Олимпиады · Интернет-олимпиада

Интернет-олимпиада, 2019/20, отборочный этап, 11 класс

10 задач
PDF: условия · с ответами · с решениями

зад 1 Вертолёт

Гидростатика и гидродинамика › ГидродинамикаСтруи, реакция и давление струиИмпульс, закон сохранения импульсаРабота и мощностьсложность 5/10

Масса вертолёта без груза \(M_1 = 550\) кг, длина его лопастей \(L = 4{,}1\) м. Температура окружающего воздуха \(t = 8\,^\circ\)C, атмосферное давление \(P = 764\) мм рт. ст. Вертолёт висит неподвижно на некоторой высоте от земли. Считая, что в пространстве под лопастями воздух движется с одинаковой скоростью вертикально вниз, и на ускорение воздуха используется \(30\) процентов мощности двигателя, определите:

  1. с какой скоростью \(V_1\) движется воздух под лопастями вертолёта;

  2. с какой мощностью \(N_1\) работает двигатель;

  3. какую массу воздуха \(M\) разгоняет винт за \(1\) с;

  4. с какой скоростью \(V_2\) будет двигаться воздух, если вертолёт примет на борт груз и масса его увеличится до \(M_2 = 786\) кг, и он будет продолжать неподвижно висеть на том же месте.

В ответ массу вводите с точностью до целых, остальные ответы — с точностью до десятых. Ускорение свободного падения примите равным \(g = 9{,}8\) м/с\(^2\), плотность ртути \(\rho_{\text{рт}} = 13{,}55\) г/см\(^3\), число \(\pi = 3{,}1416\), температуру абсолютного нуля считайте равной \(T_0 = -273\,^\circ\)C, универсальная газовая постоянная \(R = 8{,}31\) Дж/(моль\(\cdot\)K), молярная масса воздуха \(\mu = 29\) г/моль.

▶ПодсказкаСкрыть
Подсказка

Винт разгоняет поток воздуха вниз: сила тяги равна скорости изменения импульса воздуха, а мощность — кинетической энергии, которую сообщает двигатель воздуху.

▶ОтветСкрыть
Ответ

1) \(V_1 = 9{,}0 \pm 0{,}15\) м/с;  2) \(N_1 = 80{,}85 \pm 0{,}15\) кВт;  3) \(M = 598{,}84 \pm 1{,}1\) кг;  4) \(V_2 = 10{,}755 \pm 0{,}15\) м/с.

зад 2 Наклонный рельс с лебёдкой

Механика › ДинамикаНаклонная плоскостьСила трения: покой и проскальзываниеРабота и мощностьсложность 5/10

Имеется наклонный рельс с лебёдкой и датчиком натяжения нити, весы, гири, линейки и брусок. Брусок можно поставить на рельс. После чего можно присоединить к бруску нить от лебёдки и присоединить её к крючку бруска. Электронный динамометр объединён с лебёдкой. Колесо лебёдки крутится с постоянной угловой скоростью. У бруска имеется трение о рельс. Масса гирь указана в граммах. Найдите с точностью не хуже \(0{,}5\%\):

  1. величину ускорения \(a_0\), с каким бы двигался брусок, если бы его, не присоединяя к лебёдке, поставить в середине рельса и отпустить, если бы не было трения;

  2. силу трения \(F\), действующую на брусок при подъёме бруска по рельсу;

  3. величину ускорения \(a_1\), с каким будет двигаться брусок, если его поставить в середине рельса и отпустить в реальной ситуации — когда присутствует трение;

  4. КПД системы при подъёме бруска по рельсу (потери энергии в лебёдке не учитывать).

Значение ускорения свободного падения \(g = 9{,}8\) м/с\(^2\).

Рисунок
▶ПодсказкаСкрыть
Подсказка

Ускорение без трения находится из проекции силы тяжести на рельс; сила трения и КПД найдите по показаниям динамометра лебёдки и пути бруска.

▶ОтветСкрыть
Ответ

1) \(a_0 = 2{,}896 \pm 0{,}029\) м/с\(^2\);  2) \(F = 0{,}4871 \pm 0{,}0073\) Н;  3) \(a_1 = 1{,}7258 \pm 0{,}0431\) м/с\(^2\);  4) \(\eta = 71{,}22 \pm 1{,}78\) %.

зад 3 Две гантели

Механика › Законы сохраненияУпругие столкновенияИмпульс, закон сохранения импульсаРавномерное движение, средняя скоростьсложность 7/10

Две гантели, каждая из которых состоит из двух одинаковых шариков массой \(M = 51\) г, соединённых невесомыми стержнями длиной \(L = 32\) см, скользят навстречу друг другу по идеально гладкой горизонтальной поверхности со скоростью \(V = 0{,}05\) м/с (см. рисунок). В момент начала отсчёта времени шарики 1 и 3 находятся на расстоянии \(S = 3{,}4\) м друг от друга. Определите:

  1. на каком расстоянии \(X\) будут находиться шарики 1 и 3 в момент времени \(t_1 = 50{,}2\) с;

  2. скорость \(V_4\) четвёртого шарика относительно второго в момент времени \(t_1\);

  3. импульс \(P\) второй (синей) гантели в момент времени \(t_2 = 39\) с;

  4. ускорение \(A\) четвёртого шарика в момент времени \(t_2\);

  5. суммарную кинетическую энергию гантелей \(E\) в момент времени \(t_2\).

Размером шариков по сравнению с длиной стержней можно пренебречь. Удары шариков друг о друга — абсолютно упругие. Ответы вводите с точностью не хуже, чем \(0{,}5\) процента.

Рисунок
▶ПодсказкаСкрыть
Подсказка

Удары абсолютно упругие, поэтому шарики обмениваются скоростями; смотрите на движение центров масс гантелей и на их вращение.

▶ОтветСкрыть
Ответ

1) \(X = 0{,}8841 \pm 0{,}0088\) м;  2) \(V_4 = 0{,}10 \pm 0{,}001\) м/с;  3) \(P = 0 \pm 0{,}001\) кг\(\cdot\)м/с;  4) \(A = 1{,}5625 \pm 0{,}0156\) см/с\(^2\);  5) \(E = 0{,}255 \pm 0{,}00255\) мДж.

зад 4 Поршни на стержне

Термодинамика и молекулярная физика › Идеальный газСосуды с поршнями, газ и пружинаГармонические колебанияУравнение состояниясложность 7/10

Поршень массой \(M_1 = 3{,}3\) кг и площадью \(S_1 = 11\) см\(^2\) жёстко соединён невесомым стержнем длиной \(L = 79\) см с поршнем массой \(M_2 = 8{,}9\) кг и площадью \(S_2 = 50\) см\(^2\). Поршни без трения могут скользить в закреплённом сосуде, составленном из двух горизонтальных труб соответствующего диаметра. Изначально они находятся в равновесии на одинаковом расстоянии от места соединения труб (см. рисунок). Пространство между поршнями заполнено идеальным газом, снаружи находится идеальный газ под давлением \(P_0 = 113\) кПа. Поршни сместили вправо на расстояние \(X = 0{,}4\) см. Считайте, что в процессе колебаний температура внутри и снаружи сосуда одинакова и постоянна. Определите:

  1. давление \(P\) газа в пространстве между поршнями до их смещения;

  2. величину возвращающей силы \(F\), действующей на поршни сразу после смещения;

  3. на сколько процентов мы ошибёмся в вычислении \(F\), если будем считать её прямо пропорциональной смещению \(X\);

  4. период колебаний поршней \(T\) после смещения (в гармоническом приближении).

Ответы вводите с точностью до сотых. Считайте, что число \(\pi = 3{,}1416\).

Рисунок
▶ПодсказкаСкрыть
Подсказка

Газ между поршнями сжимается и расширяется при смещении; возвращающая сила равна разности давлений на поршни, умноженной на их площади.

▶ОтветСкрыть
Ответ

1) \(P = 113 \pm 0{,}2\) кПа;  2) \(F = 2{,}8347 \pm 0{,}011\) Н;  3) \(\delta = 0{,}6479 \pm 0{,}011\) %;  4) \(T = 0{,}8217 \pm 0{,}011\) с.

зад 5 Параметры цепи из четырёх резисторов

Электрические цепи › Постоянный токВычисление сопротивлений, симметрия, бесконечные цепочкиАмперметры, вольтметры, мостыИзмерения и погрешностисложность 4/10

Имеется цепь из четырёх соединённых резисторов, в которой можно подсоединяться только к их внешним клеммам. Найдите с погрешностью не более \(0{,}1\%\) чему равны:

  1. сумма сопротивлений \(R_1 + R_2\);

  2. разность сопротивлений \(R_1 - R_2\);

  3. разность сопротивлений \(R_3 - R_1\);

  4. сопротивление \(R_2\).

Ответы вводите с точностью до сотых. Напряжение на выходе источника напряжения в данном задании нельзя менять.

Рисунок
▶ПодсказкаСкрыть
Подсказка

Измерения напряжений и токов при разных подключениях дают сопротивления участков по закону Ома.

▶ОтветСкрыть
Ответ

1) \(R_1 + R_2 = 65{,}4 \pm 0{,}327\) Ом;  2) \(R_1 - R_2 = 36{,}6 \pm 0{,}183\) Ом;  3) \(R_3 - R_1 = 36{,}5 \pm 0{,}365\) Ом;  4) \(R_2 = 14{,}4 \pm 0{,}144\) Ом.

зад 6 Теплоёмкость и другие параметры жидкости

Термодинамика и молекулярная физика › ТеплообменКоличество теплоты, уравнение теплового балансаИзмерения и погрешностиИспарение и кипениесложность 4/10

В первом стакане находится некоторый объём \(V\) неизвестной жидкости, во втором — такой же объём \(V\) воды. Удельная теплоёмкость воды \(C = 4200\) Дж/(кг \(^\circ\)C), плотность воды \(1\) г/см\(^3\). Спиртовка обеспечивает нагрев жидкостей в стаканах, поставленных на спиртовку, со скоростью \(K = 120\) Дж/с. Измерьте:

  1. объём \(V\) жидкости (с точностью до \(1\) мл);

  2. плотность жидкости (с точностью до тысячных);

  3. удельную теплоёмкость \(C\) жидкости (с точностью до десятков);

  4. температуру кипения жидкости (с точностью до градуса).

Обратите внимание на то, что у стаканов имеется масса. Теплоёмкостью стаканов и градусника и потерями тепла пренебречь.

Рисунок
▶ПодсказкаСкрыть
Подсказка

Нагревательная мощность одна и та же для обоих стаканов: по времени нагрева до кипения сравните количества теплоты.

▶ОтветСкрыть
Ответ

1) \(V = 138{,}96 \pm 1{,}2\) мл;  2) \(\rho = 0{,}77 \pm 0{,}005\) г/см\(^3\);  3) \(C = 2100 \pm 100\) Дж/(кг \(^\circ\)C);  4) \(t_{\text{кип}} = 133 \pm 2\) \(^\circ\)C.

зад 7 Необычный астероид

Механика › ТяготениеЗакон всемирного тяготения, невесомостьСимметрияВекторы в механикесложность 7/10

Внутри астероида радиусом \(R = 13410\) м есть большое сферическое отверстие радиусом \(r = 4180\) м. Плотность астероида \(\rho = 5010\) кг/м\(^3\) и постоянна во всех точках. Вычислите:

  1. ускорение свободного падения \(g_A\) в точке \(A\) (в мм/с\(^2\));

  2. ускорение свободного падения \(g_B\) в точке \(B\) (в мм/с\(^2\));

  3. под каким углом \(\alpha\) к радиусу планеты, проходящему через точку \(B\), оно направлено (в радианах);

  4. ускорение свободного падения \(g_C\) в точке \(C\) (в мм/с\(^2\)).

Ответы вводите с точностью до сотых. Число \(\pi = 3{,}1416\), гравитационная постоянная \(G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\) Н\(\cdot\)м\(^2\)/кг\(^2\).

Рисунок
▶ПодсказкаСкрыть
Подсказка

Поле однородно заполненного шара внутри сферического отверстия можно получить как сумму полей полного шара и шара отверстия с обратным знаком.

▶ОтветСкрыть
Ответ

1) \(g_A = 12{,}9195 \pm 0{,}011\) мм/с\(^2\);  2) \(g_B = 12{,}9195 \pm 0{,}011\) мм/с\(^2\);  3) \(\alpha = 0{,}4257 \pm 0{,}011\) рад;  4) \(g_C = 12{,}9195 \pm 0{,}011\) мм/с\(^2\).

зад 8 Энергия деформации пружины и работа силы тяжести

Механика › ДинамикаСила упругости, пружины и их соединенияМеханическая энергия, консервативные системыРабота и мощностьсложность 5/10

Имеется: гиря неизвестной массы; пружина; штатив, лапку которого (зажим) можно перемещать, и в которой можно закреплять пружину, а к ней — подвешивать гирю; прибор с датчиком координаты. Также имеются гири массой \(150\) и \(200\) г. Если гиря, подвешенная на пружине, касается датчика или стола, или сила деформации превышает некоторую предельную, пружина выскакивает из зажима штатива. Определите:

  1. массу \(M\) гири (в граммах);

  2. энергию \(E\) (в миллиджоулях) упругой деформации пружины в состоянии равновесия после подвешивания на неё гири;

  3. какую работу \(A_1\) (в миллиджоулях) совершит сила тяжести, если из этого состояния равновесия гирю снять с крючка и поставить на датчик координаты;

  4. какую работу \(A_2\) (в миллиджоулях) совершит сила тяжести, если гирю снять с датчика координаты, подвесить на пружину и дождаться прекращения колебаний.

Энергию определите с точностью до десятых, остальные величины — с точностью до целых. В промежуточных вычислениях сохраняйте не менее 4 значащих цифр. Ускорение свободного падения \(g = 9{,}8\) м/с\(^2\).

Рисунок
▶ПодсказкаСкрыть
Подсказка

Растяжение пружины при подвешивании гири даёт массу; энергия упругой деформации равна \(k\,\Delta x^2/2\), работа силы тяжести — \(mgh\) по перемещению.

▶ОтветСкрыть
Ответ

1) \(M = 101{,}4 \pm 3\) г;  2) \(E = 19{,}9 \pm 1\) мДж;  3) \(A_1 = 157 \pm 2{,}5\) мДж;  4) \(A_2 = -157 \pm 2{,}5\) мДж.

зад 9 Заряженные капли

Электростатика › Потенциал и энергияПотенциал электрического поляТеорема ГауссаПроводящие сферы, заземлениесложность 6/10

\(N\) маленьких одинаковых капель морской воды, имеющих одинаковые заряды, слились в одну большую каплю. В результате напряжённость поля на поверхности большой капли оказалась в \(5\) раз больше, чем на поверхности маленькой капли.

  1. Чему равно число капель \(N\)?

  2. Во сколько раз \(X\) потенциал на поверхности большой капли больше, чем на поверхности маленькой?

  3. Во сколько раз \(Y\) потенциал в центре большой капли больше, чем на поверхности маленькой?

  4. Чему равна напряжённость \(E\) поля в центре большой капли?

Ответы вводите с точностью до десятых. Потенциал на бесконечности считайте равным нулю.

▶ПодсказкаСкрыть
Подсказка

Заряд капель складывается, а радиус большой капли связан с радиусами маленьких через объём; напряжённость и потенциал сравните по формулам для заряженной сферы.

▶ОтветСкрыть
Ответ

1) \(N = 125{,}004 \pm 0{,}11\);  2) \(X = 25{,}003 \pm 0{,}11\);  3) \(Y = 25{,}003 \pm 0{,}11\);  4) \(E = 0 \pm 0{,}001\) В/м.

зад 10 Грузы на резинке

Механика › ДинамикаСила упругости, пружины и их соединенияРавновесие тел, моменты силМеханическая энергия, консервативные системысложность 5/10

В системе имеется набор грузов, две линейки и невесомая резинка, закреплённая за лапки штативов — в таком состоянии она не растянута. Грузы можно подвешивать на резинку. Помеченные чёрными точками места крепления грузов располагаются на резинке на расстояниях \(1\) см, \(2\) см, \(10\) см, \(20\) см и \(30\) см от точки крепления резинки на лапке штатива. Обратите внимание, что при большом растяжении резинки гиря становится на стол и не опускается ниже. Найдите с точностью не хуже \(1\%\):

  1. массу груза №1;

  2. коэффициент жёсткости \(K_1\) (в Н/м) одного сантиметра резинки;

  3. массу груза №2;

  4. силу натяжения резинки \(T\), если к центру резинки подвесить груз №2.

Считайте, что ускорение свободного падения \(g = 9{,}8\) м/с\(^2\).

Рисунок
▶ПодсказкаСкрыть
Подсказка

Растяжение резинки под грузом даёт жёсткость на сантиметр; натяжение при подвешивании груза в центре найдите из условия равновесия.

▶ОтветСкрыть
Ответ

1) \(m_1 = 1350 \pm 33{,}75\) г;  2) \(K_1 = 102{,}654 \pm 2{,}566\) Н/м;  3) \(m_2 = 12{,}66 \pm 0{,}2\) г;  4) \(T = 0{,}1332 \pm 0{,}0053\) Н.

Источник: Интернет-олимпиада школьников по физике, 2019/20, отборочный этап, 11 класс — условия (1) · условия (2) · решения (1) · решения (2). Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.

наверх