ИОШ, 2016/17, отборочный этап, 11 класс

Ответ

Тёмные участки на правом изображении — дорожки с положительным потенциалом, светлые — с отрицательным: с участков с положительным потенциалом вылетает больше вторичных электронов.

Решение

Как сказано в условии, яркость участка изображения тем больше, чем больше регистрируемый детектором ток электронов. Это означает, что более темные участки микросхемы излучают меньшее число электронов, более светлые — большее. Поймем, почему это происходит, при том, что плотность свободных электронов во всех точках проводника одинакова.

Пусть в результате облучения электронами электрон металла (вторичный электрон) приобретает скорость \(v_0\). Тогда закон сохранения энергии для этого вторичного электрона, покидающего металл, дает: \[\dfrac{mv_0^2}{2} - e\varphi = \dfrac{mv^2}{2}\tag{*}\] где \(\varphi\) — потенциал участка поверхности, с которого электрон вылетел, \(e\) — модуль заряда электрона, \(v\) — скорость электрона на большом удалении от поверхности. Но скорости, которые приобретают вторичные электроны при облучении, могут быть разными, и лежат в интервале от нуля до некоторого максимального значения, которое определяется энергией электронов, которыми облучается микросхема. Поэтому, как это следует из формулы (*), многие вторичные электроны не смогут вылететь из участков микросхемы с отрицательным потенциалом. Следовательно, участки с положительным потенциалом покидает большее количество электронов, чем с отрицательным. Поэтому темные участки на правом рисунке соответствуют дорожкам с положительным потенциалом, а светлые — с отрицательным потенциалом.

Ответ

\(\dfrac{P_r}{P_{2r}} = 5\).

Решение

При приложении переменного электрического напряжения в течение полупериода, когда диод «закрыт», данная электрическая цепь имеет такой вид

в течение второго (когда диод открыт) — такой

Следовательно, в течение первого полупериода в резисторах выделяется мощность \[P_r = \dfrac{U^2}{2\cdot9r},\qquad P_{2r} = \dfrac{2U^2}{2\cdot9r},\] где \(U\) — амплитуда приложенного напряжения (множитель 2 в знаменателе дает действующее значение напряжения). В течение второго полупериода в резисторах выделяются мощности \[P_r = \dfrac{U^2}{2\cdot r},\qquad P_{2r} = 0.\] Поэтому в течение периода в резисторах выделяется мощность \[P_r = \dfrac{U^2}{2\cdot9r} + \dfrac{U^2}{2\cdot r} = \dfrac{5U^2}{9r},\qquad P_{2r} = \dfrac{2U^2}{2\cdot9r} + 0 = \dfrac{U^2}{9r}.\] Поэтому \[\dfrac{P_r}{P_{2r}} = 5.\]

Ответ

Точное значение массы \(m = \sqrt{m_1m_2}\); при малой неравноплечности оно отличается от среднего арифметического \((m_1+m_2)/2\) лишь на величину второго порядка малости по \((m_1-m_2)/(m_1+m_2)\).

Решение

Пусть одно плечо весов — \(l_1\), второе — \(l_2\), но весы уравновешены. Тогда при взвешивании объекта на одной чаше весов имеем \[m_1l_1 = ml_2,\] а на другой \[ml_1 = m_2l_2.\] где \(m\) — масса взвешиваемого объекта, \(m_1\) и \(m_2\) — массы гирь, уравновешивающих объект на одной и на другой чашах весов. Деля эти уравнения друг на друга и выражая из получившегося уравнения \(m\), получим \[m = \sqrt{m_1m_2}.\tag{*}\] С другой стороны, поскольку неравноплечность хороших весов невелика, разность масс \(m_1\) и \(m_2\) много меньше самих этих масс и, следовательно, среднее геометрическое близко к среднему арифметическому \[\sqrt{m_1m_2} \approx \dfrac{m_1+m_2}{2}\tag{**}\] Причем погрешность, которую мы совершаем, заменяя среднее геометрическое на среднее арифметическое, квадратична по малой разности \(m_1-m_2\) \[\dfrac{\Delta m}{m} = \dfrac{m_1+m_2-2\sqrt{m_1m_2}}{m_1+m_2} = \dfrac{\left(\sqrt{m_1}-\sqrt{m_2}\right)^2}{m_1+m_2} \approx \left(\dfrac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\right)^2\] что и оправдывает переход от среднего геометрического к среднему арифметическому.

Ответ

\(R_1 = \left(\dfrac{2\pi rN}{L}\right)^2R = 222\) Ом.

Решение

Пусть радиус цилиндра \(r\), длина \(L\). Если разрезать фольгу по образующей цилиндра и развернуть, то полученный прямоугольник из фольги с основаниями \(2\pi r\) и высотой \(L\), оказывается включенным в цепь между основаниями. Поэтому, если сопротивление единицы длины поперечного сечения фольги \(\sigma\), то сопротивление цилиндра в первом случае равно \[R = \dfrac{\sigma L}{2\pi r}.\] Если разрезать фольгу по винтовой линии и развернуть (второй случай), то она будет представлять собой параллелограмм со сторонами \(2\pi r\) и \(2\pi rN\). Чтобы найти сопротивление такого параллелограмма, включенного между своими основаниями, заметим, что его можно считать состоящим из параллельно соединенных проводников длиной \(2\pi rN\) каждый с суммарной шириной, равной высоте параллелограмма — \(L/N\). Поэтому новое сопротивление фольги есть \[R_1 = \dfrac{\sigma\,2\pi rN}{(L/N)} = \left(\dfrac{2\pi rN}{L}\right)^2R = 222\text{ Ом}.\]

Ответ

\(\mu_{\max} = \sqrt{\dfrac{p_0}{3\alpha}}\); \(N_{\max} = \dfrac{2p_0}{3\rho}\sqrt{\dfrac{p_0}{3\alpha}}\), где \(\rho\) — плотность жидкости.

Решение

Пусть скорость движения жидкости через насос — \(v\), площадь сечения трубопроводов насоса — \(S\). Тогда за малое время \(\Delta t\) насос перемещает массу жидкости \(\Delta m = \rho Sv\Delta t\) (\(\rho\) — плотность жидкости), и, следовательно, \[\mu = \dfrac{\Delta m}{\Delta t} = \rho Sv.\] С другой стороны, поскольку насос действовал на эту жидкость силой \(F = \Delta pS\) (\(S\) — площадь сечения трубопроводов насоса), то его мощность есть \[N = Fv = \Delta pSv = \dfrac{\Delta p\,\mu}{\rho}.\] Таким образом, мощность, развиваемая насосом есть (с точностью до постоянного множителя \(\rho\)) произведение напора на расход \[N \sim \Delta p\,\mu = p_0\mu - \alpha\mu^3.\] Чтобы найти максимальную мощность насоса нужно найти максимум этого выражения. Дифференцируя \(N\) по \(\mu\) и приравнивая производную к нулю, находим напор, отвечающий максимальной мощности \[N' = p_0 - 3\alpha\mu^2 = 0\qquad\Rightarrow\qquad \mu_{\max} = \sqrt{\dfrac{p_0}{3\alpha}}.\] А подставляя это значение в формулу для мощности, найдем саму максимальную мощность \[N_{\max} = \dfrac{2p_0}{3\rho}\sqrt{\dfrac{p_0}{3\alpha}}.\]

Ответ

Колеса сближаются; скорость центра правого колеса относительно центра левого равна \(v/8\).

Решение

Движение колес представляет собой вращение и поступательное движение, а скорости различных точек колес складываются из скоростей этих двух движений. Используя эти соображения найдем скорости движения колес. Пусть левое колесо движется направо со скоростью \(v_1\) и вращается по часовой стрелке с угловой скоростью \(\omega_1\) (если какая-то из этих величин, найденная из нижеследующей системы уравнений, окажется отрицательной, направление движения или вращения колеса будет противоположным). Поскольку в системе отсчета, связанной с центром колеса, оно только вращается, скорость верхней точки колеса равна \(v_1+\omega_1R\), нижней — \(v_1-\omega_1R\). А так как скорости верхней и нижней точек левого колеса совпадают со скоростями верхней и нижней реек, для \(v_1\) и \(\omega_1\) имеем: \[\begin{align*} v_1 + \omega_1\dfrac{5}{4}R &= v,\\ v_1 - \omega_1\dfrac{5}{4}R &= 0. \end{align*}\] Отсюда находим \[v_1 = \dfrac{1}{2}v.\] Пусть правое колесо также движется направо со скоростью \(v_2\) и вращается по часовой стрелке с угловой скоростью \(\omega_2\). Тогда \[\begin{align*} v_2 + \omega_2\dfrac{5}{4}R &= v,\\ v_2 - \omega_2\dfrac{3}{4}R &= 0. \end{align*}\] Отсюда \[v_2 = \dfrac{3}{8}v,\] т.е. скорость правого колеса меньше скорости левого. Поэтому колеса сближаются, и скорость центра правого колеса относительно центра левого равна \[u = v_1 - v_2 = \dfrac{1}{8}v.\] Можно было бы решить эту задачу с помощью перехода к другой системе отсчета. Действительно, в системе отсчета, которая движется направо со скоростью \(v/2\), рейки движутся в разные стороны с одинаковой скоростью, поэтому центр левого колеса покоится. И, следовательно, левое колесо в системе отсчета, связанной с землей, движется со скоростью \(v/2\) направо. В системе отсчета, движущейся направо со скоростью \(3v/8\), рейки движутся направо и налево со скоростями \(5v/8\) (верхняя) и \(3v/8\) (нижняя). А поскольку отношение радиусов колес равно \(5/3\), то центр правого колеса в этой системе отсчета не движется. Поэтому правое колесо в системе отсчета, связанной с землей, движется направо со скоростью \(3v/8\). В результате получается тот же ответ, что и при первом способе решения.