IEPhO 2025, 8 класс

Ответ

1: \(n=1\);  2: \(k=3\)

Решение

1. Соберем установку, изображенную на рисунке 3. Для этого закрепим в лапке штатива линейку. Поставим на весы батарейку. Исходно расположим линейку горизонтально.

Рис. 3. Установка для измерения упругости балки

В первом опыте установим весы с батарейкой так, чтобы батарейка располагалась ровно под свободным концом линейки длиной \(l_0=28 \ см\) и касалась его. Обнулим показания весов. Будем опускать лапку штатива на некоторое расстояние \(h\). Именно на это расстояние сместится конец линейки по вертикали (рис. 4).

Рис. 4. Настройка экспериментальной установки

Показания весов \(m\) при этом изменятся. Значение силы можно будет рассчитать как: \[F=mg \qquad(2)\]

Измерим зависимость показаний весов от расстояния \(h\) и построим график измеренной зависимости.

Видно, что график можно описать линейной функцией. Небольшое смещение может быть обусловлено неточностью в установке начальной позиции лапки штатива (позиции, отвечающей началу касания батарейки). Таким образом можно сделать вывод, что степень \(n=1\). Угловой коэффициент графика при этом составляет: \[\beta=\alpha g l^k=0.145 \ см/г=1.45~м/кг.\qquad(3)\]

Ответ:

\(n=1\)

2. Проведем второй опыт.

Вновь установим лапку в положение, когда плоскость линейки во всех ее точках едва касается батарейки, стоящей на весах. Сместим лапку штатива вниз на небольшое расстояние – около \(3~мм\). Будем перемещать весы с батарейкой ближе к лапке штатива вдоль линейки и измерим зависимость показаний весов от расстояния между крайней точкой зажатия линейки и местом касания линейки и батарейки. Занесем данные в таблицу.

Заметим, что показания весов увеличиваются с уменьшением расстояния \(l\), то есть зависимость является обратной. Для поиска степени рассчитаем значения длин \(l\) в степенях \(2\) и \(3\). Построим графики зависимости показаний весов \(m\) от расчетных значений \(l^{-k}\).

Видно, что график \(m(l^{-3})\) наиболее близок к прямой пропорциональности. Следовательно, будем считать степень зависимости прогиба линейки от ее длины равной \(k=3\).

Ответ:

\(k=3\)

3. Окончательно, рассчитаем коэффициент \(\alpha\):

\[\alpha=\frac{\beta }{g l_0^3}=6.7~\frac{1}{Н\cdot м^2}.\qquad(4)\]

Ответ:

\[\alpha=6.7~\frac{1}{Н\cdot м^2}\]

Источник: pho.rs/p/4907.

Ответ

1: \[D=(0.545\pm0.014)~мм\];  2: \[d=(0.380\pm0.018)~мм\];  3: \[h=(0.083\pm0.016)~мм\];  4: \[M=(27\pm6)~мг\]

Решение

1. Для измерения внешнего диаметра капилляра используем метод прокатывания. Сделаем из кусочка малярного скотча флажок на капилляр. Положим капилляр на предметное стекло и прижмем сверху линейкой. Будем двигать линейку так, чтобы капилляр катился по стеклу без проскальзывания. Измерим перемещение линейки \(L\) относительно капилляра при его повороте на \(N\) оборотов. Проведем эксперимент трижды, чтобы убедиться в повторяемости результатов.

Рассчитаем среднее значение диаметра \(D_{ср}=0.545~мм\). Оценим случайную погрешность по разбросу результатов \(\sigma_{Dслуч}=0.003~мм\). Приборную ошибку оценим, используя одно из измерений: \[\sigma_{Dприб}=\frac{\sigma_L}{L}D_{ср}=\frac{0.1~см}{4.8~см}\cdot0.545~мм=0.011~мм.\qquad(1)\] Полная погрешность тогда составит: \[\sigma_D=\sigma_{Dприб}+\sigma_{Dслуч}=0.014~мм.\qquad(2)\] Итого внешний диаметр составляет \(D=(0.545\pm0.014)~мм\).

Ответ:

\[D=(0.545\pm0.014)~мм\]

2. Для измерения внутреннего диаметра в капилляр необходимо поместить некоторый известный объем жидкости и измерить его длину в капилляре. Так как внутренний диаметр капилляра крайне мал, то его полный объем меньше цены деления шприца. Для выхода из сложившейся ситуации измерим объем одной капли, вытекающей из шприца. Для этого определим, за какое количество \(n\) вытекающих из шприца капель объем воды в нем уменьшится на \(V=(1.00\pm0.02)~мл\). Проведем измерение трижды для получения достоверных результатов.

Среднее количество капель:

\[n_{ср}=178\pm3.\qquad(3)\]Видно, что разброс результатов крайне мал. Рассчитаем объем одной капли.

\[v=\frac{V}{n}=(5.62\pm0.21)~ мкл.\qquad(4)\]Погрешность значения оценим из приборной погрешности шприца:

\[\sigma_v\approx v\left(\frac{\sigma_V}{V}+\frac{\sigma_n}{n}\right).\qquad(5)\]Поместим одну такую каплю на предметное стекло и поднесем к ней капилляр в наклоненном состоянии. Капля «затянется» внутрь капилляра полностью. Измерим длину получившегося столба воды \(l\) несколько раз. Для того, чтобы осушить капилляр, его можно потрясти вверх-вниз, либо воспользоваться ватным диском (вата хорошо впитывает воду, если уткнуть вертикально стоящий капилляр в диск).

Усредним результат и оценим суммарную погрешность этого измерения в \[\sigma_{l}=\sigma_{lслуч}+\sigma_{lприб}=0.2~см+0.1~м=0.3~см.\qquad(6)\] Тогда окончательно длина столба жидкости составляет \(l=(4.9\pm0.3)~см\). Объем капли внутри капилляра может быть выражен как: \[v=\frac{\pi d^2}{4}l.\qquad(7)\] Отсюда внутренний диаметр капилляра: \[d=\sqrt{\frac{4v}{\pi l}}=(0.380\pm0.018)~мм.\qquad(8)\]

Ответ:

\[d=(0.380\pm0.018)~мм\]

3. Погрешность диаметра рассчитаем из полусуммы относительных погрешностей множителей в формуле: \[\sigma_d\approx\frac{d}{2}\left(\frac{\sigma_v}{v}+\frac{\sigma_l}{l}\right).\qquad(9)\] Оценим по полученным данным толщину стенок капилляра: \[h=\frac{D-d}{2}=(0.083\pm0.016)~мм.\qquad(10)\]

Ответ:

\[h=(0.083\pm0.016)~мм\]

4. Погрешность значения рассчитаем как полусумму абсолютных погрешностей измеренных диаметров:

\[\sigma_h\approx\dfrac{1}{2}\left( \sigma_d+\sigma_D \right).\qquad(11)\]Большая величина относительной погрешности толщины стенок связана с тем, что ее вычислении вычитаются две близкие величины.

Определим положение центра тяжести капилляра без капли. В качестве опоры лучше всего использовать иголку от шприца. С меньшей точностью измерения можно провести на краю стола. Видно, что положение центра тяжести капилляра совпадает с его геометрическим центром. Поместим в капилляр каплю и вновь определим положение центра тяжести. Измерим смещение центра тяжести \(x=(4.5\pm1.0)~мм\), возникающее при помещении капли в капилляр (см. рис. 1). Проведем измерения несколько раз, чтобы убедиться в их повторяемости. Измерим также общую длину капилляра \(y=(100\pm1) \ мм\).

Рис. 1. Капилляр с водой

Смещение центра тяжести \(x\) можно связать с остальными геометрическим величинами через уравнение моментов относительно нового положения центра тяжести: \[xMg=v\rho_0 g\left(\frac{y}{2}-x-\frac{l}{2}\right).\qquad(12)\] Тогда масса капилляра: \[M=\frac{v\rho_0}{x}\left(\frac{y}{2}-x-\frac{l}{2}\right)=(27\pm6)~мг.\qquad(13)\] Погрешность значения в основном определяется неточностью измерения величины \(x\): \[\sigma_M=\frac{\sigma_x}{x}M.\qquad(14)\]

Ответ:

\[M=(27\pm6)~мг\]

5. Рассчитаем плотность материала капилляра. \[\rho=\frac{4M}{\pi \left(D^2-d^2\right)y} = (2.3\pm1.0)~г/см^3.\qquad(15)\] Погрешность определения плотности оценим методом границ. \[\begin{matrix} \rho_{max}=\dfrac{4M_{max}}{\pi \left(D_{min}^2-d_{max}^2\right)y_{min}} = 3.44~г/см^3\\ \\ \rho_{min}=\dfrac{4M_{min}}{\pi \left(D_{max}^2-d_{min}^2\right)y_{max}} = 1.46~г/см^3 \qquad(16)\\ \\ \sigma_\rho=\dfrac{\rho_{max}-\rho_{min}}{2}=1.0~г/см^3 \end{matrix} \tag{1}\]

Ответ:

\[\rho_{max}= 3.44~г/см^3\]\[\rho_{min}= 1.46~г/см^3\]

Источник: pho.rs/p/4908.

Ответ

1: \[V=37.0 \ л\];  3: По графику можно сказать, что зависимость нелинейная, возрастающая, не проходит через точку (\(0.0\)) графика. Прямой пропорциональностью зависимость \(q(U)\) не является.

Решение

1. Соберем установку, изображенную на рисунке 1. Для этого сделаем из картона воздуховод. Используя скотч, на верхнем конце воздуховода установим вентилятор. Прикрепим пакет к нижнему концу воздуховода таким образом, чтобы в надутом состоянии пакет по своей форме был наиболее близок к шару.

Подключим к вентилятору блок питания. Подав на вентилятор напряжение \(12\) вольт, убедимся, что пакет надувается. Через некоторое время пакет надуется и перестанет менять свой объем. В этот момент в пакете возникает дополнительное к атмосферному давление воздуха, которое не позволяет воздуху проходить через вентилятор в пакет. Будем считать, что пока пакет полностью не надут, давление в нем равно атмосферному.

Для расчета объемного расхода \(q\) вентилятора понадобится объем пакета. В простейшей модели будем считать, что надутый пакет схож по геометрической форме с шаром. Обернем пакет нитью в трех различных направлениях и измерим соответствующие длины с помощью рулетки. \[\begin{matrix} l_1=(123\pm1) \ см; \\ l_2=(131\pm1) \ см; \\ l_3=(136\pm1) \ см. \end{matrix}\] Среднее значение периметра: \(\left< l \right> = (130.0\pm 5.7) \ см\). Погрешность измерения обхвата складывается из случайной, приборной и методической погрешности. Погрешность, обусловленную невозможностью идеально обмотать пакет нитью, оценим в \(1~см\): \[\sigma_{\left < L\right >} \approx \sigma_{l\; случ} + \sigma_{l\; приб} + \sigma_{l\; намотки}.\qquad(2)\] Для оценки объема пакета воспользуемся формулой объема шара: \[V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi \left(\frac{\left< l \right>}{2\pi}\right)^3=\frac{{\left< l \right>}^3}{6\pi^2}=37.0 \ л.\qquad(3)\] Погрешность измерения объёма: \[\sigma_V \approx \dfrac{3 \sigma_l}{\left< l \right>} V = 4.9 \ л.\qquad(4)\]

Ответ:

\[V=37.0 \ л\]

2. Измерим зависимость объёмного расхода от напряжения. Для этого с помощью секундомера измерим время \(t\) надувания пакета до максимального объёма \(V\). Степень наполненности пакета воздухом можно оценить визуально. Кроме того, при надувании материал пакета издаёт треск. На больших напряжениях при повышении давления воздуха в пакете меняется тон звучания вентилятора. Эти факты позволяют определить момент, когда пакет наполнен воздухом до максимального объёма, на слух.

Для проверки достоверности измерений и их уточнения для каждого значения \(U\) будем повторять процедуру измерения \(t\) трижды и усреднять полученные результаты. Результаты измерений запишем в таблицу. Рассчитаем для каждого из измеренных напряжений величину объемного расхода \(q\): \[q=\dfrac{V}{\left< t\right>}.\qquad(5)\]

Погрешность определения объёмного расхода:

\[\sigma_q=q \varepsilon_q \approx q\left(\dfrac{\sigma_{\left< t\right>}}{\left< t\right>}+\dfrac{\sigma_V}{V} \right).\qquad(6)\]

Погрешность измерения напряжения:

\[\sigma_U=U \cdot\varepsilon_U,\qquad(7)\]

где \(\varepsilon_U = 0.01.\)

Ответ:

3. При напряжениях менее \(3\) вольт вентилятор не работает. Построим график измеренной зависимости.

Ответ:

Ответ:

По графику можно сказать, что зависимость нелинейная, возрастающая, не проходит через точку (\(0.0\)) графика. Прямой пропорциональностью зависимость \(q(U)\) не является.

Стоит также отметить, что для анализа графика на описание прямой пропорциональностью, кресты ошибок по объему следует рисовать существенно меньших размеров. Дело в том, что для каждого напряжения размеры пакета одинаковы, а случайная ошибку в измерениях оценивается по времени надувания. На графике с полными крестами ошибок можно провести аппроксимирующую линию, выходящую из начала координат, проходящую через все области неопределенности экспериментальных точек. На графике же, изображенном с крестами ошибок, относящимися лишь к случайной погрешности (обозначены красными линиями), прямая, выходящая из начала координат, не может достоверно описать измеренные точки.

Источник: pho.rs/p/4909.

Ответ

6: Видно, что нить обладает существенным гистерезисом. При этом ширина петли гистерезиса в первом опыте существенно больше, чем во втором и третьем. Заметим также, что во втором и третьем опыте нить ведет себя схожим образом.

Решение

1. Проведем измерения, описанные в задании. Рассчитаем отношение показаний весов к значению в начале измерений

\[\alpha=\frac{m}{m_0}.\qquad(1)\]Построим графики зависимости \(\alpha (t)\).

Ответ:

Ответ:

2.

3. По графикам видно, что при первом растяжении нить ослабляет натяжение быстрее, чем при втором. Проведём через последние точки на графиках касательные, рассчитаем их угловые коэффициенты \(k\). Отличие в коэффициентах лежит в пределах \(10-15\%\).

Ответ:

4. Заменим нить и проведем измерения зависимости модуля показаний весов от длины нити в циклах нагрузки-разгрузки. Нанесем измеренные точки на график.

Ответ:

5. Ответ:

6. Ответ:

Видно, что нить обладает существенным гистерезисом. При этом ширина петли гистерезиса в первом опыте существенно больше, чем во втором и третьем. Заметим также, что во втором и третьем опыте нить ведет себя схожим образом.

7. Отношение силы упругости в нити к относительному ее удлинению \(\beta\) рассчитывается по формуле:

\[\beta=k g l_0,\qquad(2) \tag{1}\]где \(k\) – коэффициент наклона графика. Построив касательные к графику, проходящие через точки, соответствующие ненагруженной резинке, получаем, что отношение массы на весах к изменению длины резинки лежит в пределах \(k\in[20;50]\ г/см\). Таким образом, искомый коэффициент лежит в диапазоне \(\beta\in[4;10] \ Н\).

Ответ:

\(\beta\in[4;10] \ Н\)

Источник: pho.rs/p/4910.

Ответ

2: \[D=(2.10\pm0.03)\ см\];  3: \[d=(1.936\pm0.014) \ см\];  4: \[M=(23.6\pm1.0)\ г\];  6: \[m_{г} = (10.2 \pm 3.2)~г\]\[m'_г=(10.4\pm1.2) \ г\];  7: \[m=(5.1\pm1.8) \ г\]\[m'=(5.0\pm1.9) \ г\]

Решение

1.

2. Обернем миллиметровой бумагой шприц. Длина окружности внешней поверхности шприца составляет \(L=(6.6\pm0.1)\ см\), тогда внешний диаметр: \[D=\frac{L}{\pi}=(2.10\pm0.03)\ см.\qquad(1) \tag{1}\] Погрешность оценим как: \[\sigma_D=\frac{\sigma_L}{\pi} \qquad(2) \tag{2}\].

Ответ:

\[D=(2.10\pm0.03)\ см\]

3. Для определения внутреннего диаметра \(d\) измерим длину \(l_{0}=(6.8 \pm 0.1)\ см\) шкалы шприца, соответствующую объему \(V_{0}=20\ мл\). Тогда внутренний диаметр шприца можно рассчитать как: \[d=\sqrt{\frac{4S_{0}}{\pi}}=\sqrt{\frac{4V_{0}}{\pi l_{0}}}=(1.936\pm0.014) \ см. \qquad(3)\tag{3}\] Погрешность внутреннего диаметра посчитаем как: \[\sigma_d=0.5 d \varepsilon_h.\qquad(4) \tag{4}\]

Ответ:

\[d=(1.936\pm0.014) \ см\]

4. Здесь будем считать, что объем медицинского шприца определяется точно.

Опустим шприц c гайкой в воду. Глубина его погружения при свободном плавании составит \(H=(6.8\pm0.1)\ см\). Сила тяжести шприца уравновешивается в таком состоянии силой Архимеда: \[Mg=F_А = \rho_{в} V_{погр} g = \rho_{в}\frac{\pi D^2}{4} H g.\qquad(5) \tag{5}\] Отсюда масса ящика: \[M=\rho_{в}\frac{\pi D^2 H}{4}=(23.6\pm1.0)\ г.\qquad(6) \tag{6}\] Погрешность измерения рассчитаем как: \[\sigma_M=M(2\varepsilon_D+\varepsilon_H). \qquad(7)\tag{7}\]

Ответ:

\[M=(23.6\pm1.0)\ г\]

5. Создадим установку, изображенную на рисунке 2. Обвяжем СЯ с гайкой нитью, создав кольцо вокруг него. К противоположным точкам кольца привяжем отрезки нити. Расположим шприц вертикально с опорой на стол и разместим кольцо на некоторой высоте. Потянем за нити и попробуем приподнять шприц. Если кольцо будет располагаться выше центра тяжести СЯ с гайкой, то шприц будет находится в устойчивом положении равновесия, в противоположном случае он перевернется.

Ответ:

Введем направленную вверх вертикальную ось \(x\) с началом координат в нижней точке СЯ. Найдем граничное положение кольца \(x_1\), при котором устойчивое положение шприца сменяется неустойчивым. В этом случае кольцо будет находиться на уровне центра тяжести шприца. Получим \(x_{1} = (2.2 \pm0.2)~см\). Погрешность определения этого положения составляет приблизительно половину расстояния между делениями шприца. Вытащим гайку из шприца и вновь проделаем операцию по поиску центра тяжести системы \(x_2\). Получим \(x_{2} = (3.5 \pm 0.2)~см\). Также определим координату положения центра масс гайки, расположенной в торце шприца: \(x_3 = (0.5 \pm0.1)~см\).

6. Из определения центра тяжести можем записать: \[x_{1} = \frac{m_{г} x_3 + (M-m_{г}) x_2}{M}.\qquad(8) \tag{8}\] Тогда для массы гайки получаем: \[m_{г} = M \cdot \frac{x_2 - x_1}{x_2-x_3 } = (10.2 \pm 3.2)~г.\qquad(9) \tag{9}\] Внизу и вверху формулы для расчета массы гайки стоит величина \(x_2\) с положительным знаком, поэтому расчет погрешностей методом границ в данном случае не подходит. Посмотрим на сколько будет меняться масса гайки при вариации отдельных величин в формуле. \[\begin{matrix} \sigma_{m_{г} 1} =\left|m_г-M \cdot \frac{x_2 - (x_1+\sigma_{x_1})}{x_2-x_3}\right|=1.5\ г\\ \\ \sigma_{m_{г} 2} =\left|m_г-M \cdot \frac{x_2+\sigma_{x_2} - x_1}{x_2+\sigma_{x_2}-x_3 }\right|=0.9 \ г\\ \qquad(10)\\ \sigma_{m_{г} 3} =\left|m_г-M \cdot \frac{x_2 - x_1}{x_2-(x_3+\sigma_{x_3}) }\right|=0.4 \ г\\ \\ \sigma_{m_{г} M} =\left|m_г-(M+\sigma_M) \cdot \frac{x_2 - x_1}{x_2-x_3) }\right|=0.4\ г \end{matrix} \tag{10}\] Тогда суммарную погрешность можно оценить как: \[\sigma_{m_{г}}=\sigma_{m_{г} 1}+\sigma_{m_{г} 2}+\sigma_{m_{г} 3}+\sigma_{m_{г} M}\qquad(11) \tag{11}\] Альтернативным способом поиска массы шприца является уравновешивание шприца с гайкой на краю стола в двух разных положениях гайки относительно шприца. В первом случае, гайка располагается рядом с поршнем в положении \(x_3\). В этом случае центр тяжести находится в координате \(x_4=(2.8\pm0.1) \ см\). Точность определения центра тяжести таким способом выше, чем предыдущим и находится на уровне приборной погрешности. При противоположном положении гайки, когда она повешена на носик шприца, координата ее центра равна \(x_5=(9.6\pm0.1) \ см\), а координата центра тяжести \(x_6=(6.8 \pm 0.1) \ см\). Тогда изменение положения центра масс можно описать формулой: \[x_6-x_4=(x_5-x_3) \cdot \frac{m_г}{M}. \qquad(12)\tag{12}\] Отсюда масса гайки: \[m'_г=M \cdot \frac{x_5-x_3}{x_6-x_4}=(10.4\pm1.2) \ г. \qquad(13)\tag{13}\] И погрешность ее расчета: \[\sigma_{m'_г}=m'_г\left(\frac{\sigma_{x_5}+\sigma_{x_3}}{x_5-x_3}+\frac{\sigma_{x_6}+\sigma_{x_4}}{x_6-x_4}+\frac{\sigma_{M}}{M - m_{г}}\right)\qquad(14) \tag{14}\] Видно, что второй способ дает существенно меньшую погрешность, чем первый. Будем в дальнейшем использовать значение, полученное вторым способом.

Ответ:

\[m_{г} = (10.2 \pm 3.2)~г\]\[m'_г=(10.4\pm1.2) \ г\]

7. Далее необходимо измерить отношение массы жидкости в шприце к массе шприца. Для этого необходимо следить за перемещением центра масс СЯ при переливании воды внутри шприца. Существует множество вариантов расположения жидкости внутри шприца, однако всего три из них позволяют легко определить положение центра масс жидкости. Первый вариант - горизонтальное расположение трубки, второй и третий варианты – это вертикальные положения трубки в разной ориентации.

Положение центра тяжести в горизонтальном состоянии можно определить, уравновесив шприц на краю стола (если стол горизонтален). Подвешивание нити не позволяет реализовать горизонтальное положение шприца из-за неустойчивости такого состояния.

Однако, наиболее выгодным измерением с точки зрения точности определения отношения масс является определение смещение центра тяжести шприца между вторым и третьим положением, ведь в этом случае центр тяжести жидкости смещается по трубке максимально. Если подвесить шприц под большим углом на нити, то форма жидкости близка к цилиндрической, однако измерение положения центра тяжести в таком положении затруднительно.

Итого, для получения наиболее точного результата измерим положение центра тяжести перевернутого шприца способом, использующим поиск неустойчивости, который был описан выше (см. рис. 2). Проведем измерения таким методом, когда гайка из шприца вынута. Координата центра тяжести в этом случае будет равна \(x_7=(5.7\pm0.2) \ см\). При этом центр тяжести жидкости сместится в шприце на расстояние \(y=(5.7\pm0.1)\ см\). Изменение положения центра масс можно описать формулой: \[x_4-x_2=y \cdot \frac{m}{M - m'_{г}}, \qquad(15)\tag{15}\] Отсюда масса жидкости: \[m=\frac{(x_4-x_2)(M - m'_{г})}{y}=(5.1\pm1.8) \ г.\qquad(16) \tag{16}\] И погрешность: \[\sigma_m=m\left(\frac{\sigma_{x_4}+\sigma_{x_2}}{x_4-x_2}+\frac{\sigma_{M} + \sigma_{m_{г}}}{M - m_{г}}+\frac{\sigma_y}{y}\right) \qquad(17)\tag{17}\] Проведем аналогичные измерения, когда гайка вставлена в шприц. В этом случае центр тяжести шприца в перевернутом состоянии находится на координате \(x_8=(3.4\pm0.2) \ см\). То есть перемещение центра тяжести составит \(x_8-x_1=(1.2\pm0.4) \ см\). Отсюда масса жидкости: \[m'=\frac{(x_8-x_1)M}{y}=(5.0\pm1.9) \ г. \qquad(18)\tag{18}\] И погрешность: \[\sigma_m=m\left(\frac{\sigma_{x_8}+\sigma_{x_1}}{x_8-x_1}+\frac{\sigma_{M} + \sigma_{M}}{M}+\frac{\sigma_y}{y}\right) \qquad(19)\tag{19}\] Видно, что два способа определения массы жидкости дают одинаковую точность.

Ответ:

\[m=(5.1\pm1.8) \ г\]\[m'=(5.0\pm1.9) \ г\]

8. Измерим высоту столба жидкости внутри СЯ \(z=(1.1\pm0.1)\ см\). Тогда плотность жидкости можно рассчитать как:

\[\rho=\frac{4m}{\pi d^2 z}=(1.6\pm1.0)\ г/см^3. \qquad(20) \tag{20}\]

Погрешность плотности рассчитаем как:

\[\sigma_\rho=\rho\left(\frac{\sigma_m}{m}+\frac{\sigma_z}{z}+\frac{2\sigma_d}{d}\right) \qquad(21) \tag{21}\]

Ответ:

\[\rho=(1.6\pm1.0)\ г/см^3\]

Источник: pho.rs/p/4911.

Ответ

1: \[\beta = 3.518\cdot 10^{-4} ~\frac{1}{{}^\circ \mathrm{C}}\];  2: \[d=\sqrt{\dfrac{4v}{\pi h}} = (0.97\pm0.04) \ мм\];  6: Среднее значение коэффициента теплового расширения шприца: \[\left< \beta_{ш} \right> = 4.08\cdot 10^{-4} \;\frac{1}{^\circ С}\];  8: \[\beta_{г} = \beta_{ш} + \dfrac{S\Delta l}{V_0 (T_2-T_1)}\]

Решение

1. Вновь запишем определение коэффициента \(\beta\): \[\beta=\frac{\Delta V}{V_0\; \Delta T}.\] Выразим объём как отношение массы к плотности: \[\beta=\dfrac{\dfrac{m}{\rho_2}-\dfrac{m}{\rho_1}}{\dfrac{m}{\rho_1}(T_2-T_1)},\qquad(2) \tag{2}\] где \(\rho_1\) и \(\rho_2\) – плотности воды при температурах \(T_1\) и \(T_2\) соответственно. Сократим массу \(m\) и получим: \[\beta=\dfrac{\dfrac{1}{\rho_2}-\dfrac{1}{\rho_1}}{\dfrac{1}{\rho_1}(T_2-T_1)} = \dfrac{\rho_1 - \rho_2}{\rho_2 (T_2-T_1)}.\qquad(3) \tag{3}\] Вычислим коэффициент теплового расширения \(\beta_{теор}\) воды температуры \(T_1=22~{}^\circ\mathrm{C}\) при нагревании до температуры \(T_2=50~{}^\circ\mathrm{C}\). Для этого по таблице определим плотности для соответствующих температур: \[\rho_1 = 997.770 \ кг/м^3,\; \; \rho_2 = 988.037 \ кг/м^3.\] Подставим величины в формулу \((3)\) и получим значение \(\beta = 3.518\cdot 10^{-4} ~\frac{1}{{}^\circ \mathrm{C}}\)

Ответ:

\[\beta = 3.518\cdot 10^{-4} ~\frac{1}{{}^\circ \mathrm{C}}\]

2. Для измерения внутреннего диаметра капилляра наберём в миллилитровый шприц воду. С помощью адаптера подключим капилляр к шприцу. Наполним капилляр водой. Измерим по шкале шприца объём воды \(v\) в капилляре. Линейкой измерим длину столба \(h\) воды в капилляре.

При объёме \(v=(0.26\pm 0.02) \ мл\) и длине столба \(h = (35.0\pm0.1)\ см\) получим диаметр \[d=\sqrt{\dfrac{4v}{\pi h}} = (0.97\pm0.04) \ мм. \tag{4}\]

Ответ:

\[d=\sqrt{\dfrac{4v}{\pi h}} = (0.97\pm0.04) \ мм\]

3. Наберём в большой шприц \(20~мл\) воды. Подключим к шприцу гибкий капилляр. Выдавим из шприца в капилляр небольшое количество воды, чтобы длина получившегося столба воды составляла примерно \(3/4\) длины капилляра. Поместим шприц в мерный цилиндр с водой комнатной температуры и дождёмся теплового равновесия между водой в цилиндре и в шприце. Об установлении теплового равновесия свидетельствует неподвижность границы столба воды в капилляре. Шприц погружаем в воду носиком вверх, капилляр при этом должен выходить из цилиндра наружу и свисать по стенке цилиндра свободным концом вниз.

Сделаем на капилляре отметку, соответствующую концу столба воды.

Далее нальём во второй пустой мерный цилиндр горячую воду, опустим в неё шприц.

Видим, что вначале вода в капилляре быстро устремляется в шприц. Длина столба воды достигает минимального в опыте значения. После этого столб плавно увеличивается в длину.

Ответ:

Поведение зависимости длины столба воды в капилляре от времени объясняется двумя основными факторами. После того, как шприц опущен в воду, быстро начинают нагреваться стенки шприца. При нагревании объём шприца увеличивается, и вода из капилляра перетекает в шприц. С другой стороны, вода при нагревании расширяется, увеличивая свой объём. За счёт этого столб воды должен бы увеличиваться в длину. Два упомянутых явления действуют друг по отношению к другу «в противоположную сторону». При этом стенки шприца нагреваются быстрее воды в нем, поэтому сначала уровень воды в капилляре уменьшается, а потом увеличивается.

4. Используя уравнение \((1)\), запишем уравнение зависимости изменения объёма воды в системе, образованной шприцем и трубкой, от температуры: \[\Delta V = (\beta_{в} - \beta_{ш})V_0 \Delta T.\qquad(5) \tag{5}\] Изменение объёма воды в системе \(\Delta V\) определяется изменением длины \(l\) и площадью поперечного сечения \(S\) столба воды в капилляре: \[\Delta V = S \Delta l,\qquad(6) \tag{6}\] \[S= \dfrac{\pi d^2}{4}.\qquad(7) \tag{7}\]

5. Коэффициент \(\beta_{в}\) можно вычислить по формуле \((3)\). Таким образом, проведя изучение зависимости длины столба воды в капилляре от температуры, можно вычислить коэффициент объёмного теплового расширения шприца: \[\beta_{ш} = \beta_{в} - \dfrac{S\Delta l}{V_0 (T_2-T_1)}.\qquad(8) \tag{8}\] Результаты измерений и вычислений приведены в таблицах.

Использованные табличные значения плотностей, соответствующие температурам \(T_1\) и \(T_2\):

6. Ответ:

Среднее значение коэффициента теплового расширения шприца:

\[\left< \beta_{ш} \right> = 4.08\cdot 10^{-4} \;\frac{1}{^\circ С}\]

7. Далее проведём аналогичные опыты с глицерином. В этом случае: \[\Delta V = (\beta_{г} - \beta_{ш})V_0 \Delta \qquad(9) \tag{9}\]

8. Тогда

\[\beta_{г} = \beta_{ш} + \dfrac{S\Delta l}{V_0 (T_2-T_1)}.\qquad(10) \tag{10}\]Для расчёта \(\beta_{г}\) будем использовать среднее значение \(\left< \beta_{ш} \right>\).

Ответ:

\[\beta_{г} = \beta_{ш} + \dfrac{S\Delta l}{V_0 (T_2-T_1)}\]

9. Результаты измерений и вычислений приведены в таблице.

Ответ:

Среднее значение коэффициента теплового расширения глицерина:

\[\left< \beta_{г} \right> = 6.35\cdot 10^{-4} \;\dfrac{1}{^\circ С}\]

Источник: pho.rs/p/4912.