IPhO 1976, теоретический тур

Подсказка

Брусок движется по горизонтальной окружности радиусом \(R\sin\alpha\); запишите второй закон Ньютона в проекциях на горизонталь и вертикаль и найдите, куда должна быть направлена сила трения при каждой из угловых скоростей. Для устойчивости посмотрите, как требуемое отношение \(S/N\) меняется с углом и с \(\omega\).

Ответ

а) \(\mu_a \ge \dfrac{3\sqrt3}{23} = 0{,}2259\);  б) \(\mu_b \ge \dfrac{3\sqrt3}{29} = 0{,}1792\);  в) в случае а) смещённый вверх брусок возвращается, вниз — не возвращается; при увеличении \(\omega\) брусок остаётся в равновесии, при уменьшении — соскальзывает вниз; в случае б) смещённый вверх брусок там и остаётся, вниз — возвращается; при увеличении \(\omega\) брусок поднимается, при уменьшении — остаётся в равновесии.

Решение

а) Брусок движется по горизонтальной окружности радиусом \(R\sin\alpha\). Равнодействующая сил, действующих на брусок, направлена к центру этой окружности (рис. 7). Векторная сумма силы нормальной реакции стенки \(N\), силы трения \(S\) и силы тяжести \(mg\) равна равнодействующей: \(m\omega^2 R\sin\alpha\).

Рис. 7

Связи между горизонтальными и вертикальными составляющими: \[m\omega^2 R\sin\alpha = N\sin\alpha - S\cos\alpha ,\] \[mg = N\cos\alpha + S\sin\alpha .\] Решение системы уравнений: \[S = mg\sin\alpha\left(1 - \frac{\omega^2 R\cos\alpha}{g}\right),\] \[N = mg\left(\cos\alpha + \frac{\omega^2 R\sin^2\alpha}{g}\right).\] Брусок не соскальзывает вниз, если \[\mu_a \ge \frac{S}{N} = \sin\alpha\cdot\frac{1 - \dfrac{\omega^2 R\cos\alpha}{g}}{\cos\alpha + \dfrac{\omega^2 R\sin^2\alpha}{g}} = \frac{3\sqrt3}{23} = \mathbf{0{,}2259}.\] В этом случае нужно по меньшей мере такое трение, чтобы не допустить проскальзывания, т. е. соскальзывания вниз.

б) Если же, напротив, \(\dfrac{\omega^2 R\cos\alpha}{g} > 1\), то трение необходимо, чтобы брусок не проскальзывал вверх. Величина \(m\omega^2 R\sin\alpha\) должна быть равна равнодействующей сил \(S\), \(N\) и \(mg\). Условие для минимального коэффициента трения (рис. 8):

Рис. 8 \[\mu_b \ge \frac{S}{N} = \sin\alpha\cdot\frac{\dfrac{\omega^2 R\cos\alpha}{g} - 1}{\cos\alpha + \dfrac{\omega^2 R\sin^2\alpha}{g}} = \frac{3\sqrt3}{29} = \mathbf{0{,}1792}.\]

в) Нужно исследовать \(\mu_a\) и \(\mu_b\) как функции \(\alpha\) и \(\omega\) в случаях а) и б) (см. рис. 9а и 9б):

Рис. 9а

Рис. 9б

На рисунках: \(\omega = 5/\text{s}\) — \(\omega = 5\text{ с}^{-1}\), \(\omega = 8/\text{s}\) — \(\omega = 8\text{ с}^{-1}\) (s — с).

В случае а): если брусок смещается вверх, он возвращается обратно; если смещается вниз — не возвращается. Если \(\omega\) увеличивается, брусок остаётся в равновесии, если \(\omega\) уменьшается — соскальзывает вниз.

В случае б): если брусок смещается вверх, он там и остаётся; если брусок смещается вниз — он возвращается. Если \(\omega\) увеличивается, брусок поднимается вверх, если \(\omega\) уменьшается — брусок остаётся в равновесии.

Подсказка

Сначала сравните начальные давления в частях цилиндра. Пока клапан закрыт, газ справа сжимается адиабатически; после открытия клапана газы смешиваются без совершения работы, а дальше вся смесь снова сжимается адиабатически. Не забудьте о работе атмосферного давления.

Ответ

\(W = 3640\text{ Дж}\).

Решение

Объём \(4\text{ г}\) гелия при температуре \(0\,^\circ\text{C}\) и давлении \(100\text{ кПа}\) равен \(22{,}4\text{ дм}^3\) (молярный объём). Отсюда следует, что вначале давление в левой части равно \(600\text{ кПа}\), а в правой — \(100\text{ кПа}\). Поэтому клапан закрыт.

Происходит адиабатическое сжатие, пока давление в правой части не достигнет \(600\text{ кПа}\) (\(\kappa = 5/3\)): \[100\cdot 11{,}2^{5/3} = 600\cdot V^{5/3},\] откуда объём правой части (в момент открытия клапана) \[V = 3{,}82\text{ дм}^3.\] Из уравнения состояния идеального газа температура в правой части в этот момент \[T_1 = \frac{pV}{nR} = 552\text{ К}.\] На этом этапе вся совершённая работа идёт на увеличение внутренней энергии газа: \[W_1 = (3{,}15\text{ Дж/(г·К)})\cdot(2\text{ г})\cdot(552\text{ К} - 273\text{ К}) = 1760\text{ Дж}.\] Далее клапан открывается, поршень остановлен. Температура после завершения перемешивания \[T_2 = \frac{12\cdot 273 + 2\cdot 552}{14} = 313\text{ К}.\] На этом этапе энергия не меняется, работа над поршнем не совершается.

Затем следует адиабатическое сжатие от \(11{,}2 + 3{,}82 = 15{,}02\text{ дм}^3\) до \(11{,}2\text{ дм}^3\): \[313\cdot 15{,}02^{2/3} = T_3\cdot 11{,}2^{2/3},\] откуда \[T_3 = 381\text{ К}.\] Вся совершённая работа идёт на увеличение энергии газа: \[W_3 = (3{,}15\text{ Дж/(г·К)})\cdot(14\text{ г})\cdot(381\text{ К} - 313\text{ К}) = 3000\text{ Дж}.\] Полная совершённая работа \[W_\text{полн} = W_1 + W_3 = 4760\text{ Дж}.\] Нужно вычесть работу, совершённую внешним атмосферным давлением: \[W_\text{атм} = 100\text{ кПа}\cdot 11{,}2\text{ дм}^3 = 1120\text{ Дж}.\] Работа, совершённая нами над поршнем: \[W = W_\text{полн} - W_\text{атм} = \mathbf{3640\text{ Дж}}.\]

Подсказка

Сначала найдите ось, на которой лежат центры шара и пузырька. Подумайте, как избавиться от преломления на внешней поверхности шара, или как использовать лучи, проходящие через шар мимо пузырька и касающиеся его.

Решение

Нельзя полагаться на какое-либо значение плотности стекла: оно весьма неопределённо. Показатель преломления можно определить с помощью светового пучка, который не задевает пузырёк. Другой способ — погрузить шар в жидкость с тем же показателем преломления: его поверхность становится невидимой.

Можно найти очень много способов.

Можно начать с определения оси — прямой, соединяющей центры шара и пузырька. Проще всего воспользоваться методом «ваньки-встаньки». Если положить шар на горизонтальную плоскость, ось займёт вертикальное положение. Изображение пузырька, если смотреть с обеих сторон вдоль оси, — круг.

Если шар погружён в жидкость с тем же показателем преломления, сферический пузырёк фактически находится внутри плоскопараллельной пластинки (рис. 11). Его границы можно определить либо микрометром, либо с помощью параллельных световых пучков.

Рис. 11

Вдоль оси мы имеем систему линз, состоящую из двух толстых рассеивающих линз. Диаметр пузырька можно определить с помощью нескольких измерений и сложных вычислений.

Если показатель преломления стекла известен, можно приложить к шару на конце оси плоско-вогнутую линзу с тем же показателем преломления (рис. 12). Так как \(ABCD\) образует плоскопараллельную пластинку, диаметр пузырька можно измерить с помощью параллельных световых пучков.

Рис. 12

Фокусируя световой пучок в точку \(A\) поверхности шара (рис. 13), получаем внутри шара расходящийся пучок из точки \(A\). Лучи падают на поверхность с другой стороны и освещают сферический сегмент. Измерив этот сегмент, получаем угол \(\varphi\). Угол \(\psi\) можно получить аналогично в точке \(B\).

Рис. 13

Из \[\sin\varphi = \frac{r}{R+d} \quad\text{и}\quad \sin\psi = \frac{r}{R-d}\] получаем \[r = 2R\cdot\frac{\sin\psi\sin\varphi}{\sin\psi + \sin\varphi}, \qquad d = R\cdot\frac{\sin\psi - \sin\varphi}{\sin\psi + \sin\varphi}.\]

Диаметр пузырька можно определить также с помощью рентгеновских лучей. Рентгеновские лучи не преломляются стеклом. Они дадут тени, показывающие структуру тела, в нашем случае — положение и диаметр пузырька.

Можно также определить момент инерции относительно оси и по нему — диаметр пузырька.