IPhO 1982, теоретический тур

Подсказка

Лампа и обмотка дросселя — последовательные активные сопротивления, индуктивность находится из полного сопротивления цепи. При размыкании цепи с катушкой возникает большая ЭДС самоиндукции.

Ответ

a) \(L = 1{,}09\) Гн;  b) \(\varphi = 64{,}1^\circ\);  c) \(P_w \approx 59{,}9\) Вт;  d) при размыкании контакта стартёра на дросселе возникает высокое напряжение самоиндукции, зажигающее лампу;  e) световой поток пульсирует с периодом \(10\) мс (график — в решении);  f) время рекомбинации ионов и электронов в газовом разряде достаточно велико;  g) режим лампы почти не меняется (\(Z' = 373{,}7\) Ом), угол сдвига фаз становится \(\varphi' = -63{,}6^\circ\); конденсаторы служат для компенсации реактивных токов;  h) непокрытая часть даёт линейчатый спектр ртути, покрытая — тот же линейчатый спектр на фоне сплошного.

Решение

a) Полное сопротивление установки \[Z = \frac{228{,}5\text{ В}}{0{,}6\text{ А}} = 380{,}8\text{ Ом},\] омическое сопротивление трубки \[R_R = \frac{84\text{ В}}{0{,}6\text{ А}} = 140\text{ Ом}.\] Следовательно, полное омическое сопротивление \[R = 140\text{ Ом} + 26{,}3\text{ Ом} = 166{,}3\text{ Ом}.\] Поэтому для индуктивности дросселя: \[\omega\cdot L = \sqrt{Z^2 - R^2} = 342{,}6\text{ Ом}.\] Отсюда \[L = \frac{342{,}6\text{ Ом}}{100\pi\text{ с}^{-1}} = 1{,}09\text{ Гн}.\]

b) Угол сдвига фаз находим из \[\operatorname{tg}\varphi = \frac{\omega\cdot L}{R} = \frac{342{,}6\text{ Ом}}{166{,}3\text{ Ом}} = 2{,}06.\] Таким образом, \(\varphi = 64{,}1^\circ\).

c) Активную мощность можно вычислить разными способами:

1) \(P_w = U\cdot I\cdot\cos\varphi = 228{,}5\text{ В}\cdot 0{,}6\text{ А}\cdot\cos 64{,}1^\circ = 59{,}88\text{ Вт}\);

2) \(P_w = R\cdot I^2 = 166{,}3\text{ Ом}\cdot(0{,}6\text{ А})^2 = 59{,}87\text{ Вт}\).

d) При размыкании контакта в стартёре на дросселе возникает высокое напряжение индукции (если только контакт не размыкается точно в тот момент, когда ток проходит через нуль). Этого напряжения достаточно, чтобы зажечь лампу. Само же напряжение сети меньше напряжения зажигания люминесцентной трубки.

e)

На рисунке: Luminous flux — световой поток, Time — время, ms — мс.

f) Время рекомбинации ионов и электронов в газовом разряде достаточно велико.

g) Ёмкостное сопротивление конденсатора \(4{,}7\) мкФ равно \[\frac{1}{\omega\cdot C} = (100\cdot\pi\cdot 4{,}7\cdot 10^{-6})^{-1}\text{ Ом} = 677{,}3\text{ Ом}.\] Два реактивных сопротивления вычитаются, и остаётся реактивное сопротивление \(334{,}7\) Ом, имеющее ёмкостный характер.

Полное сопротивление цепи теперь \[Z' = \sqrt{(334{,}7)^2 + (166{,}3)^2}\text{ Ом} = 373{,}7\text{ Ом},\] что очень близко к полному сопротивлению без конденсатора, если считать конденсатор не имеющим потерь (ср. a)). Поэтому лампа работает так же, так же зажигается, и разница состоит лишь в угле сдвига фаз \(\varphi'\), который противоположен углу \(\varphi\), вычисленному в b): \[\operatorname{tg}\varphi' = \frac{\omega\cdot L - (\omega\cdot C)^{-1}}{R} = -\frac{334{,}7}{166{,}3} = -2{,}01,\] \[\varphi' = -63{,}6^\circ.\] Такие дополнительные конденсаторы применяют для компенсации реактивных токов в зданиях с большим числом люминесцентных ламп; часто их предписывают энергоснабжающие компании. Большая доля реактивного тока нежелательна, потому что генераторы приходится рассчитывать на гораздо большую мощность, чем действительно нужно, и к этому добавляются потери при передаче, которые потребитель не оплачивает, если используются счётчики только активной энергии.

h) Непокрытая часть демонстрационной лампы даёт линейчатый спектр ртути, покрытая часть — тот же линейчатый спектр на фоне сплошного. Сплошной спектр возникает из ультрафиолетовой части излучения ртути, которая поглощается люминофором и переизлучается с меньшей частотой (потеря энергии фотонов), т. е. с большей длиной волны.

Подсказка

Для физического маятника равенство периодов при двух разных расстояниях от точки подвеса до центра масс задаёт квадратное уравнение относительно этого расстояния — у него не больше двух корней.

Ответ

Центр масс лежит на перпендикуляре, опущенном из вершины (крючка) на длинную сторону, посередине между вершиной и длинной стороной, т. е. на расстоянии \(5\) см от неё; \(T = 1{,}03\) с.

Решение

Первый способ.

Движения твёрдого тела в плоскости соответствуют движению двух одинаковых точечных масс, соединённых жёстким невесомым стержнем. Момент инерции тогда определяет расстояние между ними.

Из положения равновесия a) следует, что центр масс находится на перпендикуляре к длинной стороне вешалки, проходящем через её середину. Если представить себе эквивалентные массы и точку подвеса \(P\) расположенными в каждом случае на одной прямой, то лишь два положения \(P\) дают один и тот же период колебаний (см. рисунок). Это можно понять, рассмотрев предельные случаи: 1) обе точки подвеса — в верхней массе и 2) одна точка — в центре масс, а другая — бесконечно высоко над ним. Между этими крайними случаями период колебаний растёт непрерывно. Точка подвеса в углу длинной стороны c) находится дальше всех от центра масс, и поэтому эта точка лежит вне двух точечных масс. Две другие точки подвеса a), b) тогда должны располагаться симметрично относительно центра масс между двумя точечными массами, т. е. центр масс делит этот перпендикуляр пополам.

Из теории оборотного маятника известно, что для каждой точки подвеса физического маятника, вообще говоря, есть вторая точка подвеса маятника, повёрнутого на \(180^\circ\), с тем же периодом колебаний, но на другом расстоянии от центра масс. Расстояние между двумя точками подвеса равно длине соответствующего математического маятника. Поэтому период колебаний получается через соответствующую длину маятника \(s_b + s_c\), где \(s_b = 5\) см и \(s_c = \sqrt{5^2 + 21^2}\) см: \(T = 1{,}03\) с.

Второй способ.

Пусть \(s\) — расстояние между точкой подвеса и центром масс, \(m\) — масса тела, \(\theta\) — момент инерции относительно точки подвеса. Тогда период колебаний \(T\): \[T = 2\pi\sqrt{\frac{\theta}{m\cdot g\cdot s}}, \tag{1}\] где \(g\) — ускорение свободного падения, \(g = 9{,}81\text{ м/с}^2\). Здесь \(\theta\) можно получить из момента инерции \(\theta_0\) относительно центра масс: \[\theta = \theta_0 + m\cdot s^2. \tag{2}\]

Из-за симметричного положения в случае a) центр масс находится на перпендикуляре, восставленном из середины длинной стороны. Теперь из (1) и (2) получаем \[\theta_0 + m\cdot s^2 = \left(\frac{T}{2\cdot\pi}\right)^2\cdot m\cdot g\cdot s \quad\text{для } s = s_a,\ s_b \text{ и } s_c, \tag{3}\] поскольку все периоды колебаний одинаковы. Это квадратное уравнение имеет не более двух различных решений. Поэтому по крайней мере два из трёх расстояний равны. Так как \(s_c > 21\text{ см} > s_a + s_b\), равными могут быть только \(s_a\) и \(s_b\). Таким образом, \[s_a = 5\text{ см}. \tag{4}\] Момент инерции \(\theta_0\) исключаем с помощью (3): \[m\cdot(s_c^2 - s_a^2) = \left(\frac{T}{2\cdot\pi}\right)^2\cdot m\cdot g\cdot(s_c - s_a),\] и получаем \[T = 2\cdot\pi\sqrt{\frac{s_c + s_a}{g}} \tag{5}\] с численным значением \(T = 1{,}03\) с, округлённым до двух знаков после запятой из-за точности \(g\).

Третий способ.

Это решение совпадает с предыдущим вплоть до уравнения (2). Из (1) и (2) при равных периодах колебаний \(T_1 = T_2\) в общем случае имеем \[\frac{\theta_0 + m\cdot s_1^2}{m\cdot g\cdot s_1} = \frac{\theta_0 + m\cdot s_2^2}{m\cdot g\cdot s_2},\] и, следовательно, \[s_2\cdot\left(\theta_0 + m\cdot s_1^2\right) = s_1\cdot\left(\theta_0 + m\cdot s_2^2\right),\] или \[(s_2 - s_1)\cdot(\theta_0 - m\cdot s_1 s_2) = 0. \tag{6}\] Решение (6) включает две возможности: \[s_1 = s_2 \quad\text{или}\quad s_1\cdot s_2 = \frac{\theta_0}{m}.\] Пусть \(2\cdot a\) — длина длинной стороны, \(b\) — высота вешалки. Так как \(T_b = T_c\), имеем либо \(s_b = s_c\), либо \(s_b\cdot s_c = \theta_0/m\), где \(s_c = \sqrt{s_b^2 + a^2}\), что исключает первую возможность. Таким образом, \[s_b\cdot s_c = \frac{\theta_0}{m}. \tag{7}\] Для \(T_a = T_b\) случай \(s_a\cdot s_b = \theta_0/m\) исключается из-за (7), так как \[s_a\cdot s_b < s_c\cdot s_b = \frac{\theta_0}{m}.\] Следовательно, \[s_a = s_b = \frac{1}{2}b, \qquad s_c = \sqrt{\frac{1}{4}b^2 + a^2}\] и \[T = 2\cdot\pi\sqrt{\frac{\dfrac{\theta_0}{m} + s_b^2}{g\cdot s_b}} = 2\pi\sqrt{\frac{s_b\cdot s_c + s_b^2}{g\cdot s_b}}.\] Численный расчёт даёт \(T = 1{,}03\) с.

Подсказка

Плотность воздуха при постоянном давлении обратно пропорциональна абсолютной температуре; в изотермической атмосфере плотность убывает с высотой экспоненциально.

Ответ

a) \(\vartheta_2 = 68{,}38\,^\circ\)C (\(T_2 = 341{,}53\) К);  b) \(F_B = 1{,}21\) Н;  c) \(h = 843\) м;  d) гармонические колебания около положения равновесия, затухающие из-за сопротивления воздуха.

Решение

a) Условие парения: полная масса шара, состоящая из массы оболочки \(m_H\) и массы воздуха с температурой \(\vartheta_2\), должна быть равна массе вытесненного воздуха с температурой \(\vartheta_1 = 20\,^\circ\)C: \[V_B\cdot\rho_2 + m_H = V_B\cdot\rho_1,\] \[\rho_2 = \rho_1 - \frac{m_H}{V_B}. \tag{1}\] Тогда температуру можно найти из \[\frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{T_2}{T_1},\] \[T_2 = \frac{\rho_1}{\rho_2}\cdot T_1 = 341{,}53\text{ К} = 68{,}38\,^\circ\text{C}. \tag{2}\]

b) Сила \(F_B\), действующая на верёвку, равна разности выталкивающей силы \(F_A\) и силы тяжести \(F_G\): \[F_B = V_B\cdot\rho_1\cdot g - (V_B\cdot\rho_3 + m_H)\cdot g. \tag{3}\] С учётом \(\rho_3\cdot T_3 = \rho_1\cdot T_1\) получаем \[F_B = V_B\cdot\rho_1\cdot g\cdot\left(1 - \frac{T_1}{T_3}\right) - m_H\cdot g = 1{,}21\text{ Н}. \tag{4}\]

c) Шар поднимается до высоты \(h\), на которой плотность наружного воздуха \(\rho_h\) равна эффективной плотности \(\rho_{\text{eff}}\), вычисляемой по массе воздуха с температурой \(\vartheta_3 = 110\,^\circ\)C (внутри шара) и массе оболочки \(m_H\): \[\rho_{\text{eff}} = \frac{m_2}{V_B} = \frac{\rho_3\cdot V_B + m_H}{V_B} = \rho_h = \rho_1\cdot e^{-\frac{\rho_1\cdot g\cdot h}{p_0}}. \tag{5}\] Решая (5) относительно \(h\), получаем: \[h = \frac{p_0}{\rho_1\cdot g}\cdot\ln\frac{\rho_1}{\rho_{\text{eff}}} = 843\text{ м}. \tag{6}\]

d) Для малых разностей высот (\(10\) м по сравнению с \(843\) м) экспоненциальное убывание давления (соответственно плотности) с высотой можно приближённо заменить линейной функцией высоты. Поэтому возвращающая сила пропорциональна отклонению от положения равновесия.

Это условие, при котором возникают гармонические колебания, которые, конечно, затухают из-за сопротивления воздуха.