зад 1 Поплавок на пружине
Поплавок в форме цилиндра высотой \(h=15\) см, площадью основания \(S_1=49\) см\(^2\), плотностью \(\rho=0{,}28\) г/см\(^3\) прикреплён к пружине, имеющей жёсткость \(k=25\) Н/м и длину в недеформированном состоянии \(L_0\). Свободный конец пружины закреплён на дне цилиндрического сосуда, заполненного жидкостью плотностью \(\rho_1=1{,}03\) г/см\(^3\). До погружения поплавка уровень жидкости в сосуде был равен \(L_0+h\). Площадь сечения сосуда \(S_2=121\) см\(^2\). Определите:
Глубину погружения поплавка \(h_1\), если сосуд находится в лифте, движущемся вертикально вверх с ускорением \(a=6{,}2\) м/с\(^2\).
Давление \(P\) в жидкости на уровне нижней грани поплавка в этом случае.
Плотность жидкости \(\rho_2\), необходимую для того, чтобы поплавок в движущемся сосуде полностью погрузился в жидкость.
В ответ давление вводите с точностью не хуже, чем до одной сотой процента, остальные ответы — с точностью не хуже, чем до одного процента. Ускорение свободного падения примите равным \(9{,}8\) м/с\(^2\). Атмосферное давление \(P_a=104\) кПа.
▶ПодсказкаСкрыть
В лифте сила тяжести в жидкости определяется величиной \(g+a\). Запишите второй закон Ньютона для поплавка: выталкивающая сила, сила тяжести и сила упругости пружины.
▶ОтветСкрыть
1) \(h_1 \approx 7{,}36\) см; 2) \(P \approx 105213\) Па; 3) \(\rho_2 \approx 0{,}409\) г/см\(^3\).
▶РешениеСкрыть
1. Рассмотрим движущийся сосуд с жидкостью. Мысленно выделим в жидкости малый объём \(V\). Разность силы тяжести и силы, действующей на рассматриваемый объём со стороны окружающей жидкости (\(F_A\)), сообщает ему ускорение, поэтому \[F_A = \rho_1(g+a)V.\] 2. Выталкивающую силу, действующую со стороны жидкости на поплавок, можно вычислить по формуле \[\rho_1(g+a)S_1(h-x_2).\]
Здесь \(x_1\) — высота выступающей из жидкости части поплавка. Ускорение поплавка определяется разностью этой силы и суммы силы тяжести и силы упругости пружины: \[\rho_1(g+a)S_1(h-x_1) - \rho S_1 h g - k\Bigl(x_1 + \dfrac{S_1(h-x_1)}{S_2}\Bigr) = \rho S_1 h a. \quad (1)\] Отсюда \[x_1 = \dfrac{(\rho_1-\rho)(g+a)S_1h - kh\dfrac{S_1}{S_2}} {k\Bigl(1-\dfrac{S_1}{S_2}\Bigr) + \rho_1(g+a)S_1} = 7{,}64~\text{см}. \quad (2)\] Глубина погружения поплавка \[h_1 = h - x_1 = 7{,}36~\text{см}. \quad (3)\]
3. Давление в жидкости на уровне нижней границы поплавка \[P = \rho_1(g+a)h_1 + P_a = 105213~\text{Па}. \quad (4)\]
4. Согласно (2), плотность жидкости, необходимая для того, чтобы поплавок полностью погрузился в жидкость, равна \[\rho_2 = \dfrac{k}{S_2(g+a)} + \rho = 0{,}409~\text{г/см}^3. \quad (5)\]
Источник: Интернет-олимпиада школьников по физике, 2025/26, заключительный этап, 9 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.