зад 1 Диск на пружинах
Невесомый диск (показан на рисунке серым цветом) закреплён в горизонтальном положении на крестообразной конструкции из невесомых стержней и пружин. К диску прикреплены невесомые стержни, опирающиеся на 16 пружин. Чёрными кружками показаны шарниры, позволяющие стержням вращаться вокруг них в вертикальной плоскости. Плечи у рычагов, к которым крепятся пружины, одинаковы. Пружины прикреплены к ступенькам пирамиды из жёстких тяжёлых дисков (показаны розовым цветом). На рисунке показано сечение конструкции вертикальной плоскостью, проходящей через её центр, такое же сечение расположено перпендикулярно. Если приложить к центру диска силу, направленную вертикально вниз, то пружины деформируются на одинаковую величину.
Жёсткость каждой из четырёх самых нижних (красных) пружин \(k_1=39{,}5\) Н/м. Длина каждой пружины \(L=79{,}1\) см. Сверху с высоты \(H=89\) см на диск падает вертикально без вращения кубик массой \(m=18{,}8\) кг так, что его нижняя сторона оказывается ровно в центре диска и абсолютно неупруго ударяется об него (приклеивается). Определите:
Эквивалентную жёсткость \(K\) конструкции.
Значение \(X_{max}\) (по модулю) максимальной деформации верхней (зелёной) пружины после падения кубика.
Максимальную высоту \(H_{max}\), на которую поднимется диск относительно первоначальной (до падения кубика) в процессе возникших колебаний.
Затуханием колебаний и отклонениями пружин в горизонтальной плоскости можно пренебречь. Ускорение свободного падения примите равным \(9{,}8\) м/с\(^2\), число \(\pi=3{,}1416\). Ответы вводите с точностью не хуже \(0{,}1\%\).
▶ПодсказкаСкрыть
Из симметрии конструкции найдите, какая сила приходится на каждую из нижних пружин при нагрузке в центре. Для колебаний используйте закон сохранения энергии, а положение равновесия диска с кубиком найдите отдельно.
▶ОтветСкрыть
1) \(K \approx 1264 \pm 1{,}3\) Н/м; 2) \(X_{max} \approx 67{,}56 \pm 0{,}07\) см; 3) \(H_{max} \approx 38{,}40 \pm 0{,}04\) см.
▶РешениеСкрыть
1. Сила \(F\), приложенная к центру диска вниз, делится на каждом шарнире пополам, поэтому на каждую из четырёх нижних (красных) пружин приходится \(F/32\). Их деформация \(x = F/(32k_1)\) такая же, как у всей конструкции, значит \[K = \frac{F}{x} = 32k_1 = 32 \cdot 39{,}5 \approx 1264~\text{Н/м}.\]
2. Диск невесомый, поэтому после неупругого удара кубик движется вместе с конструкцией со скоростью \(v_0=\sqrt{2gH}\). От момента удара до максимальной деформации сохраняется механическая энергия: \[\frac{K X_{max}^2}{2} - mg X_{max} = mgH \quad\Rightarrow\quad X_{max} = \frac{mg + \sqrt{(mg)^2 + 2KmgH}}{K} \approx 67{,}56~\text{см}.\]
3. Положение равновесия с кубиком смещено вниз на \(X_0 = mg/K \approx 14{,}58\) см. Амплитуда колебаний \(A = X_{max} - X_0 \approx 52{,}98\) см, а начальная точка колебаний находится выше положения равновесия на \(X_0\). Наивысшая точка колебаний поднимается над первоначальным положением диска на \[H_{max} = A - X_0 = X_{max} - 2X_0 \approx 38{,}40~\text{см}.\]
зад 2 Скорости течения жидкостей
В отливном стакане находится вода плотностью \(1\) г/см\(^3\). Если щёлкнуть по левому крану, из него начинает течь вода. Если щёлкнуть по правому крану, из него начинает течь неизвестная жидкость. Толщиной стенок кранов можно пренебречь, диаметр струи жидкости считать равным диаметру трубки крана. Определите с точностью до десятых:
Скорость \(u_1\) вытекания объёма жидкости (мл/с) из левого крана.
Скорость \(u_2\) вытекания объёма жидкости (мл/с) из правого крана.
Скорость \(w_2\) вытекания массы жидкости (г/с) из правого крана.
Скорость \(v_1\) вытекания жидкости (см/с) из левого крана.
Скорость \(v_2\) вытекания жидкости (см/с) из правого крана.
Занесите результаты в отчёт и отошлите его на сервер. Кран включается и выключается по щелчку мыши. Ускорение свободного падения \(g=9{,}8\) м/с\(^2\). Масса подписанных гирь указана в граммах.
▶ПодсказкаСкрыть
Скорость вытекания при известном уровне жидкости находится из уравнения Бернулли. Объёмный расход равен скорости, умноженной на площадь сечения трубки, а массовый расход равен объёмному, умноженному на плотность.
▶ОтветСкрыть
1) \(u_1 = 47{,}04 \pm 1{,}2\) мл/с; 2) \(u_2 = 10{,}8 \pm 0{,}2\) мл/с; 3) \(w_2 = 14{,}05 \pm 0{,}25\) г/с; 4) \(v_1 = 93{,}6 \pm 2\) см/с; 5) \(v_2 = 55 \pm 1\) см/с.
зад 3 Градусник без шкалы
Имеется набор оборудования и два стакана с жидкостями. В стакане №1 находится вода (голубого цвета), её удельная теплоёмкость равна \(4200\) Дж/(кг·K), а плотность \(1\) г/см\(^3\). В стакане №2 находится неизвестная жидкость (жёлтого цвета). На столе лежат кубики льда, его плотность \(0{,}9\) г/см\(^3\). На градусник не нанесена шкала. Определите:
Объём \(V_2\) неизвестной жидкости — с точностью до десятых.
Массу \(m_2\) неизвестной жидкости — с точностью до десятых.
Начальную температуру \(t_0\) неизвестной жидкости — с точностью до десятых.
Температуру \(t\) кипения неизвестной жидкости — с точностью до десятых.
Удельную теплоёмкость \(C_2\) неизвестной жидкости — с точностью до целых.
Сопротивление кипятильника \(R\) — с точностью до тысячных.
Занесите результаты в отчёт и отошлите его на сервер. Теплоёмкостью стаканов и нагревателя и потерями тепла, а также теплообменом жидкостей и льда с воздухом и столом можно пренебречь. Напряжение, подаваемое на кипятильник, можно менять. Если вы хотите вернуться к первоначальному состоянию системы, можно выйти из модели и заново в неё войти. При этом параметры системы не меняются, все отосланные на сервер результаты сохраняются, а лишние штрафные баллы не начисляются.
▶ПодсказкаСкрыть
Градусник без шкалы можно проградуировать по известным точкам: таянию льда и кипению воды. Уравнения теплового баланса для нагрева и плавления дают неизвестные массы и теплоёмкость.
▶ОтветСкрыть
1) \(V_2 = 245 \pm 0{,}35\) мл; 2) \(m_2 = 279{,}3 \pm 0{,}6\) г; 3) \(t_0 = 12{,}5 \pm 0{,}1\) °C; 4) \(t = 91 \pm 0{,}2\) °C; 5) \(C_2 = 2790 \pm 100\) Дж/(кг·K); 6) \(R = 1{,}43 \pm 0{,}05\) Ом.
зад 4 Движение бусинки по проволоке
Имеется две линейки, таймер и пружина, по виткам которой без трения скользит бусинка, выстреливаемая из левой или правой стенки при нажатии на кнопку таймера. Ось \(0X\) направлена горизонтально слева направо перпендикулярно стенкам. Как в левую, так и в правую стенку бусинка погружается наполовину. Определите:
Проекцию \(V_{1x}\) скорости бусинки на ось \(0X\) при движении бусинки слева направо — с точностью до сотых.
Проекцию \(V_{2x}\) скорости бусинки на ось \(0X\) при движении бусинки справа налево — с точностью до сотых.
Радиус \(R\) пружины — с точностью до сотых.
Величину \(V_1\) (модуль) скорости бусинки при движении по проволоке слева направо — с точностью до десятых.
Величину \(a_1\) (модуль) ускорения бусинки при движении по проволоке слева направо — с точностью до десятых.
Длину \(L\) проволоки, по которой движется бусинка — с точностью до целых.
Занесите результаты в отчёт и отошлите его на сервер.
▶ПодсказкаСкрыть
Бусинка движется по витку с постоянной по модулю скоростью, а её проекция на ось зависит от радиуса витка и шага пружины. Ускорение при движении по окружности связано с модулем скорости и радиусом.
▶ОтветСкрыть
1) \(V_{1x} = 1{,}96 \pm 0{,}01\) см/с; 2) \(V_{2x} = -4{,}24 \pm 0{,}01\) см/с; 3) \(R = 11{,}1 \pm 0{,}1\) см; 4) \(V_1 = 19{,}62 \pm 0{,}2\) см/с; 5) \(a_1 = 34{,}4 \pm 1\) см/с\(^2\); 6) \(L = 434{,}4 \pm 4\) см.
зад 5 Схема из двенадцати резисторов
Имеется схема из двенадцати резисторов номиналами \(R_1\), \(R_2\), \(R_3\), впаянных в наборную панель, соединительные провода, источник напряжения и мультиметр. Напряжение, выдаваемое источником, можно менять. Определите с точностью до сотых:
Значение максимального тока \(I_{max}\), который можно получить с помощью данной схемы при использовании соединительных проводов и при отсутствии короткого замыкания.
\(R_1\), \(R_2\), \(R_3\).
Занесите результаты в отчёт и отошлите его на сервер. Измерение сопротивлений в мультиметре отключено. Если вы хотите вернуться к первоначальному состоянию системы, можно выйти из модели и заново в неё войти. При этом параметры системы не меняются, все отосланные на сервер результаты сохраняются, а лишние штрафные баллы не начисляются.
▶ПодсказкаСкрыть
Ток максимален, когда все резисторы соединены параллельно. Сопротивления отдельных резисторов можно найти, соединяя проводами часть выводов панели и измеряя ток и напряжение.
▶ОтветСкрыть
1) \(I_{max} = 2{,}928 \pm 0{,}02\) А; 2) \(R_1 = 117{,}04 \pm 0{,}8\) Ом; \(R_2 = 45{,}32 \pm 0{,}4\) Ом; \(R_3 = 23{,}5 \pm 0{,}2\) Ом.
Источник: Интернет-олимпиада школьников по физике, 2022/23, заключительный этап, 10 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.