ИОШ, 2018/19, отборочный этап, 11 класс

Ответ

\(v = \dfrac{2q\Delta m}{3c\rho S\Delta T} = 1{,}83\) м/с.

Решение

Пусть скорость течения воды в трубке \(v\). Тогда за малый интервал времени \(\Delta t\) в трубку втекает масса воды \(\Delta\mu = \rho Sv\Delta t\). Такое же количество и вытекает из трубки, так как вода нигде не накапливается. Следовательно, за этот интервал времени из двигателя уносится следующее количество теплоты \[\delta Q = c\Delta\mu\Delta T = c\rho Sv\Delta t\Delta T,\] \(c\) — удельная теплоемкость воды. С другой стороны, за рассматриваемый интервал времени в двигателе выделится \(\delta Q = q\Delta m\Delta t\) из которых \(2/3\) будет передано воде. Отсюда \[\dfrac23\,q\Delta m = c\rho Sv\Delta T\qquad\Rightarrow\qquad v = \dfrac{2q\Delta m}{3c\rho S\Delta T} = 1{,}83\text{ м/с}.\]

Ответ

Полная мощность гирлянды уменьшилась до трёх четвертей: \(P_{\text{нов}} = \dfrac34P_{\text{ст}} = 56{,}3\) Вт; на каждой старой лампочке выделяется \(P_1^{\text{нов}} = 2{,}8\) Вт, на каждой новой — \(P_2^{\text{нов}} = 5{,}6\) Вт.

Решение

Пусть номинальное напряжение каждой из пятнадцати старых лампочек равно \(U_0\). Тогда, поскольку лампочки горели нормальным накалом, напряжение сети равно \[U = NU_0\] (\(N = 15\)), сопротивление каждой лампочки — \[r_1 = \dfrac{U_0^2}{P_1},\] а полная выделяемая мощность — \[P_{\text{ст}} = NP_1.\] Поскольку лампочки-заменители рассчитаны на то же напряжение, но имеют номинальную мощность \(P_2 = P_1/2\), сопротивление каждой новой лампочки есть \[r_2 = \dfrac{U_0^2}{P_2}\] и, следовательно, общее сопротивление новой цепи будет равно \[R = (N-k)r_1 + kr_2 = U_0^2\left(\dfrac{N-k}{P_1} + \dfrac{k}{P_2}\right)\] (\(k = 5\)). Поэтому полная мощность, выделяемая в новой цепи будет равна \[P_{\text{нов}} = \dfrac{U^2}{R} = \dfrac{N^2}{\left(\dfrac{N-k}{P_1} + \dfrac{k}{P_2}\right)} = \dfrac{N^2P_1P_2}{(N-k)P_2 + kP_1}\] Поскольку мощность новых лампочек составляет половину старых, имеем \[P_{\text{нов}} = \dfrac{N^2P_1P_2}{(N-k)P_2 + kP_1} = \dfrac{N^2P_1}{N+k} = \dfrac{N}{N+k}P_{\text{ст}} = \dfrac34P_{\text{ст}} = 56{,}3\text{ Вт}\] Таким образом, выделяемая в новой цепи мощность составляет три четверти от мощности, выделяемой в старой.

Найдем теперь, какая мощность будет выделяться на старых и новых лампочках в новой цепи. Поскольку ток, текущий через лампочки одинаков (последовательное соединение), а сопротивление каждой новой лампочки в 2 раза больше сопротивления старой, из закона Джоуля–Ленца заключаем, что мощность, выделяемая на каждой новой лампочке, будет в 2 раза больше мощности, выделяемой на каждой старой. Поэтому \[(N-k)P_1^{\text{нов}} + kP_2^{\text{нов}} = P_{\text{нов}}\quad\Rightarrow\quad 10P_1^{\text{нов}} + 2\cdot5P_1^{\text{нов}} = \dfrac34\,15P_1\quad\Rightarrow\quad P_1^{\text{нов}} = \dfrac{45}{80}P_1 = 2{,}8\text{ Вт}\] \[P_2^{\text{нов}} = \dfrac{45}{40}P_1 = 5{,}6\text{ Вт}\]

Ответ

\(m = \dfrac{\sqrt2F}{g}\).

Решение

Пусть длина доски — \(L\), расстояние от опор до центра тяжести доски — \(x\) и \(y\) (см. рисунок; центр тяжести доски обозначен точкой).

Тогда условие переворота относительно левой опоры дает \[2F\left(\dfrac{L}{2}-x\right) = mgx\tag{*}\] А условие переворота относительно правой опоры \[F\left(\dfrac{L}{2}-y\right) = mgy\] Учитывая, что \(y = L/2 - x\), из второго равенства получим \[Fx = mg\left(\dfrac{L}{2}-x\right)\tag{**}\] Перемножая равенства (*) и (**), найдем \[2F^2 = (mg)^2.\] Откуда \[m = \dfrac{\sqrt2F}{g}\]

Ответ

Источник можно считать источником тока, если его внутреннее сопротивление много больше сопротивления нагрузки (\(r \gg R\); тогда \(I \approx \varepsilon/r\)), и источником напряжения, если оно много меньше сопротивления нагрузки (\(R \gg r\); тогда \(U \approx \varepsilon\)).

Решение

Пусть ЕДС источника \(\varepsilon\), внутреннее сопротивление \(r\). Подключим к источнику сопротивление \(R\) (нагрузку) и найдем ток и напряжение на нагрузке.

По закону Ома для замкнутой цепи имеем для силы тока через нагрузку \[I = \dfrac{\varepsilon}{R+r}\tag{*}\] а по закону Ома для участка цепи — для напряжения на нагрузке \[U = IR = \dfrac{\varepsilon R}{R+r}\tag{**}\] Чтобы сила тока слабо зависела от сопротивления нагрузки \(R\), нужно, чтобы внутреннее сопротивление источника было много больше сопротивления нагрузки. Действительно, если \(r \gg R\), величиной \(R\) в знаменателе формулы (*) можно пренебречь по сравнению с внутренним сопротивлением источника \(r\), и сила тока через нагрузку \[I \approx \dfrac{\varepsilon}{r}\] не будет зависеть от сопротивления нагрузки. Таким образом, источник дает фиксированный ток через нагрузку независимо от ее сопротивления (т.е. является источником тока), если его внутреннее сопротивление много больше сопротивления подключаемых к нему нагрузок.

Напряжение на нагрузке не будет зависеть от сопротивления в случае выполнения обратного неравенства. Действительно, если сопротивление нагрузки много больше сопротивления источника (\(R \gg r\)), то сопротивлением \(r\) в знаменателе формулы (**) можно пренебречь по сравнению с сопротивлением \(R\), а после этого сократить величину \(R\) \[U = \dfrac{\varepsilon R}{R+r} \approx \dfrac{\varepsilon R}{R} = \varepsilon\] Таким образом, если внутреннее сопротивление источника много меньше сопротивления нагрузки, источник дает фиксированное напряжение на нагрузке независимо от ее сопротивления (т.е. является источником напряжения). Именно такими являются бытовые электрические сети, обеспечивающие напряжение 220 В на любой нагрузке.

Ответ

\(\dfrac{M_1}{M_2} = \dfrac54\).

Решение

Поскольку стержень \(AB\) находится в равновесии, со стороны стержня \(BC\) на него действует сила натяжения, компенсирующая внешний момент. Поскольку угол \(ABC\) — прямой, имеем \[M_1 = Tb\] где \(T\) — сила натяжения стержня. Так как такая же сила натяжения действует и на второй конец стержня, условие равновесия стержня \(DC\) дает \[M_2 = Tb\sin(\angle DCB)\] Найдем \(\sin(\angle DCB)\). Плоский четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно равны, но не параллельны, называется антипараллелограммом. Легко доказать, что у антипараллелограмма попарно равны углы. Действительно, если сделать дополнительное построение — провести отрезок \(AC\), то треугольники \(ABC\) и \(ADC\) равны (по трем сторонам). Следовательно, угол \(ADC\) — прямой, и \(BO = OD\). Поэтому, если обозначить \(OD = x\), то \(OB\) — тоже равно \(x\), \(OC = BC - x = a - x\), (где обозначено \(BC = a\)) и по теореме Пифагора имеем \[x^2 = (a-x)^2 - b^2\] Отсюда \[OD = x = \dfrac{a^2-b^2}{2a},\qquad OD = a - x = \dfrac{a^2+b^2}{2a}\] Поэтому \[\sin(\angle DCB) = \dfrac{OD}{OC} = \dfrac{x}{a-x} = \dfrac{a^2-b^2}{a^2+b^2}\] И, следовательно, \[\dfrac{M_1}{M_2} = \dfrac{1}{\sin(\angle DCB)} = \dfrac{a^2+b^2}{a^2-b^2}\] Поскольку по условию \(a = 3b\), найдем \[\dfrac{M_1}{M_2} = \dfrac54\]

Ответ

\(\Delta m \approx 0{,}6\cdot10^{-6}\) кг.

Решение

Так как вода находится в закрытом сосуде, в сосуде находится насыщенный водяной пар, а вода не кипит. Поскольку температура воды \(t_0 = 100^\circ\)C — давление пара в сосуде равно атмосферному \(p_0 = 10^5\) Па. Поэтому закон Клапейрона–Менделеева для пара дает \[p_0v = \dfrac{m}{\mu}RT_0\] где \(v\) — объем пара в сосуде (объем сосуда минус объем воды), \(m\) — масса водяного пара в первоначальном состоянии, \(\mu = 0{,}018\) кг/моль — молярная масса воды, \(T_0 = 373\) К — абсолютная температура кипения воды.

Когда воде сообщают дополнительное количество тепла часть воды испаряется, давление насыщенного пара становится больше атмосферного и вода нагревается до температуры выше \(t_0 = 100^\circ\)C (температуры кипения при атмосферном давлении). Поэтому сообщенное тепло тратится и на нагревание воды, и на ее испарение. Пусть при сообщении тепла \(Q\) испарилось \(\Delta m\) воды, а вода нагрелась на \(\Delta t\). Тогда \[Q = cM\Delta t + r\Delta m\tag{*}\] (здесь мы пренебрегли изменением массы воды из-за испарения). С другой стороны закон Клапейрона–Менделеева для насыщенного водяного пара дает \[(p_0+\Delta p)v = \dfrac{m+\Delta m}{\mu}R(T_0+\Delta t).\] где \(\Delta p\) — приращение давления насыщенного пара с ростом его температуры на \(\Delta t\). Отсюда находим \[\Delta p\,v = \dfrac{\Delta m}{\mu}RT_0 + \dfrac{m}{\mu}R\Delta t\] С другой стороны, согласно данной в условии зависимости \(\Delta p = \alpha\Delta t\). Поэтому \[\alpha v\Delta t = \dfrac{\Delta m}{\mu}RT_0 + \dfrac{m}{\mu}R\Delta t\qquad\Rightarrow\qquad \Delta t = \dfrac{RT_0\Delta m}{\mu\alpha v - mR}\] В результате из первого закона термодинамики (*) находим \[\Delta m = \dfrac{Q}{cM\,\dfrac{RT_0}{\mu\alpha v - mR} + r}\] Учитывая, что \(m = \mu p_0v/RT_0\), последнюю формулу можно привести к виду \[\Delta m = \dfrac{Q}{\dfrac{cMRT_0^2}{\mu v(\alpha T_0 - p_0)} + r}\] Проведем вычисления, используя следующие данные: \(Q = 1\cdot10^3\) Дж, \(c = 4{,}2\cdot10^3\) Дж/(кг\(\cdot\)град), \(M = 0{,}9\) кг, \(R = 8{,}3\) Дж/(моль\(\cdot\)град), \(T_0 = 373\) К, \(\mu = 0{,}018\) кг/моль, \(v = 0{,}1\cdot10^{-3}\) м\(^3\), \(\alpha = 0{,}04\cdot10^5\) Па/град, \(p_0 = 10^5\) Па, \(r = 2{,}3\cdot10^6\) Дж/кг. Имеем \[\Delta m = 0{,}6\cdot10^{-6}\text{ кг}\]