ИОШ, 2015/16, отборочный этап, 9-10 класс

Подсказка

Что происходит с давлением в каждой из камер, когда один поршень движется вниз, а другой вверх? Что будет, если поршни проходят «мёртвую точку»?

Ответ

Правый насос работает прерывисто: около «мёртвой точки» поршни не давят на воду, и она не течёт. В левом насосе сжатый воздух в камере А создаёт повышенное давление, поэтому откачка воды идёт непрерывно, даже около «мёртвых точек».

Решение

При движении левого поршня вниз, а правого вверх увеличивается давление в левой камере насоса и уменьшается в правой. Поэтому нижний левый клапан закрывается, левый боковой — открывается, пропуская воду из левой камеры в центральную. В это же время правый боковой поршень закрывается, не пропуская воду из центральной камеры в правую. Правый нижний поршень в это время открывается, и благодаря уменьшению давления в правой камере вода засасывается из водоёма в правую камеру. Затем процесс повторяется.

Разница между насосами заключается в следующем. Правый насос даёт напор воды только при движении поршней. Около «мёртвой точки» их движения поршни не давят на воду, вода не течёт. Т.е. правый насос работает прерывисто. В левом насосе за счёт сжатия воздуха в камере А создано повышенное давление. В результате левый насос обеспечивает непрерывное откачивание воды даже около точек «мёртвого хода» поршней.

Подсказка

Оцените, какая доля объёма насыпи занята веществом песчинок, если считать их шариками одного радиуса, уложенными в куб.

Ответ

\(\rho\approx 1300\) кг/м\(^3\) (примерно половина истинной плотности); насыпная плотность от размера песчинок не зависит (при одинаковом размере песчинок).

Решение

Песчинки представляют собой маленькие кусочки двуокиси кремния неправильной формы. Поэтому насыпная плотность песка зависит от степени его «уплотнения», когда «неправильности» песчинок находят друг друга, и насыпная плотность песка может приближаться к истинной. Если же никаких специальных усилий по уплотнению песка не предпринимается, между песчинками остаются пустоты, и его насыпная плотность может быть значительно меньше истинной. Оценим насыпную плотность. Будем для оценки считать, что песчинки представляют собой шарики радиуса \(r\). Конечно, это предположение неверно, однако промежутки между песчинками неправильной формы без специальных усилий по уплотнению песка в каких-то случаях больше, в каких-то — меньше, чем пустоты между шариками, и предположение о круглой форме песчинок для вычисления объёма пустот разумно.

Пусть песок заполняет куб с ребром \(a\). Тогда в кубе содержится \(N\sim\left(a/2r\right)^3\) песчинок, имеющих суммарный объём \[V = N\,\frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{1}{6}\pi a^3 .\] Поэтому масса песка в объёме куба равна \[m = \rho_0 V = \frac{1}{6}\pi\rho_0 a^3 ,\] где \(\rho_0\) — истинная плотность песка. Отсюда находим насыпную плотность песка как отношение массы песка в объёме куба к его объёму: \[\rho = \frac{m}{a^3} = \frac{1}{6}\pi\rho_0 \approx \frac{1}{2}\rho_0 = 1300\ \text{кг/м}^3 .\] Как следует из этой формулы, насыпная плотность приблизительно вдвое меньше истинной и не зависит от размера песчинок (при условии, что все они имеют одинаковый размер).

Подсказка

Сравните количество теплоты, нужное для нагрева воды на \(\Delta T\), с теплотой её испарения. Что должно вернуть жидкость к горячему концу, если трубка лежит горизонтально?

Ответ

Масса воды в обычной системе охлаждения должна быть примерно в 20 раз больше выкипающей в трубке в единицу времени: \(\Delta M/\Delta m=\lambda/(c\,\Delta T)\approx 20\). Для горизонтальной трубки возврат жидкости обеспечивают капиллярные силы: внутренние стенки покрывают гигроскопическим материалом (органической тканью или пористой керамикой).

Решение

Температуру кипения жидкости следует подобрать так, чтобы она имела промежуточное значение между температурой устройства и температурой окружающей среды. Тогда между деталью и кипящей жидкостью идёт теплообмен. Благодаря поступлению тепла жидкость выкипает, пар поднимается вверх, контактирует с окружающей средой, отдаёт ей энергию и конденсируется в верхней части трубки. Затем под действием силы тяжести сконденсировавшаяся жидкость с температурой окружающей среды опускается вниз, снова нагревается за счёт теплообмена с горячим устройством, выкипает и т.д.

Эффективность охлаждения с помощью тепловых трубок связана с тем, что при небольших перепадах температур \(\Delta T\) единица массы теплоносителя способна принять гораздо меньшее количество теплоты для нагревания (на эту величину), чем для испарения. Например, для воды \(c\,\Delta T < \lambda\) при \(\Delta T < 500^\circ\). Поэтому при малых \(\Delta T\) (а при охлаждении материнской платы компьютера эта величина порядка \(30^\circ\)) нужно обеспечить большой поток теплоносителя. Оценить этот поток можно так. Если трубка в единицу времени переносит \(\Delta m\,\lambda\) тепла (где \(\Delta m\) — масса жидкости, выкипающей в единицу времени), то такое же количество тепла можно передать с помощью обычного теплопереноса для следующей массы теплоносителя \(\Delta M\): \[c\,\Delta M\,\Delta T = \Delta m\,\lambda ,\] где \(\Delta T\) — разность температур между устройством и теплоносителем, которая по порядку величины близка к разности температур между устройством и окружающей средой. Отсюда получаем \[\frac{\Delta M}{\Delta m} = \frac{\lambda}{c\,\Delta T} \sim 20 .\] То есть для осуществления такой же теплопередачи, как у тепловой трубки, необходимо пропускать около охлаждаемого устройства в 20 раз больше теплоносителя, чем его выкипает в трубке.

Для работы трубки в горизонтальной ориентации (и даже с наклоном вниз) необходимо предложить механизм возврата жидкости назад (испарившийся горячий пар будет «уходить» в любом направлении благодаря давлению). Такой механизм могут обеспечить капиллярные силы. Внутренние поверхности трубок, работающих в горизонтальной ориентации, покрывают гигроскопическим материалом (органической тканью или пористой керамикой). Жидкость, сконденсировавшись на холодном конце трубки, перемещается в сторону горячего конца благодаря капиллярным силам.

В качестве теплоносителя в существующих тепловых трубках используют воду с примесью аммиака и спирта (меняя их концентрации, можно менять температуру кипения жидкости в трубке), а также такие «экзотические материалы», как ртуть и индий, при передаче тепла при высоких температурах.

Ответ

Не может: 2015 колёс — нечётное число, а в замкнутой по кругу цепочке зацепления первое и последнее колёса должны вращаться в разные стороны.

Решение

Пусть есть два зацепляющихся зубчатых колеса, вообще говоря, разных радиусов. При вращении одного из них второе будет вращаться так, что линейные скорости точек колёс в точке их соприкосновения будут совпадать. Поэтому колёса вращаются в разные стороны: одно по часовой, а второе против часовой стрелки. Если есть третье зубчатое колесо, связанное с одним из первых двух, то оно будет вращаться в противоположном направлении по сравнению с тем колесом, с которым оно сцеплено, и линейная скорость его поверхности будет такая же, как у первых двух. И так далее. Чтобы система колёс, связанных друг с другом «по кругу», могла вращаться, нужно, чтобы первое и последнее колесо вращались в разных направлениях и линейные скорости точек поверхности совпадали. Второе условие выполнено всегда независимо от размера колёс, первое же условие выполнено только если число колёс «в круге» — чётное. Поскольку у нас оно нечётное, такая система колёс вращаться не может.

Подсказка

Найдите плоскость симметрии цепи. По каким проводам, лежащим в этой плоскости, ток течь не может?

Ответ

\(R=\dfrac{7r}{10}\).

Решение

Очевидно, что данная цепь симметрична относительно вертикальной плоскости, проходящей посередине между клеммами цепи (ABC, см. левый рисунок). Поэтому по проводам, лежащим в этой плоскости (BC и AB), ток течь не может. Значит, эти провода можно удалить из цепи без перераспределения тока в других проводах (и, следовательно, без изменения её сопротивления).

После удаления этих проводов (см. рисунок посередине) цепь становится эквивалентной цепи, изображённой на правом рисунке (здесь \(r\) — сопротивление ребра основания). Находя её сопротивление, получаем \[R = \frac{7r}{10} .\]

Ответ

\(N=2T\cos30^\circ=\sqrt3\,T=4kR\left(3-\dfrac{\sqrt3\,\pi}{3}\right)\), где сила натяжения кольца \(T=4kR\left(\sqrt3-\dfrac{\pi}{3}\right)\).

Решение

Пусть сила натяжения кольца равна \(T\). Тогда условие равновесия каждого шкива даёт \[2T\cos\alpha = N ,\] где \(N\) — сила реакции, действующая на один шкив со стороны другого, \(\alpha\) — угол между участком кольца между шкивами и отрезком, соединяющим центры шкивов. Геометрически очевидно (см. рисунок), что \[\sin\alpha = \frac{3R-R}{3R+R} = \frac{1}{2} \quad\Rightarrow\quad \alpha = 30^\circ .\] Отсюда находим длину растянутого кольца, которая равна удвоенной длине участка кольца между шкивами, длине участка кольца, охватывающего большой шкив и опирающегося на угол \(240^\circ\), и длине участка кольца, охватывающего малый шкив и опирающегося на угол \(120^\circ\). Таким образом, длина растянутого кольца есть \[L = 3R\cdot\frac{2}{3}\cdot2\pi + R\cdot\frac{1}{3}\cdot2\pi + 4R\sqrt3 = 2R\left(\frac{7\pi}{3}+2\sqrt3\right).\] Это значит, что кольцо удлинилось на величину \[\Delta L = L - 6\pi R = 4R\left(\sqrt3-\frac{\pi}{3}\right),\] и, следовательно, сила натяжения кольца есть \[T = k\,\Delta L = 4kR\left(\sqrt3-\frac{\pi}{3}\right) .\] Отсюда находим \[N = 2T\cos30^\circ = \sqrt3\,T = 4kR\left(3-\frac{\sqrt3\,\pi}{3}\right) .\]