). Будем наблюдать за изображением зажима в линзе, расположив глаз на уровне края стола (рис. 1 – рис.2).

Рис. 1. Установка для наблюдения изображения зажима в линзе (вид сбоку)

Рис. 2. Установка для наблюдения изображения зажима в линзе (вид со стороны наблюдателя)

2. Измерим зависимость высоты \(z\), занимаемой изображением зажима на линейке, от расстояния \(a\) между зажимом и линзой (табл. 1).

Таблица 1. Измерения для расположения линзы вогнутой стороной к глазу

Ответ:

Положение изображения зажима связано с положением источника формулой тонкой линзы: \[\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=-|D|.\qquad(1) \tag{1}\] Размер изображения связан с размером источника как: \[y=x\frac{b}{a}.\qquad(2) \tag{2}\] Измеряемый линейкой размер изображения канцелярского зажима в линзе \(z\) связан с размером изображения как: \[z=y\frac{c}{c+b}.\qquad(3) \tag{3}\] Объединим формулы вместе: \[z=x\frac{b}{a}\frac{c}{c+b}=\frac{x}{a}\frac{1}{\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{b}}=\frac{x}{a}\frac{1}{\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}+|D|}.\qquad(4) \tag{4}\] И преобразуем к виду: \[\frac{x}{z}=1+a\left(\dfrac{1}{c}+|D|\right)\qquad(5) \tag{5}\] Видно, что в координатах \(\frac{x}{z}(a)\) зависимость описывается линейной функцией с угловым коэффициентом: \[k=\dfrac{1}{c}+|D|.\qquad(6) \tag{6}\] Заметим, что возможны и другие способы линеаризации. Оценим погрешность расстояния между линзой и зажимом как толщину линзы \({\sigma_a=0,5 \ см}\). Наблюдаемый размер изображения и размер источника имеют погрешность \({\sigma_{xz}=1 \ мм}\). Тогда погрешность величины отношения размеров можно рассчитать как: \[\sigma_{x/z}=\frac{x}{z}\sigma_{xz}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}\right).\qquad(7) \tag{7}\] Пересчитаем экспериментальные точки и построим соответствующий график. Проведем аппроксимирующие прямые с максимальным и минимальным угловыми коэффициентами через точку с координатой \((1;0 \ см)\), так как смещение графика в аппроксимирующей функции известно точно. Итого угловой коэффициент графика составит: \[k=\left(0.075\pm\frac{0.084-0.068}{2}\right)=(0.075\pm0.008) \ см^{-1}.\]

Ответ:

3. Повторим эксперимент, располагая линзу выпуклой стороной к наблюдателю. Полученные значения внесем в таблицу (табл. 2). В этом эксперименте выберем расстояние от линзы до глаза равным \(c=60 \text{ см}\).

Ответ:

Таблица 2. Измерения для расположения линзы выпуклой стороной к глазу

Ответ:

Итого угловой коэффициент графика составит: \[k=\left(0.079\pm\frac{0.089-0.068}{2}\right)=(0.079\pm0.011) \ см^{-1}.\]

Ответ:

4. Рассчитаем оптическую силу линзы (вогнутая сторона): \[D_1=-\left(k-\frac{1}{c}\right)=-(5.5\pm1.0) \ дптр.\qquad(8) \tag{8}\] Погрешность расстояния между линзой и глазом оценим в \(\sigma_c=5 \ см\), как характерный размер глазного яблока. Тогда погрешность оптической силы рассчитаем как: \[\sigma_D=\sigma_k+\frac{1}{c}\frac{\sigma_c}{c}.\qquad(9) \tag{9}\]

Рассчитаем оптическую силу линзы (выпуклая сторона): \[D_2=-\left(k-\frac{1}{c}\right)=-(6.3\pm1.2) \ дптр.\qquad(10) \tag{10}\] В пределах погрешности проводимого эксперимента достоверно сравнить \(D_1\) и \(D_2\) не представляется возможным. Однако чаще всего модуль оптической силы \(D_2\) оказывается большим модуля оптической силы \(D_1\). Этот эффект связан с самим способом измерений. Дело в том, что лучи, идущие от краев источника и попадающие в глаз, проходят достаточно далеко от центра линзы. В этих областях имеют место аберрации, зависящие от направления хода лучей через линзу. Поэтому результат нахождения оптической силы, выполненный авторским методом, может отклоняться от номинальной оптической силы, рассчитанной в параксиальном приближении.

Ответ:

\[D_1=-(5.5\pm1.0) \ дптр\]\[D_2=-(6.3\pm1.2) \ дптр\]

Источник: pho.rs/p/4924.

Ответ

2: \[L=64 \ мкГн.\];  5: \[\frac{U'_2}{U'_1}=\sqrt{1+\left(\frac{\omega L}{(1-\omega^2LC^*)R}\right)^2}\]

Решение

1. Проведем измерения, описанные в задании.

Ответ:

Напряжение на катушке можно рассчитать как: \[U_1=2\pi I f L.\qquad(1)\] Общее напряжение в цепи составляет: \[U_2=I\sqrt{(2\pi f L)^2+R^2}.\qquad(2)\] Преобразуем выражения \[\frac{U_1}{\sqrt{U^2_2-U_1^2}}=\frac{2\pi f L}{R}.\qquad(3)\]

2. Построим график зависимости \(\frac{U_1}{\sqrt{U^2_2-U_1^2}}\) от \(f\).

Ответ:

График хорошо описывается прямой пропорциональностью с угловым коэффициентом \(k=5.1 \ мкс\). Тогда индуктивность катушки составит: \[L=\frac{kR}{2\pi}= 64 \ мкГн.\]

Ответ:

\[L=64 \ мкГн.\]

3. Соберем вторую схему и проведем измерение напряжений. Рассчитаем отношение напряжений.

Ответ:

4. Построим график отношения напряжений от частоты подаваемого сигнала.

Ответ:

Видно, что график имеет максимум на частоте \(f_{max}=3.0 \ МГц\).

5.

Рис. 4. RLC цепь

Получим формулу, описывающую отношение напряжений в модели, описанной в условии. Пусть через катушку течет ток \(I_L=I_0 \sin{\omega t}\) (см. рис. 4). Тогда напряжение на ней можно рассчитать как: \[U_L= -L \dot I_L = - I_0 L \omega \cos{\omega t}.\] Это напряжение равняется напряжению на конденсаторе. Тогда ток через конденсатор можно рассчитать как: \[I_C = \dot q_C = C^* \dot U_c = - I_0 L \omega^2 C^* \sin{\omega t},\] а полный ток, текущий через цепь, может быть найден как их сумма. Определим, чему равняется напряжение на резисторе. \[U_R = I_R C= (I_L+I_C)R = I_0 R (1-L \omega^2 C^*) \sin{\omega t}.\] Используя формулу для вспомогательного угла, посчитаем напряжение на генераторе: \[U_0 = U_R+U_L = I_0 (1-L \omega^2 C^*) \sin{\omega t}+ - I_0 L \omega \cos{\omega t} = I_0 \sqrt{(1-L\omega^2C^*)^2R^2+(L\omega)^2} \sin{(\omega t +\varphi)}.\] Требуемые амплитуды оказываются равны \[\begin{matrix} U'_1 = I_0 (1-L \omega^2 C^*),\\ U'_2 = I_0 \sqrt{(1-L\omega^2C^*)^2R^2+(L\omega)^2}\end{matrix}\] Тогда отношение модулей амплитуд напряжений составит: \[\frac{U'_2}{U'_1}=\sqrt{1+\left(\frac{\omega L}{(1-\omega^2LC^*)R}\right)^2}.\qquad(5)\]

Ответ:

\[\frac{U'_2}{U'_1}=\sqrt{1+\left(\frac{\omega L}{(1-\omega^2LC^*)R}\right)^2}\]

6. В этом случае функция имеет максимум, отвечающей резонансной частоте. То есть данная модель может на качественном уровне объяснить вид графика измеренной зависимости. Рассчитаем тогда величину собственной емкости катушки индуктивности: \[C^*=\frac{1}{\omega_{max}^2 L}=\frac{1}{4\pi^2 f_{max}^2 L}=44 \ пФ.\qquad(6)\]

Ответ:

\[C^*=44 \ пФ\]

Источник: pho.rs/p/4925.

Ответ

1.1: \[\boxed{d = d_0 \cdot \left(\frac{l_0}{l}\right)^{\chi}}\];  1.4: \[\chi_{стат} = 0.54 \pm 0.18\];  2.1: \[T=(0.44\pm 0.01)~с\];  2.2: \[l = (30.0 \pm 0.1) \ см\]\[l_0 = (26.5 \pm 0.1) \ см\];  2.3: \[d=(3.93 \pm 0.17)~мм\];  2.4: \[E = (1.01 \pm 0.16)~МПа\];  3.2: Видно, что это парабола, проходящая через ноль. Поэтому её уравнение не имеет свободного члена: \[T^2 = C_1\cdot x(C_2-x).\] Выберем линеаризацию \(\frac{T^2}{x}(x)\) для построения графика.;  3.4: \[T^2(x) = \frac{128\pi I_0}{l_0Gd^4} x(x - l_0) = Ax(x - l_0)\];  3.5: \[G=G_1=(660 \pm 140)~кПа\];  4.2: \[\ln T = (2\chi + 0.5)\ln (l/l_0) + \operatorname{const}\]

Решение

1.1. Из определения коэффициента геометрической связи линейных размеров можем записать в дифференциальной форме:

\[\chi = -\frac{d\varepsilon_{\perp}}{d\varepsilon_{\parallel}} = -\frac{\mathrm{d} d/d}{\mathrm{d} l/l}.\]

Получаем дифференциальное уравнение:

\[\frac{\mathrm{d} d}{d} = -\chi \frac{\mathrm{d} l}{l}.\]

Интегрируем обе части:

\[\int \frac{\mathrm{d}d}{d} = -\chi \int \frac{\mathrm{d} l}{l};\]

\[\ln \dfrac{d}{d_0} = -\chi \ln \dfrac{l}{l_0}.\]

Продифференцировав, получаем окончательную связь:

\[\boxed{d = d_0 \cdot \left(\frac{l_0}{l}\right)^{\chi}}\]

Ответ:

\[\boxed{d = d_0 \cdot \left(\frac{l_0}{l}\right)^{\chi}}\]

1.2. Измерим требуемую зависимость. Все величины, измеряются линейкой, поэтому абсолютная погрешность измеряемых величин равна \(1~мм\). Диаметр шнура можно найти по формуле \(d=d'\cdot\frac{z}{z_0}\), где \(z\) – это длина от вершины клина до центра шнура, \(z_0=(29.5\pm0.5) \ см\) – длина клина, а \(d'\) – ширина раствора клина на его концах.

Ответ:

1.3. Для получения линейной графика построим его в логарифмических осях. \[\ln \dfrac{d}{d_0} = -\chi \ln \dfrac{l}{l_0}\] Тогда коэффициент наклона этой прямой будет равняться искомому \(\chi_{стат}\). Погрешности оценим по следующим формулам \[\sigma_{\ln(\frac{l}{l_0})}=\dfrac{\sigma_{l}}{l} + \cancel{\dfrac{\sigma_{l_0}}{l_0}} = \varepsilon_l,\] \[\sigma_{ln(\frac{d}{d_0})}=\dfrac{\sigma_d}{d} + \cancel{\dfrac{\sigma_{d_0}}{d_0}}= \varepsilon_d.\] Погрешность определения \(d_0\) и \(l_0\) для построения этого графика учитывать не следует, так как постоянный множитель в логарифмическом выражении не влияет на коэффициент угла наклона, а лишь задает смещение графика.

Ответ:

1.4. Анализируя полученный график, получаем \(\chi_{стат} = 0.54 \pm 0.18\).

Ответ:

\[\chi_{стат} = 0.54 \pm 0.18\]

2.1. Проведем описанные в условии измерения. Непосредственные измерения \(N=50\) периодов дают следующие результаты:

\(t_1 = 22.47~с\), \(t_2 = 22.53~с\), \(t_3 =21.63~с\),

\[\sigma_{t\,случ} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |t_i - \bar{t}| = 0.4~с.\]

Также в погрешность измеренного результата вносит вклад характерное время реакции человека \(\sigma_ {t\,приб}\approx0.3~с\).

Отсюда получим период одного колебания \(T =t/N= (0.44\pm 0.01)~с.\)

Ответ:

\[T=(0.44\pm 0.01)~с\]

2.2. Измерим длину свободной части резинового шнура в растянутом \(l = (30.0 \pm 0.1) \ см\) и нагруженном \(l_0 = (26.5 \pm 0.1) \ см\) состояниях.

Ответ:

\[l = (30.0 \pm 0.1) \ см\]\[l_0 = (26.5 \pm 0.1) \ см\]

2.3. Измерим диаметр недеформированного шнура способом, описанным в предыдущем пункте, \(d_0 = (4.19 \pm 0.06)~мм\). Используя определенное ранее значение \(\chi_{стат}\) определим значение диаметра резинки, деформированной грузом: \[d = d_0 \cdot \left(\frac{l_0}{l}\right)^{\chi} = (3.93 \pm 0.17)~мм.\] Из-за сложности формулы погрешность была оценена методом границ: \[\sigma_d = \left({d_0}_{max} \cdot \left(\frac{{l_0}_{max}}{{l}_{min}}\right)^{\chi_{min}} -{d_0}_{min} \cdot \left(\frac{l_{0_{min}}}{{l}_{max}}\right)^{\chi_{max}}\right)/2.\]

Ответ:

\[d=(3.93 \pm 0.17)~мм\]

2.4. Определим чему равняется Модуль Юнга изучаемого материала. Из закона Гука следует: \[E = \dfrac{\Delta F}{S} \cdot \dfrac{l}{\Delta l}=\dfrac{kl}{S},\] где \(k\) – жесткость резины при данной нагрузке. Как следует из теоретической справки \(k = \frac{4 \pi^2 m}{T^2}\). Отсюда \[E = \dfrac{16 \pi m l }{T^2 d^2} =(1.01 \pm 0.16)~МПа.\] Относительная погрешность результата может быть оценена по следующей формуле: \[\varepsilon_E = 2\varepsilon_T+\varepsilon_L+2\varepsilon_d.\] Стоит отметить, что школьникам выдавалось \(2\) типа резинок. У первого типа (первое число в номере резинки – \(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11\)) модуль Юнга лежит в пределах \((800 \pm 80)~кПа\). У второго типа (первое число в номере резинки – \(8, 12, 13, 14, 15, 16, 17\)) модуль Юнга оказывается равным \((1100 \pm 150)~кПа\).

Ответ:

\[E = (1.01 \pm 0.16)~МПа\]

3.1. Проведем требуемые измерения. Занесем результаты в таблицу.

Ответ:

Погрешности оценивались по следующим формулам:

\[\sigma_{T^2}=2T\sigma_T;\]\[\sigma_{\frac{T^2}{x}} = \frac{T^2}{x}\cdot(\varepsilon_x+2\varepsilon_{T}).\]

3.2. Построим требуемый график.

Ответ:

Ответ:

Видно, что это парабола, проходящая через ноль. Поэтому её уравнение не имеет свободного члена: \[T^2 = C_1\cdot x(C_2-x).\] Выберем линеаризацию \(\frac{T^2}{x}(x)\) для построения графика.

3.3. Построим график зависимости в выбранных координатах.

Ответ:

3.4. Для получения теоретической формулы, связывающей период колебаний с расстоянием между перекладиной и верхней точкой шнура воспользуемся формулами из теоретической справки. Модуль кручения \[\varkappa = \varkappa_x + \varkappa_y = \frac{G\pi d^4}{32x} + \frac{G\pi d^4}{32y} = \frac{G\pi d^4(x+y)}{32xy} = \frac{G\pi d^4 l_0}{32x(l_0-x)},\] откуда период колебаний определяется как: \[T = 2\pi\sqrt{\frac{I_0}{\varkappa}} = 2\pi\sqrt{\frac{32I_0 x(l_0-x)}{G\pi d^4 l_0}}.\] (здесь \(l_0 = x + y =63~см\) – полная длина немного растянутого резинового шнура между зажимами). Видно, что зависимость \(T^2(x) = \frac{128\pi I_0}{l_0Gd^4} x(x - l_0) = Ax(x - l_0)\) – это «перевернутая» парабола с вершиной в \(x_0 = \frac{1}{2} l_0\). Таким образом, предложенная нами линеаризация согласуется с теоретической формулой. Коэффициент угла наклона графика \(A\) оказывается равным: \[A=\dfrac{128 \pi I_0}{l_0Gd^4}=(40.6\pm2.5) \ с^2/м^2.\] Модуль сдвига \(G\) найдём по значению углового коэффициента \(A\). Для этого требуется рассчитать момент инерции линейки. В авторском эксперименте линейка имела массу \(m =4.92 \ г\). Прямые измерения длины и ширины линейки дают \({a = (16.0 \pm 0.1)}~см\) и \({b = (2.2 \pm 0.1)}см\). Отсюда по формуле из условия: \[I = \dfrac{1}{12}m(a^2 + b^2) = (1.07 \pm 0.01) \cdot 10^{-5}~кг м^2\] \[\sigma_I = I\left(\dfrac{2a\sigma_ a+2b\sigma_b}{a^2 + b^2}\right)\] Текущий диаметр \(d\) найдем при помощи клина, аналогично пункту \(1\). Измерим геометрические параметры: \({z= (30 \pm 1)} \ мм\), \(z_0 = (295 \pm 1)\ мм\), \(d' = (40 \pm 1) \ мм\), и рассчитаем \(d = (4.00\pm 0.14)\ мм\).

Ответ:

\[T^2(x) = \frac{128\pi I_0}{l_0Gd^4} x(x - l_0) = Ax(x - l_0)\]

3.5. Посчитаем \(G\), используя полученные выше формулы: \[G_1 = \cfrac{128\pi I_0}{l_0Ad^4} = (660 \pm 140)~кПа\] \[\sigma_{G_1}= G_1(\varepsilon_{I_0}+4\varepsilon_d+\varepsilon_{l_0}+\varepsilon_A).\] Основной вклад в погрешность определения модуля сдвига вносит погрешность измерения диаметра. Для получения лучшего результата определения \(G\), необходимо измерять диаметр резины с максимальной точностью. Это достигается путем подбора такого положения клина, чтобы величины \(z\) и \(d'\) были примерно равны. Интересно, что модуль сдвига можно найти и по свободному члену \(B= (25.7 \pm 1.3) \ с^2/м\). Расчет таким способом дает значение \[G_2=\cfrac{128\pi I_0}{BD^4} = 664~кПа.\] Но в таком случае погрешность будет немного больше, так как коэффициент угла наклона имеет меньшую относительную погрешность чем смещение. Поэтому примем за итоговое значение модуля сдвига величину, рассчитанную из углового коэффициента графика \(G=G_1=(660 \pm 140)~кПа\).

Ответ:

\[G=G_1=(660 \pm 140)~кПа\]

4.1. Проведем необходимые измерения. Результаты запишем в таблицу.

Ответ:

4.2. При растяжении резины период изменяется по закону: \[\frac{T}{T_0} = \sqrt{\frac{\varkappa_0}{\varkappa}} = \sqrt{\frac{l}{l_0}\left(\frac{d_0}{d}\right)^4} = \sqrt{\frac{l}{l_0}\left(\frac{l_0}{l}\right)^{-4\chi}}= \left(\frac{l}{l_0}\right)^{2\chi+0.5}.\] Можно видеть, что если прологарифмировать полученное выражение, то зависимость \(\ln T (\ln l)\) будет является линейной функцией: \[\ln T = (2\chi + 0.5)\ln (l/l_0) + \operatorname{const}.\] Если построить график измеренной зависимости в логарифмических осях, то его угловой коэффициент будет равняться \[k= 2\chi + 0.5.\]

Ответ:

\[\ln T = (2\chi + 0.5)\ln (l/l_0) + \operatorname{const}\]

4.3. Построим график в двойных логарифмических координатах.

Ответ:

Найдем угловой коэффициент наклона графика \(k = (0.87 \pm 0.08)\).

4.4. Отсюда

\[\chi_{колеб} = \frac{k-0.5}{2} = (0.19 \pm0.04).\]

Ответ:

\[\chi_{колеб} = (0.19 \pm0.04)\]

Источник: pho.rs/p/4926.

Ответ

2: \(I_0=23 \ мкА\);  3: Подключая питание к ультрафиолетовому светодиоду и засвечивая пленку, видим, что она заметно темнеет в местах, на которые попадает световой поток. При освещении пленки синим светодиодом такого эффекта не наблюдается.;  5: \[\beta=6.5\cdot10^{-3} \ с^{-1}\]

Решение

1.

2. Проведем, описанные в пункте \(2\) измерения. Получим значение силы тока \(I_0=23 \ мкА\). Так как значение существенно влияет на расчетные данные, повторим это измерение и перед измерениями в пункте \(6\).

Ответ:

\(I_0=23 \ мкА\)

3. Ответ:

Подключая питание к ультрафиолетовому светодиоду и засвечивая пленку, видим, что она заметно темнеет в местах, на которые попадает световой поток. При освещении пленки синим светодиодом такого эффекта не наблюдается.

4. Как описано в пункте \(4\), подключив к питанию оба светодиода и фотодиод (в обратном направлении) в закрытом коробе со стеклянной пластинкой, добьемся максимального затемнения пленки. Этому моменту будет соответствовать не изменяющаяся сила тока через фотодиод. Для установления этого равновесия требуется время порядка \(5\) минут. Отключим ультрафиолетовый светодиод и запустим секундомер. Снимем зависимость силы тока \(I_{фд}\), протекающего через фотодиод от времени \(t\). Результаты занесем в таблицу.

Ответ:

5. При отсутствии ультрафиолетового излучения формула \((2)\) приобретает вид:

\[\frac{dn_B}{dt}=-\beta n_B.\qquad(6)\]Решая данное дифференциальное уравнение, получаем:

\[\begin{align*} \frac{dn_B}{n_B} &= -\beta\, dt \\ \int_{n_{B0}}^{n_B} \frac{dn_B'}{n_B'} &= -\beta \int_{0}^{t} dt' \\ \ln{\frac{n_B}{n_{B0}}} &= -\beta t \end{align*}\]

где \(n_{B0}\) – концентрация молекул в состоянии \(B\) в момент времени \(t=0\), а \(n_{B}\) – концентрация молекул в состоянии \(B\) в момент времени \(t\).

Используя уравнения \((1)\) и \((3)\), выразим концентрацию поглощающих частиц и силу фототока, протекающего через фотодиод:

\[\begin{gather*} \ln{\frac{P}{kP_0}=-\chi n_Bl}\\ kP_0=\frac{I_{фд0}}{\gamma_{син}}, P=\frac{I_{фд}}{\gamma_{син}}\\ \\ n_B=-\frac{1}{\chi l} \ln{\frac{P}{kP_0}}\\ \ln{\frac{n_B}{n_{B0}}} = \ln{\frac{-\frac{1}{\chi l} \ln{\frac{P}{kP_0}}}{-\frac{1}{\chi l} \ln{\frac{P_{max}}{kP_0}}}}=\ln{\frac{-\ln{\frac{P}{kP_0}}}{-\ln{\frac{P_{max}}{kP_0}}}}=\ln{\frac{-\ln{\frac{I_{фд}}{I_{фд0}}}}{-\ln{\frac{P_{max}}{kP_0}}}}=\ln{\frac{\ln{\frac{I_{фд0}}{I_{фд}}}}{\ln{\frac{kP_0}{P_{max}}}}}= -\beta t\\ \ln{\left(\ln{\frac{I_{фд0}}{I_{\text{фд}}}}\right)}-\ln{{\ln{\frac{kP_0}{P_{max}}}}}=-\beta t. \end{gather*}\]

В координатах \(\ln{\left(\ln{\frac{I_{фд0}}{I_{\text{фд}}}}\right)}\) от \(t\) исследованная зависимость должна являться линейной функцией. Рассчитаем логарифм от логарифма отношения фототоков и нанесем полученные экспериментальные точки на график.

Видно, что измеренная зависимость описывается линейной функцией с угловым коэффициентом:

Ответ:

\[\beta=6.5\cdot10^{-3} \ с^{-1}\]

6. Перед началом выполнения пункта \(6\) измерим значение силы тока \(I_0=14 \ мкА\), протекающего через фотодиод при освещении его только синим светодиодом при просветленной пленке. Этот параметр может существенно меняться от установки к установке.

Добавим в цепь питания ультрафиолетового светодиода переменный резистор (см. рисунок 4).

Рис. 4. Электрическая схема для измерений в пункте \(6\)

При такой схеме подключения минимальный ток через светодиод составляет около \(1.3~мкА\). Включим оба светодиода. Установим сначала силу тока, протекающего через УФ светодиод порядка \(1.5~мкА\). Выждем \(3-5\) минут пока значение силы тока, протекающего через фотодиод, перестанут изменяться. Отключим ультрафиолетовый светодиод и сразу измерим силу фототока. В этот момент затемнение еще не успевает существенно измениться и при этом фототок создается только синим светодиодом. Проведем серию таких опытов и занесем данные в таблицу.

Ответ:

7. Обозначим общее количество молекул в двух состояниях за константу \(n\). Тогда количество молекул в состоянии \(n_A\) может быть рассчитано как: \[n_A=n-n_B.\qquad(7)\] В указанном в условии дифференциальном уравнении \((2)\) в стационарном состоянии скорость изменения количества молекул в поглощающем состоянии равна нулю: \[0=\alpha P_{УФ}(n-n_B)-\beta n_B.\qquad(8)\] Введем коэффициент пропорциональности между током, текущем через светодиод, и мощностью излучения, падающего на фотохромную пленку \[P_{УФ}=\zeta I_{УФ}.\qquad(9)\] Тогда для равновесной концентрации молекул в поглощающем состоянии получаем \[n_B=\frac{\alpha \zeta I_{УФ} n}{\alpha \zeta I_{УФ}+\beta}.\qquad(10)\] Преобразуем зависимость к виду \[\frac{1}{n_B}=\frac{1}{I_{УФ}}\frac{\beta}{\alpha \zeta n}+\frac{1}{n}.\qquad(11)\] Подставляя в зависимость выражение пропорциональное концентрации молекул в состоянии \(B\) получаем \[\frac{\chi l}{\ln{\frac{I_{ph0}}{I_{\text{фд}}}}}=\frac{1}{I_{УФ}}\frac{\beta}{\alpha \zeta n}+\frac{1}{n}.\qquad(12)\] Видно, что в координатах \(\frac{1}{\ln{\frac{I_{ph0}}{I_{\text{фд}}}}}\) и \(\frac{1}{I_{УФ}}\) зависимость можно описать линейной функцией.

Ответ:

Ответ:

Как и ожидалось, график с хорошей точностью описывается линейной зависимостью.

Источник: pho.rs/p/4927.

Ответ

1: \(d=0.24\pm0.01 \ мм\);  2: \[\dfrac{\Delta l}{l} \approx \frac{2x^2}{l^2}\];  4: \[\sigma = E\left(\frac{\Delta l}{l}+\varepsilon_0\right)\]

Решение

1. Измерим диаметр струны с помощью микрометра \(d=0.24\pm0.01 \ мм\).

Ответ:

\(d=0.24\pm0.01 \ мм\)

2. Соберем установку, изображенную на рисунке 2. Для этого положим на край стола три линейки. Сверху положим струну. Прижмем струну к линейкам и столу струбцинами, предварительно немного натянув ее. Среднюю линейку установим точно посередине. Измерим расстояние крайними линейками \(l=74.4~см\). Закрепим среднюю линейку на столе скотчем. Привяжем к середине струны нить. Другой конец нити прикрепим к крючку динамометра. Будем прикладывать силу к середине струны в перпендикулярном ее начальному положению направлению с помощью динамометра. Измерим зависимость смещения середины нити \(x\) от величины приложенной силы \(F\).

Рис. 2. Установка для измерения модуля Юнга

Для места соединения нити и середины струны можно записать условие равновесия: \[F=2T_x=2T\frac{2x}{l}.\qquad(3)\] Отсюда сила натяжения струны: \[T=\frac{Fl}{4x}.\qquad(4)\] Длина половины струны после растяжения может быть рассчитана как: \[\frac{l'}{2}=\sqrt{\left(\frac{l}{2}\right)^2+x^2}=\frac{l}{2}\sqrt{1+\left(\frac{2x}{l}\right)^2}\approx\frac{l}{2}\left(1+\frac{1}{2}\left(\frac{2x}{l}\right)^2\right).\qquad(5)\] Тогда относительное удлинение струны составит: \[\dfrac{\Delta l}{l} \approx \frac{2x^2}{l^2}.\qquad(6)\]

Ответ:

\[\dfrac{\Delta l}{l} \approx \frac{2x^2}{l^2}\]

3. Построим график зависимости силы натяжения струны от ее относительного удлинения.

Ответ:

Видно, что экспериментальные точки могут быть описаны линейной функцией с угловым коэффициентом \(k= 200~ГПа= E\).

Смещение графика обусловлено наличием начального натяжения струны или ее начального относительного растяжения \(\varepsilon_0\).

4. Измеренная зависимость может быть описана законом Гука в следующем виде:

\[\sigma = E\left(\frac{\Delta l}{l}+\varepsilon_0\right).\qquad(7)\]

Ответ:

\[\sigma = E\left(\frac{\Delta l}{l}+\varepsilon_0\right)\]

5. Отсоединим динамометр и вновь растянем струну описанным ранее способом. В этот раз прижмем середину струны к центральной линейке. Дернем за струну и услышим звук. Измерим зависимость частоты этого звука от смещения середины струны.

Ответ:

6. Запишем выражение для скорости распространение поперечных волн в струне: \[c=\sqrt{\frac{T}{\rho_l}}=\sqrt{\frac{E(\varepsilon+\varepsilon_0)\frac{\pi d^2}{4}}{\rho\frac{\pi d^2}{4}}}=\sqrt{\frac{E(\varepsilon+\varepsilon_0)}{\rho}}.\qquad(8)\] Тогда связь частоты колебаний и относительного удлинения может быть записана как: \[\frac{l}{2}=\frac{c}{2f}=\sqrt{\frac{E(\varepsilon+\varepsilon_0)}{4f^2\rho}}.\qquad(9)\] Преобразуем уравнение к виду: \[f^2=\frac{E(\varepsilon+\varepsilon_0)}{\rho l^2}=\frac{E\varepsilon_0}{\rho l^2}+\frac{2Ex^2}{\rho l^4}.\qquad(10)\] После преобразований несложно заметить, что измеренная зависимость описывается линейной функцией в координатах \(f^2\) от \(x^2\) c угловым коэффициентом: \[k'=\frac{2E}{\rho l^4}.\qquad(11)\] Построим график в соответствующих координатах. Он может быть описан линейной функцией с угловым коэффициентом \(k'= 1.74 \cdot 10^8 \ Гц^2/м^2\).

Ответ:

7. Тогда значение плотности материала, из которого изготовлена струна составляет:

\[\rho=\frac{2E}{k'l^4}=7.6 \ г/см^3.\qquad(12)\]

Ответ:

\[\rho=\frac{2E}{k'l^4}=7.6 \ г/см^3\]

Источник: pho.rs/p/4928.