зад 1 Интерференция волн
Плоская монохроматическая световая волна с длиной волны \(\lambda\) и частотой \(f\) падает нормально на две одинаковые узкие щели, находящиеся на расстоянии \(d\) друг от друга, как показано на рис. 1.1. Световая волна, выходящая из каждой щели, на расстоянии \(x\) в направлении \(\theta\) в момент времени \(t\) описывается выражением \[y = a\cos[2\pi(ft - x/\lambda)],\] где амплитуда \(a\) одинакова для обеих волн. (Считайте, что \(x\) много больше \(d\).)
(i) Покажите, что две волны, наблюдаемые под углом \(\theta\) к нормали к щелям, дают результирующую амплитуду \(A\), которую можно получить, сложив два вектора, каждый из которых имеет модуль \(a\) и направление, определяемое фазой световой волны.
Проверьте геометрически по векторной диаграмме, что \[A = 2a\cos\theta,\]
где \[\beta = \frac{\pi}{\lambda}d\sin\theta.\]
(ii) Двойную щель заменили дифракционной решёткой с \(N\) равноотстоящими щелями, расстояние между соседними щелями равно \(d\). С помощью векторного метода сложения амплитуд покажите, что векторы амплитуд, каждый модулем \(a\), образуют часть правильного многоугольника с вершинами на окружности радиуса \(R\), равного \[R = \frac{a}{2\sin\beta}.\] Выведите, что результирующая амплитуда равна \[\frac{a\sin N\beta}{\sin\beta},\] и найдите результирующую разность фаз относительно фазы света от щели на краю решётки.
(iii) Изобразите на одном графике \(\sin N\beta\) и \((1/\sin\beta)\) как функции \(\beta\). На отдельном графике покажите, как интенсивность результирующей волны зависит от \(\beta\).
(iv) Определите интенсивности главных максимумов интенсивности.
(v) Покажите, что число главных максимумов не может превышать \[\left(\frac{2d}{\lambda} + 1\right).\]
(vi) Покажите, что две длины волны \(\lambda\) и \(\lambda + \delta\lambda\), где \(\delta\lambda \ll \lambda\), дают главные максимумы, угловое расстояние между которыми равно \[\Delta\theta = \frac{n\Delta\lambda}{d\cos\theta}, \qquad\text{где } n = 0,\ \pm 1,\ \pm 2 \ldots \text{ и т.~д.}\] Вычислите это угловое расстояние для D-линий натрия, для которых \[\lambda = 589{,}0~\text{нм}, \quad \lambda + \Delta\lambda = 589{,}6~\text{нм}, \quad n = 2 \quad\text{и}\quad d = 1{,}2\cdot 10^{-6}~\text{м}.\] \[\left[\text{напоминание: } \cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A + B}{2}\right)\cdot\cos\left(\frac{A - B}{2}\right)\right]\]
▶ПодсказкаСкрыть
Каждая щель добавляет вектор длины \(a\), повёрнутый относительно предыдущего на один и тот же угол — разность фаз соседних щелей. Концы векторов лежат на окружности; результирующая амплитуда — хорда, стягивающая \(N\) таких сторон. Главный максимум — когда все векторы сонаправлены.
▶ОтветСкрыть
(i) \(A = 2a\cos\beta\), \(\beta = \dfrac{\pi}{\lambda}d\sin\theta\); (ii) результирующая разность фаз \((N - 1)\beta\); (iii) \(I = \dfrac{a^2\sin^2 N\beta}{\sin^2\beta}\), графики — в решении; (iv) \(I_{\max} = N^2a^2\) при \(\beta = \pi p\); (vi) \(\Delta\theta = 5{,}2\cdot 10^{-3}\) рад, или \(0{,}30^\circ\).
▶РешениеСкрыть
(i) Векторная диаграмма.
Если фаза света от первой щели равна нулю, то фаза света от второй щели \[\phi = \frac{2\pi}{\lambda}d\sin\theta.\] Складываем две волны с разностью фаз \(\phi\), где \(\xi = 2\pi\left(ft - \dfrac{x}{\lambda}\right)\): \[a\cos(\xi + \phi) + a\cos(\xi) = 2a\cos(\phi/2)(\xi + \phi/2),\]
\[a\cos(\xi + \phi) + a\cos(\xi) = 2a\cos\beta\{\cos(\xi + \beta)\}.\] Это волна с амплитудой \(A = 2a\cos\beta\) и фазой \(\beta\). По векторной диаграмме, в равнобедренном треугольнике \(OPQ\) \[\beta = \frac{1}{2}\phi = \frac{\pi}{\lambda}d\sin\theta \qquad (NB\ \ \phi = 2\beta)\] и \[A = 2a\cos\beta.\] Таким образом, сумму двух волн можно получить сложением двух векторов с амплитудой \(a\) и направлениями под углами \(0\) и \(\phi\).
(ii) Каждая щель дифракционной решётки создаёт волну амплитуды \(a\) с фазой \(2\beta\) относительно волны от предыдущей щели. Векторная диаграмма — «правильный» многоугольник со сторонами постоянной длины \(a\) и постоянными углами между соседними сторонами. Пусть \(O\) — центр описанной окружности, проходящей через вершины многоугольника. Тогда радиальные отрезки, такие как \(OS\), имеют длину \(R\) и делят внутренние углы многоугольника пополам (рис. 1.2).
\[\angle OST = \angle OTS = \frac{1}{2}(180 - \phi) \qquad\text{и}\qquad \angle TOS = \phi.\] Например, в треугольнике \(TOS\) \[a = 2R\sin(\phi/2) = 2R\sin\beta, \quad\text{так как } (\phi = 2\beta),\] \[\therefore\ R = \frac{a}{2\sin\beta}. \qquad (1)\] Поскольку у многоугольника \(N\) сторон, \[\angle TOZ = N(\angle TOZ) = N\phi = 2N\beta.\]
Поэтому в равнобедренном треугольнике \(TOZ\) амплитуда результирующей волны \(TZ\) равна \[2R\sin N\beta.\] Отсюда, с учётом (1), эта амплитуда равна \[\frac{a\sin N\beta}{\sin\beta}.\] Результирующая фаза равна \[\angle ZTS = \angle OTS - \angle OTZ = \left(90 - \frac{\phi}{2}\right) - \frac{1}{2}(180 - N\phi) = \frac{1}{2}(N - 1)\phi = (N - 1)\beta.\]
(iii)
Интенсивность \[I = \frac{a^2\sin^2 N\beta}{\sin^2\beta}.\]
(iv) Для главных максимумов \(\beta = \pi p\), где \(p = 0, \pm 1, \pm 2 \ldots\) \[I_{\max} = a^2\left(\frac{N\beta'}{\beta'}\right) = N^2a^2, \qquad \beta' = 0 \ \text{ и } \ \beta = \pi p + \beta'.\]
(v) Оценка соседнего максимума \(I_1\): \[\sin^2 N\beta = 1, \quad \beta = 2\pi p \mp \frac{3\pi}{2N}, \ \text{ т.~е. } \ \beta = \pm\frac{3\pi}{2N}.\] \(\left[\beta = \pi p \pm \dfrac{\pi}{2N}\right]\) не даёт максимума, как видно из графика. \[I_1 = a^2\,\frac{1}{\frac{3\pi^2}{2n}} = \frac{a^2N^2}{23} \quad\text{при } N \gg 1.\]
Соседний нуль интенсивности возникает при \(\beta = \pi\rho \pm \dfrac{\pi}{N}\), т. е. \(\delta = \pm\dfrac{\pi}{N}\).
Для разностей фаз, много больших \(\delta\), \[I = a^2\left(\frac{\sin N\beta}{\sin\beta}\right) = a^2.\]
(vi) \(\beta = n\pi\) для главного максимума, т. е. \[\frac{\pi}{\lambda}d\sin\theta = n\pi, \qquad n = 0, \pm 1, \pm 2 \ldots\] Дифференцируя по \(\lambda\): \[d\cos\theta\,\Delta\theta = n\Delta\lambda, \qquad \Delta\theta = \frac{n\Delta\lambda}{d\cos\theta}.\] Подставляем \(\lambda = 589{,}0\) нм, \(\lambda + \Delta\lambda = 589{,}6\) нм, \(n = 2\) и \(d = 1{,}2\cdot 10^{-6}\) м: \[\Delta\theta = \frac{n\Delta\lambda}{d\sqrt{1 - \left(\frac{n\lambda}{d}\right)^2}}, \quad\text{так как}\quad \sin\theta = \frac{n\lambda}{d} \quad\text{и}\quad \cos\theta = \sqrt{1 - \left(\frac{n\lambda}{d}\right)^2},\] \[\Rightarrow\ \Delta\theta = 5{,}2\cdot 10^{-3}~\text{рад} \ \text{ или } \ 0{,}30^\circ.\]
зад 2 Сейсмические волны
В начале этого века была предложена модель Земли, в которой предполагалось, что Земля — шар радиуса \(R\), состоящий из однородной изотропной твёрдой мантии до радиуса \(R_c\). Область ядра внутри радиуса \(R_c\) содержала жидкость. Рис. 2.1
Скорости продольных и поперечных сейсмических волн (соответственно P- и S-волн) в мантии постоянны и равны \(V_P\) и \(V_S\). В ядре продольные волны имеют постоянную скорость \(V_{CP} < V_P\), а поперечные волны не распространяются.
Землетрясение в точке E на поверхности Земли порождает сейсмические волны, которые проходят сквозь Землю и регистрируются наблюдателем на поверхности, который может установить свой сейсмометр в любой точке X на поверхности Земли. Угловое расстояние между E и X равно \(2\theta\): \[2\theta = \text{угол } EOX,\] где O — центр Земли.
(i) Покажите, что сейсмические волны, проходящие через мантию по прямой, придут в X в момент \(t\) (время пробега после землетрясения), равный \[t = \frac{2R\sin\theta}{v} \qquad\text{при } \theta > \arccos\left[\frac{R_c}{R}\right],\]
где \(v = v_P\) для P-волн и \(v = v_S\) для S-волн.
(ii) Для некоторых положений X сейсмические P-волны приходят к наблюдателю после двух преломлений на границе мантии и ядра. Нарисуйте путь такой сейсмической P-волны. Получите для P-волн соотношение между \(\theta\) и \(i\) — углом падения сейсмической P-волны на границу мантии и ядра.
(iii) Используя данные \[R = 6370~\text{км}, \quad R_C = 3470~\text{км}, \quad v_{CP} = 10{,}85~\text{км}\,\text{с}^{-1}, \quad v_S = 6{,}31~\text{км}\,\text{с}^{-1}, \quad v_{CP} = 9{,}02~\text{км}\,\text{с}^{-1}\]
и результат, полученный в (ii), постройте график зависимости \(\theta\) от \(i\). Прокомментируйте физические следствия формы этого графика для наблюдателей, находящихся в разных точках поверхности Земли. Изобразите зависимость времени пробега P- и S-волн от \(\theta\) при \(0 \le \theta \le 90\) градусов.
(iv) После землетрясения наблюдатель измеряет запаздывание прихода S-волны вслед за P-волной: 2 минуты 11 секунд. Определите угловое расстояние от землетрясения до наблюдателя, используя данные из пункта (iii).
(v) Наблюдатель при предыдущем измерении замечает, что через некоторое время после прихода P- и S-волн сейсмометр регистрирует ещё два сигнала, разделённых промежутком времени 6 минут 37 секунд. Объясните этот результат и проверьте, что он действительно соответствует угловому расстоянию, найденному в предыдущем пункте.
▶ПодсказкаСкрыть
Прямой луч — хорда EX; он не должен задевать ядро. Преломлённый луч проходит ядро по хорде, а на границе выполняется закон преломления с отношением скоростей. Разность времён прихода S- и P-волн по одной и той же хорде даёт её длину.
▶ОтветСкрыть
(i) \(t = \dfrac{2R\sin\theta}{v}\) при \(\theta \le \cos^{-1}(R_C/R)\); (ii) \(\theta = \left[90 - \sin^{-1}\left(\dfrac{v_{CP}}{v_P}\sin i\right) + i - \sin^{-1}\left(\dfrac{R_C}{R}\sin i\right)\right]\); (iii) минимум \(\theta_{\min} = 75{,}8^\circ\) при \(i = 55^\circ\): при \(114^\circ < 2\theta < 151{,}6^\circ\) волны до наблюдателя не доходят; (iv) \(2\theta = 17{,}84^\circ\); (v) отражение от границы мантии и ядра, \(\Delta t' = 396{,}7\) с, или 6 мин 37 с.
▶РешениеСкрыть
(i) Рис. 2.1
\[EX = 2R\sin\theta \quad\therefore\ t = \frac{2R\sin\theta}{v},\] где \(v = v_P\) для P-волн и \(v = v_S\) для S-волн.
Это справедливо, если угловое расстояние до X меньше или равно угловому расстоянию до X\('\) — точки, куда приходит луч, касательный к жидкому ядру. Угловое расстояние до X\('\) по рисунку равно \[2\phi = 2\cos^{-1}\left(\frac{R_C}{R}\right).\] Таким образом, \[t = \frac{2R\sin\theta}{v} \qquad\text{при } \theta \le \cos^{-1}\left(\frac{R_C}{R}\right),\] где \(v = v_P\) для P-волн и \(v = v_S\) для поперечных волн.
(ii) \(\dfrac{R_C}{R} = 0{,}5447\) и \(\dfrac{v_{CP}}{v_P} = 0{,}831.3\)
Рис. 2.2
Из рис. 2.2 \[\theta = \angle AOC + \angle EOA \ \Rightarrow\ \theta = (90 - r) + (1 - \alpha). \qquad (1)\]
Закон Снеллиуса даёт \[\frac{\sin i}{\sin r} = \frac{v_P}{v_{CP}}. \qquad (2)\] По теореме синусов для треугольника EAO \[\frac{R_C}{\sin x} = \frac{R}{\sin i}. \qquad (3)\]
Подставляя (2) и (3) в (1): \[\theta = \left[90 - \sin^{-1}\left(\frac{v_{CP}}{v_P}\sin i\right) + i - \sin^{-1}\left(\frac{R_C}{R}\sin i\right)\right]. \qquad (4)\]
(iii) Только для сведения. Для минимума \(\theta\) \[\frac{d\theta}{di} = 0 \ \Rightarrow\ 1 - \frac{\left(\frac{v_{CP}}{v_P}\right)\cos i}{\sqrt{1 - \left(\frac{v_{CP}}{v_P}\sin i\right)^2}} - \frac{\left(\frac{R_C}{R}\right)\cos i}{\sqrt{1 - \left(\frac{R_C}{R}\sin i\right)^2}} = 0.\] Подстановка \(i = 55{,}0^\circ\) даёт нулевую левую часть, что подтверждает, что минимум достигается при этом значении \(i\). Подстановка \(i = 55{,}0^\circ\) в (4) даёт \(\theta = 75{,}8^\circ\).
График зависимости \(\theta\) от \(i\):
Подставляя в (4): \(i = 0\) даёт \(\theta = 90\); \(i = 90^\circ\) даёт \(\theta = 90{,}8^\circ\).
Подставляя численные значения \(i\) от \(0\) до \(90^\circ\), находим минимум при \(i = 55^\circ\); минимальное значение \(\theta_{\text{MIN}} = 75{,}8^\circ\).
Физическое следствие. Поскольку \(\theta\) имеет минимальное значение \(75{,}8^\circ\), наблюдатели в точках, для которых \(2\theta < 151{,}6^\circ\), не зарегистрируют землетрясение, так как сейсмические волны не отклоняются на углы, меньшие \(151{,}6^\circ\). Однако при \(2\theta \le 114^\circ\) до наблюдателя дойдут прямые, непреломлённые сейсмические волны.
На рисунке: Refracted waves — преломлённые волны.
(iv) Используя результат \[t = \frac{2r\sin\theta}{v},\] получаем запаздывание \[\Delta t = 2R\sin\theta\left[\frac{1}{v_S} - \frac{1}{v_P}\right].\] Подставляя данные: \[131 = 2(6370)\left[\frac{1}{6{,}31} - \frac{1}{10{,}85}\right]\sin\theta.\] Следовательно, угловое расстояние между E и X \[2\theta = 17{,}84^\circ.\] Этот результат меньше \(2\cos^{-1}\left(\dfrac{R_C}{R}\right) = 2\cos^{-1}\left(\dfrac{3470}{6370}\right) = 114^\circ\), и, следовательно, сейсмическая волна не преломляется в ядре.
(v)
Наблюдения, скорее всего, вызваны отражениями от границы мантии и ядра. В обозначениях рисунка запаздывание равно \[\Delta t' = (ED + DX)\left[\frac{1}{v_S} - \frac{1}{v_P}\right],\] \[\Delta t' = 2(ED)\left[\frac{1}{v_S} - \frac{1}{v_P}\right], \quad\text{так как } ED = EX \text{ по симметрии}.\]
В треугольнике EYD \[(ED)^2 = (R\sin\theta)^2 + (R\cos\theta - R_C)^2,\] \[(ED)^2 = R^2 + R_C^2 - 2RR_C\cos\theta \qquad (\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1).\] Следовательно, \[\Delta t' = 2\sqrt{R^2 + R_C^2 - 2RR_C\cos\theta}\left[\frac{1}{v_S} - \frac{1}{v_P}\right].\] Используя (ii),
\[\Delta t' = \frac{\Delta t}{R\sin\theta}\sqrt{R^2 + R_C^2 - 2RR_C\cos\theta} \ \Rightarrow\ 396{,}7~\text{с}, \ \text{ или 6 мин 37 с}.\] Таким образом, последующий промежуток времени, обусловленный отражением сейсмических волн от границы мантии и ядра, согласуется с угловым расстоянием \(17{,}84^\circ\).
зад 3 Массы и пружины
Три частицы, каждая массой \(m\), находятся в равновесии и соединены нерастянутыми невесомыми пружинами, каждая с жёсткостью \(k\) (по закону Гука). Частицы могут двигаться только по окружности, как показано на рис. 3.1.
(i) Массы смещены из положения равновесия на малые расстояния \(u_1\), \(u_2\) и \(u_3\) соответственно. Запишите уравнение движения каждой массы.
(ii) Проверьте, что система имеет гармонические решения вида \[u_n = a_n\cos\omega t\] с ускорениями \((-\omega^2u_n)\), где \(a_n\) \((n = 1, 2, 3)\) — постоянные амплитуды, а угловая частота \(\omega\) может принимать 3 возможных значения: \[\omega_o\sqrt{3},\ \omega_o\sqrt{3} \ \text{ и } \ 0, \qquad\text{где } \omega_o^2 = \frac{k}{m}.\]
(iii) Систему из чередующихся пружин и масс расширили до \(N\) частиц; каждая масса \(m\) соединена пружинами с соседними массами. Вначале пружины не растянуты и находятся в равновесии. Запишите уравнение движения \(n\)-й массы \((n = 1, 2 \ldots N)\) через её смещение и смещения соседних масс, когда частицы смещены из положения равновесия.
Покажите, что \[u_n(t) = a_s\sin\left(\frac{2ns\pi}{N} + \phi\right)\cos\omega_s t\] — колебательные решения, где \(s = 1, 2, \ldots N\), \(n = 1, 2, \ldots N\), а \(\phi\) — произвольная фаза, если угловые частоты равны \[\omega_s = 2\omega_o\sin\left(\frac{s\pi}{N}\right),\] где \(a_s\) \((s = 1, \ldots N)\) — постоянные амплитуды, не зависящие от \(n\).
Укажите диапазон возможных частот для цепочки, содержащей бесконечное число масс.
(iv) Определите отношение \[u_n/u_{n+1}\] при больших \(N\) в двух случаях:
(a) низкочастотные решения;
(b) \(\omega = \omega_{\max}\), где \(\omega_{\max}\) — решение с максимальной частотой.
Изобразите типичные графики смещений частиц в зависимости от номера частицы вдоль цепочки в момент \(t\) для случаев (a) и (b).
(v) Если одну из масс заменить массой \(m' \ll m\), оцените, какого основного изменения следует ожидать в распределении угловых частот.
Опишите качественно, исходя из предыдущего результата, вид частотного спектра для двухатомной цепочки с чередующимися массами \(m\) и \(m'\).
Напоминание: \[\sin(A + B) = \sin A\cos B + \cos A\sin B,\] \[\sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A + B}{2}\right)\cos\left(\frac{A - B}{2}\right),\] \[2\sin^2 A = 1 - \cos 2A.\]
▶ПодсказкаСкрыть
Подставьте гармоническое решение в уравнения движения: получится однородная система для амплитуд, частоты — из условия её разрешимости. Для цепочки подставьте предложенную синусоиду и сведите сумму синусов соседей к синусу самой частицы. Лёгкая масса между двумя тяжёлыми колеблется почти как между неподвижными стенками.
▶ОтветСкрыть
(ii) \(\omega = \sqrt{3}\,\omega_o,\ \sqrt{3}\,\omega_o\) и \(0\); (iii) \(\omega_s = 2\omega_o\sin\left(\dfrac{s\pi}{N}\right)\), при \(N \to \infty\) частоты от \(0\) до \(2\omega_o = 2\sqrt{k/m}\); (iv) (a) \(u_n/u_{n+1} \cong 1\), (b) \(u_n/u_{n+1} = -1\); (v) появляется отдельная частота \(\omega' = \sqrt{2k/m'} \gg \omega_{\max}\); для двухатомной цепочки — спектр «полоса — щель — полоса».
▶РешениеСкрыть
Уравнения движения: \[m\frac{d^2u_1}{dt^2} = k(u_2 - u_1) + k(u_3 - u_1),\] \[m\frac{d^2u_2}{dt^2} = k(u_3 - u_2) + k(u_1 - u_2),\] \[m\frac{d^2u_3}{dt^2} = k(u_1 - u_3) + k(u_2 - u_3).\] Подставляя \(u_n(t) = u_n(0)\cos\omega t\) и \(\omega_o^2 = \dfrac{k}{m}\): \[(2\omega_o^2 - \omega^2)u_1(0) - \omega_o^2u_2(0) - \omega_o^2u_3(0) = 0 \qquad (a)\] \[-\omega_o^2u_1(0) + (2\omega_o^2 - \omega^2)u_2(0) - \omega_o^2u_3(0) = 0 \qquad (b)\] \[-\omega_o^2u_1(0) - \omega_o^2u_2(0) + (2\omega_o^2 - \omega^2)u_3(0) = 0 \qquad (c)\] Выражая \(u_1(0)\) и \(u_2(0)\) через \(u_3(0)\) с помощью (a) и (b) и подставляя в (c), получаем уравнение, эквивалентное \[(3\omega_o^2 - \omega^2)^2\omega^2 = 0,\] \[\omega^2 = 3\omega_o^2,\ 3\omega_o^2 \ \text{ и } \ 0,\] \[\omega = \sqrt{3}\,\omega_o,\ \sqrt{3}\,\omega_o \ \text{ и } \ 0.\]
(ii) Уравнение движения \(n\)-й частицы (\(n = 1, 2 \ldots N\)): \[m\frac{d^2u_n}{dt^2} = k(u_{1+n} - u_n) + k(u_{n-1} - u_n),\] \[\frac{d^2u_n}{dt^2} = k(u_{1+n} - u_n) + \omega_o^2(u_{n-1} - u_n).\]
Подставляя \(u_n(t) = u_n(0)\sin\left(2ns\dfrac{\pi}{N}\right)\cos\omega_s t\): \[-\omega_s^2\left(\sin\left(2ns\frac{\pi}{N}\right)\right) = \omega_o^2\left[\sin\left(2(n + 1)s\frac{\pi}{N}\right) - 2\sin\left(2ns\frac{\pi}{N}\right) + \sin\left(2(n - 1)s\frac{\pi}{N}\right)\right],\] \[-\omega_s^2\left(\sin\left(2ns\frac{\pi}{N}\right)\right) = 2\omega_o^2\left[\frac{1}{2}\sin\left(2(n + 1)s\frac{\pi}{N}\right) + \sin\left(2ns\frac{\pi}{N}\right) - \frac{1}{2}\sin\left(2(n - 1)s\frac{\pi}{N}\right)\right],\]
\[-\omega_s^2\left(\sin\left(2ns\frac{\pi}{N}\right)\right) = 2\omega_o^2\left[\sin\left(2ns\frac{\pi}{N}\right)\cos\left(2s\frac{\pi}{N}\right) - \sin\left(2ns\frac{\pi}{N}\right)\right],\] \[\therefore\ \omega_s^2 = 2\omega_o^2\left[1 - \cos\left(2s\frac{\pi}{N}\right)\right] \qquad (s = 1, 2, \ldots N).\] Так как \(2\sin^2\theta = 1 - \cos 2\theta\), это даёт \[\omega_s = 2\omega_o\sin\left(\frac{s\pi}{N}\right) \qquad (s = 1, 2, \ldots N).\] \(\omega_s\) может принимать значения от \(0\) до \(2\omega_o = 2\sqrt{\dfrac{k}{m}}\) при \(N \to \infty\); это соответствует диапазону \(s\) от \(1\) до \(\dfrac{N}{2}\).
(iv) Для \(s\)-й моды \[\frac{u_n}{u_{n+1}} = \frac{\sin\left(2ns\frac{\pi}{N}\right)}{\sin\left(2(n + 1)s\frac{\pi}{N}\right)},\] \[\frac{u_n}{u_{n+1}} = \frac{\sin\left(2ns\frac{\pi}{N}\right)}{\sin\left(2ns\frac{\pi}{N}\right)\cos\left(2s\frac{\pi}{N}\right) + \cos\left(2ns\frac{\pi}{N}\right)\sin\left(2s\frac{\pi}{N}\right)}.\] (a) При малых \(\omega\) \(\left(\dfrac{s}{N}\right) \approx 0\), поэтому \(\cos\left(2ns\dfrac{\pi}{N}\right) \cong 1\) и \(\sin\left(2ns\dfrac{\pi}{N}\right) \approx 0\), и, значит, \(\dfrac{u_n}{u_{n+1}} \cong 1\).
(b) Высшая мода \(\omega_{\max} = 2\omega_o\) соответствует \(s = N/2\): \[\therefore\ \frac{u_n}{u_{n+1}} = -1, \quad\text{так как}\quad \frac{\sin(2n\pi)}{\sin(2(n + 1)\pi)} = -1.\]
Случай (a)
Случай (b), \(N\) нечётное
\(N\) чётное
(vi) Если \(m' \ll m\), частоту, связанную с \(m'\), можно рассматривать как частоту колебаний \(m'\) между двумя соседними, гораздо более тяжёлыми массами, которые можно считать неподвижными относительно \(m'\).
Частота нормальной моды \(m'\) в этом приближении равна
\[m'\ddot x = -2kx,\] \[\omega'^2 = \frac{2k}{m},\]
\[\omega' = \sqrt{\frac{2k}{m'}}.\] При малой \(m'\) частота \(\omega'\) будет много больше \(\omega_{\max}\):
На рисунке: BAND — полоса.
Двухатомная система. Большее число лёгких масс \(m'\) увеличит число частот в области \(\omega'\), и получится спектр «полоса — щель — полоса».
На рисунке: BAND — полоса, GAP — щель.
Источник: Международная физическая олимпиада (IPhO) 1986, теоретический тур — условия (1) · условия (2) · условия (3) · решения (1) · решения (2) · решения (3). Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.