IPhO 1988, теоретический тур

Подсказка

Движущийся навстречу лазеру ион «видит» увеличенную по Доплеру частоту, поэтому каждой скорости соответствует своя длина волны лазера; разброс скоростей даёт разброс длин волн \(\Delta\lambda = v/\nu^*\). Ускорение одинаковым напряжением сжимает разброс скоростей, ведь энергии растут на одну и ту же величину.

Ответ

1.1.1) ширина диапазона \(\lambda_L - \lambda_H = \dfrac{6\cdot 10^3}{5\cdot 10^{14}}~\text{м} = 12\cdot 10^{-3}\) нм (от \(600\) до \(600{,}012\) нм);  1.1.2) погрешность порядка \(2\cdot 10^{-10}\) — классической формулой можно пользоваться;  1.2) \(v_H' - v_L' = \sqrt{v^2 + \dfrac{2eU}{m}} - \sqrt{\dfrac{2eU}{m}}\) — ускоряющее напряжение сужает спектр;  1.3) без напряжения спектры перекрываются; разделить можно при \(U \ge 162\) В.

Решение

1.1.1 Пусть \(v\) — скорость иона в направлении к лазерному источнику относительно лазерного источника, \(\nu'\) — частота лазерного света, наблюдаемая наблюдателем, движущимся вместе с ионом (т. е. в системе отсчёта, в которой скорость иона равна 0), и \(\nu\) — частота лазерного света, наблюдаемая наблюдателем, покоящимся относительно лазерного источника.

Классическая формула эффекта Доплера: \[\nu' = \nu\cdot\left(1 + \frac{v}{c}\right). \qquad (1)\] Пусть \(\nu^*\) — частота, поглощаемая ионом (характеристика отдельных ионов), а \(\nu_L\) — частота лазерного света, возбуждающего покоящийся ион; следовательно, \[\nu^* = \nu_L.\] Для движущегося иона частота, используемая для возбуждения, должна быть ниже \(\nu^*\).

Пусть \(\nu_H\) — частота, используемая для возбуждения движущегося иона.

Без ускоряющего напряжения

\[\nu_L < \nu_H, \qquad \nu_L = \nu^*.\]

Вычисление частоты \(\nu_H\), поглощаемой движущимися ионами: \[\nu^* = \nu_L\cdot\left(1 + \frac{v}{c}\right), \qquad\text{где}\quad \nu^* = \nu_H = 5\cdot 10^{14}~\text{Гц} \quad\text{и}\quad v = 6\cdot 10^3~\text{м/с}. \qquad (2)\] Разность значений частоты, поглощаемой неподвижным ионом и ионом, движущимся со скоростью \(v\): \(\Delta\nu = \nu_H - \nu_L\).

Разность значений длин волн, поглощаемых неподвижным ионом и ионом, движущимся со скоростью \(v\): \(\Delta\lambda = \lambda_L - \lambda_H\) (более высокой частоте соответствует более короткая длина волны). \[\lambda_L - \lambda_H = \frac{c}{\nu_L} - \frac{c}{\nu_H};\] из (2) \[\lambda_L - \lambda_H = \frac{c}{\nu^*}\cdot\left(1 + \frac{v}{c}\right) - \frac{c}{\nu^*} = \frac{v}{\nu^*}.\] В этом случае \[\lambda_L - \lambda_H = \frac{6\cdot 10^3}{5\cdot 10^{14}}~\text{м} = 12\cdot 10^{-3}~\text{нм}.\]

Рис. 19.3. Спектр лазерного света, используемого для возбуждения ионов. На рисунке: Intensity — интенсивность.

1.1.2 Формула для вычисления \(\nu'\), наблюдаемой наблюдателем, движущимся к источнику света, на основе принципа специальной теории относительности: \[\nu' = \nu\cdot\sqrt{\frac{1 + \frac{v}{c}}{1 - \frac{v}{c}}},\] где \(v\) — модуль скорости наблюдателя, движущегося к источнику света, \(\nu'\) — частота, поглощаемая ионом, движущимся со скоростью \(v\) к источнику света (её же наблюдает наблюдатель, движущийся со скоростью \(v\) к лазерному источнику), а \(\nu\) — частота лазерного света, наблюдаемая покоящимся наблюдателем.

(Образно говоря, движущийся ион «видит» лазерный свет частоты \(\nu'\), хотя учёный, управляющий лазерным источником, настаивает, что посылает лазерный луч частоты \(\nu\).) \[\nu' = \nu\cdot\sqrt{\left(1 + \frac{v}{c}\right)\cdot\left(1 + \frac{v}{c} + \frac{v^2}{c^2} + \ldots\right)} = \nu\cdot\sqrt{\left(1 + \frac{v}{c}\right)^2 + \left(1 + \frac{v}{c}\right)\cdot\frac{v^2}{c^2} + \ldots}\] \[\nu' = \nu\cdot\left(1 + \frac{v}{c}\right)\cdot\left[1 + \frac{v^2}{c^2}\cdot\frac{1}{1 + \frac{v}{c}} + \ldots\right]^{\frac{1}{2}} = \nu\cdot\left(1 + \frac{v}{c}\right)\cdot\left[1 + \frac{v^2}{2\cdot c^2}\cdot\frac{1}{\left(1 + \frac{v}{c}\right)} + \ldots\right]\] Второй член в скобках — это погрешность при использовании классической формулы эффекта Доплера. \[\frac{v}{c} = 2\cdot 10^{-5},\] \[\frac{v^2}{2\cdot c^2}\cdot\frac{1}{\left(1 + \frac{v}{c}\right)} = \frac{1}{2}\cdot\frac{4\cdot 10^{-10}}{1 + 2\cdot 10^{-5}} \approx 2\cdot 10^{-10}.\] Погрешность применения классической формулы эффекта Доплера, однако, порядка \(2\cdot 10^{-10}\). Это значит, что классическую формулу эффекта Доплера можно использовать для анализа задачи без потери точности.

1.2 При использовании ускоряющего напряжения

Нижняя граница кинетической энергии ионов: \(\dfrac{1}{2}\cdot m\cdot(v_L')^2 = e\cdot U\) и \(v_L' = \sqrt{\dfrac{2\cdot e\cdot U}{m}}\).

Верхняя граница кинетической энергии ионов: \(\dfrac{1}{2}\cdot m\cdot(v_H')^2 = \dfrac{1}{2}\cdot m\cdot v^2 + e\cdot U\) и \(v_H' = \sqrt{v^2 + \dfrac{2\cdot e\cdot U}{m}}\).

Ширина спектра скоростей \[v_H' - v_L' = \sqrt{v^2 + \frac{2\cdot e\cdot U}{m}} - \sqrt{\frac{2\cdot e\cdot U}{m}}. \qquad (3)\] (Заметим, что конечная скорость ускоренных ионов не равна сумме \(v\) и \(\sqrt{\dfrac{2\cdot e\cdot U}{m}}\), так как скорость меняется со временем.)

Если в уравнении (3) величина \(\sqrt{\dfrac{2\cdot e\cdot U}{m}}\) пренебрежимо мала, то и изменение ширины спектра пренебрежимо мало; по тем же соображениям, если \(\sqrt{\dfrac{2\cdot e\cdot U}{m}}\) велика или стремится к \(\infty\), ширина спектра света, возбуждающего ионы, становится всё уже и стремится к 0.

1.3 Даны два энергетических уровня иона, соответствующие длинам волн \(\lambda^{(1)} = 600\) нм и \(\lambda^{(2)} = 600 + 10^{-2}\) нм.

Для простоты примем следующие обозначения.

Верхний индекс в скобках указывает энергетический уровень (1) или (2) соответственно. Штрих сверху обозначает случай, когда приложено ускоряющее напряжение; индексы H и L у поглощаемых частот (и длин волн) соответствуют концам спектра скоростей ионного пучка с большой и малой скоростью соответственно.

Нижний индекс у \(\lambda\) (или \(\nu\)) может быть 1 или 2: номер 1 соответствует наименьшей скорости иона, номер 2 — наибольшей. Без ускоряющего напряжения индекс 1 означает, что минимальная скорость иона равна 0, а наибольшая скорость иона равна \(6000\) м/с. Если приложено ускоряющее напряжение \(U\), номер 1 означает, что длина волны лазерного света относится к иону с наименьшей скоростью, а номер 2 — к иону с наибольшей скоростью.

Наконец, знак \(*\) обозначает значение длины волны (\(\lambda^*\)) или частоты (\(\nu^*\)), поглощаемых ионом (характеристическая поглощаемая частота).

Без ускоряющего напряжения. Для первого энергетического уровня:

\[\nu_H^{(1)*} = \nu_L^{(1)*} = \nu^{(1)*} = 5\cdot 10^{14}~\text{Гц}.\] Разность частот лазерного света, возбуждающего ионы, \(= \nu_H^{(1)} - \nu_L^{(1)}\).

Разность длин волн лазерного света, возбуждающего ионы, \(= \lambda_L^{(1)} - \lambda_H^{(1)}\): \[\frac{v}{\nu_L^{(1)*}} = \frac{6000}{5\cdot 10^{14}} = 0{,}012~\text{нм}.\] Для второго энергетического уровня:

\[\nu_H^{(2)*} = \nu_L^{(2)*} = \nu^{(2)*} = 5\cdot 10^{14}~\text{Гц}.\] Разность частот лазерного света, возбуждающего ионы: \(\nu_H^{(2)} - \nu_L^{(2)}\).

Разность длин волн лазерного света, возбуждающего ионы: \(\lambda_L^{(2)} - \lambda_H^{(2)}\).

Это даёт \[\frac{6000}{5\cdot 10^{14}} = 0{,}012~\text{нм}.\] Следовательно, спектры лазерного света (спектры поглощения), используемого для возбуждения иона на двух энергетических уровнях, перекрываются, как показано на рис. 19.4.

Рис. 19.4. Спектр лазерного света, возбуждающего ионы, без ускоряющего напряжения (спектр поглощения). На рисунке: Intensity — интенсивность.

С ускоряющим напряжением. Пусть \(\lambda_H^{(1)'}\) и \(\lambda_L^{(1)'}\) — границы диапазона длин волн, используемых для возбуждения ионов на первом энергетическом уровне при ускоряющем напряжении (штрих обозначает ситуацию, когда используется ускоряющее напряжение), и пусть \(\lambda_H^{(2)'}\) и \(\lambda_L^{(2)'}\) — границы диапазона длин волн, используемых для возбуждения ионов на втором энергетическом уровне, также при ускоряющем напряжении.

Условие того, что два спектра не перекрываются: \[\lambda_H^{(2)'} \ge \lambda_L^{(1)'} \quad\text{(см. рис. 19.4)}. \qquad (4)\] (Помните, что меньшей энергии соответствуют более длинные волны, и наоборот.)

Из условия (3): \[\lambda_L - \lambda_H = \frac{v}{\nu^*}. \qquad (5)\] Смысл этого уравнения: если скорость иона равна \(v\), то длина волны, которую «видит» ион, равна \(\lambda_L\), тогда как \(\lambda_H\) — длина волны, которую «видит» ион с нулевой скоростью.

Уравнение (5) можно переписать для случая ускоряющего напряжения, при котором два спектра лазерного света не перекрываются, так: \[\lambda_L^{(N)'} - \lambda_H^{(N)'} = \frac{v'}{\nu^*}, \quad\text{где } N \text{ — номер энергетического уровня}. \qquad (6)\] Индекс L относит \(\lambda\) к наименьшей скорости иона, который «видит» частоту \(\nu^*\). Наименьшая скорость в этом случае равна \(\sqrt{\dfrac{2\cdot e\cdot U}{m}}\), а индекс H относит \(\lambda\) к наибольшей скорости иона, в этом случае \(\sqrt{v^2 + \dfrac{2\cdot e\cdot U}{m}}\).

Уравнение (6) будет использовано для вычисления

— ширины спектра скоростей иона, ускоренного напряжением \(U\);

— потенциала \(U\), при котором выполняется условие (4).

Рассмотрим сначала второй энергетический уровень иона (более низкий из двух): \[\lambda_L^{(2)'} - \lambda_H^{(2)} = \frac{v'}{\nu^*}, \qquad (7)\] подставим \[v' = \sqrt{\frac{2\cdot e\cdot U}{m}}, \quad \lambda_H^{(1)} = 600 + 10^{-3}~\text{нм}, \quad \nu^* = 5\cdot 10^{14}~\text{Гц}, \quad v = 0~\text{м/с}:\]

\[\lambda_H^{(2)'} = (600 + 0{,}001)\cdot 10^{-9} + \frac{\sqrt{\frac{2\cdot e\cdot U}{m}}}{5\cdot 10^{14}}~\text{м}. \qquad (8)\] Рассматривая первый энергетический уровень иона: \[\lambda_L^{(1)'} - \lambda_H^{(1)} = \frac{v'}{\nu^*}. \qquad (9)\] В этом случае \[v' = \sqrt{v^2 + \frac{2\cdot e\cdot U}{m}}, \quad \nu^* = 5\cdot 10^{14}~\text{Гц}, \quad v = 6000~\text{м/с}, \quad \lambda_H^{(1)} = 600\cdot 10^{-9}~\text{м},\] \[\lambda_L^{(1)'} = 600\cdot 10^{-9} + \frac{\sqrt{v^2 + \frac{2\cdot e\cdot U}{m}}}{5\cdot 10^{14}}~\text{м}. \qquad (10)\] Подставляя \(\lambda_H^{(2)'}\) из (8) и \(\lambda_L^{(1)'}\) из (10) в (4), получаем \[(600 + 0{,}001)\cdot 10^{-9} + \frac{\sqrt{\frac{2\cdot e\cdot U}{m}}}{5\cdot 10^{14}} \ge 600\cdot 10^{-9} + \frac{\sqrt{v^2 + \frac{2\cdot e\cdot U}{m}}}{5\cdot 10^{14}},\] \[500 \ge \frac{\sqrt{v^2 + \frac{2\cdot e\cdot U}{m}}}{5\cdot 10^{14}} - \frac{\sqrt{\frac{2\cdot e\cdot U}{m}}}{5\cdot 10^{14}},\] \[500 \ge \sqrt{36\cdot 10^6 + 2\cdot 4\cdot 10^6\cdot U} - \sqrt{2\cdot 4\cdot 10^6\cdot U}.\] Предположим, что \(U\) порядка 100 и больше, тогда \[\sqrt{8\cdot 10^6\cdot U}\cdot\left(1 + \frac{9}{4\cdot U}\right) - \sqrt{8\cdot 10^6\cdot U} \le 500,\] \[\frac{1}{\sqrt{2\cdot U}}\cdot 9\cdot 10^3 \le 500,\] \[\sqrt{2\cdot U} \ge 324,\]

\[U \ge 162~\text{В}.\] Минимальное значение ускоряющего напряжения, при котором спектры поглощения не перекрываются, примерно \(162\) В.

Подсказка

Пока нити разматываются, колесо мгновенно вращается вокруг точки касания нити с осью — запишите закон сохранения энергии с моментом инерции относительно этой точки. В нижней точке центр масс обходит точку касания по окружности радиуса оси, и натяжение нити возрастает из-за центростремительного ускорения.

Ответ

2.1) \(\omega = \sqrt{\dfrac{2gs}{r^2 + \frac{R^2}{2}}}\), при \(s = 0{,}50\) м \(\omega \approx 72{,}4\) рад/с;  2.2) \(E_T = 9{,}76\cdot 10^{-3}\) Дж, \(E_P = 1{,}962\) Дж, \(E_R = 1{,}899\) Дж, \(E_T/E_R = 5{,}13\cdot 10^{-3}\);  2.3) \(T/2 = 1{,}96\) Н;  2.4) \(\dot\Phi = \omega = \sqrt{\dfrac{2MgH\sin\Phi}{I_A}\left(1 + \dfrac{r}{H}\right)}\) (так в официальном решении), при \(r/H \ll 1\) \(\omega'_{\text{MAX}} = \sqrt{\dfrac{2MgH}{I_A}}\), графики — в решении;  2.5) \(1{,}24\) м.

Решение

2.1 Закон сохранения энергии: \[M\cdot g\cdot s = \frac{1}{2}\cdot I_A\cdot\omega^2, \qquad (1)\] где \(\omega\) — угловая скорость колеса, \(I_A\) — момент инерции относительно оси, проходящей через A.

Примечание: если взять момент инерции относительно S, а не A, получилось бы \[M\cdot g\cdot s = \frac{1}{2}\cdot I_S\cdot\omega^2 + \frac{1}{2}\cdot m\cdot v^2,\] где \(v\) — скорость центра масс по вертикали. По смыслу это уравнение совпадает с приведённым выше, так как \[I_A = I_S + M\cdot r^2 \quad\text{и}\quad I_S = M\cdot R^2.\]

Из (1) получаем \[\omega = \sqrt{\frac{2\cdot M\cdot g\cdot s}{I_A}};\] подставим \[I_A = \frac{1}{2}\cdot M\cdot r^2 + M\cdot R^2,\]

\[\omega = \sqrt{\frac{2\cdot g\cdot s}{r^2 + \frac{R^2}{2}}}.\] Подставляя числа, получаем \[\omega = \sqrt{\frac{2\cdot 9{,}81\cdot 0{,}50}{9\cdot 10^{-6} + \frac{1}{2}\cdot 36\cdot 10^{-4}}} \approx 72{,}4~\frac{\text{рад}}{\text{с}}.\]

2.2 Кинетическая энергия поступательного движения центра масс колеса \[E_T = \frac{1}{2}\cdot M\cdot v^2 = \frac{1}{2}\cdot M\cdot\omega^2\cdot r^2 = \frac{1}{2}\cdot 0{,}40\cdot 72{,}4^2\cdot 9\cdot 10^{-6} = 9{,}76\cdot 10^{-3}~\text{Дж}.\] Потенциальная энергия колеса \[E_P = M\cdot g\cdot s = 0{,}40\cdot 9{,}81\cdot 0{,}50 = 1{,}962~\text{Дж}.\] Кинетическая энергия вращения колеса \[E_R = \frac{1}{2}\cdot I_S\cdot\omega^2 = \frac{1}{2}\cdot 0{,}40\cdot 1{,}81\cdot 10^{-3}\cdot 72{,}4^2 = 1{,}899~\text{Дж}.\] \[\frac{E_T}{E_R} = \frac{9{,}76\cdot 10^{-3}}{1{,}899} = 5{,}13\cdot 10^{-3}.\]

2.3 Пусть \(\dfrac{T}{2}\) — сила натяжения каждой нити.

Момент силы \(\tau\), вызывающий вращение, равен \(\tau = M\cdot g\cdot r = I_A\cdot\alpha\), где \(\alpha\) — угловое ускорение, \(\alpha = \dfrac{M\cdot g\cdot r}{I_A}\).

Уравнение движения колеса: \(M\cdot g - T = M\cdot a\).

Подставляя \(a = \alpha\cdot r\) и \(I_A = \dfrac{1}{2}\cdot M\cdot r^2 + M\cdot R^2\), получаем \[T = M\cdot g + \frac{M\cdot g\cdot r^2}{\frac{1}{2}\cdot M\cdot R^2 + M\cdot r^2} = M\cdot g\cdot\left(1 + \frac{2\cdot r^2}{R^2 + 2\cdot r^2}\right).\]

Таким образом, для натяжения \(\dfrac{T}{2}\) каждой нити получаем \[\frac{T}{2} = \frac{M\cdot g}{2}\cdot\left(1 + \frac{2\cdot r^2}{R^2 + 2\cdot r^2}\right) = \frac{0{,}40\cdot 9{,}81}{2}\cdot\left(1 + \frac{2\cdot 9\cdot 10^{-6}}{3{,}6\cdot 10^{-3} + 2\cdot 9\cdot 10^{-6}}\right) = 1{,}96~\text{Н}.\] \[\frac{T}{2} = 1{,}96~\text{Н}.\]

2.4

Рис. 19.7.

После того как нити полностью размотаются, колесо продолжает вращаться вокруг A (которая некоторое время, обсуждаемое ниже, покоится). Пусть \(\dot\Phi\) — угловая скорость центра масс относительно оси, проходящей через A. Уравнение вращательного движения колеса вокруг A можно записать в виде \(|\tau| = I_A\cdot\ddot\Phi\), где \(\tau\) — момент силы относительно A, \(I_A\) — момент инерции относительно оси A, а \(\ddot\Phi\) — угловое ускорение относительно оси, проходящей через A.

Отсюда \[M\cdot g\cdot r\cdot\cos\Phi = I_A\cdot\ddot\phi \quad\text{и}\quad \ddot\phi = \frac{M\cdot g\cdot r\cdot\cos\Phi}{I_A}.\] Умножив на \(\dot\Phi\), получаем \[\dot\Phi\cdot\ddot\Phi = \frac{M\cdot g\cdot r\cdot\cos\Phi\cdot\dot\Phi}{I_A} \quad\text{или}\quad \frac{1}{2}\cdot\frac{d(\dot\Phi)^2}{dt} = \frac{M\cdot g\cdot r\cdot\cos\Phi}{I_A}\cdot\frac{d\Phi}{dt},\] откуда \[(\dot\Phi)^2 = \frac{2\cdot M\cdot g\cdot r\cdot\sin\Phi}{I_A} + C \qquad [C \text{ — произвольная постоянная}].\] Если \(\Phi = 0\) \([s = H]\), то \(\dot\Phi = \omega\).

Это даёт \(\omega = \dfrac{2\cdot M\cdot g\cdot H}{I_A}\) и, следовательно, \(C = \dfrac{2\cdot M\cdot g\cdot H}{I_A}\).

Подставляя эти результаты в уравнение выше, получаем \[\dot\Phi = \omega = \sqrt{\frac{2\cdot M\cdot g\cdot H\cdot\sin\Phi}{I_A}\cdot\left(1 + \frac{r}{H}\right)}.\]

При \(\dfrac{r}{H} \lll 1\) получаем: \[\omega = \omega'_{\text{MAX}} = \sqrt{\frac{2\cdot M\cdot g\cdot H}{I_A}}\] и \[v = r\cdot\omega'_{\text{MAX}} = r\cdot\sqrt{\frac{2\cdot M\cdot g\cdot H}{I_A}}.\]

Рис. 19.8.

Составляющая перемещения вдоль оси \(x\): \(x = r\sin\Phi - r\); вдоль оси \(y\): \(y = r\cos\Phi - r\).

Рис. 19.9.

2.5 Максимальное натяжение каждой нити достигается при \(\dot\Phi = \omega'_{\text{MAX}}\).

Уравнение движения: \[T_{\text{MAX}} - M\cdot g = M\cdot(\omega'_{\text{MAX}})^2\cdot r.\] Подставляя \(T = 20\) Н и \(\omega'_{\text{MAX}} = \sqrt{\dfrac{2\cdot M\cdot g\cdot s}{I_A}}\) (где \(s\) — максимальная длина нитей, удерживающих колесо без обрыва) и \(I_A = M\cdot\left(\dfrac{R^2}{2} + r^2\right)\), получаем численно \[20 = 0{,}40\cdot 9{,}81\cdot\left(1 + \frac{4\cdot 3\cdot 10^{-3}\cdot s}{36\cdot 10^{-4} + 2\cdot 9\cdot 10^{-6}}\right).\] Это даёт \(s = 1{,}24\) м.

Максимальная длина нитей, выдерживающих максимальное натяжение без обрыва, равна \(1{,}24\) м.

Подсказка

Оцените кинетическую энергию через соотношение неопределённостей \(p \sim \hbar/r\), потенциальную — через \(1/r\), и найдите \(r\) из минимума полной энергии. Для двух электронов добавьте их отталкивание на расстоянии \(2r\). Энергия фотона — разность энергий ионов до и после захвата.

Ответ

3.1) \(p_0^2\cdot r_0^2 \ge \dfrac{9}{4}\hbar^2\);  3.2) законы сохранения энергии и импульса (см. решение);  3.3) \(E[\text{A}^{(Z-1)+}] = -E_R\cdot Z^2\);  3.4) \(E[\text{A}^{(Z-2)+}] = -2\cdot E_R\cdot\left(Z - \dfrac{1}{4}\right)^2\);  3.5) \(Z = 4\) — бериллий.

Решение

3.1 \[r_0^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2,\] \[p_0^2 = (\Delta p_x)^2 + (\Delta p_y)^2 + (\Delta p_z)^2;\] так как \[\Delta p_x \ge \frac{\hbar}{2\cdot\Delta x}, \qquad \Delta p_y \ge \frac{\hbar}{2\cdot\Delta y}, \qquad \Delta p_z \ge \frac{\hbar}{2\cdot\Delta z},\] получаем \[p_0^2 \ge \frac{\hbar^2}{4}\cdot\left[\frac{1}{(\Delta x)^2} + \frac{1}{(\Delta y)^2} + \frac{1}{(\Delta z)^2}\right]\] и \[(\Delta x)^2 = (\Delta y)^2 = (\Delta z)^2 = \frac{r_0^2}{3},\] следовательно, \[p_0^2\cdot r_0^2 \ge \frac{9}{4}\cdot\hbar^2.\]

3.2 \(|\vec v_e|\) — скорость внешнего электрона до захвата;

\(|\vec V_i|\) — скорость \(\text{A}^{(Z-1)+}\) до захвата;

\(|\vec V_f|\) — скорость \(\text{A}^{(Z-1)+}\) после захвата;

\(E_n = h\cdot\nu\) — энергия испущенного фотона.

Закон сохранения энергии: \[\frac{1}{2}\cdot m_e\cdot v_e^2 + \frac{1}{2}\cdot(M + m_e)\cdot V_i^2 + E[\text{A}^{(Z-1)+}] = \frac{1}{2}\cdot(M + 2\cdot m_e)\cdot V_f^2 + E[\text{A}^{(Z-2)+}],\]

где \(E[\text{A}^{(Z-1)+}]\) и \(E[\text{A}^{(Z-2)+}]\) — энергии электронов внешней оболочки ионов \(\text{A}^{(Z-1)+}\) и \(\text{A}^{(Z-2)+}\) соответственно.

Закон сохранения импульса: \[m_e\cdot\vec v_e + (M + m)\cdot\vec V_i = (M + 2\cdot m_e)\cdot\vec V_f + \frac{h\cdot\nu}{c}\cdot\vec 1,\] где \(\vec 1\) — единичный вектор в направлении движения испущенного фотона.

3.3 Определение энергии \(\text{A}^{(Z-1)+}\): \[\text{потенциальная энергия} = -\frac{Z\cdot e^2}{4\cdot\pi\cdot\varepsilon_0\cdot r_0} = -\frac{Z\cdot q^2}{r_0},\] \[\text{кинетическая энергия} = \frac{p^2}{2\cdot m}.\] Если движение электронов ограничено плоскостью \(x\)–\(y\), принцип неопределённости из 3.1 можно записать так: \[r_0^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2,\] \[p_0^2 = (\Delta p_x)^2 + (\Delta p_y)^2,\] \[p_0^2 = \frac{\hbar^2}{4}\cdot\left[\frac{1}{(\Delta x)^2} + \frac{1}{(\Delta y)^2}\right] = \frac{\hbar^2}{4}\cdot\left[\frac{2}{r_0^2} + \frac{2}{r_0^2}\right] = \frac{\hbar^2}{4}\cdot\frac{4}{r_0^2},\] следовательно, \[p_0^2\cdot r_0^2 = \hbar^2,\] \[E[\text{A}^{(Z-1)+}] = \frac{p_0^2}{2\cdot m_e} - \frac{Z\cdot q^2}{r_0} = \frac{\hbar^2}{2\cdot m_e\cdot r_e} - \frac{Z\cdot q^2}{r_0}.\]

Минимум энергии достигается при \(\dfrac{dE}{dr_0} = 0\).

Отсюда \[\frac{dE}{dr_0} = -\frac{\hbar^2}{m_e\cdot r_e^3} + \frac{Z\cdot q^2}{r_0^2} = 0,\] это даёт \[\frac{1}{r_0} = \frac{Z\cdot q^2\cdot m_e}{\hbar^2},\] следовательно, \[E[\text{A}^{(Z-1)+}] = \frac{\hbar^2}{2\cdot m_e}\cdot\left(\frac{Z\cdot q^2\cdot m_e}{\hbar}\right)^2 - Z\cdot q^2\cdot\frac{Z\cdot q^2\cdot m_e}{\hbar^2} = -\frac{m_e}{2}\cdot\left(\frac{Z\cdot q^2}{\hbar}\right)^2 = -\frac{q^2\cdot Z^2}{2\cdot r_B} = -E_R\cdot Z^2,\] \[E[\text{A}^{(Z-1)+}] = -E_R\cdot Z^2.\]

3.4 Когда ион \(\text{A}^{(Z-1)+}\) захватывает второй электрон, \[\text{потенциальная энергия обоих электронов} = -2\cdot\frac{Z\cdot q^2}{r_0},\] \[\text{кинетическая энергия двух электронов} = 2\cdot\frac{p^2}{2\cdot m} = \frac{\hbar^2}{m_e\cdot r_0^2},\] \[\text{потенциальная энергия взаимодействия двух электронов} = \frac{q^2}{|\vec r_1 - \vec r_2|} = \frac{q^2}{2\cdot r_0},\] \[E[\text{A}^{(Z-2)+}] = \frac{\hbar^2}{m_e\cdot r_0^2} - \frac{2\cdot Z\cdot q^2}{r_0^2} + \frac{q^2}{2\cdot r_0}.\] Полная энергия минимальна при \(\dfrac{dE}{dr_0} = 0\), следовательно, \[0 = -\frac{2\cdot\hbar^2}{m_e\cdot r_0^3} + \frac{2\cdot Z\cdot q^2}{r_0^3} - \frac{q^2}{2\cdot r_0^2},\] отсюда \[\frac{1}{r_0} = \frac{q^2\cdot m_e}{2\cdot\hbar^2}\cdot\left(2\cdot Z - \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{r_B}\cdot\left(Z - \frac{1}{4}\right),\] \[E[\text{A}^{(Z-2)+}] = \frac{\hbar^2}{m_e}\cdot\left(\frac{q^2\cdot m_e}{2\cdot\hbar^2}\right)^2 - \frac{q^2\cdot\left(2\cdot Z - \frac{1}{2}\right)}{\hbar}\cdot\frac{q^2\cdot m_e\cdot\left(2\cdot Z - \frac{1}{2}\right)}{2\cdot\hbar},\] \[E[\text{A}^{(Z-2)+}] = -\frac{m_e}{4}\cdot\left[\frac{q^2\cdot\left(2\cdot Z - \frac{1}{2}\right)}{\hbar}\right]^2 = -\frac{m_e\cdot\left[q^2\cdot\left(Z - \frac{1}{4}\right)\right]^2}{\hbar^2} = -\frac{q^2\cdot\left(Z - \frac{1}{4}\right)^2}{\hbar^2},\]

это даёт \[E[\text{A}^{(Z-2)+}] = -2\cdot E_R\cdot\left(Z - \frac{1}{4}\right)^2.\]

3.5 Ион \(\text{A}^{(Z-1)+}\) покоится, когда захватывает второй электрон, который до захвата тоже покоился.

По данным задачи частота испущенного фотона \[\nu = \frac{\omega}{2\cdot\pi} = \frac{2{,}057\cdot 10^{17}}{2\cdot\pi}~\text{Гц}.\] Уравнение энергии можно упростить до \[E[\text{A}^{(Z-1)+}] - E[\text{A}^{(Z-2)+}] = \hbar\cdot\omega = h\cdot\nu,\] т. е. \[-E_R\cdot Z^2 - \left[-2\cdot E_R\cdot\left(Z - \frac{1}{4}\right)^2\right] = \hbar\cdot\omega.\] Подставляя известные числа, получаем \[2{,}180\cdot 10^{-18}\cdot\left[-Z^2 + 2\cdot\left(Z - \frac{1}{4}\right)^2\right] = 1{,}05\cdot 10^{-34}\cdot 2{,}607\cdot 10^{17},\]

это даёт \[Z^2 - Z - 12{,}7 = 0\] с физически осмысленным решением \[Z = \frac{1 + \sqrt{1 + 51}}{2} = 4{,}1.\] Отсюда \(Z = 4\), то есть бериллий.