IPhO 1967, теоретический тур

Подсказка

Во время удара горизонтальный импульс системы «шарик + пуля» сохраняется. После удара оба тела падают с одной высоты, значит, летят одинаковое время.

Ответ

\(d = v_0\sqrt{\dfrac{2h}{g}} - \dfrac{M}{m}\,s = 100\) м (от колонны);  \(p = \dfrac{M}{m}\dfrac{s^2}{v_0^2}\dfrac{g}{2h}\left(2\dfrac{v_0}{s}\sqrt{\dfrac{2h}{g}} - \dfrac{M+m}{m}\right) = 92{,}8\,\%\).

Решение

На рисунке: \(v\) — горизонтальная составляющая скорости пули после удара; \(V\) — горизонтальная составляющая скорости шарика после удара.

Будем пользоваться обозначениями рис. 2.

Поскольку на систему «шарик + пуля» не действуют горизонтальные силы, горизонтальная составляющая импульса этой системы до удара и после удара должна быть одной и той же: \[mv_0 = mv + MV.\] Значит, \[v = v_0 - \frac{M}{m}V.\] Из условий, описанных в тексте задачи, следует, что \[v > V.\]

После удара и шарик, и пуля продолжают свободное движение в поле тяжести с начальными горизонтальными скоростями \(V\) и \(v\) соответственно. Движение шарика и движение пули продолжаются одно и то же время: \[t = \sqrt{\frac{2h}{g}}.\] Это время свободного падения с высоты \(h\).

Расстояния, пройденные шариком и пулей за время \(t\), равны соответственно \[s = Vt \quad\text{и}\quad d = vt.\] Отсюда \[V = s\sqrt{\frac{g}{2h}}.\] Следовательно, \[v = v_0 - \frac{M}{m}s\sqrt{\frac{g}{2h}}.\] Окончательно: \[d = v_0\sqrt{\frac{2h}{g}} - \frac{M}{m}s.\] Численно: \(d = 100\) м.

Полная кинетическая энергия системы была равна начальной кинетической энергии пули: \[E_0 = \frac{mv_0^2}{2}.\] Сразу после удара полная кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий пули и шарика: \[E_m = \frac{mv^2}{2}, \qquad E_M = \frac{MV^2}{2}.\] Их разность, перешедшая в теплоту, составила \[\Delta E = E_0 - (E_m + E_M).\] Это следующая доля начальной кинетической энергии пули: \[p = \frac{\Delta E}{E_0} = 1 - \frac{E_m + E_M}{E_0}.\] Используя приведённые выше выражения для энергий и скоростей, получаем \[p = \frac{M}{m}\frac{s^2}{v_0^2}\frac{g}{2h}\left(2\frac{v_0}{s}\sqrt{\frac{2h}{g}} - \frac{M+m}{m}\right).\] Численно: \(p = 92{,}8\,\%\).

Подсказка

Если отбросить первое звено бесконечной цепочки, оставшаяся часть ничем не отличается от исходной цепи.

Ответ

\(R_{AB} = \frac12\left(1 + \sqrt5\right)r\).

Решение

Легко заметить, что если убрать левую часть цепи, выделенную на рис. 4 пунктирным квадратом, то получится цепь, тождественная исходной (это следствие того, что цепь бесконечна).

Значит, можно воспользоваться эквивалентностью, графически показанной на рис. 5.

Алгебраически эту эквивалентность можно записать так: \[R_{AB} = r + \frac{1}{\dfrac1r + \dfrac{1}{R_{AB}}}.\] Отсюда \[R_{AB}^2 - rR_{AB} - r^2 = 0.\] У этого уравнения два решения: \[R_{AB} = \tfrac12\left(1 \pm \sqrt5\right)r.\] Решение, соответствующее знаку «\(-\)» в этой формуле, отрицательно, а сопротивление должно быть положительным. Поэтому мы его отбрасываем. Окончательно получаем \[R_{AB} = \tfrac12\left(1 + \sqrt5\right)r.\]

Подсказка

При нагревании шары расширяются. Что при этом происходит с центром масс висящего шара и с центром масс шара, лежащего на плоскости?

Ответ

Нет: конечная температура висящего шара A выше, чем лежащего шара B. Для свинцовых шаров радиусом 10 см и 50 ккал теплоты \(\Delta t = \Delta t_A - \Delta t_B \approx \dfrac{2AQgr\alpha}{mc^2} \approx 1{,}5\cdot10^{-5}\) К.

Решение

Что касается текста задачи, фраза «Обоим шарам сообщили одинаковые количества теплоты» не слишком ясна. Будем следовать интуитивному пониманию этой фразы, т. е. будем считать, что обе системы (A — висящий шар и B — шар, лежащий на плоскости) получили извне одну и ту же порцию энергии. Следует, однако, понимать, что это не единственная возможная трактовка.

При нагревании шаров их центры масс смещаются, поскольку меняются радиусы шаров. Центр масс шара A опускается, а центр масс шара B поднимается. Это показано на рис. 7 (масштаб не соблюдён).

Смещению центра масс соответствует изменение потенциальной энергии шара в поле тяжести.

В случае шара A потенциальная энергия уменьшается. Согласно первому началу термодинамики, этому соответствует дополнительный нагрев шара.

В случае шара B потенциальная энергия увеличивается. Согласно первому началу термодинамики, этому соответствуют некоторые «потери подведённой теплоты» на совершение механической работы, необходимой для подъёма шара. В итоге конечная температура шара B должна быть ниже конечной температуры шара A.

Описанный эффект очень мал. Например, можно найти (см. ниже), что для шаров из свинца радиусом 10 см и порции теплоты 50 ккал разность конечных температур шаров порядка \(10^{-5}\) К. Из-за пространственных и временных флуктуаций такую малую величину практически невозможно измерить.

Вычисления разности конечных температур от участников не требовалось. Тем не менее приводим его здесь как элемент обсуждения.

Можно считать, что работой против атмосферного давления можно пренебречь. Очевидно, что эта работа мала. Кроме того, она почти одинакова для обоих шаров. Поэтому она не должна существенно влиять на разность температур. Будем считать, что такие величины, как удельная теплоёмкость свинца и коэффициент теплового расширения свинца, постоянны (т. е. не зависят от температуры).

Теплоту, затраченную на изменение температур шаров, можно записать как \[Q_i = mc\Delta t_i, \quad\text{где } i = A \text{ или } B.\] Здесь \(m\) обозначает массу шара, \(c\) — удельную теплоёмкость свинца, \(\Delta t_i\) — изменение температуры шара.

Изменения потенциальной энергии шаров равны (без учёта знаков) \[\Delta E_i = mgr\alpha\Delta t_i, \quad\text{где } i = A \text{ или } B.\] Здесь \(g\) обозначает ускорение свободного падения, \(r\) — начальный радиус шара, \(\alpha\) — коэффициент теплового расширения свинца. Мы считаем здесь, что нить не меняет своей длины.

Учитывая условия, описанные в тексте задачи, и трактовку, упомянутую в начале решения, можно записать: \[Q = Q_A - A\Delta E_A \quad\text{для шара } A,\] \[Q = Q_B + A\Delta E_B \quad\text{для шара } B.\] \(A\) обозначает тепловой эквивалент работы: \(A \approx 0{,}24\,\dfrac{\text{кал}}{\text{Дж}}\). По сути, \(A\) — это лишь переводной коэффициент между калориями и джоулями. Если вы пользуетесь системой единиц, в которой калорий нет, \(A\) можно вообще опустить.

Таким образом, \[Q = (mc - Amgr\alpha)\Delta t_A \quad\text{для шара } A,\] \[Q = (mc + Amgr\alpha)\Delta t_B \quad\text{для шара } B\] и \[\Delta t_A = \frac{Q}{mc - Amgr\alpha}, \qquad \Delta t_B = \frac{Q}{mc + Amgr\alpha}.\] Окончательно получаем \[\Delta t = \Delta t_A - \Delta t_B = \frac{2Agr\alpha}{c^2 - (Agr\alpha)^2}\,\frac{Q}{m} \approx \frac{2AQgr\alpha}{mc^2}.\] (Мы пренебрегли членом с \(\alpha^2\), поскольку коэффициент \(\alpha\) очень мал.)

Теперь можно подставить численные значения: \(Q = 50\) ккал, \(A \approx 0{,}24\) кал/Дж, \(g \approx 9{,}8\text{ м/с}^2\), \(m \approx 47\) кг (масса свинцового шара радиусом 10 см), \(r = 0{,}1\) м, \(c \approx 0{,}031\) кал/(г\(\cdot\)К), \(\alpha \approx 29\cdot10^{-6}\text{ К}^{-1}\). После вычислений получаем \(\Delta t \approx 1{,}5\cdot10^{-5}\) К.

Подсказка

Сначала выясните, испарится ли вся вода при \(100\,^\circ\)C: сравните плотность получившегося пара с плотностью насыщенного пара. Затем воспользуйтесь законом Дальтона.

Ответ

\(p = p_0\dfrac{273+t}{273} + \dfrac{m}{\mu}R\dfrac{273+t}{V_0} = (1{,}366 + 0{,}516)\text{ атм} \approx 1{,}88\) атм (вся вода испаряется, пар ненасыщенный).

Решение

Добавленная в сосуд вода испаряется. Предположим, что испарилась вся порция воды. Тогда плотность водяного пара при \(100\,^\circ\)C должна быть \(0{,}300\) г/л. Это меньше плотности насыщенного пара при \(100\,^\circ\)C, равной \(0{,}597\) г/л. (Школьникам разрешалось пользоваться физическими таблицами.) Значит, при \(100\,^\circ\)C в сосуде находятся только воздух и ненасыщенный водяной пар (без жидкой фазы).

Теперь предположим, что и воздух, и ненасыщенный водяной пар ведут себя как идеальные газы. Согласно закону Дальтона, полное давление \(p\) в сосуде при \(100\,^\circ\)C равно сумме парциальных давлений воздуха \(p_a\) и ненасыщенного водяного пара \(p_v\): \[p = p_a + p_v.\]

Поскольку объём сосуда постоянен, к воздуху можно применить закон Гей-Люссака. Получаем \[p_a = p_0\left(\frac{273 + t}{273}\right).\]

Давление водяного пара можно найти из уравнения состояния идеального газа: \[\frac{p_vV_0}{273 + t} = \frac{m}{\mu}R,\] где \(m\) обозначает массу пара, \(\mu\) — молярную массу воды, \(R\) — универсальную газовую постоянную. Таким образом, \[p_v = \frac{m}{\mu}R\frac{273 + t}{V_0}\] и окончательно \[p = p_0\frac{273 + t}{273} + \frac{m}{\mu}R\frac{273 + t}{V_0}.\] Численно: \[p = (1{,}366 + 0{,}516)\text{ атм} \approx 1{,}88\text{ атм}.\]