зад 1 Маяк на мысе
Катер и теплоход движутся по прямым маршрутам с постоянными скоростями в открытом море. В \(t_1 = 6\) ч катер находился на расстоянии \(S = 149\) морских миль к северу от маяка и двигаясь на юго-восток, в \(t_3 = 12\) ч он оказался на расстоянии \(S\) к востоку от маяка. В пути в \(t_2 = 10\) ч он встретил в море теплоход, двигавшийся на юго-запад со скоростью в \(1{,}3\) раза большей. Определите:
Скорость катера \(V_K\).
На каком минимальном расстоянии \(L_K\) от маяка прошёл катер.
На каком минимальном расстоянии \(L_T\) от маяка прошёл теплоход.
Спустя какое время \(t\) после встречи с катером это произойдёт.
▶ПодсказкаСкрыть
Какая линия на схеме перпендикулярна траектории катера и проходит через маяк? За какое время катер проходит участок от \(t_1\) до \(t_3\) и каков его путь на этом участке?
▶ОтветСкрыть
1) \(V_K = 65{,}0\) км/ч; 2) \(L_K = 195\) км; 3) \(L_T = 65{,}0\) км; 4) \(t = 138\) мин.
▶РешениеСкрыть
1. Изобразим схему движения судов. Маяк обозначен буквой \(M\). Траектория катера показана синей линией, траектория теплохода — сиреневой. За время \(t_3 - t_1\) катер прошёл расстояние \(1{,}4142\,S\), поэтому скорость катера \[V_K = \frac{1{,}4142\,S}{t_3 - t_1} = 65{,}0~\text{км/ч}.\]
2. Проведём перпендикуляр к траектории катера от маяка (\(AM\)). Длина этого отрезка и есть минимальное расстояние между катером и маяком \(L_K\). Этот отрезок является катетом в равнобедренном прямоугольном треугольнике с основанием \(S\): \[L_K = \frac{S}{1{,}4142} = 195~\text{км}.\]
3. Теплоход двигался на юго-запад, поэтому его траектория перпендикулярна траектории катера. Встреча судов произошла в точке \(T\). По построению видно, что минимальное расстояние между теплоходом и маяком \(L_T = |MX| = |AT|\). Участок пути \(AT\) катер прошёл за время \[\Delta t = t_2 - \frac{t_3 - t_1}{2} = 1~\text{ч}, \qquad L_T = V_K\,\Delta t = 65{,}0~\text{км}.\]
4. Длины отрезков \(TX\) и \(AM\) равны. Теплоход пройдёт это расстояние за время \[t = \frac{L_K}{1{,}3\,V_K} = 138~\text{мин}.\]
зад 2 Поршневой насос
С помощью поршневого насоса из открытого резервуара поднимают жидкость плотностью \(\rho = 2559\) кг/м\(^3\). Площадь сечения нижней части трубы \(S_1 = 40\) см\(^2\), её высота \(h_1 = 1\) м, площадь сечения верхней части трубы \(S_2 = 91\) см\(^2\), высота столба жидкости в ней \(h_2 = 0{,}8\) м. Масса поршня \(m = 5{,}2\) кг, сила трения покоя, действующая на поршень, не может превышать значения \(F_{\text{тр}} = 49\) Н. Атмосферное давление \(P_0 = 115\) кПа. К поршню приложена сила \(F\), поэтому он неподвижен. Определите:
Давление \(P_2\) в жидкости непосредственно под поршнем.
Силу давления жидкости на кольцевую площадку в месте соединения труб (\(F_S\)).
Минимальную силу \(F_{\min 1}\), с которой можно удержать поршень на месте.
Минимальную силу \(F_{\min 2}\), с которой можно начать поднимать поршень.
▶ПодсказкаСкрыть
Давление в жидкости растёт с глубиной на \(\rho g h\). Когда поршень удерживают или поднимают, сила трения покоя направлена по-разному: от этого зависит знак слагаемого с \(F_{\text{тр}}\).
▶ОтветСкрыть
1) \(P_2 = 69{,}9\) кПа; 2) \(F_S = 458{,}6\) Н; 3) \(F_{\min 1} = 412{,}7\) Н; 4) \(F_{\min 2} = 510{,}7\) Н.
▶РешениеСкрыть
1. Давление непосредственно под поршнем: \[P_2 = P_0 - \rho g\,(h_1 + h_2) = 69{,}9~\text{кПа}.\]
2. На уровне кольцевой площадки давление в жидкости на \(\rho g h_1\) больше, поэтому сила, действующая со стороны воды на кольцевую площадку в месте соединения труб, \[F_S = (P_0 - \rho g h_1)(S_2 - S_1) = 458{,}6~\text{Н}.\]
3. Минимальная сила, которую необходимо прикладывать к поршню, чтобы удерживать его на месте, \[F_{\min 1} = (P_0 - P_2)\,S_2 + mg - F_{\text{тр}} = 412{,}7~\text{Н}.\] Сила трения покоя в данном случае направлена вверх.
4. Минимальная сила, с которой можно поднимать поршень, \[F_{\min 2} = (P_0 - P_2)\,S_2 + mg + F_{\text{тр}} = 510{,}7~\text{Н}.\] Сила трения скольжения в этом случае направлена вниз.
Источник: Интернет-олимпиада школьников по физике, 2025/26, отборочный этап, 7 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.