IPhO 1969, теоретический тур

Подсказка

В первом случае все тележки движутся с одним горизонтальным ускорением, а тележка \(A\) не движется по вертикали. Нить и силы между тележками — внутренние для всей системы.

Ответ

1) а) \(T = m_1g = 2{,}94\) Н;  б) \(F = (m_1+m_2+m_3)\dfrac{m_1}{m_2}g = 29{,}4\) Н.  2) а) \(a = a_x = -a_y = \dfrac{m_1}{m_1+m_2}g = 5{,}89\text{ м}\cdot\text{с}^{-2}\);  б) \(T = \dfrac{m_2m_1}{m_1+m_2}g = 1{,}18\) Н.

Решение

Случай 1. Сила \(\vec F\) настолько велика, что тележки \(A\) и \(B\) остаются в покое относительно тележки \(C\), т. е. они движутся с тем же ускорением, что и тележка \(C\). Пусть \(\vec G_1\), \(\vec T_1\) и \(\vec T_2\) обозначают силы, действующие на отдельные тележки, как показано на рис. 2, и запишем уравнения движения тележек \(A\) и \(B\), а также всей механической системы. Заметим, что некоторые внутренние силы (а именно силы нормальной реакции) не показаны.

Тележка \(B\) движется в системе координат \(Oxy\) с ускорением \(a_x\). Единственная сила, действующая на тележку \(B\), — сила \(\vec T_2\), поэтому \[T_2 = m_2a_x. \qquad (1)\] Поскольку \(\vec T_1\) и \(\vec T_2\) — силы натяжения одной и той же нити, их модули удовлетворяют равенству \[T_1 = T_2.\] На тележку \(A\) в направлении оси \(y\) действуют силы \(\vec T_1\) и \(\vec G_1\). Поскольку по условию 1 тележки \(A\) и \(B\) покоятся относительно тележки \(C\), ускорение в направлении оси \(y\) равно нулю, \(a_y = 0\), откуда \[T_1 - m_1g = 0.\] Следовательно, \[T_2 = m_1g. \qquad (2)\] Таким образом, движение всей механической системы описывается уравнением \[F = (m_1 + m_2 + m_3)\,a_x, \qquad (3)\] поскольку силы между тележками \(A\) и \(C\), а также между тележками \(B\) и \(C\) — внутренние силы по отношению к системе всех трёх тел. Заметим здесь, что и натяжение \(\vec T_2\) — внутренняя сила по отношению к системе всех тел, что легко увидеть из анализа сил, действующих на блок. Из уравнений (1) и (2) получаем \[a_x = \frac{m_1}{m_2}g.\] Подставляя последний результат в (3), приходим к \[F = (m_1 + m_2 + m_3)\,\frac{m_1}{m_2}g.\] Численное решение: \[T_2 = T_1 = 0{,}3\cdot9{,}81\text{ Н} = 2{,}94\text{ Н},\] \[F = 2\cdot\frac32\cdot9{,}81\text{ Н} = 29{,}4\text{ Н}.\]

Случай 2. Если тележка \(C\) неподвижна, то тележка \(A\) движется с ускорением \(a_y\), а тележка \(B\) — с ускорением \(a_x\). Поскольку нить нерастяжима (т. е. не может удлиняться), выполняется равенство \[a_x = -a_y = a.\] Тогда уравнения движения тележек \(A\) и \(B\) соответственно можно записать в виде \[T_1 = G_1 - m_1a, \qquad (4)\] \[T_2 = m_2a. \qquad (5)\] Модули сил натяжения нити снова удовлетворяют равенству \[T_1 = T_2. \qquad (6)\] Из равенств (4), (5) и (6) сразу следует \[(m_1 + m_2)\,a = m_1g.\] С помощью последнего результата можно вычислить \[a = a_x = -a_y = \frac{m_1}{m_1 + m_2}g,\] \[T_2 = T_1 = \frac{m_2m_1}{m_1 + m_2}g.\] Численные результаты: \[a = a_x = \frac35\cdot9{,}81\text{ м}\cdot\text{с}^{-2} = 5{,}89\text{ м}\cdot\text{с}^{-2},\] \[T_1 = T_2 = 1{,}18\text{ Н}.\]

Подсказка

Переберите возможные конечные состояния: весь лёд растаял; вся вода замёрзла; при \(0\,^\circ\)C тает часть льда; при \(0\,^\circ\)C замерзает часть воды. Физический смысл имеет только то решение, которое удовлетворяет своему условию.

Ответ

а) см. уравнения (7)–(10) решения;  б) \(t = 0\,^\circ\)C, замерзает \(m_2' = 0{,}11\) кг воды: \(M_2 = 0{,}89\) кг воды, \(M_3 = 2{,}11\) кг льда.

Решение

Используем следующие обозначения:

\(t\) — температура конечного равновесного состояния,

\(t_0 = 0\,^\circ\)C — температура плавления льда при нормальном давлении,

\(M_2\) — конечная масса воды,

\(M_3\) — конечная масса льда,

\(m_2' \le m_2\) — масса воды, которая замерзает,

\(m_3' \le m_3\) — масса льда, который тает.

а) В общем случае возможны четыре процесса и соответствующие им равновесные состояния.

1. \(t_0 < t < t_2\), \(m_2' = 0\), \(m_3' = m_3\), \(M_2 = m_2 + m_3\), \(M_3 = 0\). Неизвестную конечную температуру \(t\) можно найти из уравнения \[(m_1c_1 + m_2c_2)(t_2 - t) = m_3c_3(t_0 - t_3) + m_3l + m_3c_2(t - t_0). \qquad (7)\] Однако физический смысл имеет только решение, удовлетворяющее условию \(t_0 < t < t_2\).

2. \(t_3 < t < t_0\), \(m_2' = m_2\), \(m_3' = 0\), \(M_2 = 0\), \(M_3 = m_2 + m_3\). Неизвестную конечную температуру \(t\) можно найти из уравнения \[m_1c_1(t_2 - t) + m_2c_2(t_2 - t_0) + m_2l + m_2c_3(t_0 - t) = m_3c_3(t - t_3). \qquad (8)\] Однако физический смысл имеет только решение, удовлетворяющее условию \(t_3 < t < t_0\).

3. \(t = t_0\), \(m_2' = 0\), \(0 \le m_3' \le m_3\), \(M_2 = m_2 + m_3'\), \(M_3 = m_3 - m_3'\). Неизвестную массу \(m_3'\) можно вычислить из уравнения \[(m_1c_1 + m_2c_2)(t_2 - t_0) = m_3c_3(t - t_3) + m_3'l. \qquad (9)\] Однако физический смысл имеет только решение, удовлетворяющее условию \(0 \le m_3' \le m_3\).

4. \(t = t_0\), \(0 \le m_2' \le m_2\), \(m_3' = 0\), \(M_2 = m_2 - m_2'\), \(M_3 = m_3 + m_2'\). Неизвестную массу \(m_2'\) можно вычислить из уравнения \[(m_1c_1 + m_2c_2)(t_2 - t_0) + m_2'l = m_3c_3(t_0 - t_3). \qquad (10)\] Однако физический смысл имеет только решение, удовлетворяющее условию \(0 \le m_2' \le m_2\).

б) Подставляя конкретные значения \(m_1\), \(m_2\), \(m_3\), \(t_2\) и \(t_3\) в уравнения (7), (8) и (9), получаем решения, не имеющие физического смысла (не удовлетворяющие указанным выше условиям для \(t\) и соответственно \(m_3'\)). Реальный физический процесс при заданных условиях описывается уравнением (10), из которого следует \[m_2' = \frac{m_3c_3(t_0 - t_3) - (m_1c_1 + m_2c_2)(t_2 - t_0)}{l}.\] Подставляя заданные численные значения, получаем \(m_2' = 0{,}11\) кг. Следовательно, \(t = 0\,^\circ\)C, \(M_2 = m_2 - m_2' = 0{,}89\) кг, \(M_3 = m_3 + m_2' = 2{,}11\) кг.

Подсказка

Нить натянута вдоль равнодействующей силы тяжести и электрической силы. Поле кольца на его оси найдите суммированием вкладов малых участков: все точки кольца удалены от шарика на одно и то же расстояние — длину нити.

Ответ

\(l = \sqrt[3]{\dfrac{QqR}{4\pi\varepsilon_0mg}} = 7{,}2\cdot10^{-2}\) м.

Решение

В равновесии нить натянута в направлении равнодействующей сил \(\vec G = m\vec g\) и \(\vec F = q\vec E\), где \(\vec E\) — напряжённость электрического поля кольца на оси на расстоянии \(x\) от плоскости кольца, см. рис. 3. Из подобия треугольников можно записать \[\frac{x}{R} = \frac{Eq}{mg}. \qquad (11)\]

Для вычисления напряжённости электрического поля разделим кольцо на \(n\) одинаковых частей, так что каждая часть несёт заряд \(Q/n\). Модуль напряжённости электрического поля одной части кольца равен \[\Delta E = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0l^2n}.\]

Эту напряжённость можно разложить на составляющую вдоль оси \(x\) и составляющую, перпендикулярную оси \(x\), см. рис. 4. Модули обеих составляющих равны \[\Delta E_x = \Delta E\cos\alpha = \frac{\Delta E\,x}{l},\] \[\Delta E_\perp = \Delta E\sin\alpha.\] Из симметрии следует, что для каждой части кольца существует другая часть, составляющая \(\Delta\vec E_\perp\) которой имеет тот же модуль, но противоположное направление. Следовательно, составляющие, перпендикулярные оси, взаимно компенсируются, и результирующая напряжённость электрического поля имеет модуль \[E = E_x = n\Delta E_x = \frac{Qx}{4\pi\varepsilon_0l^3}. \qquad (12)\] Подставляя (12) в (11), получаем для длины нити \[l = \sqrt[3]{\frac{QqR}{4\pi\varepsilon_0mg}}.\] Численно: \[l = \sqrt[3]{\frac{9{,}0\cdot10^{-8}\cdot9{,}0\cdot10^{-8}\cdot5{,}0\cdot10^{-2}}{4\pi\cdot8{,}9\cdot10^{-12}\cdot10^{-3}\cdot9{,}8}}\text{ м} = 7{,}2\cdot10^{-2}\text{ м}.\]

Подсказка

Запишите условие максимума для отражения от тонкого воздушного слоя (с потерей полуволны на одной из поверхностей). То, что в диапазоне ровно два максимума и один из них на 400 нм, позволяет найти порядок максимума, а затем толщину слоя.

Ответ

\(\lambda_1 = 666{,}7\) нм; толщина слоя \(d = 500\) нм; кубик нужно нагреть на \(\Delta t = \dfrac{d}{\alpha h} = 3{,}1\,^\circ\)C.

Решение

Условие максимума усиления можно записать в виде \[2dn - \frac{\lambda_k}{2} = k\lambda_k, \quad\text{где } k = 0, 1, 2, \ldots,\] т. е. \[2dn = (2k + 1)\frac{\lambda_k}{2}, \qquad (13)\] где \(d\) — толщина слоя, \(n\) — показатель преломления, \(k\) — порядок максимума. Обозначим \(\lambda' = 1150\) нм. Поскольку по условию для \(\lambda = 400\) нм условие максимума выполнено, обозначим \(\lambda_p = 400\) нм, где \(p\) — неизвестное целое число, задающее порядок максимума, для которого выполняется \[\lambda_p(2p + 1) = 4dn. \qquad (14)\] Из уравнения (13) следует, что при фиксированном \(d\) длина волны \(\lambda_k\) увеличивается с уменьшением порядка максимума \(k\), и наоборот. Согласно условию, \[\lambda_{p-1} < \lambda' < \lambda_{p-2},\] т. е. \[\frac{4dn}{2(p-1) + 1} < \lambda' < \frac{4dn}{2(p-2) + 1}.\] Подставляя в последние неравенства \(4dn\) из (14), получаем \[\frac{\lambda_p(2p + 1)}{2(p-1) + 1} < \lambda' < \frac{\lambda_p(2p + 1)}{2(p-2) + 1}.\] Исследуем сначала первое неравенство; несложные вычисления последовательно дают \[\lambda_p(2p + 1) < \lambda'(2p - 1), \qquad 2p(\lambda' - \lambda_p) > \lambda' + \lambda_p,\] т. е. \[p > \frac12\,\frac{\lambda' + \lambda_p}{\lambda' - \lambda_p} = \frac12\,\frac{1150 + 400}{1150 - 400} = 1{,}\ldots \qquad (15)\] Аналогично из второго неравенства имеем \[\lambda_p(2p + 1) > \lambda'(2p - 3), \qquad 2p(\lambda' - \lambda_p) < 3\lambda' + \lambda_p,\] т. е. \[p < \frac12\,\frac{3\lambda' + \lambda_p}{\lambda' - \lambda_p} = \frac12\,\frac{3\cdot1150 + 400}{1150 - 400} = 2{,}\ldots \qquad (16)\] Единственное целое \(p\), удовлетворяющее и (15), и (16), — это \(p = 2\).

Найдём теперь толщину \(d\) воздушного слоя: \[d = \frac{\lambda_p}{4}(2p + 1) = \frac{400}{4}(2\cdot2 + 1)\text{ нм} = 500\text{ нм}.\] Подставляя \(d\) в уравнение (13), можно вычислить \(\lambda_{p-1}\), т. е. \(\lambda_1\): \[\lambda_1 = \frac{4dn}{2(p-1) + 1} = \frac{4dn}{2p - 1}.\] Подставляя конкретные значения, получаем \[\lambda_1 = \frac{4\cdot500\cdot1}{2\cdot2 - 1}\text{ нм} = 666{,}7\text{ нм}.\] Наконец, определим повышение температуры \(\Delta t\). В общем случае выполняется \(\Delta l = \alpha l\Delta t\). Обозначив ребро кубика через \(h\), приходим к \(d = \alpha h\Delta t\). Следовательно, \[\Delta t = \frac{d}{\alpha h} = \frac{5\cdot10^{-7}}{8\cdot10^{-6}\cdot2\cdot10^{-2}}\,{}^\circ\text{C} = 3{,}1\,^\circ\text{C}.\]