ИОШ, 2012/13, отборочный этап, 9-11 класс

Подсказка

При больших скоростях от какой величины зависит сила сопротивления воздуха? Чему равна мощность, если силу умножить на скорость?

Ответ

Сила сопротивления \(F_{\text{сопр}} \propto v^2\), мощность \(N = Fv \propto v^3\), откуда \(v_{\max} \propto \sqrt[3]{N}\).

Решение

Для больших скоростей машины сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости с коэффициентом, который определяется геометрией машины. Поскольку речь идёт о машинах одного класса, имеющих близкие размеры, можно ожидать, что для всех машин коэффициенты пропорциональности близки. Поэтому \[F_{\text{сопр}} = \alpha v^2,\] а мощность есть \[N = Fv = \alpha v^3 \propto v^3 .\] Отсюда \(v \propto \sqrt[3]{N}\).

Подсказка

Какой из металлов при нагреве стремится удлиниться сильнее и что мешает ему это сделать, ведь пластинки скреплены по всей длине? Какую форму примет пластина, чтобы обе её стороны получили разные длины?

Ответ

\(\Delta x \approx 2\ \text{мм}\); удлинение пластины \(\approx 2 \cdot 10^{-1}\ \text{мм}\), т.е. на порядок меньше прогиба.

Решение

Из-за разных коэффициентов теплового расширения пластинки двух металлов по-разному удлиняются при нагревании (или сжимаются при охлаждении). А поскольку они спаяны по всей площади контакта, пластине выгоднее согнуться, чем растягивать один и сжимать другой металл. Причём при нагревании внутри изгиба будет пластинка из того металла, который меньше расширяется при нагревании.

Пусть биметаллическая пластина нагрелась на \(\Delta T\). Тогда пластинки, из которых она состоит, удлинятся на \[\Delta l_1 = \alpha_1 \Delta T\, l \quad\text{и}\quad \Delta l_2 = \alpha_2 \Delta T\, l ,\] где \(l\) — первоначальная длина пластинок. Следовательно, для угла \(\varphi\), на который опирается пластина после изгиба, с учётом малой толщины можно записать \[\varphi = \frac{l + \Delta l_1}{R} = \frac{l + \Delta l_2}{R + \Delta h}.\] Отсюда, пренебрегая произведением двух малых величин, находим \[R = \frac{l\,\Delta h}{\Delta l_2 - \Delta l_1} = \frac{\Delta h}{(\alpha_2 - \alpha_1)\,\Delta T}.\]

Величину прогиба пластины \(\Delta x\) можно найти как \[\Delta x = R - R\cos\frac{\varphi}{2}.\] Если угол \(\varphi\) много меньше одного радиана (для реальных пластин это выполнено), то \(\cos\frac{\varphi}{2} \approx 1 - \frac{\varphi^2}{8}\), и формулу можно привести к виду \[\Delta x = \frac{l^2}{8R} = \frac{l^2 (\alpha_2 - \alpha_1)\,\Delta T}{8\,\Delta h}.\] Подставляя в эту формулу данные условия, найдём \(\Delta x \approx 2\) мм.

Величина удлинения пластины составит \[\alpha\, l\, \Delta T \approx 2 \cdot 10^{-1}\ \text{мм},\] т.е. на порядок меньше прогиба.

Подсказка

Если убрать стержень \(BC\), как поведут себя точки \(B\) и \(C\)? Рассмотрите равновесие узлов \(A\) и \(B\) по очереди: в каждом из них сходятся стержни под углами \(120^\circ\).

Ответ

Стержень \(BC\) сжат; \(T_{BC} = mg\).

Решение

Если удалить стержень \(BC\), то точки \(B\) и \(C\) начнут сближаться, поскольку треугольник \(CDE\) останется на месте, а ромб \(CABD\) будет «складываться». Поэтому стержень \(BC\) сжат. Аналогично заключаем, что стержень \(AB\) растянут, \(AC\) — сжат.

Найдём силу натяжения стержня \(BC\). Заметим, что воздействие шарнира на стержень или стержня на шарнир может осуществляться только вдоль стержня (по определению шарнира: шарнир не может оказать никакого сопротивления вращению стержня).

Сначала рассмотрим шарнир \(A\). На него действуют сила натяжения нити, равная силе тяжести груза, и силы натяжения стержней \(AB\) и \(AC\). Поскольку углы между этими силами равны \(120^\circ\), сумма их равна нулю только в том случае, когда равны их величины. Поэтому \[T_{AB} = mg, \qquad T_{AC} = mg .\] Рассмотрим теперь шарнир \(B\). На него действуют три силы, направленные под углами \(120^\circ\) друг к другу, одна из которых равна \(T_{AB} = mg\). Поэтому две остальные силы \(T_{BC}\) и \(T_{BD}\) равны друг другу и силе \(T_{AB}\). Итак, \[T_{BC} = mg .\]

Подсказка

Бареттер не пропускает ток больше \(I_0\), а стабилитрон не проводит ток, пока напряжение на нём меньше \(U_0\). Разбейте ЭДС на промежутки по порогам \(I_0R\) и \(I_0R + U_0\).

Решение

Рассмотрим сначала случай малых значений ЭДС источника.

1) При \(\varepsilon \le I_0 R\) ток в цепи не может быть больше \(I_0\), и, следовательно, напряжение на бареттере (и стабилитроне) равно нулю. Поэтому ток через стабилитрон равен нулю, ток через бареттер равен току через резистор: \[U_{CB} = 0, \quad I_C = 0, \quad I_{BR} = \frac{\varepsilon}{R}.\]

2) Ток через бареттер не может превосходить \(I_0\), а при напряжении на стабилитроне, меньшем \(U_0\), через него течёт нулевой ток. Поэтому при \(I_0 R \le \varepsilon \le I_0 R + U_0\) ток через бареттер равен \(I_0\), ток через стабилитрон равен нулю, напряжение на стабилитроне и бареттере равно \(\varepsilon - I_0 R\): \[I_B = I_0, \quad I_C = 0, \quad U_{CB} = \varepsilon - I_0 R .\]

3) Если \(I_0 R + U_0 \le \varepsilon\), ток через бареттер равен \(I_0\), напряжение на стабилитроне и бареттере равно \(U_0\), ток через резистор равен \(\dfrac{\varepsilon - U_0}{R}\), а ток через стабилитрон равен разности тока через резистор и тока через бареттер: \[I_B = I_0, \quad I_C = \frac{\varepsilon - U_0}{R} - I_0, \quad U_{CB} = U_0 .\]

Графики зависимости напряжения и тока через стабилитрон и бареттер, а также тока через резистор от ЭДС источника (пункты 1)–3)) приведены на рисунке.

Подсказка

Что произойдёт с лучом, если он параллелен одной из граней? Что можно сказать о проекциях луча на плоскости, параллельные граням?

Решение

Докажем, что как бы ни падал луч на отражатель, после отражения он будет распространяться точно в обратном направлении.

Рассмотрим сначала случай, когда падающий луч параллелен одной из плоскостей отражателя. Тогда этот луч будет отражаться только от двух его граней, и отражённый луч будет лежать в плоскости, перпендикулярной этим граням (в этом случае задача фактически плоская). Строя ход луча по правилам отражения (угол падения равен углу отражения), убеждаемся, что отражённый луч будет распространяться в направлении, обратном падающему (параллельность падающего и отражённого лучей следует, например, из равенства углов, отмеченных на рисунке дугами).

Для доказательства в общем случае заметим, что для проекций падающего и отражённого луча на любую плоскость также справедливо утверждение «угол падения равен углу отражения». Поэтому падающий и отражённый лучи можно спроецировать на плоскости, параллельные граням отражателя; для проекций справедливо сделанное выше построение, откуда и следует утверждение.

На Луноходе блок уголковых отражателей размещался с целью точного определения расстояния от Земли до Луны. Лазерный луч (практически не имеющий расходимости) направлялся на отражатель, и в той же точке на Земле регистрировался отражённый луч. По времени задержки можно было определить расстояние от точки, из которой направлялся луч, до Лунохода с высокой точностью и сравнить его со значениями расстояния до Луны, полученными другими методами.

Была и ещё одна цель — политическая. После американских экспедиций на Луну возник и активно муссировался в прессе слух, что на Луне американских астронавтов не было, а кадры высадки сняты на Земле. Размещение уголкового отражателя на Луноходе позволяло любому человеку на Земле (обладающему минимальным набором лабораторного оборудования) проверить факт нахождения отражателя на Луне. По данным Центра управления полётами, за время работы Лунохода на Луне было зарегистрировано более 50 попыток посылки лазерного луча на отражатель (кроме тех, что были сделаны для лазерного зондирования Луны советскими астрономами).

Подсказка

Какая часть работы пороховых газов идёт на кинетическую энергию пули? Работа газов равна среднему давлению, умноженному на объём ствола; какие величины из этого нужно выбрать самим?

Ответ

\(p \approx 3 \cdot 10^{7}\ \text{Па} \approx 300\) атм.

Решение

Работа пороховых газов идёт на разгон пули. Поэтому \[\frac{mv^2}{2} = 0{,}5\, pSl ,\] где \(m \approx 10\ \text{г}\) — масса пули, \(S \approx 1\ \text{см}^2\) — площадь сечения ствола ружья, \(l \approx 0{,}5\ \text{м}\) — длина ствола, \(p\) — среднее давление, \(0{,}5\) — доля работы, идущая на разгон пули. Отсюда \[p = \frac{mv^2}{Sl}.\] Используем: \(m = 20\ \text{г}\), \(v = 400\ \text{м/с}\), \(S = 2\ \text{см}^2\), \(l = 0{,}7\ \text{м}\). Отсюда \[p = \frac{mv^2}{Sl} \approx 3 \cdot 10^{7}\ \text{Па} \approx 300\ \text{атм}.\]