IPhO 1987, теоретический тур

Подсказка

До начала конденсации подъём — сухая адиабата \(T \propto p^{1 - 1/\chi}\). Выше нижней границы облаков к адиабатическому охлаждению добавляется нагрев теплотой конденсации выпавшей воды. Спуск за хребтом — снова сухая адиабата.

Ответ

1) \(T_1 = 279~\text{К}\);  2) \(h_1 = 1410~\text{м}\);  3) \(T_2 = 271~\text{К}\);  4) \(h = 35~\text{мм}\);  5) \(T_3 = 300~\text{К}\), воздух стал теплее и суше.

Решение

1. Температура \(T_1\), при которой образуется нижняя граница облаков: \[T_1 = T_0\cdot\left(\frac{p_1}{p_0}\right)^{1 - \frac{1}{\chi}} = 279~\text{К}. \qquad (1)\]

2. Высота \(h_1\) нижней границы облаков: \[p_0 - p_1 = \frac{\rho_0 + \rho_1}{2}\cdot g\cdot h_1, \quad\text{где}\quad \rho_1 = \rho_0\cdot\frac{p_1}{p_0}\cdot\frac{T_0}{T_1},\] \[h_1 = 1410~\text{м}. \qquad (2)\]

3. Температура \(T_2\) на гребне хребта.

Изменение температуры при подъёме воздуха от нижней границы облаков до гребня хребта обусловлено двумя процессами:

— адиабатическим охлаждением до температуры \(T_x\),

— нагревом на \(\Delta T\) за счёт конденсации. \[T_2 = T_x + \Delta T, \qquad (3)\] \[T_x = T_1\cdot\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{1 - \frac{1}{\chi}} = 265~\text{К}. \qquad (4)\] На каждый килограмм воздуха при конденсации выделяется теплота \(L_v\cdot 2{,}45~\text{г} = 6{,}125~\text{кДж}\). \[\Delta T = \frac{6{,}125}{c_p}\cdot\frac{\text{кДж}}{\text{кг}} = 6{,}1~\text{К}, \qquad (5)\] \[T_2 = 271~\text{К}. \qquad (6)\]

4. Высота столба выпавшей воды \[h = 35~\text{мм}. \qquad (7)\]

5. Температура \(T_3\) за хребтом \[T_3 = T_2\cdot\left(\frac{p_3}{p_2}\right)^{1 - \frac{1}{\chi}} = 300~\text{К}. \qquad (8)\] Воздух стал теплее и суше. Повышение температуры вызвано конденсацией пара.

Подсказка

Период вращения электрона вокруг силовой линии не зависит от поперечной скорости, поэтому все электроны пучка снова сходятся в точку через один и тот же путь вдоль поля. Без отклоняющего поля сохраняются энергия и момент импульса относительно оси тороида, а \(v_z\) связана с радиальным смещением через \(z\)-составляющую силы Лоренца.

Ответ

1) \(B_1 = \dfrac{1}{R}\sqrt{2\dfrac{m}{e}V_0} = 0{,}37\cdot 10^{-2}~\text{В}\cdot\text{с/м}^2\);  2) \(B = \dfrac{4}{R}\sqrt{2\dfrac{m}{e}V_0} = 1{,}48\cdot 10^{-2}~\text{В}\cdot\text{с/м}^2\);  3) а) радиус \(r\) остаётся между \(R\) и конечным \(r_1\); б) дрейф направлен в сторону отрицательной оси \(z\).

Решение

1. Определение \(B\).

Вектор скорости любого электрона разложим на составляющие, параллельную и перпендикулярную магнитному полю \(\vec B\): \[\vec v = \vec v_\parallel + \vec v_\perp. \qquad (1)\] Сила Лоренца \(\vec F = -e\cdot(\vec v\times\vec B)\) действует только на перпендикулярную составляющую, она играет роль центростремительной силы: \[m\cdot\frac{v_\perp^2}{r} = e\cdot v_\perp\cdot B. \qquad (2)\] Отсюда радиус описываемой окружности \[r = \frac{m}{e}\cdot\frac{v_\perp}{B}, \qquad (3)\] а период обращения, не зависящий от \(v_\perp\), \[T = \frac{2\cdot\pi\cdot r}{v_\perp} = \frac{2\cdot\pi\cdot m}{B\cdot e}. \qquad (4)\] Параллельная составляющая скорости не меняется. Поскольку \(\alpha_0 \ll 1\), она приблизительно одинакова для всех электронов: \[v_{\parallel 0} = v_0\cdot\cos\alpha_0 \approx v_0. \qquad (5)\] Поэтому расстояние \(b\) между точками фокусировки, с учётом (5), равно \[b = v_{\parallel 0}\cdot T \approx v_0\cdot T. \qquad (6)\] Из закона сохранения энергии следует связь между ускоряющим напряжением \(V_0\) и скоростью \(v_0\): \[\frac{m}{2}\cdot v_0^2 = e\cdot V_0. \qquad (7)\] Используя (7) и (4), из (6) получаем \[b = \frac{2\cdot\pi}{B}\cdot\sqrt{2\cdot\frac{m}{e}\cdot V_0}, \qquad (8)\] а поскольку \(b = \dfrac{2\cdot\pi\cdot R}{4}\), получаем \[B = \frac{4}{R}\cdot\sqrt{2\cdot\frac{m}{e}\cdot V_0} = 1{,}48\cdot 10^{-2}~\frac{\text{В}\cdot\text{с}}{\text{м}^2}. \qquad (9)\]

2. Определение \(B_1\).

Аналогично (2) должно выполняться \[m\cdot\frac{v_0^2}{R} = e\cdot v_0\cdot B_1. \qquad (10)\] Из (7) следует \[B_1 = \frac{1}{R}\cdot\sqrt{2\cdot\frac{m}{e}\cdot V_0} = 0{,}37\cdot 10^{-2}~\frac{\text{В}\cdot\text{с}}{\text{м}^2}. \qquad (11)\]

3. Конечность \(r_1\) и направление скорости дрейфа.

Силовые линии магнитного поля — окружности с центрами на оси симметрии тороида (оси \(z\)).

В соответствии с симметрией задачи введём в плоскости, перпендикулярной оси \(z\), полярные координаты \(r\) и \(\varphi\) (см. рисунок ниже) и разложим входящие в задачу векторные величины (скорость, магнитное поле \(\vec B\), силу Лоренца) на соответствующие составляющие.

Поскольку углом раствора пучка можно пренебречь, рассмотрим один электрон, инжектированный в тороид по касательной со скоростью \(v_0\) на радиусе \(R\).

В статическом магнитном поле кинетическая энергия сохраняется, поэтому \[E = \frac{m}{2}\left(v_r^2 + v_\varphi^2 + v_z^2\right) = \frac{m}{2}v_0^2. \qquad (12)\] Радиальные точки поворота электрона определяются условием \[v_r = 0.\] Используя (12), получаем \[v_0^2 = v_\varphi^2 + v_z^2. \qquad (13)\] Одна такая точка поворота, очевидно, \[r = R\cdot\left(v_\varphi = v_0,\ v_r = 0,\ v_z = 0\right).\] Чтобы найти другие точки поворота и тем самым максимальное радиальное отклонение электрона, составляющие скорости \(v_\varphi\) и \(v_z\) в (13) нужно выразить через радиус.

\(v_\varphi\) находим из закона сохранения момента импульса. Сила Лоренца, очевидно, не имеет составляющей в направлении \(\varphi\) (параллельном магнитному полю). Поэтому она не может создать момент сил относительно оси \(z\). Отсюда следует, что \(z\)-составляющая момента импульса постоянна, т. е. \(L_z = m\cdot v_\varphi\cdot r = m\cdot v_0\cdot R\), и, следовательно, \[v_\varphi = v_0\cdot\frac{R}{r}. \qquad (14)\] \(v_z\) находим из уравнения движения вдоль оси \(z\). \(z\)-составляющая силы Лоренца \(F_z = -e\cdot B\cdot v_r\). Поэтому ускорение вдоль оси \(z\) \[a_z = -\frac{e}{m}\cdot B\cdot v_r. \qquad (15)\] Это значит, что, поскольку \(B\) считается постоянным, изменение \(v_z\) связано с изменением \(r\) так: \[\Delta v_z = -\frac{e}{m}\cdot B\cdot\Delta r.\] Так как \(\Delta r = r - R\) и \(\Delta v_z = v_z\), находим \[v_z = -\frac{e}{m}\cdot B\cdot(r - R). \qquad (16)\] Используя (14) и (15), из (13) получаем

\[1 = \left(\frac{R}{r}\right)^2 + A^2\cdot\left(\frac{r}{R} - 1\right)^2, \qquad (17)\] где \(A = \dfrac{e}{m}\cdot B\cdot\dfrac{R}{v_0}\).

Исследование кривой в правой части (17) даёт качественный результат, показанный на диаграмме:

Следовательно, \(r_1\) конечно. Поскольку \(R \le r \le r_1\), из (16) следует \(v_z < 0\). Значит, дрейф направлен в сторону отрицательной оси \(z\).

Подсказка

Запишите правила Кирхгофа для узла и для контура одного звена, считая напряжение на \(n\)-м конденсаторе равным \(V_0\sin(\omega t + n\varphi)\). Требование, чтобы закон для токов выполнялся в любой момент, связывает \(\varphi\) с \(\omega\). Для механического аналога выразите энергию через заряды, прошедшие через катушки.

Ответ

а) \(\Phi = 2\arcsin\left(\dfrac{\omega\sqrt{LC}}{2}\right)\) при \(0 \le \omega \le \dfrac{2}{\sqrt{LC}}\);  б) \(v = \dfrac{\omega\ell}{2\arcsin\left(\frac{\omega\sqrt{LC}}{2}\right)}\);  в) при \(\dfrac{\omega\sqrt{LC}}{2} \ll 1\) скорость \(v_0 = \dfrac{\ell}{\sqrt{LC}}\);  г) цепочка масс \(m\), связанных пружинами (или дисков, связанных пружинами кручения): \(Q_{L_n} \to x_n\), \(\dot Q_{L_n} \to v_n\), \(L \to m\).

Решение

а)

Закон для токов: \[I_{L_{n-1}} + I_{C_n} - I_{L_n} = 0. \qquad (1)\] Закон для напряжений: \[V_{C_{n-1}} + V_{L_{n-1}} - V_{C_n} = 0. \qquad (2)\] Падение напряжения на конденсаторе: \[V_{C_{n-1}} = \frac{1}{\omega\cdot C}\cdot\tilde I_{C_{n-1}}. \qquad (3)\] Примечание: в (3) используется \(\tilde I_{C_{n-1}}\) вместо \(I_{C_{n-1}}\), так как ток опережает напряжение на \(90^\circ\).

Падение напряжения на катушке: \[V_{L_{n-1}} = \omega\cdot L\cdot\tilde I_{L_{n-1}}. \qquad (4)\] Примечание: в (4) используется \(\tilde I_{L_{n-1}}\) вместо \(I_{L_{n-1}}\), так как ток отстаёт от напряжения на \(90^\circ\).

Напряжение \(V_{C_n}\) равно \[V_{C_n} = V_0\cdot\sin(\omega\cdot t + n\cdot\varphi). \qquad (5)\] Формула (5) следует из условия задачи.

Из (3) и (5): \[I_{C_n} = \omega\cdot C\cdot V_0\cdot\cos(\omega\cdot t + n\cdot\varphi). \qquad (6)\] Из (4) и (2) с учётом (5): \[I_{L_{n-1}} = \frac{V_0}{\omega\cdot L}\cdot\left[2\cdot\sin\left(\omega\cdot t + \left(n - \frac{1}{2}\right)\cdot\varphi\right)\cdot\sin\frac{\varphi}{2}\right], \qquad (7)\] \[I_{L_n} = \frac{V_0}{\omega\cdot L}\cdot\left[2\cdot\sin\left(\omega\cdot t + \left(n + \frac{1}{2}\right)\cdot\varphi\right)\cdot\sin\frac{\varphi}{2}\right]. \qquad (8)\] Выражения (6), (7) и (8) должны удовлетворять закону для токов. Это даёт зависимость \(\varphi\) от \(\omega\), \(L\) и \(C\): \[0 = V_0\cdot\omega\cdot C\cdot\cos(\omega\cdot t + n\cdot\varphi) + 2\cdot\frac{V_0}{\omega\cdot L}\cdot\sin\frac{\varphi}{2}\cdot\left[2\cdot\cos(\omega\cdot t + n\cdot\varphi)\cdot\sin\left(-\frac{\varphi}{2}\right)\right].\] Это условие должно выполняться в любой момент времени. Поэтому на \(V_0\cdot\cos(\omega\cdot t + n\cdot\varphi)\) можно разделить.

Отсюда \(\omega^2\cdot L\cdot C = 4\cdot\sin^2\left(\dfrac{\varphi}{2}\right)\). Результат: \[\varphi = 2\cdot\arcsin\left(\frac{\omega\cdot\sqrt{L\cdot C}}{2}\right) \quad\text{при}\quad 0 \le \omega \le \frac{2}{\sqrt{L\cdot C}}. \qquad (9)\]

б) Расстояние \(\ell\) проходится за время \(\Delta t\), поэтому скорость распространения \[v = \frac{\ell}{\Delta t} = \frac{\omega\cdot\ell}{\varphi} \quad\text{или}\quad v = \frac{\omega\cdot\ell}{2\cdot\arcsin\left(\frac{\omega\cdot\sqrt{L\cdot C}}{2}\right)}. \qquad (10)\]

в)

Слабая зависимость означает \(\arcsin\left(\dfrac{\omega\cdot\sqrt{L\cdot C}}{2}\right) \sim \omega\), так как в этом случае \(v\) постоянна.

Это верно только при малых \(\omega\). Это значит, что \(\dfrac{\omega\cdot\sqrt{L\cdot C}}{2} \ll 1\), и поэтому \[v_0 = \frac{\ell}{\sqrt{L\cdot C}}. \qquad (11)\]

г) Энергия сохраняется, поскольку в цепи есть только индуктивности и ёмкости. В обозначениях пункта а) получаем энергию конденсаторов \[W_C = \sum_n \frac{1}{2}\cdot C\cdot V_{C_n}^2 \qquad (12)\] и энергию катушек \[W_L = \sum_n \frac{1}{2}\cdot L\cdot I_{L_n}^2. \qquad (13)\] Отсюда следует стандартная форма закона сохранения энергии \[W_C = \sum_n \frac{1}{2}\left(C\cdot V_{C_n}^2 + L\cdot I_{L_n}^2\right). \qquad (14)\]

Связь с механикой так не видна, поскольку входят две разные физические величины (\(V_{C_n}\) и \(I_{L_n}\)) и нет ничего, что соответствовало бы связи между координатой \(x\) и скоростью \(v = \dot x\).

Чтобы получить аналогию с механикой, энергию нужно описать через заряд \(Q\), ток \(I = \dot Q\) и постоянные \(L\) и \(C\). Для этого напряжение \(V_{C_n}\) нужно выразить через заряды \(Q_{L_n}\), прошедшие через катушку.

Получаем: \[W = \sum_n\left[\underbrace{\frac{L}{2}\cdot\dot Q_{L_n}^2}_{A} + \underbrace{\frac{1}{2\cdot C}\left(Q_{L_n} - Q_{L_{n-1}}\right)^2}_{B}\right]. \qquad (15)\] Механический аналог:

A (кинетическая часть):  \(\dot Q_{L_n} \longrightarrow v_n\);  \(L \longrightarrow m\).

B (потенциальная часть):  \(Q_{L_n} \longrightarrow x_n\).

\(x_n\) — смещение, \(v_n\) — скорость.

Однако \(Q_{L_n}\) может быть и другой величиной (например, углом). \(L\) может быть, например, моментом инерции.

Из структуры задачи следует: взаимодействие только с ближайшим соседом (сила растёт линейно с расстоянием). Возможная модель:

На рисунке: spring — пружина.

Другая модель:

На рисунке: Torsion spring — пружина кручения, rigid disk — жёсткий диск.