ИОШ, 2015/16, отборочный этап, 11 класс

Подсказка

Что изменится, когда вода заполнит внутреннюю трубку? Какое колено такого сифона оказывается длиннее и что задаёт движение воды в нём?

Ответ

Вся вода вытечет из сосуда через трубку.

Решение

Основная идея работы сифона заключается в следующем. Пусть имеется изогнутая трубка с коленами разной длины, одно из которых (короткое) помещено в сосуд с водой, второе находится вне сосуда. Пусть мы каким-то образом заполнили трубку водой без разрывов (см. рисунок). Атмосферное давление не даст разорваться воде в трубке (образоваться в ней пустому пространству). Поэтому вода в трубке ведёт себя как единое целое. Поскольку вода в длинном колене тяжелее воды в коротком, вода в трубке начнёт двигаться в направлении длинного колена. Значит, вода в сосуде будет «засасываться» в трубку (точнее, атмосферное давление, действующее на свободную поверхность воды в сосуде, будет «заталкивать» воду в трубку) и вытекать через длинное колено. Этот процесс закончится тогда, когда вся вода вытечет из сосуда (или, точнее, когда уровень воды в сосуде опустится ниже конца трубки).

Похожий процесс протекает и в двойном сифоне Герона. Когда мы наливаем в сосуд воду, она, подтекая под край внешней трубки, заполняет её. После того как вода доходит до верхнего края внутренней трубки, она начинает вытекать через неё. Если в сосуд в этот момент продолжают наливать воду, эта вода полностью заполняет трубку — и мы получаем сифон, длинным коленом которого является внутренняя трубка, коротким — пространство между трубками в сосуде. Значит, ВСЯ вода вытечет через трубку из сосуда.

Подсказка

Оцените, какая доля объёма насыпи занята веществом песчинок, если считать их шариками одного радиуса, уложенными в куб.

Ответ

\(\rho\approx 1300\) кг/м\(^3\) (примерно половина истинной плотности); насыпная плотность от размера песчинок не зависит.

Решение

Песчинки представляют собой маленькие кусочки двуокиси кремния неправильной формы. Поэтому насыпная плотность песка зависит от степени его «уплотнения», когда «неправильности» песчинок находят друг друга, и насыпная плотность песка может приближаться к истинной. Если же никаких специальных усилий по уплотнению песка не предпринимается, между песчинками остаются пустоты, и его насыпная плотность может быть значительно меньше истинной. Оценим насыпную плотность. Будем для оценки считать, что песчинки представляют собой шарики радиуса \(r\). Конечно, это предположение неверно, однако промежутки между песчинками неправильной формы без специальных усилий по уплотнению песка в каких-то случаях больше, в каких-то — меньше, чем пустоты между шариками, и предположение о круглой форме песчинок для вычисления объёма пустот разумно.

Пусть песок заполняет куб с ребром \(a\). Тогда в кубе содержится \(N\sim\left(a/2r\right)^3\) песчинок, имеющих суммарный объём \[V = N\,\frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{1}{6}\pi a^3 .\] Поэтому масса песка в объёме куба равна \[m = \rho_0 V = \frac{1}{6}\pi\rho_0 a^3 ,\] где \(\rho_0\) — истинная плотность песка. Отсюда находим насыпную плотность песка как отношение массы песка в объёме куба к его объёму: \[\rho = \frac{m}{a^3} = \frac{1}{6}\pi\rho_0 \approx \frac{1}{2}\rho_0 = 1300\ \text{кг/м}^3 .\] Как следует из этой формулы, насыпная плотность приблизительно вдвое меньше истинной и не зависит от размера песчинок.

Подсказка

Сравните количество теплоты, нужное для нагрева воды на \(\Delta T\), с теплотой её испарения. Что должно вернуть жидкость к горячему концу, если трубка лежит горизонтально?

Ответ

Масса воды в обычной системе охлаждения должна быть примерно в 20 раз больше выкипающей в трубке, \(\Delta M/\Delta m=\lambda/(c\,\Delta T)\approx 20\). Для горизонтальной трубки возврат жидкости обеспечивают капиллярные силы: внутренние стенки покрывают гигроскопическим материалом (органической тканью или пористой керамикой).

Решение

Температуру кипения жидкости следует подобрать так, чтобы она имела промежуточное значение между температурой устройства и температурой окружающей среды. Тогда между деталью и кипящей жидкостью идёт теплообмен. Благодаря поступлению тепла жидкость выкипает, пар поднимается вверх, контактирует с окружающей средой, отдаёт ей энергию и конденсируется в верхней части трубки. Затем под действием силы тяжести сконденсировавшаяся жидкость с температурой окружающей среды опускается вниз, снова нагревается за счёт теплообмена с горячим устройством, выкипает и т.д.

Эффективность охлаждения с помощью тепловых трубок связана с тем, что при небольших перепадах температур \(\Delta T\) единица массы теплоносителя способна принять гораздо меньшее количество теплоты для нагревания (на эту величину), чем для испарения. Например, для воды \(c\,\Delta T < \lambda\) при \(\Delta T < 500^\circ\). Поэтому при малых \(\Delta T\) (а при охлаждении материнской платы компьютера эта величина порядка \(30^\circ\)) нужно обеспечить большой поток теплоносителя. Оценить этот поток можно так. Если трубка в единицу времени переносит \(\Delta m\,\lambda\) тепла, то такое же количество тепла можно передать с помощью обычного теплопереноса для следующей массы теплоносителя \(\Delta M\): \[c\,\Delta M\,\Delta T = \Delta m\,\lambda ,\] где \(\Delta T\) — разность температур между устройством и теплоносителем, которая по порядку величины близка к разности температур между устройством и окружающей средой. Отсюда получаем \[\frac{\Delta M}{\Delta m} = \frac{\lambda}{c\,\Delta T} \sim 20 .\] То есть для осуществления такой же теплопередачи, как у тепловой трубки, необходимо пропускать около охлаждаемого устройства в 20 раз больше теплоносителя, чем его выкипает в трубке.

Для работы трубки в горизонтальной ориентации (и даже с наклоном вниз) необходимо предложить механизм возврата жидкости назад (испарившийся горячий пар будет «уходить» в любом направлении благодаря давлению). Такой механизм могут обеспечить капиллярные силы. Внутренние поверхности трубок, работающих в горизонтальной ориентации, покрывают гигроскопическим материалом (органической тканью или пористой керамикой). Жидкость, сконденсировавшись на холодном конце трубки, перемещается в сторону горячего конца благодаря капиллярным силам.

В качестве теплоносителя в существующих тепловых трубках используют воду с примесью аммиака и спирта (меняя их концентрации, можно менять температуру кипения жидкости в трубке), а также такие «экзотические материалы», как ртуть и индий, при передаче тепла при высоких температурах.

Подсказка

Найдите плоскость симметрии цепи. По каким проводам, лежащим в этой плоскости, ток течь не может?

Ответ

\(R=\dfrac{7r}{10}\).

Решение

Очевидно, что данная цепь симметрична относительно вертикальной плоскости, проходящей посередине между клеммами цепи (ABC, см. левый рисунок). Поэтому по проводам, лежащим в этой плоскости (BC и AB), ток течь не может. Значит, эти провода можно удалить из цепи без перераспределения тока в других проводах (и, следовательно, без изменения её сопротивления).

После удаления этих проводов (см. рисунок справа) цепь становится эквивалентной цепи, изображённой на следующем рисунке (здесь \(r\) — сопротивление ребра основания). Находя её сопротивление, получаем \[R = \frac{7r}{10} .\]

Подсказка

При \(v=10v_0\) сила сопротивления равна весу мяча. Посчитайте, какую долю механической энергии теряет мяч при подъёме на высоту \(h=v_0^2/2g\).

Ответ

Время подъёма меньше времени спуска; \(t_{под}/t_{спус}=\sqrt{20/19}\approx 1+\dfrac{1}{40}\).

Решение

Если бы сила сопротивления воздуха не действовала, то времена подъёма и спуска были бы одинаковы. При действии силы сопротивления воздуха механическая энергия мяча уменьшается, и, следовательно, на одной и той же высоте на подъёме мяч имеет большую скорость, чем на спуске. Поэтому время подъёма меньше времени спуска.

Поскольку установившаяся скорость падения мяча гораздо больше скорости, с которой он движется в нашем опыте, движение мяча является «почти равноускоренным». Поэтому для оценки используем законы равноускоренного движения.

Сначала найдём силу сопротивления воздуха. По условию сила сопротивления пропорциональна скорости мяча \(F_c=kv\) (где \(k\) — некоторый коэффициент пропорциональности) и при \(v=10v_0\) совпадает с весом мяча. Поэтому \[mg = 10kv_0 \quad\Rightarrow\quad k=\frac{mg}{10v_0} .\] Теперь параметры движения. Высота подъёма практически равна величине \(h=\dfrac{v_0^2}{2g}\), а время подъёма \(t_{под}=\dfrac{v_0}{g}\).

Средняя сила сопротивления воздуха, действующая на тело на этом пути, определяется соотношением \[F_c = kv_{ср} = k\,\frac{v_0}{2} = \frac{mg}{20} ,\] где \(v_{ср}=v_0/2\) — средняя скорость тела на подъёме. Во время подъёма сила сопротивления совершает работу \[A_{сопр} \sim -F_c h = -\frac{1}{20}\,\frac{mv_0^2}{2} .\] Это значит, что механическая энергия мяча уменьшилась на одну двадцатую. Поэтому средняя скорость мяча на спуске определяется соотношением \[v_{ср} = \frac{v_0}{2}\sqrt{1-\frac{1}{20}} .\] Поэтому оценка отношения времени подъёма к времени спуска имеет вид \[\frac{t_{под}}{t_{спус}} = \frac{1}{\sqrt{1-1/20}} = \sqrt{\frac{20}{19}} \approx 1+\frac{1}{40} .\]

Ответ

\(k\geqslant\dfrac{d}{2a}\) (т.е. \(k\geqslant 0{,}05\)).

Решение

В результате действия силы тяжести пластину чуть-чуть «перекосит» относительно стержня, и возникнут силы реакции и силы трения. На пластину будут действовать: сила тяжести (в центре; сдвигом центра тяжести пластины от вырезанного отверстия пренебрегаем), две силы реакции стержня и две силы трения (см. рисунок). Условие моментов относительно точки приложения силы \(\vec N_2\) даёт \[mga = N_1 d \quad\Rightarrow\quad N_1 = \frac{mga}{d} .\] (Здесь считалось, что толщина стержня очень мала, а перекос пластины приводит только к возникновению сил реакции и трения, но не к изменению ориентации пластины.) Аналогично \[N_2 = \frac{mga}{d} .\]

Таким образом, и силы реакции, и силы трения одинаковы. Чтобы пластина была в равновесии, силы трения должны компенсировать силу тяжести, поэтому \[2F_{тр} = mg .\] При этом пластина будет в покое, если силы трения не превысят своих максимальных значений \(kN\), где \(k\) — коэффициент трения. Отсюда имеем, что пластина будет в покое, если \[\frac{mg}{2} \leqslant \frac{k\,mga}{d}\] или \[k \geqslant \frac{d}{2a} .\]