ИОШ, 2019/20, отборочный этап, 9-10 класс

\(Q = 49{,}4\cdot10^3\) Дж.

Для нагрева массы спирта \(m\) на \(\Delta T\) нужно количество теплоты \[Q = cm\Delta T = c\rho V\Delta T,\] где \(c\) — удельная теплоемкость спирта, \(\rho\) — плотность спирта, \(V\) — его объем. Подставляя в эту формулу данные в условии величины и переводя все размерности в систему СИ, получаем \[Q = 5{,}823\cdot10^2\cdot4{,}187\,(\text{Дж/(кг}\cdot{}^\circ\text{C)})\cdot792{,}7\,(\text{кг/м}^3)\cdot1\cdot0{,}5683\cdot10^{-3}\,(\text{м}^3)\times\left(52\cdot1{,}25\,({}^\circ\text{C}) - (68-32)\cdot0{,}5555\,({}^\circ\text{C})\right)\] Отсюда \[Q = 49{,}4\cdot10^3\text{ Дж}\]

Шкалу следует прикрепить к узкому колену (относительная погрешность там меньше); при шкале на широком колене относительная погрешность составит 32 % (так в официальном решении).

Абсолютная точность измерения давления с помощью манометра определяется ценной деления шкалы. Найдем цену деления в случае, когда шкала прикреплена к широкому и узкому колену манометра (левый и правый рисунки в условии).

Пусть измеряемое давление \(p\) и объем, в котором измеряется давление, подсоединен к узкому колену манометра, а шкала присоединена к широкому (левый рисунок в условии). Разность уровней \(\Delta h\) воды в широком и узком коленах составляет \[\Delta h = \dfrac{p}{\rho g}\] При этом условие равенства объемов воды дает \[\begin{align*} \Delta h_{\text{у}}S_{\text{у}} &= \Delta h_{\text{ш}}S_{\text{ш}}\\ \Delta h_{\text{у}} + \Delta h_{\text{ш}} &= \Delta h \end{align*}\] где \(\Delta h_{\text{у}}\), \(\Delta h_{\text{ш}}\) — величины изменения уровня воды в узком и широком коленах, \(S_{\text{у}}\), \(S_{\text{ш}}\) — площади сечения узкого и широкого колен сосуда. Отсюда находим \[\Delta h_{\text{у}} = \dfrac{\Delta hS_{\text{ш}}}{S_{\text{у}}+S_{\text{ш}}} = \dfrac{pS_{\text{ш}}}{\rho g(S_{\text{у}}+S_{\text{ш}})},\qquad \Delta h_{\text{ш}} = \dfrac{\Delta hS_{\text{у}}}{S_{\text{у}}+S_{\text{ш}}} = \dfrac{pS_{\text{у}}}{\rho g(S_{\text{у}}+S_{\text{ш}})}\] Если цена деления шкалы (в единицах длины) равна \(d\), то абсолютная погрешность измерения давления пропорциональна этой величине. Поэтому относительная погрешность измерения давления с помощью шкалы, присоединенной к узкому и широкому коленам, составляет \[\delta p_{\text{у}} \sim \dfrac{d}{\Delta h_{\text{у}}} = \dfrac{d\rho g(S_{\text{у}}+S_{\text{ш}})}{pS_{\text{ш}}},\qquad \delta p_{\text{ш}} = \dfrac{d}{\Delta h_{\text{ш}}} = \dfrac{d\rho g(S_{\text{у}}+S_{\text{ш}})}{pS_{\text{у}}}\] Таким образом, относительная погрешность измерения одного и того же давления с помощью шкалы, присоединенной к узкому колену манометра, оказывается меньше, чем относительная погрешность измерения давления с помощью шкалы, присоединенной к широкому колену манометра. В отношении площадей сечений колен \[\dfrac{\delta p_{\text{у}}}{\delta p_{\text{ш}}} = \dfrac{S_{\text{у}}}{S_{\text{ш}}}\] Поэтому если погрешность измерения давления с помощью шкалы, присоединенной к узкому колену манометра, составляет 2%, то относительная погрешность измерения давления с помощью шкалы, присоединенной к широкому колену манометра, составит \[\delta p_{\text{ш}} = \dfrac{\delta p_{\text{у}}S_{\text{ш}}}{S_{\text{у}}} = 32\%\]

\(a = \dfrac{\sqrt[6]{7}}{\sqrt[3]{3}}\sqrt[3]{V}\), \(b = \dfrac{\sqrt[6]{3}}{\sqrt[3]{7}}\sqrt[3]{V}\), \(c = \sqrt[6]{21}\sqrt[3]{V}\).

Пусть длины ребер элемента равны \(a\), \(b\) и \(c\). Тогда сопротивление элемента, когда мы подключаем шины к грани \(a\times b\), равно \[R_{a\times b} = \dfrac{\rho c}{ab}\] где \(\rho\) — удельное сопротивление материала элемента. Аналогично \[R_{b\times c} = \dfrac{\rho a}{bc}\quad\text{и}\quad R_{a\times c} = \dfrac{\rho b}{ac}\] Отсюда находим соответствующие мощности \[P_{a\times b} = \dfrac{U^2}{R_{a\times b}} = \dfrac{U^2ab}{\rho c},\quad P_{b\times c} = \dfrac{U^2}{R_{b\times c}} = \dfrac{U^2bc}{\rho a},\quad P_{a\times c} = \dfrac{U^2}{R_{a\times c}} = \dfrac{U^2ac}{\rho b}\] Из условия находим \[\dfrac{P_{a\times b}}{P_{b\times c}} = \dfrac{a^2}{c^2} = \dfrac13,\quad \dfrac{P_{b\times c}}{P_{a\times c}} = \dfrac{b^2}{a^2} = \dfrac37\] Из этих уравнений и условия \(abc = V\) находим \[a = \dfrac{\sqrt[6]{7}}{\sqrt[3]{3}}\sqrt[3]{V},\quad b = \dfrac{\sqrt[6]{3}}{\sqrt[3]{7}}\sqrt[3]{V},\quad c = \sqrt[6]{21}\sqrt[3]{V}\]

\(t = \dfrac{2\left(\sqrt{\pi^2r^2+\pi dL} - \pi r\right)}{d\omega}\).

Найдем число витков ленты на приемной катушке (после того, как она будет полностью намотана на катушку). Если радиус катушки с лентой равен \(R\), то число витков есть \[N = \dfrac{R-r}{d}\tag{*}\] С другой стороны, длину ленты можно найти как (с учетом того, что она — тонкая) \[L = 2\pi r + 2\pi(r+d) + 2\pi(r+2d) + \ldots 2\pi(r+Nd) = 2\pi rN + 2\pi d(1+2+\ldots+N) = 2\pi rN + \pi dN^2 = \pi N(R+r)\] (Отметим, что получившийся результат является естественным. Длина ленты равна произведению числа витков на среднюю длину одного витка, которая из-за линейной зависимости длины витка от радиуса равна среднему арифметическому самого длинного — \(2\pi R\) — и самого короткого — \(2\pi r\) — витка). Отсюда с учетом формулы (*) находим радиус намотанной катушки \[L = \dfrac{\pi\left(R^2-r^2\right)}{d}\quad\Rightarrow\quad R = \sqrt{r^2+\dfrac{dL}{\pi}}\] а затем по формуле (*) и число витков намотанной ленты \[N = \dfrac{\sqrt{r^2+\dfrac{dL}{\pi}} - r}{d} = \dfrac{\sqrt{\pi r^2+dL} - \sqrt\pi\,r}{\sqrt\pi\,d}\] Поскольку катушка вращается с постоянной угловой скоростью, каждый оборот она делает за одно и то же время, и потому полное время наматывания равно \[t = N\dfrac{2\pi}{\omega} = \dfrac{2\left(\sqrt{\pi^2r^2+\pi dL} - \pi r\right)}{d\omega}\]

\(r_5 = \dfrac{10\,yr}{x}\), где \(r\) — радиус трубки (так в официальном решении).

Через отверстия пройдут лучи, падающие непосредственно на отверстие, но не только они. Через отверстие пройдут лучи, попавшие на него после отражений от зеркала. В частности, лучи, упавшие на поверхность зеркала на расстоянии \(x/2\) от конца трубы (см. рисунок), на расстоянии \(x/3\) (рисунок), \(x/4\) и т.д. А лучи, падающие на внутреннюю поверхность трубки под углами, большими, чем те, что показаны на верхнем рисунке, в отверстие не попадут. А это значит, что на экране мы увидим систему ярких колец в тех местах, куда попадут лучи, и неосвещенных — в тех местах, куда лучи не попадут. Радиусы этих колец можно найти из следующих соображений. Лучи, образующие первое кольцо, испытают одно отражение от внутренней поверхности трубки ровно посередине от источника до отверстия. Поэтому из подобия треугольников \(ABO\) и \(A_1B_1O\) имеем для радиуса первого кольца \(r_1\)

\[\dfrac{AB}{BO} = \dfrac{OB_1}{A_1B_1}\qquad\Rightarrow\qquad A_1B_1 = r_1 = \dfrac{yr}{x/2} = \dfrac{2yr}{x}\] Лучи, образующие второе кольцо, испытают два отражение от внутренней поверхности трубки; первое из их — на расстоянии \(x/4\), и т.д. Поэтому для радиуса \(n\)-го кольца находим \[r_n = \dfrac{yr}{x/2n} = \dfrac{2nyr}{x}\] В частности, для радиуса пятого кольца получаем \[r_5 = \dfrac{10yr}{x}\]

Точка пересечения движется по окружности радиуса \(l/2\) с центром в середине отрезка \(AB\), равномерно с угловой скоростью \(2\omega\): \(v = \omega l\), \(a = 2\omega^2l\).

Поскольку стержни вращаются с одинаковой угловой скоростью, то угол, который составляет правый стержень с вертикалью и левый с горизонталью, равны в любой момент времени (см. рисунок; этот угол обозначен как \(\alpha\)). А поскольку угол \(ABD\) — прямой, то угол \(CBA\) равен \(90^\circ-\alpha\). Отсюда следует, что угол \(ACB\) — прямой в любой момент времени. Таким образом, точка \(C\) движется так, что треугольник \(ABC\) — прямоугольный. Поэтому она движется по окружности, у которой отрезок \(AB\) является диаметром. Следовательно, центр этой окружности находится в середине отрезка \(AB\) (на рисунке он обозначен как \(O\)) и в тот момент когда угол между правым стержнем и вертикалью и левым стержнем и горизонталью равен \(\alpha\) угол \(COB\) равен \(2\alpha\) (это легко доказать, используя факт равнобедренности треугольника \(ACO\)). Поэтому точка пересечения стержней движется с постоянной угловой скоростью \(2\omega\). И, следовательно, величина скорости этой точки в любой момент времени равна

\[v = 2\omega\dfrac{l}{2} = \omega l\tag{*}\] Поскольку точка пересечения стержней движется равномерно, ее ускорение — центростремительное, и в любой момент времени определяется соотношением \[a = (2\omega)^2\dfrac{l}{2} = 2\omega^2l\tag{**}\] Итак, точка пересечения стержней движется по окружности радиуса \(l/2\) с центром в середине отрезка \(AB\). Ее скорость и ускорение в любой момент времени (и, следовательно, в тот, о котором говорится в условии) определяются формулами (*) и (**) соответственно.