IPhO 1984, теоретический тур

Подсказка

Разбейте пластинку на тонкие однородные слои и примените закон преломления к каждой границе. «Вода» — это изображение неба, полученное полным отражением в нагретом слое воздуха у земли.

Ответ

a) \(n_A\sin\alpha = n_1\sin\alpha_1 = n_2\sin\alpha_2 = \ldots = n_B\sin\beta\);  b) полное отражение в тёплом слое воздуха, когда \(\beta = 90^\circ\): \(n_A\sin\alpha = n_B\);  c) \(T \approx 303\left(1 + \dfrac{303h^2}{2kL^2}\right) = 328\text{ К} = 56\,^\circ\)C, где \(k = 0{,}0795\).

Решение

a) Из рисунка получаем \[n_A\sin\alpha = n_1\sin\alpha_1 = n_2\sin\alpha_2 = \ldots = n_B\sin\beta.\]

b) Явление обусловлено полным отражением в тёплом слое воздуха, когда \(\beta = 90^\circ\). Это даёт \[n_A\sin\alpha = n_B.\]

c) Поскольку при постоянном давлении плотность воздуха \(\rho\) обратно пропорциональна абсолютной температуре \(T\), имеем \[n(T) = 1 + k\cdot\rho = 1 + k/T.\] Значение при \(15\,^\circ\)C определяет величину \(k = 0{,}0795\).

Для полного отражения нужно \(n_{30}\sin\alpha = n_T\), или \[\left(1 + \frac{k}{303}\right)\cdot\frac{L}{\sqrt{h^2 + L^2}} = \left(1 + \frac{k}{T}\right)\quad\text{при } h = 1{,}6\text{ м и } L = 250\text{ м}.\] Так как \(h \ll L\), можно использовать разложение в ряд по \(h/L\): \[T = \frac{303}{\left(\dfrac{303}{k} + 1\right)\dfrac{1}{\sqrt{1 + h^2/L^2}} - \dfrac{303}{k}} \approx 303\left(1 + \frac{303h^2}{2kL^2}\right) = 328\text{ К} = 56\,^\circ\text{C}.\]

Подсказка

Если поверхность остаётся плоской и наклон мал, центр масс воды смещается в основном по горизонтали пропорционально подъёму края \(\xi\), а потенциальная энергия пропорциональна \(\xi^2\). Сравните полную энергию с энергией гармонического осциллятора.

Ответ

\(\omega = \sqrt{\dfrac{12gh}{L}}\), \(T_{\text{model}} = \dfrac{\pi L}{\sqrt{3h}}\); эксперимент даёт \(T_{\text{experiment}} \approx 1{,}1\cdot T_{\text{model}}\) — модель немного занижает период; для озера Веттерн период сейш около \(3\) часов.

Решение

В системе координат на рисунке для координат центров масс двух треугольных частей воды имеем \[(x_1, y_1) = (L/3,\ h/2 + \xi/3)\qquad (x_2, y_2) = (-L/3,\ h/2 - \xi/3).\]

Для всей массы воды координаты центра масс будут тогда \[(x_{CoM}, y_{CoM}) = \left(\frac{\xi L}{6h},\ \frac{\xi^2}{6h}\right).\] Так как компонента \(y\) квадратична по \(\xi\), она будет много-много меньше компоненты \(x\).

Скорости массы воды равны \[(v_x, v_y) = \left(\frac{\dot\xi L}{6h},\ \frac{\xi\dot\xi}{3h}\right),\] и снова вертикальная компонента много меньше горизонтальной.

Теперь в нашей модели пренебрегаем вертикальными компонентами. Полная энергия (кинетическая + потенциальная) будет тогда \[W = W_K + W_P = \tfrac{1}{2}M\frac{\dot\xi^2L^2}{36h^2} + Mg\frac{\xi^2}{6h}.\] Для гармонического осциллятора имеем \[W = W_K + W_P = \tfrac{1}{2}m\dot x^2 + \tfrac{1}{2}m\omega^2x^2.\] Отождествление даёт \[\omega = \sqrt{\frac{12gh}{L}}\quad\text{или}\quad T_{\text{model}} = \frac{\pi L}{\sqrt{3h}}.\] Сравнивая с экспериментальными данными, находим \(T_{\text{experiment}} \approx 1{,}1\cdot T_{\text{model}}\): наша модель несколько занижает период колебаний.

Применяя нашу исправленную модель к данным по Веттерну, получаем, что период колебаний сейш составляет около \(3\) часов.

Возможны многие другие модели, дающие равноценные результаты.

Подсказка

Посмотрите, какие элементы должны стоять в схеме, чтобы на очень низких и очень высоких частотах выход совпадал со входом. Затем найдите частоту, на которой выходное напряжение совпадает по фазе с входным (метод комплексных амплитуд или векторная диаграмма).

Ответ

Например, мост из двух конденсаторов \(C\) в продольной ветви, резистора \(R\) параллельно им и резистора \(R\) в поперечной ветви: \(f_0 = \dfrac{1}{2\pi RC}\), \(U_{out}/U_{in} = 2/3\); то же при перестановке резисторов и конденсаторов; ещё две возможности — конденсаторы заменить катушками: \(f_0 = \dfrac{R}{2\pi L}\). Есть ещё восемь решений с несимметричным расположением элементов.

Решение

Условия на очень высоких и очень низких частотах можно выполнить, например, следующей схемой:

С помощью либо графического векторного метода, либо аналитического метода \(j\omega\) можно показать, что минимум достигается на частоте \(f_0 = \dfrac{1}{2\pi RC}\), когда отношение выходного и входного напряжений равно \(2/3\). Перестановка резисторов и конденсаторов даёт новую схему с той же частотой \(f_0\). Ещё две возможности — заменить конденсаторы катушками, тогда получаем \(f_0 = \dfrac{R}{2\pi L}\). Есть ещё восемь решений с несимметричным расположением электронных элементов.