ИОШ, 2018/19, отборочный этап, 9-10 класс

Ответ

\(C_5 = C\left(1-\dfrac{v}{V}\right)^5 = 13{,}1\) %.

Решение

В 40-процентном озверине содержится объем \[V_0 = CV\] чистого озверина (\(C = 40\,\%\)). Когда кот выпил \(v = 0{,}1\) л раствора озверина, то он выпил и пропорциональный выпитому объему и объем чистого вещества \((v/V)V_0\). Поэтому в растворе остался объем чистого озверина \[V_1 = V_0\left(1-\dfrac{v}{V}\right).\] Во время второго выпивания кот снова выпил \((v/V)\)-часть имеющегося чистого вещества в растворе (\((v/V)V_1\)) и, следовательно, в растворе остался объем чистого озверина \[V_2 = V_1\left(1-\dfrac{v}{V}\right) = V_0\left(1-\dfrac{v}{V}\right)^2\] И т.д. Поэтому после выпивания пятой порции в растворе останется объем чистого озверина \[V_5 = V_0\left(1-\dfrac{v}{V}\right)^5 = CV\left(1-\dfrac{v}{V}\right)^5\] А концентрация озверина будет равна \[C_5 = C\left(1-\dfrac{v}{V}\right)^5 = 13{,}1\,\%\]

Ответ

Полная мощность гирлянды уменьшилась до трёх четвертей: \(P_{\text{нов}} = \dfrac34P_{\text{ст}} = 56{,}3\) Вт; на каждой старой лампочке выделяется \(P_1^{\text{нов}} = 2{,}8\) Вт, на каждой новой — \(P_2^{\text{нов}} = 5{,}6\) Вт.

Решение

Пусть номинальное напряжение каждой из пятнадцати старых лампочек равно \(U_0\). Тогда, поскольку лампочки горели нормальным накалом, напряжение сети равно \[U = NU_0\] (\(N = 15\)), сопротивление каждой лампочки — \[r_1 = \dfrac{U_0^2}{P_1},\] а полная выделяемая мощность — \[P_{\text{ст}} = NP_1.\] Поскольку лампочки-заменители рассчитаны на то же напряжение, но имеют номинальную мощность \(P_2 = P_1/2\), сопротивление каждой новой лампочки есть \[r_2 = \dfrac{U_0^2}{P_2}\] и, следовательно, общее сопротивление новой цепи будет равно \[R = (N-k)r_1 + kr_2 = U_0^2\left(\dfrac{N-k}{P_1} + \dfrac{k}{P_2}\right)\] (\(k = 5\)). Поэтому полная мощность, выделяемая в новой цепи будет равна \[P_{\text{нов}} = \dfrac{U^2}{R} = \dfrac{N^2}{\left(\dfrac{N-k}{P_1} + \dfrac{k}{P_2}\right)} = \dfrac{N^2P_1P_2}{(N-k)P_2 + kP_1}\] Поскольку мощность новых лампочек составляет половину старых, имеем \[P_{\text{нов}} = \dfrac{N^2P_1P_2}{(N-k)P_2 + kP_1} = \dfrac{N^2P_1}{N+k} = \dfrac{N}{N+k}P_{\text{ст}} = \dfrac34P_{\text{ст}} = 56{,}3\text{ Вт}\] Таким образом, выделяемая в новой цепи мощность составляет три четверти от мощности, выделяемой в старой.

Найдем теперь, какая мощность будет выделяться на старых и новых лампочках в новой цепи. Поскольку ток, текущий через лампочки одинаков (последовательное соединение), а сопротивление каждой новой лампочки в 2 раза больше сопротивления старой, из закона Джоуля–Ленца заключаем, что мощность, выделяемая на каждой новой лампочке, будет в 2 раза больше мощности, выделяемой на каждой старой. Поэтому \[(N-k)P_1^{\text{нов}} + kP_2^{\text{нов}} = P_{\text{нов}}\quad\Rightarrow\quad 10P_1^{\text{нов}} + 2\cdot5P_1^{\text{нов}} = \dfrac34\,15P_1\quad\Rightarrow\quad P_1^{\text{нов}} = \dfrac{45}{80}P_1 = 2{,}8\text{ Вт}\] \[P_2^{\text{нов}} = \dfrac{45}{40}P_1 = 5{,}6\text{ Вт}\]

Ответ

\(v = 4\omega R = 12\) м/с. Чтобы увеличить скорость, надо уменьшить радиус задней шестерни и увеличить радиус шестерни, связанной с педалями (при этом растёт и необходимое усилие); чтобы уменьшить усилие — наоборот.

Решение

Поскольку зубчатые колеса связаны нерастяжимой цепью, то линейные скорости точек на периферии зубчатых колес совпадают \(\vec v_{\text{п}} = \vec v_{\text{к}}\) (см. рисунок). Или \[\omega r_{\text{п}} = \omega_{\text{к}} r_{\text{к}},\] где \(\omega_{\text{к}}\) — угловая скорость шестерни заднего колеса. А поскольку эта шестерня жестко связана с самим задним колесом, оно вращается с той же угловой скоростью. Поэтому линейная скорость точек на ободе заднего колеса равна \[v = \omega_{\text{к}}R = \dfrac{\omega r_{\text{п}}}{r_{\text{к}}}R = 4\omega R = 12\text{ м/с}\tag{*}\]

А поскольку точка на ободе движется относительно центра колеса со скоростью (*) и не проскальзывает относительно земли, то центр колеса и, следовательно, сам велосипед движутся относительно земли со скоростью (*).

При фиксированной угловой скорости вращения педалей эта скорость будет возрастать с уменьшением радиуса задней шестерни и увеличением радиуса шестерни, связанной с педалями. Это, однако, потребует существенно бóльших усилий от велосипедиста. На гоночных велосипедах предусмотрена возможность «переключения скоростей», т.е. использования шестерней разных радиусов.

Ответ

\(v = \dfrac{2q\Delta m}{3c\rho S\Delta T} = 1{,}83\) м/с.

Решение

Пусть скорость течения воды в трубке \(v\). Тогда за малый интервал времени \(\Delta t\) в трубку втекает масса воды \(\Delta\mu = \rho Sv\Delta t\). Такое же количество и вытекает из трубки, так как вода нигде не накапливается. Следовательно, за этот интервал времени из двигателя уносится следующее количество теплоты \[\delta Q = c\Delta\mu\Delta T = c\rho Sv\Delta t\Delta T,\] \(c\) — удельная теплоемкость воды. С другой стороны, за рассматриваемый интервал времени в двигателе выделится \(\delta Q = q\Delta m\Delta t\) из которых \(2/3\) будет передано воде. Отсюда \[\dfrac23\,q\Delta m = c\rho Sv\Delta T\qquad\Rightarrow\qquad v = \dfrac{2q\Delta m}{3c\rho S\Delta T} = 1{,}83\text{ м/с}.\]

Ответ

\(t_3 = 66{,}7^\circ C\).

Решение

При нагреве до максимальной температуры количество теплоты, отдаваемое сосудами окружающей среде, равно количеству теплоты, выделяемому нагревателем. С другой стороны, теплоотдача складывается из потока тепла через боковые стенки, дно и поверхность. Поэтому для мощности теплоотдачи \(w\) первым сосудом имеем \[w = \lambda_1S_1(t_1-t_0) + \lambda_2S_2(t_1-t_0) + \lambda_3S_1(t_1-t_0),\] где \(\lambda_1\), \(\lambda_2\) и \(\lambda_3\) — коэффициенты пропорциональности, определяющие теплоотдачу дна, боковых стенок сосуда и поверхности, \(S_1\) — площадь дна и поверхности, \(S_2\) — площадь боковых стенок первого сосуда.

Для мощности теплоотдачи в случае второго сосуда имеем \[w = \lambda_1S_1(t_2-t_0) + \lambda_22S_2(t_2-t_0) + \lambda_3S_1(t_2-t_0)\] Аналогично для нагревания воды в теретьенм сосуде \[w = \lambda_1S_1(t_2-t_0) + \lambda_24S_2(t_2-t_0) + \lambda_3S_1(t_2-t_0)\] Отсюда \[\begin{align*} (t_1-t_0)(\lambda_1S_1+\lambda_3S_1+\lambda_2S_2) &= (t_2-t_0)(\lambda_1S_1+\lambda_3S_1+2\lambda_2S_2)\\ (t_1-t_0)(\lambda_1S_1+\lambda_3S_1+\lambda_2S_2) &= (t_3-t_0)(\lambda_1S_1+\lambda_3S_1+4\lambda_2S_2) \end{align*}\] Решение этой системы уравнений проще провести «в числах». Поскольку \(t_1-t_0 = 70^\circ C\), \(t_2-t_0 = 60^\circ C\), то, вводя обозначения \(X = \lambda_1S_1+\lambda_3S_1\), \(Y = \lambda_2S_2\), \(Z = t_3-t_0\), получим \[\begin{align*} 70(X+Y) &= 60(X+2Y)\\ 70(X+Y) &= Z(X+4Y)\tag{*} \end{align*}\] Система двух уравнений (*) содержит три неизвестных величины, и потому не может быть разрешена относительно всех неизвестных. Тем не менее, величину \(Z\) из нее можно найти. Действительно, если вынести за скобку в правой и левой частях первого и второго равенства величину \(X\) и сократить, то система будет содержать только две неизвестных — величину \(Z\) и отношение \(Y/X\), которые, следовательно, могут быть найдены. Выражая из первого равенства величину \(X\) \[X = 5Y\] и подставляя во второе, получим \[Z = 46{,}7^\circ C\] или \[t_3 = 66{,}7^\circ C\]

Ответ

\(m = \dfrac{\sqrt2F}{g}\).

Решение

Пусть длина доски — \(L\), расстояние от опор до центра тяжести доски — \(x\) и \(y\) (см. рисунок; центр тяжести доски обозначен точкой).

Тогда условие переворота относительно левой опоры дает \[2F\left(\dfrac{L}{2}-x\right) = mgx\tag{*}\] А условие переворота относительно правой опоры \[F\left(\dfrac{L}{2}-y\right) = mgy\] Учитывая, что \(y = L/2 - x\), из второго равенства получим \[Fx = mg\left(\dfrac{L}{2}-x\right)\tag{**}\] Перемножая равенства (*) и (**), найдем \[2F^2 = (mg)^2.\] Откуда \[m = \dfrac{\sqrt2F}{g}\]