зад 1 Давление в сосуде с водой и идеальным газом
Внутри закрытого теплоизолированного сосуда объёмом \(V=0{,}87\) м\(^3\) находится некоторое количество воды при температуре \(T_0=273\) К. В сосуд добавляют идеальный одноатомный газ при температуре \(T_1=243\) К. На рисунке схематически показан график зависимости давления, устанавливающегося в сосуде после достижения равновесия, от количества вещества добавленного газа. Будем считать, что добавили именно это количество газа, \(\nu_0=37{,}3\) моль, а испарением воды можно пренебречь. Определите:
Массу воды в сосуде (\(m\)).
На какую величину (\(\Delta V = V_{\text{конечный}} - V_{\text{начальный}}\)) изменяется объём газа при установлении равновесия.
Во сколько раз (\(K = P_{\text{конечное}}/P_{\text{начальное}}\)) изменилось давление газа в сосуде во время установления равновесия.
Удельная теплота плавления льда \(\lambda=333\) кДж/кг, универсальная газовая постоянная \(R=8{,}31\) Дж/(моль\(\cdot\)К), плотность воды \(\rho_{\text{в}}=1\) г/см\(^3\), плотность льда \(\rho_{\text{л}}=0{,}9\) г/см\(^3\). Ответы вводите с точностью до одного процента. Газ не растворяется в воде.
▶ПодсказкаСкрыть
Температура поступающего газа ниже температуры замерзания воды. Сравните, сколько теплоты нужно газу, чтобы нагреться до \(0\) °C, и сколько выделяется при замерзании части воды.
зад 2 Кювета на оптической скамье
Имеется оптическая скамья, на первый штатив которой можно поставить стеклянный образец, на второй — кювету с жидкостью либо точно такую же кювету без жидкости, а на третьем установлено зеркало. Также имеются линейка, которую можно вращать за края, и прибор, являющийся излучателем световых импульсов и приёмником отражённых импульсов. Показания прибора — это разница между временем приёма и испускания импульсов. Скамья находится в неизвестной жидкой среде. Определите с максимальной возможной точностью:
скорость \(V_1\) света в окружающей среде (жидкости №1) — в км/с;
показатель преломления \(n\) стеклянного образца;
показатель преломления \(n_2\) жидкости №2, налитой в кювету.
Скорость света в вакууме \(c=299\,792\,458\) м/с.
▶ПодсказкаСкрыть
Прибор измеряет время туда и обратно: по времени на известном пути найдите скорость. Сравнение времени с кюветой с жидкостью и без неё даёт показатель преломления жидкости.
зад 3 Эксперименты с горкой
Имеется горка с прямым углом в вершине. По ней при отключенном стопоре могут двигаться без трения два одинаковых ящика, массой которых можно пренебречь. В эти ящики можно складывать тела (в виде пластин). Масса пластин известной массы указана в граммах. Найдите:
максимальное расстояние \(L\), которое при движении может пройти ящик — с точностью до \(0{,}1\) мм;
максимальную скорость \(V_{\max}\), которую при движении может развить правый ящик, если в него положить тело №1, а левый ящик пустой — с точностью до \(0{,}005\) м/с;
отношение \(F_1/F_2\) сил натяжения нити — с точностью до сотых. В ящик на левой части горки положили тело №1, в ящик на правой — грузы, перевесившие его, дождались окончания движения и измерили силу \(F_1\) натяжения нити. Затем в ящик на правой части горки положили тело №1, в ящик на левой — грузы, перевесившие его, дождались окончания движения и измерили силу \(F_2\) натяжения нити. Найдите отношение \(F_1/F_2\);
массу \(m_1\) тела №1 — с точностью до 1 г;
массу \(m_2\) тела №2 — с точностью до 1 г;
максимальное количество тепла \(Q_3\), которое может выделиться телом №3 в результате окончания его движения в одном из ящиков — с точностью до 10 мДж.
Ускорение свободного падения считайте равным \(g=9{,}8\) м/с\(^2\). Эхолот подключен к прибору, который может показывать график движения правого ящика. Наведение увеличительного стекла на область графика либо щелчок мышью по символу в правом верхнем углу прибора показывает график в увеличенном масштабе. Выделение мышью области графика позволяет увеличивать изображение выбранной области. Восстановить первоначальный масштаб графика можно движением справа налево снизу вверх либо пунктом «Восстановить масштаб» в контекстном меню.
▶ПодсказкаСкрыть
Максимальная скорость достигается там, где ящик проходит наибольший путь без остановки; сопоставьте начальную потенциальную энергию груза с кинетической энергией в нижней точке.
зад 4 Электрическая звезда
Имеется резистор \(1\) Ом, панель с гнёздами, расположенными на равномерной сетке, источник регулируемого напряжения и провода. Из проводов красного цвета спаяли звезду, впаяв точки соединения в гнёзда панели. Индикатор источника напряжения показывает напряжение на его выходных клеммах. Провода одного цвета имеют одинаковое сопротивление на единицу длины. Определите с максимальной возможной точностью:
Внутреннее сопротивление \(r\) источника напряжения.
Сопротивление \(R\) звезды.
Максимальный ток \(I_{\max}\) через один провод звезды, который можно получить в данной системе.
Максимальный КПД \(K\) (в процентах), который можно получить в имеющейся системе, если только внутреннее сопротивление источника снижает полезную нагрузку.
Минимальный ненулевой ток \(I_{\min}\) через один провод звезды при подсоединении звезды (без использования резистора) к источнику напряжения с максимальным выставленным напряжением.
Сопротивление \(R_1\) красного провода длиной в одну ячейку сетки панели.
▶ПодсказкаСкрыть
Внутреннее сопротивление найдите по падению напряжения при подключении известного резистора. Звезду удобно сводить к параллельным и последовательным участкам, учитывая симметрию: ток делится поровну между двумя половинами.
▶ОтветСкрыть
1) \(r = 0{,}05501\) Ом; 2) \(R = 5{,}1346\) Ом; 3) \(I_{\max} = 0{,}4817\) А; 4) \(K = 99{,}11\) %; 5) \(I_{\min} = 0{,}1196\) А; 6) \(R_1 = 1{,}590\) Ом.
▶РешениеСкрыть
1. Напряжение источника при максимальной установке \(E=5{,}0000\) В. Подключаем резистор \(R_0=1\) Ом: напряжение \(V_1=4{,}7393\) В. Ток \(I_1=E/(r+R_0)\), поэтому \(V_1 = E/(r/R_0+1)\), откуда \[r = R_0\left(\frac{E}{V_1}-1\right) = 1\cdot\left(\frac{5}{4{,}7393}-1\right)\text{~Ом} = 0{,}05501~\text{Ом}.\]
2. Подключаем звезду к источнику. Чёрные соединительные провода не влияют на результат: при добавлении четырёх чёрных проводов напряжение \(V_2=4{,}9470\) В не менялось. Ток \(I_2=E/(r+R)\), \(V_2=E/(r/R+1)\), откуда \[R = \frac{r}{E/V_2-1} = \frac{0{,}05501}{5/4{,}9470-1}\text{~Ом} = 5{,}1346~\text{Ом}.\]
3. Ток \(I_2\) делится в вершине звезды на две равные половины: \[I_{\max} = \frac{I_2}{2} = \frac{E}{2(r+R)} = 0{,}4817~\text{А}.\]
4. КПД \(=V_3/E\), где \(V_3\) — напряжение на выходе источника при нагрузке. Из сравнения вариантов: звезда последовательно с резистором \(1\) Ом даёт \(V_4=4{,}9555\) В, параллельно — \(V_5=4{,}6917\) В; максимум у первого: \[K = \frac{V_4}{E}\cdot 100\% = \frac{4{,}9555}{5}\cdot 100\% = 99{,}11\%.\]
5. Звезда симметрична, ток через горизонтальный провод в середине не идёт; рассматриваем правую половину, ток \(I_{\max}\). Длины внутренних проводников: \(L_0=\sqrt{5}L\), \(L_3=\sqrt{10}L\) и т. д.; \(L\) — расстояние между соседними гнёздами. Сопротивления проводников: \(r_3=3{,}1622R_1\), \(r_0=2{,}2361R_1\), \(r_{12}=5{,}8284R_1\), \(r_{34}=6{,}7678R_1\). Минимальный ненулевой ток идёт через наибольшее сопротивление, здесь через участок \(L_3+L_4\). Параллельно \(r_0\) и \(r_{34}\) дают \(r_{034}=1{,}68077R_1\), и \[I_{\min} = I_{\max}\frac{r_0}{r_0+r_{34}} = \frac{I_{\max}}{1+r_{34}/r_0} = 0{,}1196~\text{А}.\]
6. Для параллельной ветки \(r_{012}=1{,}61608R_1\). Сопротивление половины звезды вдвое больше сопротивления \(R\) всей звезды: \[2R = r_3 + r_{012} + r_{034} = 6{,}459\,R_1,\] откуда \[R_1 = \frac{2R}{6{,}459} = \frac{2\cdot 5{,}1346}{6{,}459}\text{~Ом} = 1{,}590~\text{Ом}.\]
зад 5 Эксперименты с гидравлическим прессом с двумя жидкостями
Имеется гидравлический пресс с массивными поршнями и индикаторами давления, отсчитываемого от некоторого постоянного значения. Датчики давления находятся на одинаковой высоте. Поршни могут двигаться только до уровня датчиков или до верха цилиндров пресса из-за наличия ограничительных колец. В левом цилиндре пресса первоначально находится вода плотностью \(1\) г/см\(^3\), в правом цилиндре — неизвестная жёлтая жидкость. Масса гирь известной массы указана в граммах. Найдите:
площадь \(s_1\) поперечного сечения левого поршня — с точностью до \(0{,}1\) см\(^2\);
площадь \(s_2\) поперечного сечения правого поршня — с точностью до 1 см\(^2\);
плотность \(\rho_2\) жёлтой жидкости, находящейся первоначально в правом цилиндре гидравлического пресса — с точностью до тысячных;
максимальную высоту \(H_2\), на которую можно в данной системе с помощью имеющихся грузов поднять поршень в правом цилиндре по сравнению с первоначальным положением (после входа в задание) без попадания жёлтой жидкости в левый цилиндр — с точностью до тысячных;
максимальную массу \(M_3\) жёлтой жидкости в левом цилиндре, которую можно получить в данной системе с помощью имеющихся гирь — с точностью до 1 г;
максимальную высоту \(H_3\), на которую можно в данной системе с помощью имеющихся гирь поднять поршень в правом цилиндре по сравнению с первоначальным положением (после входа в задание), если в ходе эксперимента на промежуточном этапе добиться перетекания в левый цилиндр максимально возможного количества жёлтой жидкости — с точностью до тысячных.
Жидкости считайте несжимаемыми, ускорение свободного падения равным \(g=9{,}8\) м/с\(^2\), число \(\pi=3{,}1416\). Кран, закрывающий трубку между цилиндрами гидравлического пресса, открывается и закрывается щелчком по нему. Восстановить начальное состояние системы можно выходом из задания и повторным заходом в него. За это не начисляются штрафные баллы.
▶ПодсказкаСкрыть
Датчики стоят на одной высоте, поэтому давления на них сравнивают напрямую: высоты столбов разных жидкостей над общим уровнем обратно пропорциональны их плотностям.
Источник: Интернет-олимпиада школьников по физике, 2024/25, заключительный этап, 11 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.