ИОШ, 2016/17, отборочный этап, 9-10 класс

Ответ

У лебёдки главное — сила, у велосипеда — скорость: малое колесо даёт выигрыш в силе и проигрыш в скорости, большое — наоборот.

Решение

Главное в лебедке — сила, которую она может обеспечить, в велосипеде — скорость. Именно с этим и связано различие лебедки и велосипеда.

Действительно, если колесо, к которому прикладывается усилие, совершает полный оборот, это приводит к вытягиванию троса или цепи на величину длины окружности зубчатого колеса. Поэтому если колесо маленькое (как у лебедки), длина троса уменьшится на малую величину, что обеспечивает малую скорость вытягивания троса. При большом диаметре зубчатого колеса (как у велосипеда), цепь прокручивается на большую величину, обеспечивая большую скорость вращения ведомого колеса (особенно при условии малого размера шестеренки на ведомом колесе). Поэтому скорости вытягивания троса или цепи пропорциональны радиусам зубчатых колес.

Однако усилия, которые необходимо затратить для вращения зубчатых колес обратно пропорциональны радиусам. Действительно, момент внешней силы, которую необходимо приложить к колесу для его вращения, равен моменту сил сопротивления, а последний пропорционален плечу, т.е. радиусу колеса.

Поэтому, используя малое колесо, мы выигрываем в силе, но проигрываем в скорости. И наоборот. Используя большое колесо, мы выигрываем в скорости, но проигрываем в силе.

Ответ

Три лампочки подключают параллельно, а двойным выключателем размыкают два провода так, что цепь сводится к последовательному соединению ламп (схемы на рисунке решения).

Решение

Основная идея такой электрической цепи может заключаться в следующем. Пусть мы соединяем три лампочки с источником так, как это показано на левом рисунке.

Но если сделать разрывы проводов так, как показано на среднем левом рисунке, то цепь сведется к цепи, показанной на среднем правом рисунке — а это последовательное соединение ламп. Ясно, что такой разрыв двух проводов одновременно можно сделать с помощью двойного выключателя (правый рисунок), причем несмотря на то, что на рисунке два выключателя двойного переключателя находятся далеко друг от друга, с помощью деформации проводов технически осуществить такое соединение возможно.

Ответ

Левое верхнее устройство — мультипликатор давления (тормозная система автомобиля), правое верхнее — мультипликатор силы (гидравлический домкрат); выигрыш в давлении и в силе — в 100 раз. Левое нижнее и правое нижнее устройства — редукторы (уменьшители) давления и силы соответственно, в 100 раз.

Решение

В левом верхнем устройстве условие равновесия поршня переменного сечения дает \[p_1S_1 = p_2S_2,\] где \(p_1\) и \(p_2\) — давления жидкости в правом и левом отсеках, \(S_1\) и \(S_2\) — площади сечения правого и левого отсеков. Отсюда находим \[p_2 = \dfrac{S_1}{S_2}\,p_1\qquad\Rightarrow\qquad p_2 > p_1,\text{ если } S_1 > S_2.\] Таким образом, левое верхнее устройство представляет собой мультипликатор (увеличитель или умножитель давления). Используется в системах, где с помощью жидкости передается давление и нужно его увеличивать (например, в тормозной системе автомобиля). Если отношение радиусов труб равно 10, то увеличение давления равно 100. По этим же причинам левое нижнее устройство следует назвать редуктором (уменьшителем) давления.

Правые устройства являются мультипликатором и редуктором силы. Поскольку давление жидкости около правого и левого поршней одинаково, то \[\dfrac{F_1}{S_1} = \dfrac{F_2}{S_2},\] где \(F_1\) и \(F_2\) — силы, действующие со стороны воды на правый и левый поршни (и поршней на воду), \(S_1\) и \(S_2\) — площади сечения правого и левого отсеков. Отсюда находим \[F_2 = \dfrac{S_2}{S_1}\,F_1\qquad\Rightarrow\qquad F_2 > F_1,\text{ если } S_2 > S_1.\] Поэтому правый верхний прибор следует назвать умножителем силы. Такого рода конструкции используются в гидравлических домкратах. Если отношение радиусов труб равно 10, то увеличение силы равно 100. По этим же причинам правое нижнее устройство следует назвать редуктором (уменьшителем) силы (в 100 раз при отношении радиусов труб — 10).

Ответ

Точное значение массы \(m = \sqrt{m_1m_2}\); при малой неравноплечности оно отличается от среднего арифметического \((m_1+m_2)/2\) лишь на величину второго порядка малости по \((m_1-m_2)/(m_1+m_2)\).

Решение

Пусть одно плечо весов — \(l_1\), второе — \(l_2\), но весы уравновешены. Тогда при взвешивании объекта на одной чаше весов имеем \[m_1l_1 = ml_2,\] а на другой \[ml_1 = m_2l_2.\] где \(m\) — масса взвешиваемого объекта, \(m_1\) и \(m_2\) — массы гирь, уравновешивающих объект на одной и на другой чашах весов. Деля эти уравнения друг на друга и выражая из получившегося уравнения \(m\), получим \[m = \sqrt{m_1m_2}.\tag{*}\] С другой стороны, поскольку неравноплечность хороших весов невелика, разность масс \(m_1\) и \(m_2\) много меньше самих этих масс и, следовательно, среднее геометрическое близко к среднему арифметическому \[\sqrt{m_1m_2} \approx \dfrac{m_1+m_2}{2}\tag{**}\] Причем погрешность, которую мы совершаем, заменяя среднее геометрическое на среднее арифметическое, квадратична по малой разности \(m_1-m_2\) \[\dfrac{\Delta m}{m} = \dfrac{m_1+m_2-2\sqrt{m_1m_2}}{m_1+m_2} = \dfrac{\left(\sqrt{m_1}-\sqrt{m_2}\right)^2}{m_1+m_2} \approx \left(\dfrac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\right)^2\] что и оправдывает переход от среднего геометрического к среднему арифметическому.

Ответ

\(R_1 = \left(\dfrac{2\pi rN}{L}\right)^2R = 222\) Ом.

Решение

Пусть радиус цилиндра \(r\), длина \(L\). Если разрезать фольгу по образующей цилиндра и развернуть, то полученный прямоугольник из фольги с основаниями \(2\pi r\) и высотой \(L\), оказывается включенным в цепь между основаниями. Поэтому, если сопротивление единицы длины поперечного сечения фольги \(\sigma\), то сопротивление цилиндра в первом случае равно \[R = \dfrac{\sigma L}{2\pi r}.\] Если разрезать фольгу по винтовой линии и развернуть (второй случай), то она будет представлять собой параллелограмм со сторонами \(2\pi r\) и \(2\pi rN\). Чтобы найти сопротивление такого параллелограмма, включенного между своими основаниями, заметим, что его можно считать состоящим из параллельно соединенных проводников длиной \(2\pi rN\) каждый с суммарной шириной, равной высоте параллелограмма — \(L/N\). Поэтому новое сопротивление фольги есть \[R_1 = \dfrac{\sigma\,2\pi rN}{(L/N)} = \left(\dfrac{2\pi rN}{L}\right)^2R = 222\text{ Ом}.\]

Ответ

Колеса сближаются; скорость центра правого колеса относительно центра левого равна \(v/8\).

Решение

Движение колес представляет собой вращение и поступательное движение, а скорости различных точек колес складываются из скоростей этих двух движений. Используя эти соображения найдем скорости движения колес. Пусть левое колесо движется направо со скоростью \(v_1\) и вращается по часовой стрелке с угловой скоростью \(\omega_1\) (если какая-то из этих величин, найденная из нижеследующей системы уравнений, окажется отрицательной, направление движения или вращения колеса будет противоположным). Поскольку в системе отсчета, связанной с центром колеса, оно только вращается, скорость верхней точки колеса равна \(v_1+\omega_1R\), нижней — \(v_1-\omega_1R\). А так как скорости верхней и нижней точек левого колеса совпадают со скоростями верхней и нижней реек, для \(v_1\) и \(\omega_1\) имеем: \[\begin{align*} v_1 + \omega_1\dfrac{5}{4}R &= v,\\ v_1 - \omega_1\dfrac{5}{4}R &= 0. \end{align*}\] Отсюда находим \[v_1 = \dfrac{1}{2}v.\] Пусть правое колесо также движется направо со скоростью \(v_2\) и вращается по часовой стрелке с угловой скоростью \(\omega_2\). Тогда \[\begin{align*} v_2 + \omega_2\dfrac{5}{4}R &= v,\\ v_2 - \omega_2\dfrac{3}{4}R &= 0. \end{align*}\] Отсюда \[v_2 = \dfrac{3}{8}v,\] т.е. скорость правого колеса меньше скорости левого. Поэтому колеса сближаются, и скорость центра правого колеса относительно центра левого равна \[u = v_1 - v_2 = \dfrac{1}{8}v.\]