IPhO 1983, теоретический тур

Подсказка

Сила \(F_x\) консервативна, как сила тяжести для мячика, прыгающего над полом: вся начальная механическая энергия в итоге уходит на работу силы трения, а остановиться частица может только у стенки.

Ответ

a) \(D = \dfrac{|F_x|\cdot x_0 + E_c}{F_f} = 20\) м;  b) \(U(x) = |F_x|\cdot x\) — линейная зависимость (без трения частица доходила бы до \(\delta = 2\) м);  c) см. графики в решении: скорость по модулю растёт при движении к стенке и убывает при движении от неё, точки остановки \(x_k\) всё ближе к стенке.

Решение

a. Ситуацию задачи можно смоделировать, направив ось \(Ox\) вертикально так, чтобы стенка была внизу. Консервативной силой \(F_x\) тогда может быть вес частицы. Движение частицы можно представить как вертикальное движение маленького упругого мячика, упруго ударяющегося о землю и движущегося в среде с постоянной силой трения. Сила трения меньше веса.

Потенциальную энергию частицы можно представить по аналогии с гравитационной потенциальной энергией мячика \(m\cdot g\cdot h\), полагая \(m\cdot g = |F_x|\); \(h = x\). Как хорошо известно, в поле консервативной силы изменение потенциальной энергии зависит только от начального и конечного положений частицы и не зависит от пути между ними.

В условиях задачи, когда частица движется к стенке, действующая на неё сила направлена к стенке и имеет модуль \[F_{\leftarrow} = |F_x| - F_f,\tag{1.1}\] \[F_{\leftarrow} = 9\text{ Н}.\tag{1.2}\] Следовательно, движение частицы к стенке — движение с постоянным ускорением, модуль которого \[a_{\leftarrow} = \frac{F_{\leftarrow}}{m} = \frac{|F_x| - F_f}{m}.\tag{1.3}\] При этом движении скорость частицы растёт.

Ударившись о стенку, частица начинает двигаться в противоположном направлении со скоростью, по модулю равной скорости до удара.

Когда частица движется от стенки, в положительном направлении оси \(Ox\), действующая сила снова направлена к стенке и имеет модуль \[F_{\rightarrow} = |F_x| + F_f,\tag{1.4}\] \[F_{\rightarrow} = 11\text{ Н}.\tag{1.5}\] Соответственно, движение частицы от стенки замедленное, и модуль ускорения равен \[a_{\rightarrow} = \frac{F_{\rightarrow}}{m} = \frac{|F_x| + F_f}{m}.\tag{1.6}\] При этом движении скорость частицы уменьшается до нуля.

Поскольку во время движения на частицу действует сила, тело не может иметь положения равновесия ни в одной точке оси, за исключением начала координат, где обращается в нуль потенциальная энергия. Окончательно остановиться частица может только в этой точке.

Работа консервативной силы от точки с координатой \(x_0 = 0\) до точки \(x\), \(L_{0\to x}\), связана с изменением потенциальной энергии частицы \(U(x) - U(0)\) так: \[\begin{cases} U(x) - U(0) = -L_{0\to x},\\[2pt] U(x) - U(0) = -\displaystyle\int_0^x \vec F_x\cdot d\vec x = \int_0^x |F_x|\cdot dx = |F_x|\cdot x. \end{cases}\tag{1.7}\] Принимая, что потенциальная энергия частицы равна нулю при \(x = 0\), начальную потенциальную энергию частицы \(U(x_0)\) в поле консервативной силы \[F_x(x) = F_0\tag{1.8}\] можно записать как \[U(x_0) = |F_0|\cdot x_0.\tag{1.9}\] Начальная кинетическая энергия \(E(x_0)\) частицы, по условию, \[E(x_0) = E_c,\tag{1.10}\] и, следовательно, полная энергия частицы \(W(x_0)\) равна \[W(x_0) = U(x_0) + E_c.\tag{1.11}\] Частица останавливается, когда её полная энергия целиком израсходована на работу силы трения. Путь \(D\), пройденный частицей до остановки, удовлетворяет соотношениям \[\begin{cases} W(x_0) = D\cdot F_f,\\ U(x_0) + E_c = D\cdot F_f,\\ |F_x|\cdot x_0 + E_c = D\cdot F_f, \end{cases}\tag{1.12}\] так что \[D = \frac{|F_x|\cdot x_0 + E_c}{F_f}\tag{1.13*}\] и \[D = 20\text{ м}.\tag{1.14*}\] Соотношения (1.13) и (1.14) — ответ на вопрос I.a.

b. Соотношение (1.7), записанное в виде \[U(x) = |F_x|\cdot x,\tag{1.15}\] даёт линейную зависимость потенциальной энергии от положения.

Если бы движение происходило без трения, частица могла бы дойти до точки \(A\) на расстоянии \(\delta\) от начала координат, в которой кинетическая энергия обращается в нуль. В точке \(A\) энергия частицы целиком потенциальная.

Закон сохранения энергии для начальной точки и точки \(A\) даёт \[\begin{cases} E_c + |F_x|\cdot x_0 = |F_x|\cdot\delta,\\[2pt] \delta = x_0 + \dfrac{E_c}{|F_x|}. \end{cases}\tag{1.16}\] Численное значение координаты точки \(A\), наиболее удалённой от начала координат, при движении без трения \[\delta = 2\text{ м}.\] Зависимость потенциальной энергии от положения в области \((0, \delta)\) представлена на рисунке 1.2.

Рисунок 1.2. На рисунке: A.U. — произв. ед.

При реальном движении частицы (с трением) крайние положения, которых достигает частица, меньше \(\delta\) (из-за потери энергии на трение).

График на рисунке 1.2 — ответ на вопрос I.b.

c. При движении частицы её энергия уменьшается из-за работы силы трения. Скорость частицы имеет локальный максимум вблизи стенки. Обозначим \(v_k\) скорость частицы непосредственно перед её \(k\)-м ударом о стенку, а \(v_{k+1}\) — скорость непосредственно перед следующим ударом; тогда \[v_k > v_{k+1}.\] Между двумя последовательными ударами частица достигает положений \(x_k\), в которых её скорость обращается в нуль и энергия частицы чисто потенциальная. Эти положения всё ближе к стенке, так как часть энергии частицы рассеивается трением: \[x_{k+1} < x_k.\tag{1.17}\]

Случай 1

Когда частица движется к стенке, и её скорость, и её кинетическая энергия растут. Потенциальная энергия частицы уменьшается. При движении — независимо от его направления — энергия рассеивается силой трения.

Потенциальная энергия частицы \(U(x)\), кинетическая энергия \(E(x)\) и полная энергия частицы \(W(x)\) на этом участке движения связаны соотношением \[W(x_0) - W(x) = F_f\cdot(x_0 - x),\tag{1.18}\] где положение \(x\) лежит в области \[x\in(0, x_0),\tag{1.19}\] проходимой от \(x_0\) к началу координат. Соотношение (1.18) можно записать как \[\left[E_c + |F_x|\cdot x_0\right] - \left[\frac{m\cdot v^2}{2} + |F_x|\cdot x\right] = F_f\cdot(x_0 - x),\tag{1.20}\] так что \[\begin{cases} v^2 = \dfrac{2}{m}\left[E_c + |F_x|\cdot x_0 - |F_x|\cdot x - F_f\cdot(x_0 - x)\right],\\[6pt] v^2 = \dfrac{2}{m}\left[E_c + x_0(|F_x| - F_f) - x(|F_x| - F_f)\right], \end{cases}\tag{1.21}\] и, следовательно, \[v = -\sqrt{\frac{2}{m}\left[E_c + x_0(|F_x| - F_f) - x(|F_x| - F_f)\right]}.\tag{1.22}\] Знак минус перед модулем скорости показывает, что частица движется в отрицательном направлении оси координат.

С данными задачи \[\begin{cases} v^2 = \dfrac{2}{m}(19 - 9\cdot x),\\[6pt] v = -\sqrt{\dfrac{2}{m}(19 - 9\cdot x)}. \end{cases}\tag{1.23}\] Скорость частицы при первом ударе о стенку \(v_{1\leftarrow}\) можно записать как \[v_{1\leftarrow} = -\sqrt{\frac{2}{m}\left[E_c + x_0(|F_x| - F_f)\right]}\tag{1.24}\] и имеет значение \[v_{1\leftarrow} = -\sqrt{\frac{2}{m}19}.\tag{1.25}\] Полная энергия у стенки, чисто кинетическая, \(E_{1\leftarrow}\), выражается как \[E_{1\leftarrow} = E_c + x_0(|F_x| - F_f).\tag{1.26}\] Численное значение этой энергии \[E_{1\leftarrow} = 19\text{ Дж}.\tag{1.27}\] График на рисунке 1.3 даёт зависимость квадрата скорости от положения для первой части движения частицы.

Рисунок 1.3

Рисунок 1.4. На рисунке: a.u. — произв. ед., m — м.

График на рисунке 1.4 представляет зависимость скорости от положения на этой первой части движения частицы (к стенке).

После удара о стенку скорость частицы \(v_{1\rightarrow}\) имеет тот же модуль, что и скорость непосредственно перед ударом, но направлена противоположно. На графике зависимости скорости от положения удар о стенку изображается скачком скорости из точки на отрицательной части оси скоростей в точку на положительной части оси скоростей. Модуль скорости непосредственно до и сразу после удара одинаков, как показано на рисунке 1.5: \[v_{1\rightarrow} = \sqrt{\frac{2}{m}\left[E_c + x_0(|F_x| - F_f)\right]}.\tag{1.28}\] После первого удара частица движется замедленно с постоянным замедлением \(a_{\rightarrow}\) и начальной скоростью \(v_{1\rightarrow}\).

Это движение продолжается до положения \(x_1\), где скорость обращается в нуль.

Из закона Галилея можно заключить, что \[\begin{cases} 0 = v_{1\rightarrow}^2 - 2\cdot a_{\rightarrow}\cdot x_1,\\[4pt] x_1 = \dfrac{v_{1\rightarrow}^2}{2\cdot a_{\rightarrow}} = \dfrac{\dfrac{2}{m}\left[E_c + x_0(|F_x| - F_f)\right]}{2\cdot\dfrac{|F_x| + F_f}{m}} = \dfrac{\left[E_c + x_0(|F_x| - F_f)\right]}{|F_x| + F_f}. \end{cases}\tag{1.29}\]

Численное значение положения \(x_1\): \[x_1 = \frac{19}{11}\text{ м}.\tag{1.30}\] Для положений \[x\in(0, x_1),\tag{1.31}\] проходимых от начала координат к \(x_1\), полная энергия \(W(x)\) выражается как \[W(x) = \frac{m\cdot v^2}{2} + |F_x|\cdot x.\tag{1.32}\] При удалении от стенки энергия частицы уменьшается из-за трения, т. е. \[\begin{cases} E_{1\leftarrow} - W(x) = F_f\cdot x,\\[2pt] E_c + x_0(|F_x| - F_f) - \dfrac{m\cdot v^2}{2} - |F_x|\cdot x = F_f\cdot x. \end{cases}\tag{1.33}\] Квадрат модуля скорости равен \[\begin{cases} v^2 = \dfrac{2}{m}\left[E_c + x_0(|F_x| - F_f) - (|F_x| + F_f)\cdot x\right],\\[6pt] v^2 = \dfrac{2}{m}(|F_x| + F_f)\cdot(x_1 - x), \end{cases}\tag{1.34}\] а скорость \[v = \sqrt{\frac{2}{m}\left[E_c + x_0(|F_x| - F_f) - (|F_x| + F_f)\cdot x\right]}.\tag{1.35}\] С данными задачи получаем \[v^2 = \frac{2}{m}\left[19 - 11\cdot x\right]\tag{1.36}\] и соответственно \[v = \sqrt{\frac{2}{m}\left[19 - 11\cdot x\right]}.\tag{1.37}\] Для положений в области \(x\in(0, x_1)\) (соответствующих второй части движения частицы) зависимость скорости от положения дана на рисунке 1.5.

Рисунок 1.5. На рисунке: a.u. — произв. ед., m — м.

Как видно на рисунке, достигнув самого удалённого положения \(x_1\), частица движется к началу координат без начальной скорости, ускоренно, с ускорением, модуль которого \(a_{\leftarrow} = (|F_x| - F_f)/m\). После удара о стенку скорость частицы равна по модулю и противоположна по направлению той, которую она имела непосредственно перед ударом.

Когда частица, двигаясь от \(x_1\) к началу координат, достигает точки области \((0, x_1)\), её полная энергия \(W(x)\) выражается формулой (1.32).

Начиная от \(x_1\), из-за диссипации, обусловленной силой трения, энергия изменяется до значения, соответствующего положению с координатой \(x\): \[\begin{cases} |F_x|\cdot x_1 - W(x) = F_f\cdot(x_1 - x),\\[2pt] |F_x|\cdot x_1 - \dfrac{m\cdot v^2}{2} - |F_x|\cdot x = F_f\cdot(x_1 - x). \end{cases}\tag{1.38}\] Квадрат скорости выражается как \[\begin{cases} v^2 = \dfrac{2}{m}\left[(|F_x| - F_f)\cdot(x_1 - x)\right],\\[6pt] v^2 = \dfrac{2}{m}\left[\dfrac{\left[E_c + x_0(|F_x| - F_f)\right]}{|F_x| + F_f} - x\right]\cdot(|F_x| - F_f), \end{cases}\tag{1.39}\] а скорость \[v = \sqrt{\frac{2}{m}\left[\frac{\left[E_c + x_0(|F_x| - F_f)\right]}{|F_x| + F_f} - x\right]\cdot(|F_x| - F_f)}.\tag{1.40}\] С данными задачи для положения в области \((0, x_1)\) \[v^2 = \frac{2}{m}\left[\frac{19}{11} - x\right]\cdot 9,\tag{1.41}\] соответственно \[v = -\sqrt{\frac{2}{m}\left[\frac{19}{11} - x\right]\cdot 9}.\tag{1.42}\]

Скорость частицы, когда она второй раз достигает стенки, с учётом (1.39) выражается как \[v_{2\leftarrow} = -\sqrt{\frac{2}{m}\left\{\frac{\left[E_c + x_0(|F_x| - F_f)\right]}{|F_x| + F_f}\cdot(|F_x| - F_f)\right\}}.\tag{1.43}\] Численное значение: \[v_{2\leftarrow} = -\sqrt{\frac{2}{m}\,\frac{171}{11}}.\tag{1.44}\] Итак, после первого удара и первого отскока частица удаляется от стенки, снова достигает положения, где скорость обращается в нуль, и затем возвращается к стенке. Скорость частицы при новом ударе о стенку меньше, чем раньше, — как на рисунке 1.5.

Как было обозначено выше, \(v_k\) — скорость частицы непосредственно перед её \(k\)-м пробегом, а \(x_k\) — координата самой удалённой точки, достигнутой во время \(k\)-го пробега.

Энергия частицы, стартующей от стенки, равна \[E_k = \frac{v_k^2\cdot m}{2} = W_k(0).\tag{1.45}\] В точке \(x_k\), самой удалённой от начала координат после \(k\)-го удара, энергия удовлетворяет соотношению \[U_k = x_k\cdot|F_x| = W_k(x_k).\tag{1.46}\] Изменение энергии между начальной точкой и точкой \(x_k\): \[\frac{v_k^2\cdot m}{2} - x_k\cdot|F_x| = F_f\cdot x_k,\tag{1.47}\] так что \[x_k = \frac{v_k^2\cdot m}{2\cdot(|F_x| + F_f)}.\tag{1.48}\] Когда частица достигает точки \(x_k\), направление скорости меняется, и, когда частица снова достигает стенки, \[\frac{v_{k+1}^2\cdot m}{2} = E_{k+1} = W_{k+1}(0).\tag{1.49}\] Закон сохранения энергии для точки \(x_k\) и состояния, когда частица снова достигает стенки, даёт \[x_k\cdot|F_x| - \frac{v_{k+1}^2\cdot m}{2} = F_f\cdot x_k,\tag{1.50}\] так что \[v_{k+1}^2 = \frac{2}{m}x_k(|F_x| - F_f).\tag{1.51}\] С учётом (1.48) соотношение (1.51) принимает вид \[v_{k+1}^2 = v_k^2\cdot\frac{|F_x| - F}{|F_x| + F}.\tag{1.52}\]

Между двумя последовательными ударами скорость уменьшается в геометрической прогрессии со знаменателем \(q\). Этот знаменатель выражается как \[q = \sqrt{\frac{|F_x| - F}{|F_x| + F}}\tag{1.53}\] и равен \[q = \sqrt{\frac{9}{11}}.\tag{1.54}\] Для \((k+1)\)-го удара соотношение (1.48) принимает вид \[x_{k+1} = \frac{v_{k+1}^2\cdot m}{2\cdot(|F_x| + F_f)}.\tag{1.55}\] С учётом (1.52) отношение последовательных крайних положений можно записать как \[\begin{cases} \dfrac{x_{k+1}}{x_k} = \dfrac{|F_x| - F_f}{|F_x| + F_f} = q^2,\\[6pt] x_{k+1} = q^2\cdot x_k. \end{cases}\tag{1.56}\] Для \(k\)-го пробега к началу координат (аналогично (1.39)) зависимость квадрата скорости \(v_{(k,\leftarrow)}^2\) от положения можно записать как \[\begin{cases} v_{(k,\leftarrow)}^2 = \dfrac{2}{m}\left[(|F_x| - F_f)\cdot(x_k - x)\right],\\[6pt] v_{(k,\leftarrow)}^2 = \dfrac{2}{m}\left[(|F_x| - F_f)\cdot(x_1\cdot q^{2k} - x)\right], \end{cases}\tag{1.57}\] или, с данными задачи, \[v_{(k,\leftarrow)}^2 = \frac{2}{m}\left[9\cdot\left(\frac{19}{11}\cdot\left(\frac{9}{11}\right)^k - x\right)\right].\tag{1.58}\] Для \(k\)-го пробега от начала координат (аналогично (1.34)) зависимость квадрата модуля скорости \(v_{(k,\rightarrow)}^2\) от положения можно записать как \[\begin{cases} v_{(k,\rightarrow)}^2 = \dfrac{2}{m}\left[(|F_x| + F_f)\cdot(x_k - x)\right],\\[6pt] v_{(k,\rightarrow)}^2 = \dfrac{2}{m}\left[(|F_x| + F_f)\cdot(x_1\cdot q^{2k} - x)\right]. \end{cases}\tag{1.59}\] С данными задачи \[v_{(k,\rightarrow)}^2 = \frac{2}{m}\left[11\cdot\left(\frac{19}{11}\cdot\left(\frac{9}{11}\right)^k - x\right)\right].\tag{1.60}\] Изменение квадрата скорости в зависимости от положения представлено на рисунке 1.6.

Рисунок 1.6. На рисунке: a.u — произв. ед., m — м.

А изменение скорости в зависимости от положения представлено на рисунке 1.7.

Рисунок 1.7. На рисунке: m — м.

Сумма прогрессии, заданной в (1.56), даёт половину пути, пройденного частицей после первого удара: \[\sum_{k=1}^{\infty}x_k = x_1\frac{1}{1 - q^2}.\tag{1.61}\] С учётом (1.53) и (1.29) \[\sum_{k=1}^{\infty}x_k = \frac{E_c + x_0\cdot(|F_x| - F_f)}{2\cdot F_f}.\tag{1.62}\] Численно \[\sum_{k=1}^{\infty}x_k = \frac{19}{2}\text{ м}.\tag{1.63}\] Полный пройденный путь равен \[\begin{cases} D = 2\cdot\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}x_k + x_0,\\ D = 20\text{ м}, \end{cases}\tag{1.64}\] что совпадает с (1.14).

Случай 2

Если частица стартует из положения \(x_0\), двигаясь в положительном направлении оси \(Ox\), её скорость и кинетическая энергия уменьшаются, а потенциальная энергия растёт до максимума в положении \(x_1'\), где скорость обращается в нуль. При этом движении энергия рассеивается из-за трения.

Полная энергия \(W(x)\) для положений \(x\) между \(x_0\) и \(x_1'\) удовлетворяет соотношению \[W(x_0) - W(x) = F_f\cdot(x - x_0),\tag{1.65}\] где положение \(x\) лежит в области \[x\in(x_0, x_1'),\tag{1.66}\] когда частица движется от \(x_0\) в положительном направлении оси. Соотношение (1.65) принимает вид \[\left[E_c + |F_x|\cdot x_0\right] - \left[\frac{m\cdot v^2}{2} + |F_x|\cdot x\right] = F_f\cdot(x - x_0),\tag{1.67}\] так что \[\begin{cases} v^2 = \dfrac{2}{m}\left[E_c + |F_x|\cdot x_0 - |F_x|\cdot x - F_f\cdot(x - x_0)\right],\\[6pt] v^2 = \dfrac{2}{m}\left[E_c + x_0(|F_x| + F_f) - x(|F_x| + F_f)\right] \end{cases}\tag{1.68}\] и \[v = \sqrt{\frac{2}{m}\left[E_c + x_0(|F_x| + F_f) - x(|F_x| + F_f)\right]}.\tag{1.69}\] С данными задачи \[\begin{cases} v^2 = \dfrac{2}{m}(21 - 11\cdot x),\\[6pt] v = \sqrt{\dfrac{2}{m}(21 - 11\cdot x)}. \end{cases}\tag{1.70}\]

Рисунок 1.8. На рисунке: a.u — произв. ед., m — м.

Рисунок 1.9. На рисунке: a.u — произв. ед., m — м.

График на рисунке 1.8 представляет зависимость квадрата скорости от положения для движения в области \(x\in(x_0, x_1')\). Частица движется в положительном направлении оси координат \(Ox\). Это движение продолжается до положения \(x_1'\), в котором скорость обращается в нуль. Из соотношения (1.68), в котором полагаем модуль скорости равным нулю, получаем \[x_1' = x_0 + \frac{E_c}{|F_x| + F_f};\tag{1.71}\] численное значение \(x_1'\): \[x_1' = \frac{21}{11}\text{ м}.\tag{1.72}\] Достигнув самого удалённого положения \(x_1'\), частица снова движется к началу координат без начальной скорости, ускоренно, с ускорением, модуль которого \(a_{\leftarrow} = (|F_x| - F_f)/m\). После удара о стенку частица имеет скорость \(v_{1\rightarrow}'\), равную по модулю и противоположную по направлению скорости \(v_{1\leftarrow}'\), которую она имела перед ударом.

Когда частица находится в точке области \((0, x_1')\), двигаясь от \(x_1'\) к началу координат, её полная энергия \(W(x)\) выражается как \[W(x) = \frac{m\cdot v^2}{2} + |F_x|\cdot x.\tag{1.73}\] Из-за трения значение энергии уменьшается от того, которое она имела в \(x_1'\), до соответствующего положению \(x\): \[\begin{cases} |F_x|\cdot x_1' - W(x) = F_f\cdot(x_1' - x),\\[2pt] |F_x|\cdot x_1' - \dfrac{m\cdot v^2}{2} - |F_x|\cdot x = F_f\cdot(x_1' - x). \end{cases}\tag{1.74}\] Квадрат скорости выражается как \[v^2 = \frac{2}{m}\left[(|F_x| - F_f)\cdot(x_1' - x)\right],\tag{1.75}\] а скорость \[v = -\sqrt{\frac{2}{m}\left[(|F_x| - F_f)\cdot(x_1' - x)\right]}.\tag{1.76}\] С данными задачи в области \((0, x_1')\) \[v^2 = \frac{2}{m}\left[\frac{21}{11} - x\right]\cdot 9,\tag{1.77}\] соответственно \[v = -\sqrt{\frac{2}{m}\left[\frac{21}{11} - x\right]\cdot 9}.\tag{1.78}\] Скорость частицы, ударяющейся о стенку второй раз, согласно (1.78), \[v_{1\leftarrow}' = -\sqrt{\frac{2}{m}\left[(|F_x| - F_f)\cdot x_1'\right]}\tag{1.79}\] и имеет значение \[v_{1\leftarrow}' = -\sqrt{\frac{2}{m}\,\frac{189}{11}}.\tag{1.80}\] Итак, после первого удара и первого отскока частица удаляется от стенки, снова достигает положения, где скорость обращается в нуль, и затем возвращается к стенке. Скорость частицы при новом ударе о стенку меньше, чем раньше, — как на рисунке 1.11.

Обозначим \(v_k'\) скорость в начале \(k\)-го пробега и \(x_k'\) — координату самой удалённой точки во время \(k\)-го пробега; энергия частицы, покидающей стенку, равна \[E_k' = \frac{v_k'^2\cdot m}{2} = W_k'(0).\tag{1.81}\] В положении \(x_k'\) после \(k\)-го отхода от стенки энергия равна \[U_k' = x_k'\cdot|F_x| = W_k'(x_k').\tag{1.82}\] Изменение полной энергии выражается как \[\frac{v_k'^2\cdot m}{2} - x_k'\cdot|F_x| = F_f\cdot x_k',\tag{1.83}\] так что \[x_k' = \frac{v_k'^2\cdot m}{2\cdot(|F_x| + F_f)}.\tag{1.84}\] Когда частица достигает положения \(x_k'\), направление скорости меняется, и, когда частица ударяется о стенку, \[\frac{v_{k+1}'^2\cdot m}{2} = E_{k+1}' = W_{k+1}'(0).\tag{1.85}\] Закон сохранения энергии для положения \(x_k'\) и точки, в которой частица ударяется о стенку, даёт \[x_k'\cdot|F_x| - \frac{v_{k+1}'^2\cdot m}{2} = F_f\cdot x_k',\tag{1.86}\] так что \[v_{k+1}'^2 = \frac{2}{m}x_k'(|F_x| - F_f).\tag{1.87}\] С учётом (1.84) соотношение (1.87) принимает вид \[v_{k+1}'^2 = v_k'^2\cdot\frac{|F_x| - F}{|F_x| + F}.\tag{1.88}\] Между двумя последовательными ударами скорость уменьшается в геометрической прогрессии со знаменателем \(q\): \[q = \sqrt{\frac{|F_x| - F}{|F_x| + F}}.\tag{1.89}\] С данными задачи \[q = \sqrt{\frac{9}{11}}.\tag{1.90}\] Для \((k+1)\)-го удара соотношение (1.84) записывается как \[x_{k+1}' = \frac{v_{k+1}'^2\cdot m}{2\cdot(|F_x| + F_f)}.\tag{1.91}\] С учётом (1.84) и (1.91) отношение крайних положений в двух последовательных пробегах равно \[\begin{cases} \dfrac{x_{k+1}'}{x_k'} = \dfrac{|F_x| - F_f}{|F_x| + F_f} = q^2,\\[6pt] x_{k+1}' = q^2\cdot x_k'. \end{cases}\tag{1.92}\] Для \(k\)-го пробега к началу координат, аналогично (1.57), зависимость квадрата скорости \(v_{(k,\leftarrow)}'^2\) от положения можно записать как \[\begin{cases} v_{(k,\leftarrow)}'^2 = \dfrac{2}{m}\left[(|F_x| - F_f)\cdot(x_k' - x)\right],\\[6pt] v_{(k,\leftarrow)}'^2 = \dfrac{2}{m}\left[(|F_x| - F_f)\cdot(x_1'\cdot q^{2k} - x)\right], \end{cases}\tag{1.93}\] или, с данными задачи, \[v_{(k,\leftarrow)}'^2 = \frac{2}{m}\left[9\cdot\left(\frac{21}{11}\cdot\left(\frac{9}{11}\right)^k - x\right)\right].\tag{1.94}\] Для \(k\)-го пробега от начала координат, аналогично (1.59), зависимость квадрата скорости \(v_{(k,\rightarrow)}^2\) от положения можно записать как \[\begin{cases} v_{(k,\rightarrow)}'^2 = \dfrac{2}{m}\left[(|F_x| + F_f)\cdot(x_k' - x)\right],\\[6pt] v_{(k,\rightarrow)}'^2 = \dfrac{2}{m}\left[(|F_x| + F_f)\cdot(x_1'\cdot q^{2k} - x)\right]. \end{cases}\tag{1.95}\] С данными задачи \[v_{(k,\rightarrow)}'^2 = \frac{2}{m}\left[11\cdot\left(\frac{21}{11}\cdot\left(\frac{9}{11}\right)^k - x\right)\right].\tag{1.96}\] Изменение квадрата скорости в зависимости от положения представлено на рисунке 1.10.

Рисунок 1.10. На рисунке: a.u — произв. ед., m — м.

А изменение скорости в зависимости от положения представлено на рисунке 1.11.

Рисунок 1.11. На рисунке: a.u — произв. ед., m — м.

Сумма геометрической прогрессии (1.92) даёт (после удвоения и вычитания \(x_0\)) полный путь, пройденный частицей: \[\sum_{k=1}^{\infty}x_k' = x_1'\frac{1}{1 - q^2}.\tag{1.97}\] С учётом (1.97), (1.71) и (1.72) получаем \[\sum_{k=1}^{\infty}x_k' = \frac{21}{2}\text{ м}.\tag{1.98}\] Полный путь, пройденный частицей, равен \[\begin{cases} D = 2\cdot\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}x_k' - x_0,\\ D = 20\text{ м}, \end{cases}\tag{1.99}\] что снова даёт результат (1.14).

Профессор Делия Давидеску (Национальный департамент оценки и экзаменов, Министерство образования и исследований, Бухарест, Румыния); профессор Адриан С. Дафинеи, PhD (физический факультет Бухарестского университета, Румыния).

Подсказка

Параллельно соединённые катушки и конденсаторы эквивалентны одной индуктивности \(L = L_1L_2/(L_1+L_2)\) и одной ёмкости \(C = C_1 + C_2\); при постоянной силе тока источника активная мощность максимальна, когда минимальна полная проводимость цепи. После размыкания напряжение на всех элементах одно и то же, а токи в катушках содержат ещё и постоянные слагаемые.

Ответ

a) \(\dfrac{f_m}{\Delta f} = R\sqrt{\dfrac{(C_1 + C_2)\cdot(L_1 + L_2)}{L_1\cdot L_2}} = 150\);  b) \(\omega = 10^5\) рад/с, \(f = \dfrac{\omega}{2\pi} = \dfrac{10^5}{2\pi}\) Гц;  c) \(i_5 = \left(-\dfrac{8\sqrt{26}}{100}\cos\bigl(10^5\cdot t + \operatorname{arctg}(1/5)\bigr) + 0{,}1\right)\) А, начальное значение \(i_5 = -0{,}3\) А;  d) \(\max(\tilde i_1) = \dfrac{4\sqrt{26}}{100}\text{ А} \approx 0{,}2\) А.

Решение

a. Как хорошо известно, при изучении цепей переменного тока с помощью комплексных чисел индуктивности \(L\) — части цепи, питаемой переменным током с циклической частотой \(\omega\), — сопоставляется комплексное индуктивное сопротивление \(\overline{X_L} = L\cdot\omega\cdot j\) (\(j = \sqrt{-1}\)).

Аналогично ёмкости \(C\) сопоставляется комплексное ёмкостное сопротивление \(\overline{X_C} = -\dfrac{j}{C\cdot\omega}\).

Параллельная цепь характеризуется своей комплексной проводимостью \(\overline{Y}\).

Проводимость цепи переменного тока, изображённой на рисунке, равна \[\begin{cases} \overline{Y} = \dfrac{1}{R} + \dfrac{1}{L_1\cdot\omega\cdot j} + \dfrac{1}{L_2\cdot\omega\cdot j} - \dfrac{C_1\cdot\omega}{j} - \dfrac{C_2\cdot\omega}{j},\\[8pt] \overline{Y} = \dfrac{1}{R} + j\cdot\left[(C_1 + C_2) - \left(\dfrac{1}{L_1} + \dfrac{1}{L_2}\right)\right]. \end{cases}\tag{2.1}\]

Цепь ведёт себя так, как будто у неё есть параллельная эквивалентная ёмкость \(C\) \[C = C_1 + C_2\tag{2.2}\] и параллельная эквивалентная индуктивность \(L\) \[\begin{cases} \dfrac{1}{L} = \dfrac{1}{L_1} + \dfrac{1}{L_2},\\[8pt] L = \dfrac{L_1L_2}{L_1 + L_2}. \end{cases}\tag{2.3}\] Комплексную проводимость цепи можно записать как \[\overline{Y} = \frac{1}{R} + j\cdot\left(C\cdot\omega - \frac{1}{L\cdot\omega}\right),\tag{2.4}\] а комплексное сопротивление цепи будет \[\begin{cases} \overline{Z} = \dfrac{1}{\overline{Y}},\\[8pt] \overline{Z} = \dfrac{\dfrac{1}{R} + j\cdot\left(\dfrac{1}{L\cdot\omega} - C\cdot\omega\right)}{\sqrt{\left(\dfrac{1}{R}\right)^2 + \left(C\cdot\omega - \dfrac{1}{L\cdot\omega}\right)^2}}. \end{cases}\tag{2.5}\]

Полное сопротивление \(Z\) цепи, обратное проводимости цепи \(Y\), — модуль комплексного сопротивления \(\overline{Z}\): \[Z = \left|\overline{Z}\right| = \frac{1}{\sqrt{\left(\dfrac{1}{R}\right)^2 + \left(C\cdot\omega - \dfrac{1}{L\cdot\omega}\right)^2}} = \frac{1}{Y}.\tag{2.6}\] Источник тока постоянной силы, питающий цепь, даёт ток с мгновенным значением \(i(t)\) \[i(t) = I\cdot\sqrt{2}\cdot\sin(\omega\cdot t),\tag{2.7}\] где \(I\) — действующее (постоянное) значение силы тока, а \(\omega\) — циклическая частота тока (которая может меняться). Разность потенциалов на зажимах цепи имеет мгновенное значение \(u(t)\) \[u(t) = U\cdot\sqrt{2}\cdot\sin(\omega\cdot t + \varphi),\tag{2.8}\] где \(U\) — действующее значение напряжения, а \(\varphi\) — разность фаз между напряжением и током. Действующие значения тока и напряжения связаны соотношением \[U = I\cdot Z.\tag{2.9}\] Активная мощность в цепи равна \[P = \frac{U^2}{R} = \frac{Z^2\cdot I^2}{R}.\tag{2.10}\] Поскольку, по условию, \[\begin{cases} I = \text{const},\\ R = \text{const}, \end{cases}\tag{2.11}\] максимальная активная мощность достигается при максимальном значении полного сопротивления, т. е. при минимальном значении проводимости.

Проводимость \[Y = \sqrt{\left(\frac{1}{R}\right)^2 + \left(C\cdot\omega - \frac{1}{L\cdot\omega}\right)^2}\tag{2.12}\] имеет — как функция циклической частоты \(\omega\) — «наименьшее значение» \[Y_{\min} = \frac{1}{R}\tag{2.13}\] при циклической частоте \[\omega_m = \frac{1}{\sqrt{L\cdot C}}.\tag{2.14}\] В этом случае \[\left(C\cdot\omega - \frac{1}{L\cdot\omega}\right) = 0.\tag{2.15}\] Итак, минимальная активная мощность в цепи имеет значение \[P_m = R\cdot I^2\tag{2.16}\]

и достигается, когда источник даёт переменный ток частоты \(f_m\) \[f_m = \frac{1}{2\pi}\omega_m = \frac{1}{2\pi\cdot\sqrt{C\cdot L}}.\tag{2.17}\] Чтобы активная мощность была равна половине максимальной, необходимо \[\begin{cases} P = \dfrac{1}{2}P_m,\\[8pt] \dfrac{Z^2\cdot I^2}{R} = \dfrac{1}{2}R\cdot I^2,\\[8pt] \dfrac{2}{R^2} = \dfrac{1}{Z^2} = Y^2, \end{cases}\tag{2.18}\] т. е. \[\begin{cases} \dfrac{2}{R^2} = \dfrac{1}{R^2} + \left(C\cdot\omega - \dfrac{1}{L\cdot\omega}\right)^2,\\[8pt] \pm\dfrac{1}{R} = C\cdot\omega - \dfrac{1}{L\cdot\omega}. \end{cases}\tag{2.19}\] Циклическая частота тока, при которой активная мощность равна половине максимальной, должна удовлетворять одному из уравнений \[\omega^2 \pm \frac{1}{R\cdot C}\omega - \frac{1}{L\cdot C} = 0.\tag{2.20}\] Два квадратных уравнения могут дать четыре решения \[\omega = \pm\frac{1}{2R\cdot C} \pm \frac{1}{2}\sqrt{\left(\frac{1}{R\cdot C}\right)^2 + \frac{4}{L\cdot C}}.\tag{2.21}\] Поскольку циклическая частота всегда положительна и поскольку \[\sqrt{\left(\frac{1}{R\cdot C}\right)^2 + \frac{4}{L\cdot C}} > \frac{1}{R\cdot C},\tag{2.22}\] годятся только два решения \[\omega_\pm = \frac{1}{2}\sqrt{\left(\frac{1}{R\cdot C}\right)^2 + \frac{4}{L\cdot C}} \pm \frac{1}{2R\cdot C}.\tag{2.23}\] Существуют две частоты \(f_\pm = \dfrac{1}{2\pi}\omega_\pm\), при которых активная мощность в цепи равна половине максимальной: \[\begin{cases} f_+ = \dfrac{1}{2\pi}\left(\dfrac{1}{2}\sqrt{\left(\dfrac{1}{R\cdot C}\right)^2 + \dfrac{4}{L\cdot C}} + \dfrac{1}{2R\cdot C}\right),\\[10pt] f_- = \dfrac{1}{2\pi}\left(\dfrac{1}{2}\sqrt{\left(\dfrac{1}{R\cdot C}\right)^2 + \dfrac{4}{L\cdot C}} - \dfrac{1}{2R\cdot C}\right). \end{cases}\tag{2.24}\] Разность этих частот \[\Delta f = f_+ - f_- = \frac{1}{2\pi}\frac{1}{R\cdot C}\tag{2.25}\] — полоса пропускания цепи: интервал частот около резонансной частоты, на концах которого сигнал составляет \(1/\sqrt{2}\) от резонансного. На краях полосы пропускания активная мощность уменьшается до половины своего значения при резонансе.

Искомое отношение равно \[\begin{cases} \dfrac{f_m}{\Delta f} = \dfrac{R\cdot C}{\sqrt{L\cdot C}} = R\sqrt{\dfrac{C}{L}},\\[10pt] \dfrac{f_m}{\Delta f} = R\sqrt{\dfrac{(C_1 + C_2)\cdot(L_1 + L_2)}{L_1\cdot L_2}}. \end{cases}\tag{2.26*}\] Поскольку \[\begin{cases} C = 15\text{ нФ},\\[4pt] L = \dfrac{20}{3}\text{ мГн}, \end{cases}\] получаем \[\omega_m = 10^5\text{ рад}\cdot\text{с}^{-1}\] и \[\frac{f_m}{\Delta f} = R\sqrt{\frac{C}{L}} = 100\times 10^3\cdot\sqrt{\frac{3\cdot 15\times 10^{-9}}{20\times 10^{-3}}} = 150.\tag{2.27}\] Соотношение (2.26) — ответ на вопрос a.

b. То, что сразу после отключения источника в катушках есть ток, позволяет считать, что через катушки и дальше будут течь зависящие от времени токи.

Рисунок 2.1

Конденсаторы будут заряжены зарядами, меняющимися со временем. Изменение зарядов конденсаторов приведёт к токам в проводниках, соединяющих конденсаторы в цепи.

Мгновенное напряжение на зажимах катушек и конденсаторов — одинаковое для всех элементов цепи — тоже зависит от времени. Примем, что электрический потенциал точек \(C\) и \(D\) равен \(u(t)\), а потенциал точек \(A\) и \(B\) равен нулю. Если через индуктивность \(L_1\) течёт переменный ток с мгновенным значением \(i_1(t)\), связь между током и потенциалами имеет вид \[u(t) - L_1\frac{di_1}{dt} = 0.\tag{2.28}\] Ток \(i_2(t)\) через вторую индуктивность подчиняется соотношению \[u(t) - L_2\frac{di_2}{dt} = 0.\tag{2.29}\] Если на положительной обкладке конденсатора ёмкостью \(C_1\) накоплен заряд \(q_1(t)\), то напряжение на зажимах конденсатора равно \(u(t)\) и \[q_1 = C_1\cdot u.\tag{2.30}\] Дифференцируя это соотношение, получаем \[\frac{dq_1}{dt} = C_1\cdot\frac{du}{dt}.\tag{2.31}\] Но \[\frac{dq_1}{dt} = -i_3,\tag{2.32}\] поскольку электрический ток возникает из-за уменьшения электрического заряда на обкладке конденсатора. Следовательно, \[i_3 = -C_1\cdot\frac{du}{dt}.\tag{2.33}\] Аналогично для другого конденсатора \[i_4 = -C_4\cdot\frac{du}{dt}.\tag{2.34}\]

С учётом всех полученных результатов \[\begin{cases} \dfrac{di_1}{dt} = \dfrac{u}{L_1},\\[8pt] \dfrac{di_2}{dt} = \dfrac{u}{L_2}, \end{cases}\tag{2.35}\] соответственно \[\begin{cases} \dfrac{di_3}{dt} = -C_1\dfrac{d^2u}{dt^2},\\[8pt] \dfrac{di_4}{dt} = C_2\dfrac{d^2u}{dt^2}. \end{cases}\tag{2.36}\]

Обозначим \(i_5(t)\) мгновенную силу тока, текущего от точки \(B\) к точке \(A\); ток той же мгновенной силы течёт и между точками \(C\) и \(D\). Для точки \(A\) правило Кирхгофа для токов даёт \[i_1 + i_5 = i_3.\tag{2.37}\] Для точки \(B\) то же правило даёт \[i_4 + i_5 = i_2.\tag{2.38}\] С учётом (2.37) и (2.38) получаем \[i_1 - i_3 = i_4 - i_2\tag{2.39}\] и, дифференцируя, \[\frac{di_1}{dt} - \frac{di_3}{dt} = \frac{di_4}{dt} - \frac{di_2}{dt},\tag{2.40}\] т. е. \[\begin{cases} -\dfrac{u}{L_1} - \dfrac{u}{L_2} = C_1\dfrac{d^2u}{dt^2} + C_2\dfrac{d^2u}{dt^2},\\[8pt] -u\cdot\left(\dfrac{1}{L_1} + \dfrac{1}{L_2}\right) = \dfrac{d^2u}{dt^2}\cdot(C_1 + C_2). \end{cases}\tag{2.41}\] В введённых выше обозначениях \[\begin{cases} -\dfrac{u}{L} = \dfrac{d^2u}{dt^2}\cdot C,\\[8pt] \ddot u + \dfrac{1}{LC}u = 0. \end{cases}\tag{2.42}\] Поскольку напряжение подчиняется этому соотношению, оно должно гармонически зависеть от времени: \[u(t) = A\cdot\sin(\omega\cdot t + \delta).\tag{2.43}\] Циклическая частота напряжения \[\omega = \frac{1}{\sqrt{L\cdot C}}.\tag{2.44}\] С учётом соотношений (2.43) и (2.36) получаем \[\begin{cases} i_3 = -C_1\dfrac{d}{dt}\bigl(A\cdot\sin(\omega\cdot t + \delta)\bigr) = -C_1\cdot A\cdot\omega\cdot\cos(\omega\cdot t + \delta),\\[8pt] i_4 = -C_2\dfrac{d}{dt}\bigl(A\cdot\sin(\omega\cdot t + \delta)\bigr) = -C_2\cdot A\cdot\omega\cdot\cos(\omega\cdot t + \delta) \end{cases}\tag{2.45}\] и \[\begin{cases} \dfrac{di_1}{dt} = \dfrac{u}{L_1} = \dfrac{1}{L_1}\cdot A\cdot\sin(\omega\cdot t + \delta),\\[8pt] \dfrac{di_2}{dt} = \dfrac{u}{L_2} = \dfrac{1}{L_2}\cdot A\cdot\sin(\omega\cdot t + \delta). \end{cases}\tag{2.46}\] Отсюда получаем \[\begin{cases} i_1 = \dfrac{1}{L_1\cdot\omega}\cdot A\cdot\cos(\omega\cdot t + \delta) + M,\\[8pt] i_2 = \dfrac{1}{L_2\cdot\omega}\cdot A\cdot\cos(\omega\cdot t + \delta) + N. \end{cases}\tag{2.47}\]

В этих выражениях \(A\), \(M\), \(N\) и \(\delta\) — постоянные, которые нужно определить из начальных условий. Примечательно, что токи через конденсаторы синусоидальные, а токи через катушки — сумма синусоидального и постоянного токов.

В начальный момент \[\begin{cases} u(0) = u_0 = 40\text{ В},\\ i_1(0) = i_{01} = 0{,}1\text{ А},\\ i_2(0) = i_{02} = 0{,}2\text{ А}. \end{cases}\tag{2.48}\] Поскольку значения индуктивностей и ёмкостей \[\begin{cases} L_1 = 0{,}01\text{ Гн},\\ L_2 = 0{,}02\text{ Гн},\\ C_1 = 10\text{ нФ},\\ C_2 = 5\text{ нФ}, \end{cases}\tag{2.49}\] эквивалентные индуктивность и ёмкость равны \[\begin{cases} \dfrac{1}{L} = \dfrac{1}{L_1} + \dfrac{1}{L_2},\\[8pt] L = \dfrac{L_1\cdot L_2}{L_1 + L_2},\\[8pt] L = \dfrac{2\times 10^{-4}}{3\times 10^{-2}}\text{ Гн} = \dfrac{1}{150}\text{ Гн}, \end{cases}\tag{2.50}\] соответственно \[\begin{cases} C = C_1 + C_2,\\ C = 15\text{ нФ}. \end{cases}\tag{2.51}\] Из (2.44) получаем \[\omega = \frac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{150}\cdot 15\times 10^{-9}}} = 10^5\text{ рад}\cdot\text{с}^{-1}.\tag{2.52*}\] Значение циклической частоты позволяет вычислить искомую частоту (вопрос b). Эта частота имеет значение \(f\): \[f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{10^5}{2\pi}\text{ Гц}.\tag{2.53*}\]

c. Если мгновенное напряжение в цепи имеет вид (2.43), можно записать \[\begin{cases} u(0) = A\cdot\sin(\delta) = u_0,\\[4pt] \sin(\delta) = \dfrac{u_0}{A}. \end{cases}\tag{2.54}\] Из выражений для токов (2.47) можно записать \[\begin{cases} i_{01} = \dfrac{1}{L_1\cdot\omega}\cdot A\cdot\cos(\delta) + M,\\[8pt] i_{02} = \dfrac{1}{L_2\cdot\omega}\cdot A\cdot\cos(\delta) + N. \end{cases}\tag{2.55}\] С другой стороны, (2.39) можно выразить как \[\begin{cases} i_1 - i_3 = i_4 - i_2,\\[4pt] \dfrac{1}{L_1\cdot\omega}\cdot A\cdot\cos(\omega\cdot t + \delta) + M + C_1\cdot A\cdot\omega\cdot\cos(\omega\cdot t + \delta) =\\[8pt] -C_2\cdot A\cdot\omega\cdot\cos(\omega\cdot t + \delta) - \dfrac{1}{L_2\cdot\omega}\cdot A\cdot\cos(\omega\cdot t + \delta) - N. \end{cases}\tag{2.56}\] Тождество вида \[A\cdot\cos\alpha + B \equiv C\cdot\cos\alpha + D\tag{2.57}\] справедливо при любом значении аргумента \(\alpha\), только если \[\begin{cases} A = C,\\ B = D. \end{cases}\tag{2.58}\] С учётом (2.58) из (2.56) получаем \[\begin{cases} M + N = 0,\\[4pt] A\cdot\omega\cdot(C_1 + C_2) = -\dfrac{A}{\omega}\cdot\left(\dfrac{1}{L_1} + \dfrac{1}{L_2}\right). \end{cases}\tag{2.59}\]

Из последнего уравнения следует, что контур колеблется с циклической частотой из соотношения (2.44).

Складывая соотношения (2.55) и учитывая (2.54) и (2.59), получаем \[\begin{cases} i_{01} + i_{02} = A\cdot\cos(\delta)\cdot\dfrac{1}{\omega}\cdot\left(\dfrac{1}{L_1} + \dfrac{1}{L_1}\right),\\[8pt] A = \dfrac{i_{01} + i_{02}}{\cos(\delta)\cdot\dfrac{1}{\omega}\cdot\left(\dfrac{1}{L_1} + \dfrac{1}{L_1}\right)},\\[14pt] \cos\delta = \dfrac{i_{01} + i_{02}}{A\cdot\dfrac{1}{\omega}\cdot\left(\dfrac{1}{L_1} + \dfrac{1}{L_1}\right)},\\[14pt] \cos\delta = \dfrac{(i_{01} + i_{02})\cdot L\cdot\omega}{A}. \end{cases}\tag{2.60}\]

Численное значение амплитуды электрического напряжения получается сложением последних соотношений из (2.54) и (2.60): \[\begin{cases} \sin(\delta) = \dfrac{u_0}{A},\\[8pt] \cos\delta = \dfrac{(i_{01} + i_{02})\cdot L\cdot\omega}{A},\\[8pt] (\cos(\delta))^2 + (\sin(\delta))^2 = 1,\\[4pt] \left(\dfrac{u_0}{A}\right)^2 + \left(\dfrac{(i_{01} + i_{02})\cdot L\cdot\omega}{A}\right)^2 = 1,\\[8pt] A = \sqrt{(u_0)^2 + \bigl((i_{01} + i_{02})\cdot L\cdot\omega\bigr)^2}. \end{cases}\tag{2.61}\] Численное значение электрического напряжения на зажимах цепи \[\begin{cases} A = \sqrt{(40)^2 + \left((0{,}3)\cdot\dfrac{1}{150}\cdot 10^5\right)^2},\\[8pt] A = \sqrt{(40)^2 + (200)^2} = 40\sqrt{26}\text{ В}. \end{cases}\tag{2.62}\] И, следовательно, из (2.54) получаем \[\begin{cases} \sin(\delta) = \dfrac{u_0}{A},\\[8pt] \sin(\delta) = \dfrac{40}{40\sqrt{26}} = \dfrac{1}{\sqrt{26}} \end{cases}\tag{2.63}\] и \[\cos(\delta) = \frac{5}{\sqrt{26}}.\tag{2.64}\] Также \[\begin{cases} \operatorname{tg}(\delta) = \dfrac{1}{5},\\[8pt] \delta = \operatorname{arctg}(1/5). \end{cases}\tag{2.65}\] Из (2.55) \[\begin{cases} M = i_{01} - \dfrac{1}{L_1\cdot\omega}\cdot A\cdot\cos(\delta),\\[8pt] N = i_{02} - \dfrac{1}{L_2\cdot\omega}\cdot A\cdot\cos(\delta); \end{cases}\tag{2.66}\] соответствующие численные значения: \[\begin{cases} M = \left(0{,}1 - \dfrac{1}{0{,}01\cdot 10^5}\cdot 40\sqrt{26}\cdot\dfrac{5}{\sqrt{26}}\right)\text{А} = -0{,}1\text{ А},\\[10pt] N = \left(0{,}2 - \dfrac{1}{0{,}02\cdot 10^5}\cdot 40\sqrt{26}\cdot\dfrac{5}{\sqrt{26}}\right)\text{А} = 0{,}1\text{ А}. \end{cases}\tag{2.67*}\] Соотношения (2.47) принимают вид \[\begin{cases} i_1 = \left(\dfrac{4\sqrt{26}}{100}\cdot\cos\bigl(10^5\cdot t + \operatorname{arctg}(1/5)\bigr) - 0{,}1\right)\text{А} = \tilde i_1 - I_0,\\[10pt] i_2 = \left(\dfrac{2\sqrt{26}}{100}\cdot\cos\bigl(10^5\cdot t + \operatorname{arctg}(1/5)\bigr) + 0{,}1\right)\text{А} = \tilde i_2 + I_0. \end{cases}\tag{2.68}\] Токи через катушки — наложение синусоидальных токов с разными амплитудами и постоянного тока, текущего только через катушки. Этот постоянный ток имеет постоянное значение \[I_0 = 0{,}1\text{ А},\tag{2.69*}\] как на рисунке 2.2.

Рисунок 2.2

Переменные токи через катушки выражаются как \[\begin{cases} \tilde i_1 = \left(\dfrac{4\sqrt{26}}{100}\cdot\cos\bigl(10^5\cdot t + \operatorname{arctg}(1/5)\bigr)\right)\text{А},\\[10pt] \tilde i_2 = \left(\dfrac{2\sqrt{26}}{100}\cdot\cos\bigl(10^5\cdot t + \operatorname{arctg}(1/5)\bigr)\right)\text{А}. \end{cases}\tag{2.70}\] Токи через конденсаторы имеют вид \[\begin{cases} i_3 = \bigl(-10\times 10^{-4}\cdot 40\sqrt{26}\cdot\cos\bigl(10^5\cdot t + \operatorname{arctg}(1/5)\bigr)\bigr)\text{А},\\[4pt] i_3 = \left(-\dfrac{4\sqrt{26}}{100}\cos\bigl(10^5\cdot t + \operatorname{arctg}(1/5)\bigr)\right)\text{А},\\[10pt] i_4 = \bigl(-5\times 10^{-4}\cdot 40\sqrt{26}\cdot\cos\bigl(10^5\cdot t + \operatorname{arctg}(1/5)\bigr)\bigr)\text{А},\\[4pt] i_4 = \left(-\dfrac{2\sqrt{26}}{100}\cos\bigl(10^5\cdot t + \operatorname{arctg}(1/5)\bigr)\right)\text{А}. \end{cases}\tag{2.71}\] Ток \(i_5\) выражается как \[\begin{cases} i_5 = i_3 - i_1,\\[4pt] i_5 = \left(-\dfrac{8\sqrt{26}}{100}\cos\bigl(10^5\cdot t + \operatorname{arctg}(1/5)\bigr) + 0{,}1\right)\text{А}. \end{cases}\tag{2.72}\] Значение силы тока \(i_5\) — ответ на вопрос c.

Начальное значение этого тока \[i_5 = \left(-\frac{8\sqrt{26}}{100}\frac{5}{\sqrt{26}} + 0{,}1\right)\text{А} = -0{,}3\text{ А}.\tag{2.73*}\]

d. Амплитуда тока через индуктивность \(L_1\) равна \[\max(\tilde i_1) = \max\left(\frac{4\sqrt{26}}{100}\cdot\cos\bigl(10^5\cdot t + \operatorname{arctg}(1/5)\bigr)\text{А}\right) = \frac{4\sqrt{26}}{100}\text{ А} \approx 0{,}2\text{ А},\tag{2.74*}\] что и есть ответ на вопрос d.

Профессор Делия Давидеску (Национальный департамент оценки и экзаменов, Министерство образования и исследований, Бухарест, Румыния); профессор Адриан С. Дафинеи, PhD (физический факультет Бухарестского университета, Румыния).

Подсказка

Луч не преломляется на границе двух призм, когда их показатели преломления равны. Для такой длины волны склейка работает как одна призма с преломляющим углом \(A'\), а в пункте d) условия на гранях \(AD\) и \(AC\) дают уравнение на \(n_1\) и \(n_2\).

Ответ

a) \(\lambda_0 = \sqrt{\dfrac{b_1 - b_2}{a_2 - a_1}} = 500\) нм, \(n_1(\lambda_0) = n_2(\lambda_0) = 1{,}5\);  b) см. рисунок 3.1 в решении;  c) \(\delta_{\min} = 2\arcsin\left(\dfrac{3}{2}\sin\dfrac{A'}{2}\right) - \dfrac{A'}{2} \cong 30{,}7^\circ\) (\(A' = 30^\circ\));  d) \(\lambda = 1194\) нм \(\cong 1{,}2\) мкм.

Решение

a. Луч с длиной волны \(\lambda_0\) проходит через систему призм без преломления на грани \(AC\) при любом угле падения, если \[n_1(\lambda_0) = n_2(\lambda_0).\] Поскольку зависимость показателей преломления призм от длины волны имеет вид \[n_1(\lambda) = a_1 + \frac{b_1}{\lambda^2},\tag{3.1}\] \[n_2(\lambda) = a_2 + \frac{b_2}{\lambda^2},\tag{3.2}\] соотношение (3.1) принимает вид \[a_1 + \frac{b_1}{\lambda_0^2} = a_2 + \frac{b_2}{\lambda_0^2}.\tag{3.3}\] Длина волны \(\lambda_0\) соответственно равна \[\lambda_0 = \sqrt{\frac{b_1 - b_2}{a_2 - a_1}}.\tag{3.4}\] Подставляя данные численные значения, \[\lambda_0 = 500\text{ нм}.\tag{3.5}\] Соответствующее общее значение показателей преломления призм для излучения с длиной волны \(\lambda_0\): \[n_1(\lambda_0) = n_2(\lambda_0) = 1{,}5.\tag{3.6}\] Соотношения (3.6) и (3.7) — ответы на вопрос a.

b. Для лучей с разными длинами волн (\(\lambda_{\text{red}}\), \(\lambda_0\), \(\lambda_{\text{violet}}\)), падающих под одним и тем же углом на первую призму, ход лучей показан на рисунке 1.1.

Рисунок 3.1. На рисунке: red — красный, violet — фиолетовый.

Построение на рисунке 1.1 — ответ на вопрос b.

c. На рисунке 1.2 показан ход луча с длиной волны \(\lambda_0\) при наименьшем отклонении (угол между направлением падающего луча и направлением выходящего луча минимален).

Рисунок 3.2

В этом случае \[n_1(\lambda_0) = n_2(\lambda_0) = \frac{\sin\dfrac{\delta_{\min} + A'}{2}}{\sin\dfrac{A'}{2}},\tag{3.7}\] где \[m(\hat A') = 30^\circ,\] как на рисунке 1.1.

Подставляя в (3.8) значения показателей преломления, получаем \[\sin\frac{\delta_{\min} + A'}{2} = \frac{3}{2}\cdot\sin\frac{A'}{2},\tag{3.8}\] или \[\delta_{\min} = 2\arcsin\left(\frac{3}{2}\cdot\sin\frac{A'}{2}\right) - \frac{A'}{2}.\tag{3.9}\]

Численно \[\delta_{\min} \cong 30{,}7^\circ.\tag{3.10}\] Соотношение (3.11) — ответ на вопрос c.

d. По рисунку 1.3 закон преломления на грани \(AD\): \[\sin i_1 = n_1\cdot\sin r_1.\tag{3.11}\] Закон преломления на грани \(AC\): \[n_1\cdot\sin r_1' = n_2\cdot\sin r_2.\tag{3.12}\]

Рисунок 3.3

Как видно на рисунке 1.3, \[r_2 = A_2\tag{3.13}\] и \[i_1 = 30^\circ.\tag{3.14}\] Кроме того, \[r_1 + r_1' = A_1.\tag{3.15}\] Подставляя (3.16) и (3.14) в (3.13), получаем \[n_1\cdot\sin(A_1 - r_1) = n_2\cdot\sin A_2,\tag{3.16}\] или \[n_1\cdot(\sin A_1\cdot\cos r_1 - \sin r_1\cdot\cos A_1) = n_2\cdot\sin A_2.\tag{3.17}\] Из (3.12) и (3.15) следует, что \[\sin r_1 = \frac{1}{2n_1}\tag{3.18}\] и \[\cos r_1 = \frac{1}{2n_1}\sqrt{4n_1^2 - 1}.\tag{3.19}\] Объединяя три последних соотношения, получаем \[\sqrt{4n_1^2 - 1} = \frac{2n_2\cdot\sin A_2 + \cos A_1}{\sin A_1}.\tag{3.20}\] Поскольку \[\hat A_1 = 60^\circ\] и \[\hat A_2 = 30^\circ,\] соотношение (3.21) можно записать как \[\sqrt{4n_1^2 - 1} = \frac{2n_2 + 1}{\sqrt{3}},\tag{3.21}\] или \[3\cdot n_1^2 = 1 + n_2 + n_2^2.\tag{3.22}\] С учётом соотношений (3.1), (3.2) и (3.23), проведя все вычисления, получаем: \[\lambda^4\cdot\left(3a_1^2 - a_2^2 - a_2 - 1\right) + \left(6a_1b_1 - b_2 - 2a_2b_2\right)\cdot\lambda^2 + 3b_1^2 - b_2^2 = 0.\tag{3.23}\] Решая уравнение (3.24), находим длину волны \(\lambda\) луча, который входит в систему призм в направлении, параллельном \(DC\), и выходит из системы призм снова в направлении, параллельном \(DC\): \[\lambda = 1194\text{ нм},\tag{3.24}\] или \[\lambda \cong 1{,}2\text{ мкм}.\tag{3.25}\] Соотношение (3.26) — ответ на вопрос d.

Профессор Делия Давидеску (Национальный департамент оценки и экзаменов, Министерство образования и исследований, Бухарест, Румыния); профессор Адриан С. Дафинеи, PhD (физический факультет Бухарестского университета, Румыния).

Подсказка

Если «прокрутить» второе рассеяние назад во времени, получится первое: движущийся электрон отдаёт энергию фотону и останавливается. Формула Комптона для обоих рассеяний под одним и тем же углом связывает \(\lambda_i\), \(\lambda_0\) и \(\lambda_f\).

Ответ

\(\lambda_{1e} = \lambda_{2e} = 1\Bigg/\left(\sqrt{\dfrac{1}{\lambda_f^2} + \dfrac{1}{\bigl(\lambda_f - \Lambda(1 - \cos\theta)\bigr)^2} - \dfrac{2\cos\theta}{\lambda_f\cdot\bigl(\lambda_f - \Lambda(1 - \cos\theta)\bigr)}}\right) = 1{,}24\times 10^{-10}\) м, где \(\Lambda = h/(m_0c)\).

Решение

Цель задачи — вычислить скорость, импульс и длину волны первого электрона.

Для характеристики фотонов используются следующие обозначения:

Таблица 4.1

Для характеристики электронов используются

Таблица 4.2

На рисунке 4.1 показана ситуация до первого рассеяния фотона.

Рисунок 4.1. На рисунке: initial photon — начальный фотон, first electron — первый электрон.

Рисунок 4.2. На рисунке: scattered photon — рассеянный фотон, electron in rest — покоящийся электрон.

Рисунок 4.3. На рисунке: electron at rest — покоящийся электрон, scattered photon — рассеянный фотон.

Рисунок 4.4. На рисунке: recoiling electron — электрон отдачи, scattered again photon — снова рассеянный фотон.

Для характеристики начального фотона используем его импульс \(\vec p_i\) и энергию \(E_i\): \[\begin{cases} \vec P_i = \dfrac{h}{\lambda_i} = \dfrac{h\cdot f_i}{c},\\[8pt] E_i = h\cdot f_i, \end{cases}\tag{4.1}\] \[f_i = \frac{c}{\lambda_i}\tag{4.2}\] — частота начального фотона.

Для начального свободного движущегося электрона импульс \(\vec p_{oe}\) и энергия \(E_{oe}\) равны \[\begin{cases} \vec P_{oe} = m\cdot\vec v_{1e} = \dfrac{m_0\cdot\vec v_{1e}}{\sqrt{1 - \beta^2}},\\[10pt] E_{oe} = m\cdot c^2 = \dfrac{m_0\cdot c^2}{\sqrt{1 - \beta^2}}, \end{cases}\tag{4.3}\] где \(m_0\) — масса покоя электрона, а \(m\) — масса движущегося электрона. Как обычно, \(\beta = \dfrac{v_{1e}}{c}\).

Длина волны де Бройля первого электрона \[\lambda_{oe} = \frac{h}{p_{0e}} = \frac{h\cdot}{m_0\cdot v_{1e}}\sqrt{1 - \beta^2}.\] Ситуация после рассеяния фотона показана на рисунке 4.2.

Для характеристики рассеянного фотона используем его импульс \(\vec p_0\) и энергию \(E_0\): \[\begin{cases} \vec P_o = \dfrac{h}{\lambda_o} = \dfrac{h\cdot f_o}{c},\\[8pt] E_o = h\cdot f_o, \end{cases}\tag{4.4}\] где \[f_o = \frac{c}{\lambda_0}\tag{4.5}\] — частота рассеянного фотона.

Модуль импульса электрона (который после рассеяния остаётся в покое) равен нулю; его энергия равна \(E_{1e}\). Масса электрона после столкновения равна \(m_0\) — массе покоящегося электрона. Итак, \[E_{1e} = m_0\cdot c^2.\] Чтобы определить импульс первого движущегося электрона, можно записать законы сохранения импульса и энергии: \[\vec P_i + \vec p_{oe} = \vec p_0\tag{4.6}\] и \[E_i + E_{0e} = E_0 + E_{1e}.\tag{4.7}\] Сохранение импульса в направлении \(Ox\) записывается как \[\frac{h\cdot f_i}{c} + m\cdot v_{1e}\cdot\cos\alpha = \frac{h\cdot f_0}{c}\cos\theta,\tag{4.8}\] а сохранение импульса в направлении \(Oy\) — \[m\cdot v_{1e}\cdot\sin\alpha = \frac{h\cdot f_0}{c}\sin\theta.\tag{4.9}\] Чтобы исключить \(\alpha\), два последних уравнения нужно переписать в виде \[\begin{cases} (m\cdot v_{1e}\cdot\cos\alpha)^2 = \dfrac{h^2\cdot}{c^2}(f_0\cdot\cos\theta - f_i)^2,\\[10pt] (m\cdot v_{1e}\cdot\sin\alpha)^2 = \left(\dfrac{h\cdot f_0}{c}\sin\theta\right)^2 \end{cases}\tag{4.10}\] и затем сложить.

Результат: \[m^2\cdot v_{1e}^2 = \frac{h^2}{c^2}\left(f_0^2 + f_1^2 - 2f_0\cdot f_i\cdot\cos\theta\right),\tag{4.11}\] или \[\frac{m_0^2\cdot c^2}{1 - \left(\dfrac{v_{1e}}{c}\right)^2}\cdot v_{1e}^2 = h^2\cdot\left(f_0^2 + f_1^2 - 2f_0\cdot f_i\cdot\cos\theta\right).\tag{4.12}\] Закон сохранения энергии (4.7) можно переписать как \[m\cdot c^2 + h\cdot f_1 = m_0\cdot c^2 + h\cdot f_0,\tag{4.13}\] или \[\frac{m_0\cdot c^2}{\sqrt{1 - \left(\dfrac{v_{1e}}{c}\right)^2}} = m_0\cdot c^2 + h\cdot(f_0 - f_1).\tag{4.14}\] Возводя последнее соотношение в квадрат, получаем \[\frac{m_0^2\cdot c^4}{1 - \left(\dfrac{v_{1e}}{c}\right)^2} = m_0^2\cdot c^4 + h^2\cdot(f_0 - f_1)^2 + m_0\cdot h\cdot c^2\cdot(f_0 - f_1).\tag{4.15}\] Вычитая (4.12) из (4.15), получаем \[2m_0\cdot c^2\cdot h\cdot(f_0 - f_1) + 2h^2\cdot f_1\cdot f_0\cdot\cos\theta - 2h^2\cdot f_1\cdot f = 0,\tag{4.16}\] или \[\frac{h}{m_0\cdot c}(1 - \cos\theta) = \frac{c}{f_1} - \frac{c}{f_0}.\tag{4.17}\]

Используя обозначение \[\Lambda = \frac{h}{m_0\cdot c},\tag{4.18}\] соотношение (4.17) запишем как \[\Lambda\cdot(1 - \cos\theta) = \lambda_i - \lambda_0.\tag{4.19}\] Длина волны рассеянного фотона \[\lambda_0 = \lambda_i - \Lambda\cdot(1 - \cos\theta)\tag{4.20}\] меньше длины волны начального фотона, и, следовательно, энергия рассеянного фотона больше энергии начального фотона: \[\begin{cases} \lambda_i < \lambda_0,\\ E_i > E_0. \end{cases}\tag{4.21}\]

Рассмотрим теперь второй процесс столкновения, происходящий в точке \(N\). Для этого введём новую систему отсчёта, ось \(Ox\) которой направлена по направлению фотона, рассеянного после первого столкновения.

На рисунке 4.3 показана ситуация до второго столкновения, а на рисунке 4.4 — ситуация после этого процесса рассеяния. Закон сохранения импульса в процессе рассеяния даёт \[\begin{cases} \dfrac{h}{\lambda_0} = \dfrac{h}{\lambda_f}\cos\theta + m\cdot v_{2e}\cdot\cos\beta,\\[8pt] \dfrac{h}{\lambda_f}\sin\theta - m\cdot v_{2e}\cdot\sin\beta = 0. \end{cases}\tag{4.22}\] Чтобы исключить неизвестный угол \(\beta\), нужно возвести уравнения (4.22) в квадрат и сложить.

То есть \[\begin{cases} \left(\dfrac{h}{\lambda_0} - \dfrac{h}{\lambda_f}\cos\theta\right)^2 = (m\cdot v_{2e}\cdot\cos\beta)^2,\\[10pt] \left(\dfrac{h}{\lambda_f}\sin\theta\right)^2 = (m\cdot v_{2e}\cdot\sin\beta)^2, \end{cases}\tag{4.23}\] или \[\left(\frac{h}{\lambda_f}\right)^2 + \left(\frac{h}{\lambda_0}\right)^2 - \frac{2\cdot h^2}{\lambda_0\cdot\lambda_f}\cos\theta = (m\cdot v_{2e})^2.\tag{4.24}\] Закон сохранения энергии во втором процессе рассеяния даёт \[\frac{h\cdot c}{\lambda_0} + m_0\cdot c^2 = \frac{h\cdot c}{\lambda_f} + m\cdot c^2.\tag{4.25}\] (4.24) и (4.25) дают \[\frac{h^2\cdot c^2}{\lambda_f^2} + \frac{h^2\cdot c^2}{\lambda_0^2} - \frac{2\cdot h^2\cdot c^2}{\lambda_0\cdot\lambda_f}\cos\theta = m^2\cdot c^2\cdot v_{2e}^2\tag{4.26}\] и \[h^2\cdot c^2\cdot\left(\frac{1}{\lambda_f} - \frac{1}{\lambda_0}\right)^2 + m_0^2\cdot c^4 + 2h\cdot c^3\cdot m_0\cdot\left(\frac{1}{\lambda_f} - \frac{1}{\lambda_0}\right) = m^2\cdot c^4.\tag{4.27}\] Вычитая (4.26) из (1.27), получаем \[\begin{cases} \dfrac{h}{m_0\cdot c}\cdot(1 - \cos\theta) = \lambda_f - \lambda_0,\\[8pt] \lambda_f - \lambda_0 = \Lambda\cdot(1 - \cos\theta). \end{cases}\tag{4.28}\] То есть \[\begin{cases} \lambda_f > \lambda_0,\\ E_f < E_0. \end{cases}\tag{4.29}\] Поскольку значение \(\lambda_f\) известно, а \(\Lambda\) можно вычислить как \[\begin{cases} \lambda_f = 1{,}25\times 10^{-10}\text{ м},\\[4pt] \Lambda = \dfrac{6{,}6\times 10^{-34}}{9{,}1\times 10^{-31}\cdot 3\times 10^8}\text{ м} = 2{,}41\times 10^{-12}\text{ м} = 0{,}02\times 10^{-10}\text{ м}, \end{cases}\tag{4.30}\] длина волны фотона до второго рассеяния равна \[\lambda_0 = 1{,}23\times 10^{-10}\text{ м}.\tag{4.31}\] Сравнивая (4.28), записанное как \[\lambda_f = \lambda_0 + \Lambda\cdot(1 - \cos\theta),\tag{4.32}\] и (4.20), записанное как \[\lambda_i = \lambda_0 + \Lambda\cdot(1 - \cos\theta),\tag{4.33}\] ясно получаем \[\lambda_i = \lambda_f.\tag{4.34}\] Энергия дважды рассеянного фотона такая же, как энергия начального фотона. Направление «конечного фотона» совпадает с направлением «начального» фотона. Итак, конечный фотон тождественен начальному. Этот результат ожидаем из-за симметрии процессов.

Распространяя анализ симметрии на электроны: первый движущийся электрон, который сталкивается с начальным фотоном и после этого остаётся в покое, должен иметь те же импульс и энергию, что и второй электрон после столкновения, — поскольку этот второй электрон до столкновения покоится.

То есть \[\begin{cases} \vec p_{1e} = \vec p_{2e},\\ E_{1e} = E_{2e}. \end{cases}\tag{4.35}\] С учётом (4.24) импульс конечного электрона равен \[p_{2e} = h\sqrt{\frac{1}{\lambda_f^2} + \frac{1}{\bigl(\lambda_f - \Lambda(1 - \cos\theta)\bigr)^2} - \frac{2\cdot\cos\theta}{\lambda_f\cdot\bigl(\lambda_f - \Lambda(1 - \cos\theta)\bigr)}}.\tag{4.36}\] Длина волны де Бройля второго электрона после рассеяния (и первого электрона до рассеяния) равна \[\lambda_{1e} = \lambda_{2e} = 1\Bigg/\left(\sqrt{\frac{1}{\lambda_f^2} + \frac{1}{\bigl(\lambda_f - \Lambda(1 - \cos\theta)\bigr)^2} - \frac{2\cdot\cos\theta}{\lambda_f\cdot\bigl(\lambda_f - \Lambda(1 - \cos\theta)\bigr)}}\right).\tag{4.37}\] Численное значение этой длины волны \[\lambda_{1e} = \lambda_{2e} = 1{,}24\times 10^{-10}\text{ м}.\tag{4.38}\]

Профессор Делия Давидеску (Национальный департамент оценки и экзаменов, Министерство образования и исследований, Бухарест, Румыния); профессор Адриан С. Дафинеи, PhD (физический факультет Бухарестского университета, Румыния).

Подсказка

Подумайте, что происходит с окружающим газом между струёй и поверхностью: струя увлекает его частицы, а восполнить их там нечем.

Ответ

Струя увлекает частицы окружающей среды; между струёй и поверхностью они не восполняются, давление там становится меньше, чем с другой стороны струи, и разность давлений прижимает струю к поверхности — струя следует её форме (эффект Коандэ).

Решение

Пусть жидкость (текучая среда) находится в резервуаре при постоянном давлении. Если тонкая струя жидкости (газа или жидкости) малого круглого или прямоугольного сечения выходит из резервуара через сопло в окружающую среду, частицы среды увлекаются струёй. Другие частицы среды притягиваются к струе.

Если струя течёт над большой поверхностью, частицы среды над струёй и частицы, находящиеся между струёй и поверхностью, увлекаются струёй. Плотность частиц над струёй остаётся постоянной благодаря вновь поступающим частицам, но частицы между поверхностью и струёй не могут быть восполнены. Между верхней и нижней сторонами струи возникает разность давлений, прижимающая струю к поверхности. Если поверхность искривлена, струя будет следовать её форме.

На левом изображении рисунка ниже показано обычное течение струи жидкости, выходящей через сопло из резервуара с высоким постоянным давлением. Конечное давление жидкости равно давлению среды.

На правом изображении рисунка ниже показано течение жидкости над большой поверхностью. Струя «прилипает» к поверхности.

Процесс отклонения струи увеличивает скорость струи без какого-либо изменения её давления и температуры.

Во время испытаний первого реактивного самолёта в Париже в декабре 1936 года румынский инженер Анри Коандэ первым наблюдал это явление, возникавшее, когда пламя двигателя проходило через закрылок.

Эмблема олимпиады иллюстрирует течение жидкости по Коандэ.

Профессор Делия Давидеску (Национальный департамент оценки и экзаменов, Министерство образования и исследований, Бухарест, Румыния); профессор Адриан С. Дафинеи, PhD (физический факультет Бухарестского университета, Румыния).