ИОШ, 2013/14, отборочный этап, 9-11 класс

Подсказка

Пусть средняя мощность нагревателя за период равна мощности теплопотерь при установившейся температуре. Выразите её через разность температур и составьте такие уравнения для двух положений регулятора.

Ответ

\(t = 180\ ^\circ\text{С}\).

Решение

Пусть мощность нагревателя утюга \(P\). Тогда, поскольку теплоотдача пропорциональна разности температур, для положения регулятора «капрон» справедливо соотношение энергетического баланса \[P \cdot 10\ \text{с} = k\,(100\ ^\circ\text{С} - 20\ ^\circ\text{С})\cdot 50\ \text{с} = k \cdot 4000\ \text{град}\cdot\text{с},\] где \(k\) — коэффициент пропорциональности между мощностью теплопотерь и разностью температур утюга и окружающей среды. Отсюда находим \[\frac{P}{k} = 400\ \text{град}.\] Для положения «хлопок» уравнение теплового баланса имеет вид \[P \cdot 20\ \text{с} = k\,(t - 20\ ^\circ\text{С})\cdot 50\ \text{с},\] где \(t\) — искомая температура утюга. Подставляя сюда соотношение \(P/k = 400\) град (из первого уравнения), получим \[t = 180\ ^\circ\text{С}.\]

Подсказка

Количество теплоты в обоих процессах одно и то же. Запишите его через изменение температуры в изобарном и изохорном процессах и воспользуйтесь уравнением Клапейрона–Менделеева.

Ответ

\(\dfrac{c_p}{c_V} = \dfrac{p_1 - p_0}{p_0}\).

Решение

Из закона Клапейрона–Менделеева имеем для процессов при постоянном давлении (объём вырос на \(V_0\)) \[Q = c_p \Delta T = c_p \frac{p_0 \Delta V}{\nu R} = c_p \frac{p_0 V_0}{\nu R},\] и при постоянном объёме \[Q = c_V \Delta T = c_V \frac{\Delta p\, V_0}{\nu R} = c_V \frac{(p_1 - p_0) V_0}{\nu R}.\] Деля первое выражение на второе, получим \[\frac{c_p}{c_V} = \frac{p_1 - p_0}{p_0}.\]

Подсказка

Рассмотрите силы, действующие на заготовку в момент касания валков: нормальную реакцию и силу трения. Сравните их проекции на горизонтальную ось.

Ответ

\(\mu \ge \sqrt{\dfrac{1}{\left(1 - \dfrac{d - d_0}{2R}\right)^2} - 1}\); заготовку втягивают силы трения со стороны валков.

Решение

В момент касания валков на заготовку действуют сила нормальной реакции и сила трения со стороны валков (силой тяжести, действующей на заготовку, пренебрегаем по сравнению с этими силами). Заготовка будет протягиваться между валками, если проекция действующей на неё силы трения на ось \(x\) будет больше проекции на эту ось силы реакции (см. рисунок): \[F_{\text{тр}} \cos\alpha \ge N \sin\alpha,\] или \[\mu \ge \operatorname{tg}\alpha,\] где \(\alpha\) — угол между направлениями на точку касания валка и заготовки и на центр второго валка. Очевидно, \[\frac{d - d_0}{2} = R(1 - \cos\alpha).\]

Выражая косинус через тангенс, \[\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{1 + \operatorname{tg}^2\alpha}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \mu^2}},\] найдём значения коэффициента трения, при которых заготовка втягивается в пространство между валками: \[\mu \ge \sqrt{\frac{1}{\left(1 - \dfrac{d - d_0}{2R}\right)^2} - 1}.\] При втягивании заготовки она начинает деформироваться валками, это приводит к росту силы реакции, но одновременно растёт и сила трения, поэтому заготовка будет продолжать втягиваться.

Подсказка

Выразите квадрат расстояния \(AN\) через положение точки \(M\) на окружности. Что остаётся неизменным при повороте механизма?

Решение

Рассмотренный в задаче шарнирный механизм был предложен учеником выдающегося русского математика П. Л. Чебышева Л. Липкиным и французом Ш. Посселье и называется механизм Липкина–Посселье (или прямило Липкина). Этот механизм позволяет преобразовать вращательное движение в движение по прямой, причём точное и без использования каких-либо направляющих (как в кривошипно-шатунном механизме). Механизм Липкина–Посселье сыграл важную роль в исследовании свойств шарнирных передач, однако в технике особых применений не нашёл, поскольку ко времени его открытия были созданы хорошие смазочные материалы, позволяющие делать такое преобразование движения с использованием направляющих.

Докажем, что точка \(N\) движется по прямой. Пусть радиус окружности, по которой движется точка \(M\), равен \(R\), \(AB = AC = L\), \(MB = MC = l\). Найдём расстояние \(AN\). Если \(MO = x\), то \[AB^2 - AO^2 = MB^2 - MO^2 \quad\Rightarrow\quad L^2 - (2R + x)^2 = l^2 - x^2 .\] Отсюда находим \[x = \frac{L^2 - l^2}{4R} - R .\] Поэтому \[AN = 2R + 2x = \frac{L^2 - l^2}{4R}.\]

Когда конструкция повернётся относительно точки \(A\) на угол \(\alpha\), но так, что точка \(M\) движется по пунктирной окружности и займёт положение \(M'\), длину отрезка \(AN'\) можно найти с помощью аналогичных формул: \[AN' = \frac{L^2 - l^2}{2\,AM'} .\] Поскольку угол \(AM'M\) прямой (опирается на диаметр), то \(AM' = 2R\cos\alpha\) и, следовательно, \[AN' = \frac{L^2 - l^2}{4R\cos\alpha}.\]

Поэтому точка \(N'\) проецируется на прямую \(AN\) в такую точку, которая лежит на расстоянии \[AN' \cos\alpha = \frac{L^2 - l^2}{4R}\] от точки \(A\), т.е. в точку \(N\), как это следует из сравнения формул для \(AN\) и \(AN'\). Таким образом, точка \(N\) шарнирного механизма движется по прямой, перпендикулярной отрезку \(AN\) и проходящей через точку \(N\). Другими словами, при вращении всей конструкции точка \(N\) движется по прямой.

Подсказка

Какая сила разгоняет автомобиль и каков её предел? От чего зависит сила реакции на ведущих колёсах у переднеприводного и заднеприводного автомобилей?

Ответ

(а) Вперёд; (б) назад; (в) в сторону поворота. Заднеприводной автомобиль мощнее: \(\dfrac{P_{\text{пп}}}{P_{\text{зп}}} = \dfrac{l - \mu h}{l + \mu h} \approx 0{,}85\) при \(l = 3\ \text{м}\), \(h = 0{,}5\ \text{м}\), \(\mu = 0{,}5\).

Решение

Когда ведущие колёса не «пробуксовывают», нижняя точка колеса не скользит по дороге, и потому сила трения может не достигать своего максимального значения \(\mu N\) и может быть направлена по-разному. Если автомобиль едет с постоянной скоростью \(v\), колёса вращаются с угловой скоростью \(\omega = v/R\) (\(R\) — радиус колеса), и есть только небольшое трение качения. Если водитель увеличивает угловую скорость вращения колёс, колесо в точке касания «хочет» проскользнуть относительно дороги назад, и возникает сила трения, направленная вперёд и разгоняющая автомобиль. Если водитель нажимает на педаль газа не очень сильно, проскальзывания не возникает, и сила трения не равна максимальному значению. Если водитель тормозит вращение колёс, они «хотят» проскользнуть в нижней точке вперёд относительно дороги, возникает сила трения, направленная назад. При повороте, благодаря повороту передних колёс, возникает сила трения, направленная в сторону поворота.

Чтобы сила трения достигла максимального значения, в точках касания колёс и дороги должно возникнуть проскальзывание. Это бывает при пробуксовке колёс или «заносе», когда автомобиль из-за резкого торможения начинает скользить по дороге. Эта ситуация крайне опасна, поскольку не даёт возможности управлять автомобилем. Для управления нужно иметь возможность менять силу трения, поэтому сила трения должна быть меньше своего максимального значения — должен оставаться «резерв» силы трения. Любой водитель интуитивно чувствует опасность ситуации с максимальной силой трения и старается её не допускать.

Мощность, которую может развивать автомобиль на дороге, зависит не только от двигателя, но и от того, как автомобиль использует силу трения: в отсутствие силы трения автомобиль стоял бы на месте (с вращающимися колёсами) независимо от мощности двигателя. Докажем, что заднеприводные автомобили мощнее переднеприводных при одинаковой мощности мотора, и оценим отношение мощностей, которые может развивать двигатель, разгоняя машину (при условии, что мощность самого двигателя может быть очень большой).

Разгоняет автомобиль сила трения, действующая на ведущие колёса, а она не может превышать значения \(\mu N\) (\(N\) — сила реакции). Поэтому чем больше сила реакции, тем бо́льших значений может достигнуть разгоняющая сила трения (а нажатие на педаль газа, когда сила трения достигла максимума, приведёт только к проскальзыванию и заносу, но не к увеличению мощности, которую развивает двигатель). Найдём силы реакции для задних и передних колёс. На машину при разгоне действуют сила тяжести, силы реакции и сила трения (слева — для переднеприводной, справа — для заднеприводной).

Поскольку машина движется поступательно, сумма моментов всех сил относительно её центра тяжести равна нулю. Если центр тяжести машины находится точно посередине, расстояние между задними и передними колёсами \(l\), а высота центра тяжести над дорогой \(h\), то условие равенства нулю суммы моментов относительно центра тяжести дает (при условии, что машина движется, развивая максимальную мощность на максимуме силы трения): \[N_1 \frac{l}{2} = N_2 \frac{l}{2} + F_{\text{тр}} h = N_2 \frac{l}{2} + \mu N_2 h \quad \text{(переднеприводная машина)},\] \[N_1 \frac{l}{2} = N_2 \frac{l}{2} + F_{\text{тр}} h = N_2 \frac{l}{2} + \mu N_1 h \quad \text{(заднеприводная машина)},\] где \(\mu\) — коэффициент трения. Учитывая, что в обоих случаях \(N_1 + N_2 = mg\), из первого уравнения находим силу реакции для передних колёс переднеприводного автомобиля, \[N_2^{(\text{пп})} = \frac{mg\,l/2}{l + \mu h},\] а из второго — силу реакции задних колёс заднеприводного автомобиля, \[N_1^{(\text{зп})} = \frac{mg\,l/2}{l - \mu h}.\] Отсюда находим отношение сил трения, разгоняющих переднеприводную и заднеприводную машину, и, следовательно, отношение мощностей, которые может развивать на дороге их двигатель: \[\frac{P_{\text{пп}}}{P_{\text{зп}}} = \frac{l - \mu h}{l + \mu h}.\] Для значений \(l = 3\) м, \(h = 0{,}5\) м и \(\mu = 0{,}5\) получаем \[\frac{P_{\text{пп}}}{P_{\text{зп}}} \approx 0{,}85 .\]

Подсказка

Сравните скорость спутника с первой космической. Что будет с радиальным движением, если уменьшить скорость на \(1\%\)? Оцените время падения с ускорением, которое возникает за счёт этого.

Ответ

\(S \approx 8000\) км, т.е. около пятой части окружности Земли.

Решение

Если бы скорость спутника равнялась первой космической, то второй закон Ньютона дал бы \[m\frac{v^2}{R} = G\frac{mM}{R^2},\] и спутник двигался бы по окружности. Когда скорость спутника становится меньше первой космической, спутник начинает совершать два движения: по радиусу к центру Земли с ускорением \[a = \frac{GM}{R^2} - \frac{v^2}{R} = \frac{GM}{R^2}\left(1 - 0{,}99^2\right) \approx 2 \cdot 10^{-1}\ \text{м/с}^2,\] которое практически постоянно из-за небольшого изменения радиуса орбиты, и по касательной к радиусу (орбитальное) с той же первой космической скоростью. Поэтому время падения спутника можно оценить (при отсутствии силы сопротивления воздуха, которая очень сильно изменила бы движение): \[t \approx \sqrt{\frac{2h}{a}} \approx \sqrt{\frac{2 \cdot 10^{5}\ \text{м}}{2 \cdot 10^{-1}\ \text{м/с}^2}} \approx 10^{3}\ \text{с}.\] Для оценки пройденного спутником расстояния нужно его орбитальную скорость (первую космическую, \(v \approx 8\) км/с) умножить на время падения: \[S \approx v t \approx 8\ \text{км/с} \cdot 10^{3}\ \text{с} \approx 8000\ \text{км}.\] Поскольку окружность Земли составляет около 40000 км, спутник пролетит приблизительно пятую часть окружности.