Интернет-олимпиада, 2022/23, заключительный этап, 7 класс

Подсказка

Сила, приходящаяся на шарнир, делится поровну между двумя одинаковыми плечами рычага, и на каждом уровне она уменьшается вдвое. Деформация всех пружин одинакова, поэтому жёсткость системы выражается через жёсткость верхней пружины.

Ответ

1) \(19{,}625 \pm 0{,}02\) Н;  2) \(178{,}5 \pm 0{,}18\) Н/м;  3) \(4186{,}84 \pm 4{,}19\) Па;  4) \(89{,}25 \pm 0{,}09\) Н/м;  5) \(8373{,}68 \pm 8{,}37\) Па.

Решение

1. Рычаги горизонтальны и их плечи одинаковы, поэтому сила, приложенная к шарниру, делится между двумя плечами поровну. На каждом из трёх уровней рычагов сила, действующая на плечо, уменьшается вдвое, и для нижней (голубой) пружины получаем \[F = \frac{F_0}{8} \approx 19{,}625~\text{Н}.\]

2. Деформация \(x\) у всех пружин одинакова. Для верхней (красной) пружины \(F_0 = kx\). Суммарная жёсткость конструкции при общей деформации \(2x\) по отношению к приложенной силе даёт \[K_0 = \frac{F_0}{2x} = \frac{k}{2} \approx 178{,}5~\text{Н/м}.\]

3. На зелёный кубик сверху действует сила \(F_0/8\), а масса кубика \(m = \rho a^3 = 1{,}458\) кг. Давление на стол \[P_1 = \frac{F_0/8 + mg}{a^2} = \frac{19{,}625 + 14{,}29}{0{,}0081\ \text{м}^2} \approx 4186{,}8~\text{Па}.\]

4. На жёлтую пружину действует сила \(F_0/4\), а её деформация \(x\) такая же, как у верхней пружины. Поэтому \[K_2 = \frac{F_0/4}{x} = \frac{k}{4} \approx 89{,}25~\text{Н/м}.\]

5. Жёлтый кубик несёт силу \(F_0/4\) и вес кубиков, опирающихся на него; по официальному решению это \(2mg\). Давление \[P_2 = \frac{F_0/4 + 2mg}{a^2} \approx 8373{,}7~\text{Па}.\]

Подсказка

Скорость вытекания при известном уровне жидкости находится из уравнения Бернулли. Объёмный расход равен скорости, умноженной на площадь сечения трубки, а массовый расход равен объёмному, умноженному на плотность.

Ответ

1) \(u_1 = 47{,}04 \pm 1{,}2\) мл/с;  2) \(u_2 = 10{,}8 \pm 0{,}2\) мл/с;  3) \(w_2 = 14{,}05 \pm 0{,}25\) г/с;  4) \(v_1 = 93{,}6 \pm 2\) см/с;  5) \(v_2 = 55 \pm 1\) см/с.

Подсказка

Каплю из пипетки удобно считать по массе: сравните, сколько капель уравновешивает мерный стакан с гирями. Объём кубика равен объёму воды, вылившейся при его погружении в отливной стакан.

Ответ

1) \(43{,}5 \pm 0{,}01\) г;  2) \(4265 \pm 2\) см\(^3\);  3) \(195 \pm 1\) см\(^3\);  4) \(7 \pm 0{,}05\) г/см\(^3\);  5) \(1{,}3005 \pm 0{,}015\) г/см\(^3\).

Решение

1. Массу мерного стакана находим уравновешиванием на весах: стакан с \(15\) каплями воды уравновешивается набором гирь, и то же с \(14\) каплями даёт второе уравнение. Их разность дает массу одной капли \(m\), затем из первого уравнения находится масса стакана \(M_{ст}\). Объём капли определяется отмериванием ровного числа капель в мерном стакане, \(m = \rho V_0\).

2. Объём воды в отливном стакане: вода из верхнего крана наливается в мерный стакан, к ней прибавляется остаток, видимый по шкале отливного стакана.

3. Объём кубика равен объёму воды, вылившейся из отливного стакана при погружении кубика.

4. Массу кубика находим на весах: кубик уравновешивается большой гирей, каплями и маленькими гирями; из условия равновесия получаем \(M_к\), затем \(\rho_к = M_к/V_к\).

5. Плотность жидкости из крана: сначала убираем воду из отливного стакана, затем наливаем жидкость из крана и отмериваем её объём \(V_ж\) в мерный стакан на весах. Масса жидкости \(M_ж\) равна массе стакана с жидкостью минус \(M_{ст}\), а плотность \(\rho_ж = M_ж/V_ж\).

Подсказка

Шкала градусника неизвестна, но её можно восстановить по двум известным точкам. Уравнение теплового баланса при нагреве жидкости кипятильником связывает массу, теплоёмкость и изменение показаний.

Ответ

1) \(215{,}005 \pm 0{,}35\) мл;  2) \(292{,}38 \pm 0{,}6\) г;  3) \(11{,}5 \pm 0{,}1\) °C;  4) \(70 \pm 0{,}2\) °C.

Подсказка

Бусинка движется по витку без трения, поэтому её скорость определяется сохранением энергии. Проекция скорости на ось зависит от наклона витка.

Ответ

1) \(2{,}08 \pm 0{,}01\) см/с;  2) \(-4{,}32 \pm 0{,}01\) см/с;  3) \(3{,}365 \pm 0{,}01\) с.