IPhO 1985, теоретический тур

Подсказка

В направлении A сигналы двух стержней должны приходить в фазе, в направлении B — в противофазе. Исключите сдвиг фаз, вычтя одно условие из другого, и подберите ориентацию решётки так, чтобы расстояние было наименьшим.

Ответ

а) \(a = \dfrac{\lambda}{4\sin\frac{1}{2}\varphi}\), \(\vartheta_A = \frac{1}{2}\varphi\), \(\vartheta_B = -\frac{1}{2}\varphi\), \(\delta = \frac{1}{2}\pi - 2\pi N\) (можно считать \(N = 0\)), где \(\varphi = \vartheta_A - \vartheta_B\);  б) \(\lambda = 11{,}1~\text{м}\), \(\varphi = 85^\circ\), \(a = 4{,}1~\text{м}\), линия симметрии стержней направлена под углом \(114{,}5^\circ\) к северу.

Решение

а) Пусть электрические сигналы, подаваемые на стержни 1 и 2, равны \(E_1 = E_0\cos\omega t\) и \(E_2 = E_0\cos(\omega t + \delta)\) соответственно. Условие максимума сигнала в направлении \(\vartheta_A\) (см. рис.): \[\frac{2\pi a}{\lambda}\sin\vartheta_A - \delta = 2\pi N,\] а условие минимума сигнала в направлении \(\vartheta_B\): \[\frac{2\pi a}{\lambda}\sin\vartheta_B - \delta = 2\pi N' + \pi,\] где \(N\) и \(N'\) — произвольные целые числа. Кроме того, \(\vartheta_A - \vartheta_B = \varphi\), где \(\varphi\) задан.

Теперь задачу можно сформулировать так: найти параметры \(a\), \(\vartheta_A\), \(\vartheta_B\), \(\delta\), \(N\) и \(N'\), удовлетворяющие приведённым уравнениям, такие, что \(a\) минимально.

Сначала исключим \(\delta\), вычтя второе уравнение из первого: \[a\sin\vartheta_A - a\sin\vartheta_B = \lambda\left(N - N' - \tfrac{1}{2}\right).\] С помощью формулы для разности синусов и соотношения \(\vartheta_B = \vartheta_A - \varphi\): \[2a\cos\left(\vartheta_A - \tfrac{1}{2}\varphi\right)\sin\tfrac{1}{2}\varphi = \lambda\left(N - N' - \tfrac{1}{2}\right),\] или \[a = \frac{\lambda\left(N - N' - \frac{1}{2}\right)}{2\cos\left(\vartheta_A - \frac{1}{2}\varphi\right)\sin\frac{1}{2}\varphi}.\] Минимум \(a\) достигается при наибольшем возможном значении знаменателя, т. е. \[\cos\left(\vartheta_A - \tfrac{1}{2}\varphi\right) = 1, \qquad \vartheta_A = \tfrac{1}{2}\varphi,\] и наименьшем значении числителя, т. е. \[N - N' = 1.\] Таким образом, решение: \[a = \frac{\lambda}{4\sin\frac{1}{2}\varphi}, \qquad \vartheta_A = \tfrac{1}{2}\varphi, \qquad \vartheta_B = -\tfrac{1}{2}\varphi \quad\text{и}\quad \delta = \tfrac{1}{2}\pi - 2\pi N.\] (Всюду можно считать \(N = 0\), не теряя ни одного физически значимого решения.)

б) Длина волны \(\lambda = c/\nu = 11{,}1~\text{м}\), угол между направлениями A и B \(\varphi = 157^\circ - 72^\circ = 85^\circ\). Минимальное расстояние между стержнями \(a = 4{,}1~\text{м}\), а линия симметрии стержней направлена под углом \(72^\circ + 42{,}5^\circ = 114{,}5^\circ\), отсчитанным от севера.

Подсказка

Скорость электронов найдите по току. Продольная составляющая поля задаёт эту скорость через подвижность, поперечная уравновешивает силу Лоренца. Для переменных \(I\) и \(B\) усредните произведение двух синусов.

Ответ

а) \(E_\parallel = v/\mu = 3{,}2~\text{В/м}\), \(E_\perp = vB = 2{,}5~\text{В/м}\), \(E = 4{,}06~\text{В/м}\) (направление — на рисунке решения), где \(v = I/(ne_0bc) = 25~\text{м/с}\);  б) \(U_H = E_\perp b = 25~\text{мВ}\);  в) \(\overline{U}_H = \dfrac{I_0B_0}{2ne_0c}\cos\delta\);  г) схема — на рисунке решения.

Решение

а) Сначала по току \(I\) вычислим скорость электронов: \[I = jS = ne_0vbc, \qquad v = \frac{I}{ne_0bc} = 25~\text{м/с}.\] Составляющие электрического поля находим по скорости электронов. Составляющая в направлении тока \[E_\parallel = \frac{v}{\mu} = 3{,}2~\text{В/м}.\] Составляющая электрического поля в направлении \(b\) равна силе Лоренца, действующей на электрон, делённой на его заряд: \[E_\perp = vB = 2{,}5~\text{В/м}.\] Модуль электрического поля \[E = \sqrt{E_\parallel^2 + E_\perp^2} = 4{,}06~\text{В/м},\] а его направление показано на рисунке (заметим, что скорость электронов направлена противоположно току).

б) Разность потенциалов \[U_H = E_\perp b = 25~\text{мВ}.\]

в) Теперь разность потенциалов \(U_H\) зависит от времени: \[U_H = \frac{IBb}{ne_0bc} = \frac{I_0B_0}{ne_0c}\sin\omega t\,\sin(\omega t + \delta).\] Постоянная составляющая \(U_H\): \[\overline{U}_H = \frac{I_0B_0}{2ne_0c}\cos\delta.\]

г) Возможная экспериментальная схема показана на рисунке.

На рисунке: shunt — шунт.

Подсказка

Для ухода из Солнечной системы полная энергия зонда относительно Солнца должна быть неотрицательной. При пролёте Марса в системе отсчёта Марса модуль скорости зонда сохраняется — это упругое «столкновение» с планетой; между орбитами Земли и Марса работают законы сохранения энергии и момента импульса.

Ответ

а) \(v_a' = v_E(\sqrt{2} - 1) = 12{,}3~\text{км/с}\) в направлении движения Земли;  б) \(v_\parallel = (v_b' + v_E)k\), \(v_\perp = \sqrt{(v_b' + v_E)^2(1 - k^2) - 2v_E^2(1 - k)}\), \(k = R_E/R_M\);  в) \(v_b' = v_E\left[\sqrt{k}^{\,3} - 1 + \sqrt{k^3 + 2 - 2\sqrt{2}\,k}\right] = 5{,}5~\text{км/с}\);  г) \(\dfrac{W_a - W_b}{W_a} = 0{,}80\).

Решение

а) Необходимое условие того, что космический зонд покинет Солнечную систему, — сумма его кинетической и потенциальной энергии в гравитационном поле Солнца должна быть больше нуля или равна нулю: \[\frac{1}{2}mv_a^2 - \frac{GmM}{R_E} \ge 0,\] где \(m\) — масса зонда, \(v_a\) — его скорость относительно Солнца, \(M\) — масса Солнца, \(R_E\) — расстояние от Земли до Солнца, \(G\) — гравитационная постоянная. Используя выражение для скорости Земли \(v_E = \sqrt{GM/R_E}\), можно исключить из этого условия \(G\) и \(M\): \[v_a^2 \ge \frac{2GM}{R_E} = 2v_E^2.\] Пусть \(v_a'\) — скорость запуска относительно Земли, \(\vartheta\) — угол между \(\vec v_E\) и \(\vec v_a'\) (см. рис.).

Тогда из \(\vec v_a = \vec v_a' + \vec v_E\) и \(v_a^2 = 2v_E^2\) следует \[{v_a'}^2 + 2v_a'v_E\cos\vartheta - v_E^2 = 0\] и \[v_a' = v_E\left[-\cos\vartheta + \sqrt{1 + \cos^2\vartheta}\right].\] Минимальная скорость получается при \(\vartheta = 0\): \[v_a' = v_E(\sqrt{2} - 1) = 12{,}3~\text{км/с}.\]

б) Пусть \(v_b'\) и \(v_b\) — скорости запуска зонда в системах отсчёта Земли и Солнца соответственно. Для решения (а) \(v_b = v_b' + v_E\). Из сохранения момента импульса зонда \[mv_bR_E = mv_\parallel R_M\] и сохранения энергии \[\frac{1}{2}mv_b^2 - \frac{GmM}{R_E} = \frac{1}{2}m\left(v_\parallel^2 + v_\perp^2\right) - \frac{GmM}{R_M}\] получаем для параллельной составляющей скорости (см. рис.) \[v_\parallel = (v_b' + v_E)k,\] а для перпендикулярной составляющей \[v_\perp = \sqrt{(v_b' + v_E)^2(1 - k^2) - 2v_E^2(1 - k)},\] где \(k = R_E/R_M\).

в) Минимальная скорость зонда в системе отсчёта Марса, при которой он покинет Солнечную систему, равна \(v_s'' = v_M(\sqrt{2} - 1)\) и направлена параллельно орбите Марса (\(v_M\) — скорость Марса вокруг Солнца). Следовательно, роль Марса — изменить скорость зонда так, чтобы тот покинул гравитационное поле Марса с этой скоростью.

В системе отсчёта Марса энергия зонда сохраняется. Однако это неверно в системе отсчёта Солнца, в которой такое сближение можно рассматривать как упругое столкновение Марса и зонда. Поэтому скорость зонда до входа в гравитационное поле Марса в системе отсчёта Марса равна скорости, с которой зонд покидает его гравитационное поле. Составляющие первой из этих скоростей \(v_\perp'' = v_\perp\) и \(v_\parallel'' = v_\parallel - v_M\), откуда \[v'' = \sqrt{{v_\parallel''}^2 + {v_\perp''}^2} = \sqrt{v_\perp^2 + (v_\parallel - v_M)^2} = v_s''.\] Используя выражения для \(v_\perp\) и \(v_\parallel\) из (б), теперь можно найти связь между скоростью запуска с Земли \(v_b'\) и скоростью \(v_s''\), \(v_s'' = v_M(\sqrt{2} - 1)\): \[(v_b' + v_E)^2(1 - k^2) - 2v_E^2(1 - k) + (v_b' + v_E)^2k^2 - 2v_M(v_b' + v_E)k = v_M^2(2 - 2\sqrt{2}).\] Скорость Марса вокруг Солнца \(v_M = \sqrt{GM/R_M} = \sqrt{k}\,v_E\), и уравнение для \(v_b'\) принимает вид \[(v_b' + v_E)^2 - 2\sqrt{k}^{\,3}v_E(v_b' + v_E) + (2\sqrt{2}\,k - 2)v_E^2 = 0.\] Физически значимое решение: \[v_b' = v_E\left[\sqrt{k}^{\,3} - 1 + \sqrt{k^3 + 2 - 2\sqrt{2}\,k}\right] = 5{,}5~\text{км/с}.\]

г) Относительная экономия энергии \[\frac{W_a - W_b}{W_a} = \frac{{v_a'}^2 - {v_b'}^2}{{v_a'}^2} = 0{,}80,\] где \(W_a\) и \(W_b\) — энергии запуска по схеме (i) и по схеме (ii) соответственно.