ИОШ, 2014/15, отборочный этап, 9-10 класс

Сначала найдем связь паскалей и pound-force per square inch (lbf/in\(^2\) или psi): \[1\ \text{psi}=\frac{1\ \text{lbf}}{1\ \text{in}^2} =\frac{0{,}45359\ (\text{кг})\cdot 9{,}8067\ (\text{м/с}^2)}{2{,}54^2\cdot 10^{-4}\ (\text{м}^2)} =6895\ \text{Па}.\] С другой стороны, \[1\text{ мм рт ст}=\rho g h=13595\ (\text{кг/м}^3)\cdot 9{,}8067\ (\text{м/с}^2)\cdot 1\cdot 10^{-3}\ (\text{м}) =133{,}32\ \text{Па}.\] Отсюда находим, что \[1\text{ мм рт ст}=133{,}32\ (\text{Па})\cdot\frac{1}{6895}\ \left(\frac{\text{psi}}{\text{Па}}\right) =1{,}9336\cdot 10^{-2}\ \text{psi}\ \ (\text{или lbf/in}^2).\]

В условии нигде не сказано, что делает нажатие кнопки — замыкает или размыкает цепь. Поэтому считаем, что нажатие первой, второй и пятой кнопки замыкает цепь, нажатие остальных — размыкает. И соединяем кнопки последовательно с лампочкой. Тогда чтобы замкнуть цепь (и зажечь лампочку) нужно нажать первую, вторую и пятую кнопки и не трогать никакие другие.

Между двумя транспортерами нужно расположить два диска с прорезями, диаметр которых больше расстояния между транспортерами, и которые надеты на одну ось, длина которой чуть больше ширины транспортеров. Тогда транспортеры не будут мешать дискам вращаться, а поскольку ширина деталей больше ширины транспортера, детали будут входить в прорези дисков. Диски и будут перемещать детали на второй транспортер, одновременно их переворачивая (см. рисунок).

Тем параметром, который определяет действие электрического тока на живые организмы, является сила тока, протекающего через организм. Если мы беремся за полюса розетки, через руки течет ток \[I=\frac{220\ \text{В}}{1000\ \text{Ом}},\] где \(1000\) Ом — сопротивление человеческого тела, которое составляет около \(1\) кОм. Этот ток по порядку величины составляет около \(0{,}2\) А и этот ток опасен для человека, как мы знаем из опыта (на самом деле, опасным считается ток больше \(0{,}1\) А). Оценим, какой ток потечет через палец, если замкнуть им контакты одной лампочки для карманного фонаря в елочной гирлянде, включенной в бытовую электрическую сеть.

Сопротивление лампочки в рабочем состоянии составляет \(r=U^2/P\approx 10\) Ом. Чтобы напряжение на каждой лампе составляло \(3\) В, в цепь нужно включить \(N=220/3\approx 70\) лампочек, которые в сумме будут иметь сопротивление \(700\) Ом. Поэтому при замыкании пальцем патрона с вывернутой лампочкой ток через палец будет составлять \[I=\frac{220\ \text{В}}{1000\ \text{Ом}+700\ \text{Ом}}\approx 0{,}13\ \text{А},\] что лишь чуть-чуть меньше, чем при замыкании пальцем контактов бытовой электрической сети, и, следовательно, воздействие тока будет достаточно сильным. А на самом деле воздействие тока будет еще сильнее, поскольку ток через лампочки будет меньше рабочего (из-за большого сопротивления человека), они слабо нагреются, и их сопротивление будет значительно меньше их сопротивления в рабочем состоянии (которое мы оценили по номинальной мощности).

Сила, поднимающая самолет в воздух (подъемная сила), возникает в крыльях при разных скоростях движения воздуха над и под крылом. Над крылом возникает область пониженного давления, и именно эта разность давлений и удерживает самолет в воздухе. Но как только такая разность давлений возникает, возникает поток воздуха из области под крылом в область над крылом через концы крыльев. Разность давлений воздуха уменьшается, и это приводит к потере части подъемной силы (по утверждениям производителей самолетов из-за этого эффекта может теряться до трети подъемной силы на концах крыльев). Для уменьшения этого эффекта и служат винглеты, которые сильнее отделяют друг от друга области под крылом и над крылом.

Сначала рассмотрим движение малого диска по внешней поверхности большого. Пусть малый диск повернулся на угол \(\Delta\varphi\) вокруг большого (см. рисунок). Если бы малый диск не вращался вокруг своей оси (для этого он должен был бы проскальзывать по большому), его радиус, связывающий точку, которой он касался большого диска с его центром в начальном положении, остался бы параллельным самому себе и в конечном положении (эта точка отмечена на рисунке цифрой 1). Поэтому угол между отрезком, связывающим центры дисков в конечном положении, и радиусом малого диска, проведенным в точку 1, был бы равен \(\Delta\varphi\) (на рисунке этот угол отмечен дугой). Из-за отсутствия проскальзывания рассматриваемая точка вращается по часовой стрелке и окажется в положении 2, причем из-за отсутствия проскальзывания длина дуги малого диска, связывающая точку 2 и точку касания дисков в конечном положении, будет равна длине дуги большого диска между точками касания малого диска в начальном и конечном положении, т.е. \(2R\,\Delta\varphi\). Таким образом, длина дуги между точками 1 и 2 равна \(R\Delta\varphi+2R\Delta\varphi=3R\Delta\varphi\), и, следовательно, малый диск повернется на угол \(3\Delta\varphi\) вокруг своей оси. А значит, число оборотов малого диска вокруг своей оси \(n\) будет равно \[n=\frac{3\Delta\varphi}{2\pi}.\]

Аналогично рассматривается движение малого диска по внутренней поверхности большого. Однако, как легко увидеть, углы его поворота вокруг большого и своей оси будут вычитаться (а не складываться, как в первом случае), поэтому при повороте малого диска вокруг большого на угол \(\Delta\varphi\) он совершит \[n_1=\frac{\Delta\varphi}{2\pi}\] оборотов вокруг своей оси.